bao gồm đề thi trong nhiều năm trở lại đây, giúp các em học sinh chuẩn bị sẵn sàng cho các kì thi quan trọng như thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố vàbabằng nhiều phương pháp giải nhanh. Mời các em cùng tham khảo.
TOÁN HỌC LỚP CHUYÊN ĐỀ I: SỐ HỮU TỈ I ÔN LẠI CÁC TẬP HỢP - Số tự nhiên: N - Số nguyên: Z -2 -1 - Số hữu tỉ: Q -1/2 - Số vô tỉ: I 2 3/2 0 2 - Số thực: I+Q=R II Số hữu tỉ: Kiến thức cần nhớ: - Số hữu tỉ có dạng b≠0; số hữu tỉ dương a,b dấu, số hữu tỉ âm a,b trái dấu Số số hữu tỉ dương, khơng phải số hữu tỉ âm - Có thể chia số hữu tỉ theo hai chách: Cách 1:Số thập phân vơ hạn tuần hồn (Ví dụ: ) số thập phân hữu hạn (Ví dụ: ) Cách 2: Số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương số - Để cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, ta thực phân số: Cộng trừ số hữu tỉ - Nhân, chia số hữu tỉ Qui tắc Đưa mẫu, cộng trừ tử số giữ nguyên mẫu - Nhân tử với tử, mẫu với mẫu Phép chia phép nhân nghịch đảo Nghịch đảo x 1/x Tính chất a) Tính chất giao hốn: x + y = y +x; x y = y z b) Tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+( y +z) (x.y)z = x(y.z) c) Tính chất cộng với số 0: x + = x; x.y=y.x ( t/c giao hoán) (x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp ) x.1=1.x=x x =0 x(y+z)=xy +xz (t/c phân phối phép nhân phép cộng Bổ sung Ta có tính chất phân phối phép chia phép cộng phép trừ, nghĩa là: ; ; x.y=0 suy x=0 y=0 -(x.y) = (-x).y = x.(-y) Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang TỐN HỌC LỚP - Các kí hiệu: ∈ : thuộc , ∉ : không thuộc , ⊂ : tập Các dạng toán: Dạng 1: Thực phép tính - Viết hai số hữu tỉ dạng phân số - áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính - Rút gọn kết (nếu có thể) Chỉ áp dụng tính chất: a.b + a.c = a(b+c) a : c + b: c = (a+b):c Không áp dụng: a : b + a : c = a: (b+c) Ví dụ: Bài 1: a) − −1 + 26 b) 11 − 30 − 17 34 c) d) 1 1 17 24 e) −5 : ; 4 5 f) : − Bài số 2: Thực phép tính: a) −1 + .11 − 6 1 3 − 4. + 2 4 b) −1 − − − 24 ÷ c) d) − ÷− − − − ÷ 5 10 Bài số 3: Tính hợp lí: −2 −16 ÷ + ÷ 11 11 a) 13 ÷: − − + ÷: 14 21 b) − c) 1 1 : − ÷+ : − ÷ 7 7 Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trục số: -Phương pháp: Nếu số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài đơn vị làm b phần nhau, lấy phía chiều dương trục Ox a phần , ta vị trí số Ví dụ: biểu diễn số : ta chia khoảng có độ dài đơn vị thành phần nhau, lấy phần ta phân số biểu diễn số Hình vẽ: Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang TOÁN HỌC Nếu LỚP số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài đơn vị làm b phần nhau, lấy phía chiều âm trục Ox a phần , ta vị trí số BÀI TẬP Biểu diễn số hữu tỉ sau trục số: a Dạng 3: So sánh số hữu tỉ Phương pháp: * Đưa phân số có mẫu số dương so sánh tử số * So sánh với số 0, so sánh với số 1, với -1… * Dựa vào phần bù * So sánh với phân số trung gian( phân số có tử số phân