TỪ MỘT ĐIỀU HIỂN NHIÊN ĐÚNG.doc

TỪ MỘT ĐIỀU HIỂN NHIÊN ĐÚNG Các bạn có biết các bất đẳng thức (BĐT) như Cô-si ; Bu-nhi-a-cốp-xki ; Trê-bư- sép và nhiều BĐT “tên tuổi” khác đều là hệ quả của một BĐT rất quen thuộc, là BĐT nào không ? Phải chăng đó chính là BĐT (a - b) 2 ≥ 0 với mọi số thực a, b ? Chúng ta hãy theo dõi một chuỗi biến đổi từ BĐT này. Ta có : (a - b) 2 ≥ 0 <=> a 2 + b 2 ≥ 2ab (*) <=> a 2 + b 2 + 2ab ≥ 4ab <=> (a + b) 2 ≥ 4ab (*) <=> a 2 + b 2 + a 2 + b 2 ≥ 2ab + a 2 + b 2 <=> 2(a 2 + b 2 ) ≥ (a + b) 2 Từ (1) và (2), với mọi a, b ta có : Từ (1), với a ≥ 0 ; b ≥ 0 ta có BĐT Cô-si : Với a > 0 ; b > 0 ta có : Từ (4) và (5), với a > 0 ; b > 0 ; c > 0 ta có : áp dụng BĐT (6) ta có BĐT Nes-bít : áp dụng BĐT (*), với mọi a, b, c, d ta có BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski : (ad) 2 + (bc) 2 ≥ 2adbc &nbp; (**) <=> a 2 d 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 + b 2 d 2 ≥ 2ac.bd + a 2 c 2 + b 2 d 2 <=> (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd) 2 Với c > 0 ; d > 0 ta có : áp dụng BĐT (9), ta có BĐT S-vác : (trong đó a 1 , a 2 , . , a n là các số dương) Như vậy có thể khẳng định rằng rất nhiều BĐT quan trọng, có ứng dụng rất lớn đều khởi nguồn từ BĐT hiển nhiên đúng (a - b)2 0. áp dụng BĐT này, các bạn hãy thử chứng minh các kết quả sau : 1) 3(ab + bc +ca) ≤ (a + b + c) 2 ≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) 2) (a + b) 3 ≤ 4(a 3 + b 3 ) 3) với mọi a > 0 ; b > 0. Còn rất nhiều các BĐT khác là hệ quả của BĐT (a - b) 2 ≥ 0 đang chờ các bạn khám phá. . TỪ MỘT ĐIỀU HIỂN NHIÊN ĐÚNG Các bạn có biết các bất đẳng thức (BĐT) như Cô-si ; Bu-nhi-a-cốp-xki. rằng rất nhiều BĐT quan trọng, có ứng dụng rất lớn đều khởi nguồn từ BĐT hiển nhiên đúng (a - b)2 0. áp dụng BĐT này, các bạn hãy thử chứng minh các kết