Các yêucầucơbảncủa một hệtiênđềCó nhiều cách khác nhau để lựa chọn các khái niệm cơbản và cáctiên đề, vì vậy một môn học có thể có nhiều hệtiênđề khác nhau. Đểcó thể đóng vai trò nền tảng cho một môn học, mỗi hệtiênđề cần thoả mãn cáchệtiênđề sau: 1. Tính phi mâu thuẫn Mộthệtiênđề được gọi là phi mâu thuẫn nếu từ hệtiênđề đó không thể suy ra hai kết quả trái ngược nhau. Nếu mộthệtiênđềcó mâu thuẫn thì không thể phân biệt được đúng, sai và lý thuyết dựa trên hệtiênđề đó trở nên vô nghĩa. Vì vậy, tính phi mâu thuẫn là yêucầucơbản nhất củamộthệtiên đề. 2. Tính độc lập Mộthệtiênđề được gọi là độc lập nếu mỗi tiênđềcủahệ không thể chứng minh nhờ cáctiênđề còn lại. Như vậy, với yêucầu này, mộthệtiênđề độc lập là hệtiênđề mà không thể rút bớt mộttiênđề nào, đó là số tối thiểu các khẳng định phải thừa nhận. 3. Tính đầy đủ Mộthệtiênđề được gọi là đầy đủ nếu mọi khẳng định của môn học đều được suy diễn từ nó. Tính phi mẫu thuẫn là yêucầu bắt buộc củamộthệtiên đề, còn hai yêucầu tính độc lập và tính đầy đủ trong thực tiễn đôi khi vẫn được châm chước. Chẳng hạn, mộthệtiênđề không độc lập vẫn được dùng cho một lý thuyết nhằm giảm bớt quá trình suy diễn và do đó giúp người học sớm tiếp cận những kiến thức tinh tế của môn học. Sự không mâu thuẫn củamộthệtiênđềĐể chứng minh sự không mâu thuẫn củamộthệtiên đề, căn bản không có phương pháp nào khác ngoài phương pháp mô hình. Mộthệtiênđề không mâu thuẫn nếu nó cómột mô hình tức là nó cómột sự thể hiện củamột tập hợp đối tượng trong thực tế và do đó nó cómột nội dung rất cụ thể. Mộthệtiênđề mâu thuẫn sẽ không có giá trị gì hết vì từ đó ta có thể suy ra mọi cái đều đúng và đều sai. Vì vậy muốn xây dựng một lí thuyết khoa học nào đó người ta phải quan tâm trước hết tới điều kiện không mâu thuẫn của lí thuyết đó vì đây là điều kiện quan trọng nhất quyết định sự tồn tại của lí thuyết đó. Vấn đề lựa chọn hệtiênđềHệtiênđề không gian véctơ có phải là mộthệtiênđềcó tính độc lập hay không? Đây là hệtiênđề không độc lập. Chúng ta có thể chứng minh được rằng tiênđề thứ tư (tiên đề về tính chất giao hoán của phép cộng véctơ) có thể được chứng minh nhờ cáctiênđề còn lại. Vậy tại sao khi xây dựng không gian véctơ người ta vẫn đểtiênđề thứ tư này? Mộthệtiênđề không độc lập đôi khi vẫn được châm chước nhằm giảm bớt quá trình suy diễn không cần thiết. Ví dụ ở tiênđề 4 trong hệtiênđề về không gian véctơ vẫn được dùng để người học có thể dễ dàng nhận thấy cấu trúc đại số của tập các véctơ V với phép công các véctơ là một nhóm Abel. Có người lầm tưởng cho rằng người ta không chứng minh cáctiênđề là vì chúng quá hiển nhiên hoặc quá đơn giản. Trước hết chúng ta thấy rằng sự hiển nhiên và đơn giản gắn với trực giác của con người mà những hiểu biết thông qua trực giác chỉ cho chúng ta biết được cái bề ngoài của sự vật mà thôi. Thực tế đã chứng tỏ rằng nếu không có lí luận khoa học thì có nhiều khi chúng ta bị cái bề ngoài đánh lừa mặc dầu cái bề ngoài này cũng mang lại cho chúng ta một số hiểu biết nào đó. Ví dụ nếu dựa vào sự quan sát được địa hình xung quanh, thì chúng ta có thể cho rằng mặt đất là bằng phẳng và không thể cong như bề mặt củamột mặt cầu được. Trước Côpécnic người ta cho rằng mặt trời xoay quanh quả đất cũng chỉ vì dựa vào trực giác và con người lúc bấy giờ đã căn cứ vào điều quan sát được hàng ngày mà rút ra kết luận đó. Hơn nữa, phân tích kĩ thì ta thấy rằng sự hiển nhiên và đơn giản còn mang nặng tính chất chủ quan đối với từng người vì một sự việc có thể hiển nhiên đối với người này mà không hiển nhiên đối với người khác, hoặc cùng đối với một người thì hôm nay sự việc đó chưa hiển nhiên nhưng ngày mai trở thành hiển nhiên. Do đó không thể lấy "hiển nhiên và đơn giản" làm tiêu chuẩn để lựa chọn chân lý vì chân lý phải mang tính chất khách quan, khoa học, nằm ngoài ý muốn chủ quan của con người. Cần phải quan niệm rằng tiênđề là những mệnh đề mà tính đúng đắn của nó được công nhận để làm xuất phát điểm cho việc suy diễn lôgíc. Khi ta chứng minh một mệnh đề nào đó tức là ta làm rõ sự liên hệ lôgíc giữa mệnh đề đó với hệtiên đề. Vì vậy trong việc lựa chọn hệtiên đề, cần phải coi trọng việc phản ảnh được một cách đầy đủ đúng đắn của thực tế khách quan trong hệtiênđề đó. Tất nhiên việc lựa chọn hệtiênđề càng đơn giản cảng hiển nhiên thì càng tốt vì việc này cũng giúp cho việc nhận thức các chân lý khoa học được dễ dàng và thuận tiện hơn. Tóm lại, muốn lựa chọn được mộthệtiênđề hoàn chỉnh và thích hợp đảm bảo được cácyêucầu cần thiết là một việc làm không đơn giản mà cần phải cómột quá trình tìm tòi, chọn lọc, nghiên cứu kĩ lưỡng và phải thông qua nhiều thử thách trong thực tiễn. . Các yêu cầu cơ bản của một hệ tiên đề Có nhiều cách khác nhau để lựa chọn các khái niệm cơ bản và các tiên đề, vì vậy một môn học có thể có nhiều hệ tiên. mỗi tiên đề của hệ không thể chứng minh nhờ các tiên đề còn lại. Như vậy, với yêu cầu này, một hệ tiên đề độc lập là hệ tiên đề mà không thể rút bớt một tiên