số mẫu số phân số kia) BÀI TẬP Bài So sánh số hữu tỉ sau: a) x= −25 444 y = ; 35 −777 b) x = −2 110 17 y = c) x = y = 0,75 −50 20 Bài So sánh số hữu tỉ sau: a) −7 ; 2010 19 b) −3737 −37 ; 4141 41 c) 497 −2345 −499 2341 d) 2 2000 2001 2001 2002 19 31 và f) ; g) ; h) ; k) 2001 2002 2000 2001 60 90 Dạng 4: Tìm điều kiện để số số hữu tỉ dương, âm, số (không dương không âm) Phương pháp: e) Dựa vào t/c số hữu tỉ dương a,b dấu, số hữu tỉ âm a,b trái dấu, a=0 Ví dụ: Cho số hữu tỉ x = a) x số dương HD: m− 2011 Với giá trị m : 2013 b) x số âm c) x không số dương khơng số âm a Để x>0 , suy m-2011>0 ( 2013>0), suy m>2011 b Để x 23 x+4 x -1 -5 x+4 -3 Với biểu thức có dạng ax+bxy+cy=d ta làm sau: - Nhóm hạng tử chứa xy với x (hoặc y) - Đặt nhân tử chung phân tích hạng tử lại theo hạng tử ngoặc để đưa dạng tích Ví dụ: Tìm x, y ngun cho: xy+3y-3x=-1 Giải: y(x+3)-3x+1=0 (Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y đặt nhân tử chung y ) y(x+3)-3(x+3)+10=0 ( phân tích -3x+1=-3x-9+10=-3(x+3)+10 ) (x+3)(y-3)=-10 Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang TOÁN HỌC LỚP Lập bảng: x+3 10 -1 -10 -5 -2 y+3 10 -10 -1 -2 -5 X -2 -4 -13 -1 -8 -5 Y -2 -13 -4 -1 -5 -8 Với biểu thức có dạng: Ví dụ: ta nhân quy đồng đưa dạng Ax+By+Cxy+D=0 (nhân quy đồng với mẫu số chung 3xy) 3x+3y-xy=0 ( toán quay dạng ax+by+cxy+d=0) x(3-y)-3(3-y)+9=0 (x-3)(3-y)=-9 Lập bảng: x-3 -9 -3 3-y x -9 -6 -3 y 12 BÀI TẬP Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x = −101 số nguyên a+ Bài 2: Tìm số nguyên x để số hữu tỉ t = Bài 3: Chứng tỏ số hữu tỉ x = 3x − số nguyên x−5 2m+ phân số tối giản, với m ∈ N 14m+ 62 Bài 4: Tìm x để biểu thức sau nguyên A= ; B= ; C= ; D= ; E= Bài 5: Tìm số x,y nguyên thỏa mãn: a, xy+2x+y=11 b, 9xy-6x+3y=6 c, 2xy+2x-y=8 d, xy-2x+4y=9 Dạng 7: Các tốn tìm x Phương pháp: - Quy đồng khử mẫu số - Chuyển số hạng chứa x vế, số hạng tự vế ( chuyển vế đổi dấu) tìm x Biên soạn giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang TOÁN HỌC LỚP Chú ý: Một tích thừa số không - Chú ý toán nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng bình phương 0, tốn tìm x có quy luật BÀI TẬP Bài Tìm x, biết: 3 a) x − ÷ = ; 21 2 15 c) x: − ÷ = − ; 16 5 28 b) x = ; 9 d) −4 :x = − Bài Tìm x, biết: a) x+ = ; 10 b) 3 x− = Bài Tìm x, biết: a) −33 x+ x = ; 25 Bài 4: a) 2 −3 : x÷= ; b) x − ÷ + 3 x+ x+ x+ x+ + = + 65 63 61 59 b) x + x + x + 10 x + 12 + = + 1999 1997 1995 1993 e) x − 29 x − 27 x − 25 x − 23 x − 21 x − 19 + + + + + = 1970 1972 1974 1976 1978 1980 = x+ x+ x+ + + = −3 2005 2004 2003 x + 29 x + 27 x + 17 x + 15 − = − 31 33 43 45 c) d) c) 1909 − x 1907 − x 1905− x 1903− x + + + + 4= 91 93 95 91 x − 1970 x − 1972 x − 1974 x − 1976 x − 1978 x − 1980 + + + + + 29 27 25 23 21 19 HD: => => x= -2010 Bài 5:Giải phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) a) x+ x+ x+ x+ + = + 35 33 31 29 (HD: Cộng thêm vào hạng