CHUYỂNĐỘNGCỦA HỆ CHẤTĐIỂMVÀVẬTRẮN Khi xem xét chuyểnđộngcủa một vật hay một hệ bất kỳ, ta có thể mô hình vật đó như là một tập hợp các chấtđiểmvà áp dụng các định luật cơ học củachấtđiểm đối với từng chấtđiểm trong hệ. Vậtrắn là hệchất điểm, nhưng là một hệchấtđiểm đặc biệt trong đó khoảng cách giữa các chấtđiểm luôn luôn giữ nguyên không đổi trong quá trình chuyểnđộngcủavật rắn. Đây là một đối tượng cơ học quan trọng và phổ biến nên ta chú trọng khảo sát đặc thù chuyểnđộngvậtrắn với phương pháp luận áp dụng các quy luật chuyểnđộngcủa hệ chấtđiểm vào chuyểnđộngcủavật rắn. III.1. Các dạng chuyểnđộngcủavậtrắn : III.1.1. Bậc tự do củavậtrắn : Khi mô tả chuyểnđộngcủa một vật rắn, ta phải xác định được chuyểnđộngcủa bất kỳ điểm nào của vật. Để xác định vị trí củavậtrắn ta cần phải xác định vị trí của ba điểm bất kỳ không thẳng hàng của nó, nghĩa là cần và chỉ cần xác định vị trí của một tam giác bất kỳ gắn liền với vật rắn. Để xác định vị trí của một điểm trong không gian cần phải xác định ba tọa độ, do đó vị trí của ba điểm bất kỳ được xác định bởi chín tọa độ. Tuy nhiên, do tính chấtcủavật rắn, ba điểm đó chính là ba đỉnh của một tam giác xác định nên chín tọa độ đó không độc lập đối với nhau mà liện hệ với nhau bằng ba phương trình xác định độ dài không đổi của ba cạnh tam giác, thành thử chỉ còn có sáu tọa độ là độc lập. Do đó để xác định vị trí củavậtrắn chỉ cần 6 tọa độ hay 6 tham số độc lập. Số tham số độc lập cần biết để xác định hoàn toàn vị trí củavậtrắn gọi là số bậc tự do của nó. Vậtrắn hoàn toàn tự do có 6 bậc tự do. Nếu vậtrắn không hoàn toàn tự do thì bậc tự do của nó giảm xuống. Ví dụ vậtrắn có một điểm hoàn toàn cố định thì ba tọa độ củađiểm đó là hoàn toàn xác định vàvậtrắn chỉ còn ba bậc tự do. Vậtrắn có hai điểm hoàn toàn cố định chỉ có một bậc tự do : nó chỉ có thể quay quanh trục đi qua hai điểm trên và bậc tự do còn lại của nó sẽ xác định vị trí củavật quanh trục đó. Nghiên cứu chuyểnđộngcủavậtrắn tức là phải xác định hoàn toàn vị trí củavậtrắn tại mọi thời điểm, nói cách khác cần phải xác định được qui luật biến thiên theo thời gian của các tham số độc lập. Rõ ràng là số phương trình cần phải biết bằng số tham số độc lập hay là bậc tự do củavật rắn. Vậy bậc tự do củavậtrắn cho biết số phương trình chuyểnđộng độc lập cần phải biết để có thể hoàn toàn xác định chuyểnđộngcủavật rắn. III.1.2. Chuyểnđộng tịnh tiến củavậtrắn : Chuyểnđộng tịnh tiến củavậtrắn là chuyểnđộng mà trong đó một vectơ xác định bởi hai điểm bất kỳ A và B củavậtrắn luôn song song với chính nó. Hình bên trình bày vị trí củavậtrắn ở hai thời điểm t và t+∆ t. Từ định nghĩa củachuyểnđộng tịnh tiến : = ta suy ra : = nghĩa là độ dịch chuyểncủa hai điểm bất kỳ A, B củavậtrắn luôn bằng nhau. Từ đó, suy ra vận tốc của các điểm A và B luôn bằng nhau và quĩ đạo của chúng là những đường cong như nhau nhưng