Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến cực trị của hàm số

NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Chuyên đề: NHÓM TOÁN VD – VDC CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN 1: BIẾT ĐẶC ĐIỂM CỦA HÀM SỐ y = f ( x ) Dạng toán Dạng toán Các toán cực trị hàm ẩn bậc (dành cho khối 10) Dạng tốn tìm biểu thức cụ thể hàm số y = f ( x ) tốn khơng chứa tham số Dạng tốn Dạng tốn tìm biểu thức cụ thể hàm số y = f ( x ) toán chứa tham số Dạng toán Biết đặc điểm hàm số đồ thị, BBT đạo hàm hàm f ( x ) , tìm ( ) f ( x ) ) , y f f ( f ( x ) ) toán không chứa tham cực trị = hàm y f= (ϕ ( x ) ) ; y f (= số Dạng toán Biết đặc điểm hàm số BBT, BBT đạo hàm hàm f ( x ) , tìm ( ) cực trị= hàm y f= ( f ( x ) ) , y f f ( f ( x ) ) toán chứa tham số Biết đặc điểm hàm số BBT, đồ thị, đạo hàm hàm f ( x ) , tìm cực trị = hàm y ln= ( f ( x ) ) , y e f ( x) ,sin f ( x ) , cos f ( x ) tốn khơng chứa tham số Dạng tốn Biết đặc điểm hàm số BBT, đồ thị, đạo hàm hàm f ( x ) , tìm cực trị = hàm y ln= ( f ( x ) ) , y e f ( x) ,sin f ( x ) , cos f ( x ) toán chứa tham số Dạng toán Các dạng khác với dạng đưa ra… https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐNVD – VDC Dạng tốn NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số DẠNG Các toán cực trị hàm ẩn bậc (dành cho khối 10) Câu 1:   Cho hàm số f x   ax  bx  c đồ thị hình bên Hỏi hàm số g  f x có điểm cực NHĨM TOÁN VD – VDC trị? y O x 1 A B C D Lời giải Chọn C Xét hàm số g = f ( x ) Đặt t = x Khi với t ≥ , hàm g = f (t ) có đồ thị dạng đồ thị hàm số f ( x) bên phải trục Oy Hàm số g = f ( x ) hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng Từ ta có đồ thị hàm g ( t ) sau: NHĨM TỐNVD – VDC Câu 2: Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có điểm cực trị Cho parabol y = f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ 2, biết hàm số y = f ( x) nghịch biến khoảng ( x0 ; +∞) khoảng cách từ giao điểm parabol với trục tung đến điểm O Tìm số điểm cực trị hàm số = y A B C Lời giải f ( x +1 ) D Chọn D Do hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( x0 ; + ∞ ) nên a < https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Biết y = f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ nên f ( x) = a( x − 1)( x − 2) = a( x − 3x + 2) = ax − 3ax + 2a NHĨM TỐN VD – VDC a = Parabol cắt trục tung điểm có tung độ 2a , ta có 2a= ⇔   a = −2 Do hàm số y = f ( x) nghịch biến khoảng ( x0 ; +∞) nên a = −2 f ( x) = −2 x + x − Vậy parabol y = Đồ thị hàm số = y f ( x + ) (hình vẽ phần tơ đậm) có cách + Vẽ đồ thị y f ( x + ) ( C1 ) = + Giữ nguyên phần đồ thị ( C1 ) trục hoành lấy đối xứng phần ( C1 ) trục hoành f ( x) = −2 x + x − qua trục tung sau tịnh tiến Để vẽ ( C1 ) lấy đối xứng phần đồ thị y = sáng trái đơn vị y -1 O x NHĨM TỐNVD – VDC Từ đồ thị suy hàm số có điểm cực trị Câu 3: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ ) có đồ thị parabol hình vẽ Tìm m để giá trị lớn y hàm số = f ( x ) + m − [ −2;1] đạt giá trị nhỏ A m = B m = C m = D m = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Lời