tử) b) x − 10 x − x − x − x − + + + + = 1994 1996 1998 2000 2002 (HD: Trừ vào hạng tử) = x − 2002 x − 2000 x − 1998 x − 1996 x − 1994 + + + + 10 c) x − 1991 x − 1993 x − 1995 x − 1997 x − 1999 + + + + = = x− x− x− x− x−1 + + + + 1991 1993 1995 1997 1999 Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ (HD: Trừ vào hạng tử) nguồn tham khảo:Internet Trang TOÁN HỌC d) LỚP x − 85 x − 74 x − 67 x − 64 + + + = 10 15 13 11 (Chú ý: 10 = 1+ + 3+ ) x − 2x − 13 3x − 15 4x − 27 − = − 13 15 27 29 Dạng 8: Các tốn tìm x bất phương trình: Phương pháp: e) (HD: Thêm bớt vào hạng tử) - Nếu a.b>0 ; - Nếu a.b≥0 - Nếu a.b b suy suy => hoặc =>x>3 x (không tồn x) => -5 ACD ⇒ BC > AD ⇒ AM < BC c BAC < ACD (BAC < 900; BAC + ACD = 1800) nªn ACD > 900 ⇒ BAC < ACD ⇒ BC < AD ⇒ AM > Tom l¹i: NÕu A = 900 AM = Nêu A > 900 AM < BC BC BC NÕu A < 900 th× AM > BC Bài 12: Trong trờng hợp sau trờng hợp ba cạnh tam giác a 5cm; 10cm; 12cm b 1m; 2m; 3,3m c 1,2m; 1m; 2,2m Giải: a Đúng vì: + 10 > 12 b Sai v×: + < 3,3 Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang 161 TỐN HỌC LỚP c Sai v×: 2,2 = 1,2 + Bài 13: Cho tam giác ABC có AB = 4cm; AC = 1cm Hãy tìm độ dài cạnh BC biết độ dài số nguyên (cm) Giải: A Theo bất đẳng thức tam giác AB - AC < BC < AB + AC ⇒ - < BC < + C B < BC < Do độ dài cạnh BC số nguyên (cm) nên BC = 4cm Bµi 14: a TÝnh chu vi cđa mét tam giác cân có hai cạnh 4m 9m b Cho tam giác ABC điểm D nằn B C Chøng minh r»ng AD nhá h¬n nưa chu vi tam giác ABC Giải: a.Cạnh 4m cạnh bên cạnh 4m cạnh bên cạnh đáy lớn tổng hai cạnh (9 > + 4) trái với bất đẳng thức tam giác Vậy cạnh 4m cạnh đáy thoả mãn < + A Chu vi tam giác là: + + = 22m b XÐt tam gi¸c ABD cã: AD < AB + BD (1) XÐt tam gi¸c ACD cã AD < AC + DC (2) B D C Céng tõng vÕ cđa (1) vµ (2) 2AD < AB + AC + (BD + DC) Suy AD < AB + AC + BC Bµi 15: Độ dài hai cạnh tam giác 7cm, 2cm Tính độ dài cạnh lại biết số đo theo xentimét số tự nhiên lẻ Giải: Gọi độ dài cạnh lại x (cm) Theo bất đẳng thức tam giác ta có: - < x < + tøc lµ < x < Do x số tự nhiên lẻ nên x = Cạnh l¹i b»ng 7cm Biên soạn giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang 162 TOÁN HỌC LỚP Bài 16: Cho tam giác ABC trung tuyến Am gãc B > C H·y so s¸nh hai gãc AMB AMC A Giải: Trong tam giác ABc B > C nên AC > AB Hai tam giác AMB AMC có AM cạnh chung MB = MC nhng AC > AB B M C Nªn AMC > AMB Các đờng đồng quy tam giác Tớnh cht ba đường trung tuyến tam giác Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến tam giác ABC Đôi đường thẳng AM gọi đường trung tuyến tam giác ABC Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến Tính chất: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm (điểm gọi trọng tâm) Điểm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên Nếu tam giác có hai đường trung tuyến tam giác cân Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy: G trọng tâm tam giác ABC Tính chất tia phân giác góc Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc đó.Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc Tập hợp điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc tia phân giác góc Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang 163 TOÁN HỌC LỚP Oz phân giác => MA = MB Tính chất ba đường phân giác tam giác => M Oz Trong tam giác ABC, tia phân giác góc A cắt cạnh BC điểm M, đoạn thẳng AM đường phân giác tam giác ABC(đôi ta gọi đường thẳng AM đường phân giác tam giác) LỚP Tính chất: Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy Tính chất ba đường phân giác tam giác: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác Nếu tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường phân giác tam giác tam giác cân Tính chất đường trung trực đoạn thẳng Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng Biên soạn giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang 164 TOÁN HỌC LỚP => AB = Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng Tính chất ba đường trung trực tam giác Trong tam giác, đường trung trực cạnh gọi đường trung trực tam giác Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh Tính chất ba đường trung trực tam giác: Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác O giao điểm đường trung trực OA = OB = OC LỚP Nếu tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường trung trực ứng với cạnh tam giác tam giác cân Tính chất ba đường cao tam giác Đường cao tam giác: Trong tam giác, đoạn vng góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đường cao tam giác Đơi ta gọi đường thẳng AI đường cao tam giác Tính chất ba đường cao tam giác: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang 165 TOÁN HỌC LỚP Lưu ý: Trực tâm tam giác nhọn nằm tam giác Trực tâm tam giác vng trùng với đỉnh góc vng trực tâm tam giác tù nằm bên tam giác Tính chất tam giác cân: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh Nhận xét: Trong tam giác,nếu hai bốn loại đường( đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đường trung trực ứng với cạnh đối diện đỉnh này) trùng tam giác tam giác cân Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách ba đỉnh, điểm nằm tam giác cách ba cạnh bốn điểm trùng Bµi tËp: Bµi 1: Gäi AM lµ trung tuyến tam giác ABC, A/M/ đờng trung tuyến cđa tam gi¸c A/B/C/ biÕt AM = A/M/; AB = A/B/; BC = B/C/ Chøng minh r»ng hai tam gi¸c ABC A/B/C/ A Giải: Xét ABC ∆ A/B/C/ cã: AB = A/B/ (gt); BM = B/M/ B M C A/ (Cã AM lµ trung tun cđa BC vµ A/M/ lµ trung tun cđa B/C/) AM = A/M/ (gt) ∆ABM = ∆ A/B/M/ (c.c.c) Suy B = B/ B/ M/ C/ V× cã AB = A/B/; BC = B/C/ (gt) B = B/ (c/m trªn) Suy ra: ABC = A/B/C/ Bài 2: Cho tam giác ABC (A = 90 0) trung tuyÕn AM, tia ®èi cđa tia MA lÊy ®iĨm D cho MD = MA a TÝnh sè ®o ABM b Chøng minh ∆ABC = BAD c So sánh: AM BC Giải: a Xét hai tam giác AMC DMB có: Biờn son giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet B D Trang 166 TOÁN HỌC LỚP MA = MD; MC = MB (gt) M1 = M2 (®èi ®Ønh) M Suy ∆AMC = ∆DMB (c.g.c) ⇒ MCA = MBD (so le trong) Suy ra: BD // AC mµ BA ⊥ AC (A = 900) A C ⇒ BA ⊥ BD ABD = 900 b Hai tam giác vuông ABC vµ BAD cã: AB = BD (do ∆AMC = ∆DMB c/m trªn) AB chung nªn ∆ABC = ∆BAD (hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông nhau) c ∆ABC = ∆BAD ⇒ BC = AD mµ AM = AD (gt) Suy AM = BC Bài 3: Cho tam giác ABC có AB < AC; BM CN hai đờng trung tuyến cđa tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng CN > BM Giải: Gọi G giao điểm BM CN Xét ABC có BM CN hai đờng trung tuyến cắt G Do đó: G tâm tam giác ABC Suy Gb = 2 BM; GC = CN 3 VÏ ®êng trung tuyÕn AI cña ∆ABC A Ta cã: A; G; I thẳng hàng Xét AIB AIC có: AI cạnh chung, BI = IC G AB < AC (gt) ⇒ AIB < AIC XÐt ∆GIB vµ ∆GIC cã B I C GI c¹nh chung; BI = IC AIC > AIB ⇒ GC > GB ⇒ CN > BM Bµi 4: Cho tam giác ABC có BM CN hai đờng trung tuyÕn vµ CN > BM Chøng minh r»ng AB < AC Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang 167 TỐN HỌC LỚP Gi¶i: A Gọi G giao điểm BM CN ABC có: BM CN hai đờng trung tuyến N M Do đó: G tâm tam gi¸c ABC Suy GB = G 2 BM; GC = CN 3 VÏ ®êng trung tuyÕn AI tam giác ABC B I C I ®i qua G (TÝnh chÊt ba ®êng trung tuyÕn) Ta cã: CN > BM mµ GB = 2 BM; GC = CN nªn GB < GC 3 XÐt ∆GIB = ∆GIC cã: GI c¹nh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC XÐt ∆AIB AIC có: AI cạnh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC Bài 5: Trên hình bên có AC tia phân giác góc BAD vµ CB = CD Chøng minh: ABC = ADC B Gi¶i: H VÏ CH ⊥ AB (H ∈ AD) A C CK ⊥ AD (K ∈ AD) C thuéc tia phân giác BAD K D Do đó: CH = CK Xét CHB (CHB = 900 ) Và tam giác CKD (CKD = 900) Cã CB = CD (gt); CH = CK (c/m trên) Do đó: CHB = CKD (cạnh huyền - gãc vu«ng) ⇒ HBC = KDC ⇒ ABC = ADC Bài 6: Cho tam giác ABC kẻ Ax phân giác BAC C kẻ đờng thẳng song song với tia Ax, cắt tiâ đối tia AB D Chøng minh: xAB = ACD = ADC Gi¶i: D Vì Ax tia phân giác góc BAC Nên xAB = xAC (1) Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang 168 TOÁN HỌC LỚP Ax // CD bị cắt đờng thẳng AC A hai gãc xAC vµ ACD lµ gãc so le nªn xAC = ACD (2) x hai gãc xAB ADC góc đồng vị nên B C xAB = ADC (3) So s¸nh (1); (2); (3) ta cã: xAB = ACD = ADC Bµi 7: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Bx góc B, Bx cắt tia AC M Từ M kẻ đờng thẳng song song với AB, cắt BC N Tõ N kỴ tia NY // Bx Chøng minh: B a xAB = BMN b Tia Ny lµ tia phân giác góc MNC N Giải: a.Trong tam giác ABC đỉnh B có: ABx = xBC (vì Bx tia phân giác góc B) A M C BMN = ABx (2 gãc so le v× MN // BA) VËy xBC = BMN x y b BMN = MNy (2 gãc so le v× Ny // Bx) xBC = yNC (2 góc đồng vị Ny // Bx) VËy MNy = yNC mµ tia Ny lµ tia nằm hai tia NM NC Do đó: Ny tia phân giác MNC Bài 8: Cho tam giác ABC Gọi I giao điểm hai tia phân giác hai góc A B Qua I vẽ đờng thẳng song song với BC cắt AB M, cắt