tịnh tiến đối với nhau. Vậy : Trong chuyểnđộng tịnh tiến củavật rắn, quĩ đạo của mọi điểm là những đường cong như nhau, mọi điểmcủavậtrắn đều có cùng vận tốc và gia tốc như nhau. Nhờ tính chất này khi khảo sát chuyểnđộng tịnh tiến, ta chỉ cần khảo sát chuyểnđộngcủa một điểm bất kỳ củavật rắn. Trong nhiều trường hợp, người ta thường chọn điểm đó là khối tâm củavật rắn. Ví dụ : chuyểnđộngcủa ôtô trên đường là chuyểnđộng tịnh tiến. Cần lưu ý chuyểnđộng tịnh tiến không nhất thiết phải là chuyểnđộng thẳng. Chuyểnđộngcủa pêdan xe đạp, của cái đu quay cũng là chuyểnđộng tịnh tiến mặc dù quĩ đạo của pêdan xe đạp như đã biết ở chương I là một đường xyclôit. III.1.3. Khối tâm củavậtrắn : Trong trường hợp tổng quát, khi gốc tọa độ O chọn bất kỳ, thì khối tâm (trong đời sống hàng ngày ta quen gọi là trọng tâm) của một vật là một điểm G mà vị trí của nó được xác định bởi phương trình : = = = (III.1a) trong đó mi, i là khối lượng và vị trí củachấtđiểm mi, m là khối lượng củavật rắn. Trong hệ tọa độ Đề-các và trong trường hợp vậtchất phân bố liên tục thì : x G = yG = (III.1b) zG = Trong trường hợp, nếu ta chọn gốc tọa độ trùng với khối tâm G thì = 0 và từ (III.1a) ta suy ra : = 0 (III.1c) trong đó i là bán kính vectơ nối liền khối tâm với chấtđiểm mi. (*) Ví dụ về tính khối tâm của một hình tam giác vuông : Chúng ta xét một ví dụ áp dụng công thức (III.1b) để tìm vị trí của khối tâm của một tam giác vuông có các cạnh có chiều dài là a và b. Giả sử ta chọn trục Ox hướng theo dọc chiều dài cạnh a. Ta chọn yếu tố dm như hình vẽ bên : chiều rộng của nó là dx và chiều cao là y. Diện tích của nó là ydx. Gọi ρ là khối lượng riêng (trong trường hợp này là khối lượng của một đơn vị diện tích) của tam giác, thì: dm = ρ ydx Mặt khác, từ hình vẽ của hai tam giác đồng dạng, ta có : y/x = b/a từ đó y=(b/a)x. Thay vào biểu thức của dm, ta có: dm = ρ (b/a)xdx Thay dm vào biểu thức (III.1b), ta tìm được tọa độ x G của khối tâm : x G = = = = Mặt khác, khối lượng m của hình tam giác có thể được tính như sau : m = abρ Thay vào biểu thức của x G , ta tìm được : x G = a Tương tự, có thể tìm được : y G = b III.1.4. Chuyểnđộngcủa khối tâm : Ta tìm vận tốc chuyểnđộng của khối tâm của vật rắn. Xuất phát từ biểu thức định nghĩa của vận tốc và biểu thức định nghĩa (III.1a) của khối tâm, ta có : = = = trong đó i = (d i / dt) là vận tốc củachấtđiểm thứ i. Tử số của biểu thức trên, như chúng ta đã biết chính là động lượng củavật rắn. Do đó, ta có thể biểu diễn: = = m (III.2) Biểu thức trên chứng tỏ rằng động lượng củavậtrắnchuyểnđộng tịnh tiến bằng tích của khối lượng vậtrắnvà vận tốc của khối tâm. Điều đó có nghĩa là trong chuyểnđộng tịnh tiến củavật rắn, ta có thể xem chuyểnđộngcủa nó là một chuyểnđộngcủa một chấtđiểm có khối lượng bằng khối lượng củavậtrắnvà nằm tại khối tâm củavật rắn. Bây giờ ta hãy tìm phương trình