giải Chọn C ( x + 1) + m − Đặt g ( x ) = ( x + 1) + m − NHĨM TỐN VD – VDC Từ giả thiết suy y = Với ∀x ∈ [ −2;1] ta có g ( x ) ∈ [ m − 5; m − 1] Giá trị lớn hàm số ymax= max { m − , m − } + Trường hợp 1: m − ≥ m − ⇔ ( m − ) ≥ ( m − 1) ⇔ m ≤ 2 Khi ymax = m − = − m ≥ ⇒ GTLN hàm số đạt GTNN 2, m = + Trường hợp 2: m − ≥ m − ⇔ m ≥ Khi ymax = m − = m − ≥ ⇒ GTLN hàm số đạt GTNN 2, m = Vậy m = DẠNG Dạng tốn tìm biểu thức cụ thể hàm số y = f ( x ) tốn khơng chứa tham số Câu 1: Cho hàm số y = ax3 + bx + cx + d Biết đồ thị hàm số có điểm cực trị M (1; − 1) nhận I ( 0;1) làm tâm đối xứng Giá trị y ( ) B y ( ) = −2 C y ( ) = D y ( ) = Lời giải Chọn D Ta có: y′ = 3ax + 2bx + c, y '' = 6ax + 2b Do đồ thị hàm số có điểm cực trị M (1; − 1) nhận I ( 0;1) làm tâm đối xứng nên:  y (1) = −1 a + b + c + d =−1 a =1  3a += b 2b + c =  y′ (1) =   ⇔ ⇔   y '' ( ) = 2b = c = −3 y =1 d 1= d =  ( ) NHĨM TỐNVD – VDC A y ( ) = Vậy: y = x − x + Suy y ( ) = 23 − 3.2 + = Câu 2: Đồ thị hàm số y = ax3 + bx + cx + d có hai điểm cực trị A (1; ) B ( −1;6 ) Giá trị P = a + b + c + d bao nhiêu? A P = 18 B P = 26 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C P = 15 D P = 23 Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Lời giải Chọn B Vì A (1; ) B ( −1;6 ) điểm cực trị nên  y ' (1) = 2b + c a + 2c = 3a + = 6= a    b c+d b+d =  y (1) = a + b += =  ⇔ ⇔ ⇔   y ' ( −1) = 3a − 2b + c =0 2a + 2c =−4 c =−3  y −1 = c+d = = −a + b −= 4b d  ( ) Câu 3: Vậy P = a + b + c + d = 26 Cho hàm số y  f ( x)  ax3  bx  cx  d (a  0) xác định  thỏa mãn f (2)  Đồ NHĨM TỐN VD – VDC Tập xác định D =  Ta có y ' = 3ax + 2bx + c = y '' 6ax + 2b thị hàm số f '( x) cho hình bên NHĨM TỐNVD – VDC Tìm giá trị cực tiểu yCT hàm số f ( x) A yCT  3 B yCT  C yCT  1 D yCT  2 Lời giải Chọn A Vì đồ thị hàm f '( x) cắt Ox hai điểm phân biệt có hồnh độ x  1 x  nên f '( x)  k ( x 1)( x  1) với k số thực khác Vì đồ thị hàm f '( x) qua điểm (0; 3) nên ta có 3  k  k  Suy f '( x)  x  Mà f '( x)  3ax  2bx  c nên ta có a  1, b  0, c  3 Từ f ( x)  x3  x  d Mặt khác f (2)  nên d  1 Suy f ( x)  x3  x 1  x  1 Ta có f '( x)     x  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Bảng biến thiên Câu 4: ( )  x − 15 x f ′ ( x ) + (10 − x ) f ( x ) =  Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  , thỏa mãn  với 2 ′ f x + f x >       ( )   ( )  NHĨM TỐN VD – VDC Vậy yCT  3 ∀x ≠ f (1) = −4 Tổng cực đại cực tiểu hàm số y = f ( x ) C −2 B 3 A −3 D Lời giải Chọn A 2 ⇒ f '( x) ≠ Từ  f ′ ( x )  +  f ( x )  > với ∀x ≠ ta suy ra: Với x ≠ ta có f ( x ) = ( ) Do từ x − 15 x f ′ ( x ) + (10 − x ) f ( x ) = với ∀x ≠ , ta suy ra: ( ) Với x ≠ ta có f ( x ) = ⇔ x − 15 x f ′ ( x ) = ⇔ x = Suy ( ) x−2 x) ∫ f ( x ) dx = ∫ x ( x − 5)dx ⇔ ln f (= f′ x NHĨM TỐNVD – VDC f ′( x) x − Với kết ta được= ∀x ∉ {0;5} f ( x ) x ( x − 5) ln x + ln x − + C ⇔ f ( x ) =eC ( x − ) x Do f (1) = −4 nên C = f ( x= ) ( x − 5) x với ∀x ∉ {0;5} Vì f ( x ) liên tục  nên f ( x ) liên tục tại= x 0,= x suy f= ( ) f= ( 5) Hay f ( x= ) ( x − 5) x Khi f ′ ( x ) = với ∀x ∈  x−2 