AC N Chứng minh rằng: MN = BM + CN Giải: Ba phân giác củam tam giác qua điểm nên CI tia phân giác góc C Vì MN // BC nên C1 = I1 (2 gãc so le trong) A C1 = C2 nên C2 = I2 Do đó: NIC cân NC = NI (1) M N Chứng minh tơng tù ta cã: MB = MI (2) Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang 169 TỐN HỌC LỚP Tõ (1) vµ (2) ta cã: B C MI + IM = BM + CN hay MN = BM + CN Bài 9: Cho tam giác ABC (A = 900) đờng trung trực cạnh AB, AC cắt D Chứng minh D trung điểm cạnh BC Giải: Vì D giao điểm đờng trung trực cạnh AB AC nên tam giác A DAB DAC cân góc đáy tam giác DBA = DAB DAC = DCA Theo tính chất góc tam giác ta cã: B D C ADB = DAC + DCA ADC = DAB + DBA Do ®ã: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 180 Tõ ®ã suy ba ®iĨm B, D, C thẳng hàng Hơn DB = DC nên D trung điểm BC Bài 10: Cho hai điểm A D nằm đờng trung trực AI đoạn thẳng BC D nằm hai điểm A I, I điểm nằm BC Chứng minh: a AD tia phân giác góc BAC b ABD = ACD A Giải: a Xét hai tam giác ABI ACI chúng có: AI cạnh chung AIC = AIB = 1v IB = IC (gt cho AI đờng trung trực đoạn thẳng BC) B I C Vậy ∆ABI = ∆ACI (c.g.c) ⇒ BAI = CAI Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang 170 TON HC LP Mặt khác I trung điểm cạnh BC nên tia AI nằm hai tia AB AC Suy ra: AD tia phân gi¸c cđa gãc BAC b XÐt hai tam gi¸c ABD ACD chúng có: AD cạnh chung Cạnh AB = AC (vì AI đờng trung trực đoạn thẳng BC) BAI = CAI (c/m trªn) VËy ∆ABD = ∆ACD (c.g.c) ABD = ACD (cặp góc tơng ứng) Bài 11: Hai điểm M N nằm đờng trung trực đoạn thẳng AB, N trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia đối tia NM cxác ®Þnh M/ cho MN/ = NM a Chøng minh: AB ssờng trung trực đoạn thẳng MM/ b M/A = MB = M/B = MA Gi¶i: a Ta có: AB MM/ (vì MN đờng trung trực đoạn M thẳng AB nên MN AB ) Mặt khác N trung điểm MM/ (vì M/ nằm tia đối tia NM NM = NM/) A N B Vậy AB đờng trung trực đoạn MM/ b Theo gả thiết ta có: MM/ đờng trung trực đoạn thẳng AB nên MA = MB; M/B = M/A M/ Ta l¹i cã: AB đờng trung trực đoạn thẳng MM/ nên MA = M/B Tõ ®ã suy ra: M/A = MB = M/B = MV Bài 12: Cho tam giác ABC có AB < AC Xác định điểm D cạnh AC cho : DA + DB = AC Gi¶i: A Vẽ đờng trung trực đoạn thẳng BC D cắt cạnh AC D D điểm cần xác định ThËt vËy Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ B nguồn tham khảo:Internet C Trang 171 TOÁN HỌC LỚP Ta có: DB = DC (vì D thuộc đờng trung trực đoạn thẳng BC) Do đó: DA + DB = DA + DC Mµ AC = DA + DC (vì D nằm A C) Suy ra: DA + DB = AC Bµi 13: a Gäi AH BK đờng cao tam giác ABc Chøng minh r»ng CKB = CAH b Cho tam gi¸c cân ABC (AB = AC), AH BK ®êng cao Chøng minh r»ng CBK = BAH Gi¶i: a Trong tam giác AHC BKC có: K CBK CAH góc nhọn Và có cạnh tơng ứng vuông góc với A CB AH BK ⊥ CA VËy CBK = CAH b Trong tam giác cân cho đờng cao AH B H C đờng phân giác góc A A Do đó: BAH = CAH Mặt khác: CAH CBK hai góc nhọn K có cạnh tơng ứng vuông góc nên CAH = CBK Nh BAH = CBK B H C