chuyểnđộngcủa khối tâm. Muốn vậy, ta lấy đạo hàm theo thời gian của biểu thức (III.2) : = m = = = = trong đó và là gia tốc và ngoại lực tác dụng lên chấtđiểm mi củavật rắn, là tổng các ngoại lực tác dụng lên vật rắn. Nếu ta gọi là gia tốc của khối tâm, thì phương trình trên có thể viết dưới dạng : m = (III.3) trong đó = (d G / dt). Phương trình trên chứng tỏ khối tâm củavậtrắnchuyểnđộng như một chấtđiểm có khối lượng bằng khối lượng củahệ (hay củavật rắn) và chịu tác dụng của một lực bằng tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ (hay vật rắn). Cần lưu ý rằng kết luận trên đúng cho cả trường hợp hệ chấtđiểmvà cả củavật rắn. III.1.5. Chuyểnđộng quay củavậtrắn : Xét một vậtrắn quay quanh trục quay ∆ với vận tốc góc o , khi đó bậc tự do củavậtrắn chỉ còn bằng một. Vị trí củavậtrắn được xác định bởi một tọa độ duy nhất là góc quay θ . Ta có những nhận xét sau : a) Mọi điểmcủavậtrắn vạch nên những vòng tròn có tâm nằm trên trục quay ∆ . b) Trong cùng một khoảng thời gian, mọi điểmcủavậtrắn đều quay được một góc θ như nhau. c) Tại cùng một thời điểm, mọi điểmcủavậtrắn đều có cùng vận tốc góc : ω o = và gia tốc góc β = = d) Tại một thời điểm, vectơ vận tốc dài và gia tốc tiếp tuyến của một chấtđiểm bất kỳ củavậtrắn liên hệ với vận tốc góc và gia tốc góc bởi các hệ thức sau : = ( 0 × ) t = ( × ) III.1.6. Chuyểnđộng song phẳng củavậtrắn : Người ta gọi chuyểnđộngcủavậtrắn là chuyểnđộng song phẳng nếu quĩ đạo của mọi điểmcủavậtrắn đều nằm trong những mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định P. Hình dưới đây trình bày chuyểnđộng song phẳng. Chuyểnđộng song phẳng là một chuyểnđộng khá phổ biến trong thực tế. Ví dụ chuyểnđộng tịnh tiến của ôtô trên đường, chuyểnđộng quay củavậtrắn là những chuyểnđộng song phẳng. Chuyểnđộng lăn không trượt của một hình trụ trên một mặt phẳng cũng là một ví dụ chuyểnđộng song phẳng vì khi chuyểnđộng thì hai mặt đáy của hình trụ luôn luôn ở trong các mặt phẳng thẳng đứng và mỗi điểmcủa hình trụ đều chuyểnđộng trong một mặt phẳng song song với hai mặt phẳng trên. Chuyểnđộngcủa pít tông, của cái tay biên máy nổ cũng đều là chuyểnđộng song phẳng. Khi một vậtrắnchuyểnđộng phẳng thì mọi điểmcủa nó nằm trên đường thẳng MM’ vuông góc với mặt phẳng cố định P đều chuyểnđộng giống nhau, vì vậy khi nghiên cứu chuyểnđộng song phẳng ta chỉ cần nghiên cứu chuyểnđộngcủa một tiết diện S bất kỳ củavậtrắn song song với mặt phẳng P là đủ. Do đó, từ đây về sau, chúng ta chỉ vẽ tiết diện S là đại diện cho vật rắn. . thù chuyển động vật rắn với phương pháp luận áp dụng các quy luật chuyển động của hệ chất điểm vào chuyển động của vật rắn. III.1. Các dạng chuyển động của. CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ CHẤT ĐIỂM VÀ VẬT RẮN Khi xem xét chuyển động của một vật hay một hệ bất kỳ, ta có thể mô hình vật đó như là một tập hợp các chất điểm