3x Ta có f ′ ( x ) = ⇔ x = , f ′ ( x ) không xác định x = Bảng biến thiên f ( x ) : https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số −3 Từ suy yCD = f ( ) = 0; yCT = f ( ) = −3 Vậy yCD + yCT = DẠNG Dạng tốn tìm biểu thức cụ thể hàm số y = f ( x ) Câu x − 3mx + 4m3 có điểm Tổng tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số y = cực đại cực tiểu đối xứng với qua đường phân giác góc phần tư thứ A B C D Lời giải Chọn C x = Ta có: = y′ x − 6mx , y′= ⇔   x = 2m Để hàm số có cực đại cực tiểu m ≠ NHĨM TỐN VD – VDC tốn chứa tham số Khi điểm cực trị đồ thị hàm số là: A ( 0; 4m3 ) , B ( 2m ;0 ) Ta có I ( m ; 2m3 ) trung điểm đoạn thẳng AB Đường phân giác góc phần tư thứ d : x − y = Do để điểm cực đại cực tiểu đối xứng với qua d thì: 2m − 4m3 = ⇔ − 2m =0 ⇔ m =±  m − 2m = Vậy tổng tất giá trị tham số thực m Câu Cho hàm số y = x − 2m x + m có đồ thị ( C ) Để đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị A , B , C cho bốn điểm A , B , C , O bốn đỉnh hình thoi ( O gốc tọa độ) giá trị tham số m B m = ± Chọn B C m = ± D m = Lời giải NHĨM TỐNVD – VDC A m = − x = Ta có = y′ x3 − 4m x ; y′= ⇔  x = m Điều kiện để hàm số có ba cực trị y′ = có ba nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ x = Khi đó: y′= ⇔   x = ±m Tọa độ điểm cực trị A ( 0; m ) , B ( m; −m + m ) , C ( m; −m + m ) Ta có OA ⊥ BC , nên bốn điểm A , B , C , O bốn đỉnh hình thoi điều kiện cần đủ OA BC cắt trung điểm đoạn 0 =  x A + xO = xB + xC ⇔ ⇔ ( m4 + m2 ) + ( −m4 + m2 )  y A + yO = yB + yC m + =− ⇔ 2m − m = ⇔ m =⇔ m = ± 2 Vậy m = ± https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng toán hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để điểm M ( 2m3 ; m ) với hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x − ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + tạo thành tam giác có diện tích nhỏ A m = −1 Chọn D Tập xác định: D =  y′ = x − ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) D m = NHĨM TỐN VD – VDC C m = Lời giải B m =  x= m ⇒ y= 2m3 + 3m + y′ = ⇔ x − ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) = 0⇔  x = m + ⇒ y = 2m + 3m Hàm số có cực trị: ∆′ > ⇔ ( 2m + 1) − 36m ( m + 1) > ⇔ > 0, ∀x ∈  Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị hàm số  ⇒ A ( m; 2m3 + 3m + 1) , B ( m + 1; 2m3 + 3m ) ⇒ AB =(1; − 1) ⇒ AB = Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm cực trị: x + y − 2m3 − 3m − m − =0 = d (M , ∆) 2m3 + m − 2m3 − 3m − m − 3m + = 2 1 3m + 3m + S ∆MAB= d ( M , ∆ ) AB= 2= 2 2 S = ⇔ m = Câu x − 2mx + m ( C ) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị đồng thời ba Cho hàm số y = x = y′= ⇔  x = m Hàm số có điểm cực trị ⇔ y′ = có nghiệm phân biệt ⇔ m > Các điểm cực trị đồ thị A ( 0; m ) , B = AC = Ta có: AB ( ) ( m ; − m2 + m , C − m ; − m2 + m ) m + m , BC = m Gọi I trung điểm BC Suy I ( 0; −m + m ) AI = m = S  AB + BC + CA  m = AI BC   r ⇔ m = 2   (2 ) m + m + m m = ( loai ) ⇔ m m − m3 + − = 0⇔  m + 1= m − ( ) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐNVD – VDC điểm cực trị đồ thị hàm số tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp A m = B m = C m = −2 D m = Lời giải Chọn D y′ x − 4mx Ta có = NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Câu x − mx + m Gọi ma Cho ( P ) đường Parabol qua ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = giá trị để ( P ) qua B A ( ) 10; 15 ( ) 2; Hỏi ma thuộc khoảng đây? B ( − 2; ) C Để hàm số có ba cực trị ab < ⇔ − Gọi parabol qua điểm A ( 0; m ) , B D ( − 8; ) Lời giải Chọn B y=′ x3 − 2= mx x ( x − 2m )  x 0,= = y m2  y′ = ⇔= 2m= ,y x  − 2m , y =  x = ( − 5; ) m < ⇔ m > ( ) ( ) 2m ; , C − 2m ; có dạng: y = ax + bx + c ( ) ( ) + ma2 ⇔ ma2 − ma − = Vậy ma = NHĨM TỐNVD – VDC m  2ma + 2mb + c = a = −   m  Ta có: 2ma − 2mb + c = hay y = − x + m2 ⇔ b = c = m c = m     m Theo yêu cầu toán parabol qua B 2; nên: = − a 2  ma = −1 ⇔  ma = Câu Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y = x8 + ( m − 3) x − ( m − ) x + đạt cực tiểu x = ? A B C Lời giải Chọn C D Vơ số Ta có y = x8 + ( m − 3) x − ( m − ) x + ⇒ y′ = x + ( m − 3) x − ( m − ) x3 ( ) y′ = ⇔ x x + ( m − 3) x − ( m − ) = x = ⇔  g ( x ) = x + ( m − 3) x − ( m − ) = https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc NHĨM TỐN VD – VDC  m ≥1  m − ≥   m = ( loai ) ⇔ ⇔ ⇔m=   = − m nhan ( ) m + 1= m − 2m +    m = nhan ( )  Trang NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Xét hàm số g ( x ) = x + ( m − 3) x − ( m − ) có g ′ ( x ) = 32 x3 + ( m − 3) Ta thấy g ′ ( x ) = có nghiệm nên g ( x ) = có tối đa hai nghiệm Với m = x = nghiệm bội g ( x ) Khi x = nghiệm bội y′ y′ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x = nên x = điểm cực tiểu hàm số Vậy m = thỏa ycbt x =  Với m = −3 g ( x ) = x − 30 x =⇔  x = 15  Bảng biến thiên NHĨM TỐN VD – VDC +) TH1: Nếu g ( x ) = có nghiệm x = ⇒ m = m = −3 Dựa vào BBT x = không điểm cực tiểu hàm số Vậy m = −3 không thỏa ycbt +) TH2: g ( ) ≠ ⇔ m ≠ ±3 Để hàm số đạt cực tiểu x = ⇔ g ( ) > ⇔ m − < ⇔ −3 < m < Do m ∈  nên m ∈ {−2; −1;0;1; 2} Vậy hai trường hợp ta giá trị ngun m thỏa ycbt NHĨM TỐNVD – VDC DẠNG Biết đặc điểm hàm số đồ thị, BBT, đạo hàm = f ( x ) ) , y f ( f ( f ( x ) ) ) hàm f ( x ) , tìm cực trị hàm y f= (ϕ ( x ) ) ; y f (= tốn khơng chứa tham số Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục  có hai điểm cực trị x = −1, x = 1, có đồ thị hình vẽ sau: Hỏi hàm số y f ( x − x + 1) + 2019 có điểm cực trị? = A B https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc C D Trang 10 ... VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM ẨN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ PHẦN 2: BIẾT BIỂU THỨC CỦA HÀM SỐ y = f ' ( x ) Dạng toán Biết biểu thức hàm số y =... VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số DẠNG Các toán cực trị hàm ẩn bậc (dành cho khối 10) Câu 1:   Cho hàm số f x   ax  bx  c đồ thị hình bên Hỏi hàm số g  f x có điểm cực. .. NHĨM TỐN VD–VDC Các dạng tốn hàm ẩn liên quan đến cực trị hàm số Câu 7: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục  đồ thị hàm số y = f ( x) hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số y = 2019 A 13