Bài 14: Hai đờng cao AH BK tam giác nhọn ABC cắt t¹i D a TÝnh HDK C = 500 b Chứng minh DA = DB tam giác ABC tam giác cân Giải: A Vì hai góc C ADK nhọn có Biờn soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet K Trang 172 TON HC LP cạnh tơng ứng vuông góc nên C = ADK Nhng HDK kề bù với ADK nênhai góc C HDK bù Nh vËy HDK = 1800 - C = 1300 b NÕu DA = DB th× DAB = DBA B H C Do hai tam giác vuông HAB KBA Vì có cạnh huyền có mét gãc nhän b»ng Tõ ®ã suy KAB = HBA hai góc kề với đáy AB tam giác ABC Suy tam giác ABC cân với CA = CB Bài 15: Cho tam giác ABC cân A phân giác AM Kẻ đờng cao BN cắt AM H a Khẳng định CN AB hay sai? A Đúng B Sai b Tính số đo góc: BHM MHN biết C = 390 A BHM = 1310; MHN = 490 C BHM = 1410; MHN = 390 B BHM = 490; MHN = 1310 D BHM = 390; MHN = 1410 Gi¶i: A a Chọn A AM BC tam giác ABC câb A N Suy H trực tâm tam giác ABC H Do CH AB b Chän D B M C Ta cã: BHM = C = 390 (hai góc nhọn có cạnh tơng øng vu«ng gãc) MHN = 1800 - C = 1410 (hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc góc nhọn, góc tù) Vậy ta tìm đợc BHM = 390; MHN = 1410 Biên soạn giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang 173 TỐN HỌC LP Bài 16: Cho góc xOy = 600 điểm A n»m gãc xOy vÏ ®iĨm B cho Ox đờng trung trực AC, vẽ điểm C cho Oy đờng trung trực AC a Khẳng định OB = OC hay sai? b TÝnh sè ®o gãc BOC A 600; B 900; C 1200; D 1500 Gi¶i: B x a Chän A NhËn xét là: OA = OB Ox đờng trung trực AB OA = OC Oy đờng trung trùc cđa AC A Do ®ã: OB = OC b Chọn C O Nhận xét là: y Tam giác OAB cân O nên O1 = O2 C Tam giác OAC cân O nên O3 = O4 Khi ®ã: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 +O3) = 2xOy = 1200 VËy ta cã: BOC = 1200 Bµi 17: Chøng minh r»ng mét tam gi¸c trung tun øng víi cạnh lớn nhỏ trung tuyến ứng với cạnh nhỏ Giải: Xét tam giác ABC đờng trung tuyến A AM, BN, CP trọng tâm G Giả sử AB < AC P Ta cần chứng minh CP > BN N G ThËt vËy Biên soạn giảng dạy:ThS Ngơ Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang 174 TỐN HC LP Với hai tam giác ABM ACM B M C Ta cã: MB = MC (v× M trung điểm BC) AM chung: AB < AC đó: M1 < M2 Với hai tam giác GBM GCM ta có: MB = MC (M TĐ cđa BC); GM chung Do ®ã: GB < GC ⇔ 2 GB < GC ⇔ BN < CP 3 Biên soạn giảng dạy:ThS Ngô Văn Thọ nguồn tham khảo:Internet Trang 175 ... kia) BÀI TẬP Bài So sánh số hữu tỉ sau: a) x= −25 444 y = ; 35 77 7 b) x = −2 110 17 y = c) x = y = 0 ,75 −50 20 Bài So sánh số hữu tỉ sau: a) 7 ; 2010 19 b) − 373 7 − 37 ; 4141 41 c) 4 97 −2345 −499... + 12 + = + 1999 19 97 1995 1993 e) x − 29 x − 27 x − 25 x − 23 x − 21 x − 19 + + + + + = 1 970 1 972 1 974 1 976 1 978 1980 = x+ x+ x+ + + = −3 2005 2004 2003 x + 29 x + 27 x + 17 x + 15 − = − 31 33... d) c) 1909 − x 19 07 − x 1905− x 1903− x + + + + 4= 91 93 95 91 x − 1 970 x − 1 972 x − 1 974 x − 1 976 x − 1 978 x − 1980 + + + + + 29 27 25 23 21 19 HD: => => x= -2010 Bài 5 :Giải phương trình sau: