UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUN NĂM HỌC 2019-2020 Mơn thi: TỐN (Dành cho thí sinh chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức A x x3 3x 38 x x x 4x b) Cho hai hàm số y x y m 1 x 1(với m tham số) có đồ thị P d Tìm m để P cắt d hai điểm phân biệt A x1; y1 , B x2 ; y2 cho 2 y13 y23 18 x13 x23 Câu (2,5 điểm) y xy x y a) Giải hệ phương trình: 5 x y 18 x b) Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x y z Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức M x x 25 y y 25 z z 25 Câu (1,5 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên dương x; y thỏa mãn xy x y x y 1 30 b) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 12n2 số nguyên Chứng minh rằng: 12n2 số phương Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB AC Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt điểm H Gọi O đường tròn ngoại tiếp tứ giác DHCE, cung nhỏ EC đường tròn (O) lấy điểm I (khác điểm E) cho IC IE Đường thẳng DI cắt đường thẳng CE điểm N , đường thẳng EF cắt đường thẳng CI điểm M a) Chứng minh NI ND NE.NC b) Chứng minh đường thẳng MN vng góc với đường thẳng CH c) Đường thẳng HM cắt đường tròn O điểm K (khác điểm H), đường thẳng KN cắt đường tròn (O) điểm G (khác điểm K), đường thẳng MN cắt đường thẳng BC điểm T Chứng minh ba điểm H ,T , G thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Cho 2020 kẹo vào 1010 hộp cho hộp chứa nhiều 1010 kẹo hộp chứa kẹo Chứng minh tìm thấy số hộp mà tổng số kẹo hộp 1010 ĐÁP ÁN Câu 1.a Ta có x x x x x2 x x2 x x x3 3x 38 x x x3 x x3 x x 10 x 40 x 10 5 A 1.b Phương trình hồnh độ giao điểm d P x2 m 1 x (1) (P) cắt d hai điểm phân biệt A x1; y1 , B x2 , y2 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 m m 1 m (*) m Áp dụng định lý Viet ta có: x1 x2 m 1; x1x2 Từ giả thiết ta có y1 x12 , y2 x22 Khi y 13 y23 18 x13 x23 x16 x26 18 x13 x23 x13 x23 x13 x23 18 (2) Do x1 x2 nên x13 x23 18 x1 x2 3x1x2 x1 x2 18 Do đó, m 1 3 m 1 18 m 3 m 1 3 m 1 6 m 4(tm(*)) Câu 2 y xy x y 2a 5 x x 18 x (1) , DK : x, y (2) y 1 y 2x 1 y y x y 1 1 y y 1 y x Với y thay vào (2) ta được: 11 x x 11 x 24 x 110 x 117 x2 55 217 55 217 x 24 24 Với y x thay vào ta được: 5x 28x 14 x 18 x x2 x 2 x x x x x x x x x x x2 x x2 x 2 x x 3 x x 5 22 y x 3 3x 10 x 5 22 y x 3 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: 55 217 55 217 ;1 ; ;1 ; ; ; ; 24 24 3 2b Từ giả thiết suy x, y, z Ta có: x2 x 25 x 30 x 225 8x 24 x 15 x 8x x 3 15 x với x,0 x x (do x 8x x 3 0, dấu xảy ) x Do x x 25 15 x hay x x 25 15 x với x,0 x 3 15 y 15 z ; z z 25 với y, z : y, z 3 Tương tự: y y 25 Do đó, M 15 x 15 y 15 z 45 14 3 Dấu xảy x; y; z 3;0;0 x; y; z 0;3;0 x; y; z 0;0;3 Ta có x x 25 x 22 x 121 x 8x 11 x x 1 11 x x,0 x 2 (do x 1 0, dấu xảy x 1) Do x x 25 11 x hay x x 25 11 x với x,0 x 11 y 11 z ; z z 25 với y, z : y, z 5 Tương tự y y 25 Do đó, M 11 x 11 y 11 z 33 6 5 Dấu xảy x y z Vậy GTLN M 14 đạt x; y; z 3;0;0 x; y; z 0;3;0 x; y; z 0;0;3 GTNN M đạt x y z Câu 3a)Vì x, y nguyên dương x; y 1;1 khơng thỏa mãn phương trình nên x2 y 3; xy x y Suy xy x y ước nguyên dương lớn 30 gồm 5;6 Nếu xy x y x 1 y 1 ta trường hợp: x x (thỏa mãn điều kiện) y y x x (tmdk ) y y Nếu xy x y x 1 y 1 7(ktmdk ) Vậy cặp số x; y thỏa mãn 1;2 ; 2;1 3b) Vì 12n2 số lẻ nên để 12n2 số nguyên 12n2 2m 1 , m Suy m m 1 3n2 m 3u ; m v Vì m; m 1 nên xảy hai trường hợp , u, v * 2 m v ; m u Nếu m v ; m 3u v2 3u hay v số phương chia dư Điều khơng xảy số phương chia dư Do xảy m 3u ; m v Ta có: 12n2 2m 1 4m 4v số phương (đpcm) Câu A M E I K F N H O B D C T G a) Xét NDE NCI có: END INC (đối đỉnh), EDN ICN (cùng chắn cung EI ) suy NDE NCI g.g ND NE NI ND NE.NC NC NI b) Do tứ giác BFEC, DEIC, ABDE nội tiếp nên: AFE ACB DIE MEC ABC DEC DIC MENI tứ giác nội tiếp DIE EMN AFE EMN MN / / AB Mà CH AB CH MN c) Xét ENM , TNC có: EMN EIN NCT , ENM TNC ENM TNC ( g.g ) NE NM NC.NE NM NT 1 NT NC Xét ENK , GNC có KEN CGN , ENK GNC ENK GNC ( g.g ) NE NK NC.NE NG.NK NG NC Từ 1 , NM NT NG.NK NK NM TGN NT NG KMN KMN TGN (3) Mà KMN HCK (cùng phụ với KHC ) KMN HGN (4) Từ (3) (4) ta có TGN HGN H ,T , G thẳng hàng Câu TH1:Tất hộp có số kẹo 2, lấy 505 hộp ta có tổng số kẹo 1010 TH2:Tồn hai hộp có số kẹo khác nhau, ta xếp hộp thành hàng ngang cho hai hộp số kẹo, ký hiệu số kẹo hộp thứ i, i 1;2; ;1010 Xét số S1 a1; S2 a1 a2 .; S1010 a1 a2 a1010 , với 1010 +)Nếu tồn hai số S1; S2 ; ; S1010 có số dư chia cho 1010, giả sử Si , S j i j S j Si 1 a j 1010 Do S j Si 2019; S j Si 1010 nên S j Si 1010 hay ai1 a j 1010 +)Nếu S1; S2 ; S1010 khơng có hai số có số dư chia cho 1010 (1) Xét 1011 số S1; S2 ; ; S1010 , a2 , theo nguyên lý Dirichle tồn hai số có số dư chia cho 1010 Mà S1 a1 a2 ,1 a1, a2 1010 nên S1 , a2 không số dư chia cho 1010 (2) Từ (1) (2) suy tồn k 2;3; ;1010 cho Sk , a2 số dư chia cho 1010 Khi Sk a2 a1 a3 ak 1010 Mà a1 a3 ak 2019 a1 a3 ak 1010 Suy điều phải chứng minh ... a2 a1 010 , với 101 0 +)Nếu tồn hai số S1; S2 ; ; S1 010 có số dư chia cho 101 0, giả sử Si , S j i j S j Si 1 a j 101 0 Do S j Si 2019; S j Si 101 0 nên S... Si 101 0 hay ai1 a j 101 0 +)Nếu S1; S2 ; S1 010 khơng có hai số có số dư chia cho 101 0 (1) Xét 101 1 số S1; S2 ; ; S1 010 , a2 , theo nguyên lý Dirichle tồn hai số có số dư chia cho 101 0... a1, a2 101 0 nên S1 , a2 không số dư chia cho 101 0 (2) Từ (1) (2) suy tồn k 2;3; ;101 0 cho Sk , a2 số dư chia cho 101 0 Khi Sk a2 a1 a3 ak 101 0 Mà a1 a3 ak 2019 a1