SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2007 – 2008 …………………… ………………………………………………… ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 120 PHÚT (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2điểm) a) Rút gọn biểu thức: 5 5 1 5 A + = + b) Chứng minh đẳng thức: 2 1 a b b a b a b a b − − = − − + với 0; 0;a b a b≥ ≥ ≠ Câu 2: (1,5điểm) Giải phương trình: x 2 + 3x – 108 = 0 Câu 3:(2điểm) Một canô chạy trên sông, xuôi dòng 120km và ngược dòng 120km, thời gian cả đi và về hết 11giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 2km/giờ. Câu 4:(3,5điểm) Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là điểm bất kỳ trên cạnh BC( M không trùng với B và M không trùng với C). Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC, O là trung điểm của AM . Chứng minh rằng: a) Các điểm A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn. b) Tứ giác OPHQ là hình gì? c) Xác định vị trí của M trên cạnh BC để PQ có độ dài nhỏ nhất. Câu 5: (1điểm) Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 2 3 4 2 3 2 3 a b b a a b b a a b + + + ≤ + + + BÀI GIẢI: Câu 1: (2điểm) a) Rút gọn biểu thức: Ta có ( ) 5 5 1 5 5 5 1 5 1 5 A + + = = = + + b) Chứng minh đẳng thức: 2 1 a b b a b a b a b − − = − − + với 0; 0;a b a b≥ ≥ ≠ Với 0; 0;a b a b≥ ≥ ≠ ta có: ( ) ( ) 2 2 2 1 ( ) a a b b a b b a b b a b a b a b a b a ab ab b b a b a b a b dpcm + − − − − − = − − − + + − + − − = = − − = Câu 2:(1,5điểm) Giải phương trình: x 2 + 3x – 108 = 0 2 4 9 432 441 21 b ac∆ = − = + = ∆ = Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 3 21 3 21 9; 12 2 2 2 2 b b x x a a − + ∆ − + − − ∆ − − = = = = = = − Câu 3: (2điểm) Gọi vận tốc canô trong nước yên lặng là x (km/h) (ĐK: x > 2) Vận tốc của canô khi xuôi dòng là: x + 2 (km/h) Vận tốc của canô khi ngược dòng là: x - 2 (km/h) Thời gian của canô khi xuôi dòng: 120 ( ) 2 h x + Thời gian của canô khi ngược dòng: 120 ( ) 2 h x − Theo đề ta có phương trình: 2 120 120 11 2 2 11 240 44 0 x x x x + = + − ⇒ − − = Giải phương trình ta được x 1 = 22 (thõa mãn); x 2 = - 2 11 (loại) Vậy vận tốc canô trong nước yên lặng là: 22km/h Câu 4: (3,5điểm) a) Ta có: · · · 0 0 0 90 ( ) 90 ( ) 90 ( ) APM MP AB AQM MQ AC AHM gt = ⊥ = ⊥ = Suy ra 3 điểm P, Q, H cùng nhìn đoạn thẳng AM dưới một góc vuông. Nên các điểm A, P, H, M, Q cùng nằm trên đường tròn đường kính AM. b) Ta có AHM∆ ( · 0 90AHM = ) có HO là trung tuyến nên HO = 1 2 AM Ta có AQM∆ ( · 0 90AQM = ) có QO là trung tuyến nên QO = 1 2 AM Suy ra: HO = QO nên HOQ∆ cân (1) Mặt khác: ABC ∆ đều có AH là đường cao cũng là đường phân giác ⇒ · 0 30HAC = M à · · 0 0 2 2.30 60HOQ HAQ= = = (góc nội tiếp và góc ở tâm chắn cung HQ của đường tròn(O; OM) (2) Từ (1) và (2) suy ra ∆ HOQ đều. Nên HO = HQ = OQ (3) Tương tự ta chứng minh được ∆ POH đều. Nên OP = OH = PH (4) Từ (3) và(4) suy ra: HO = HQ = OQ = OP = PH nên tứ giác OPHQ là hình thoi. c) Gọi I là giao điểm của hai đường chéo HO và PQ trong hình thoi OPHQ. Ta có: OH ⊥ PQ; PQ = 2PI Mặt khác: ∆ POI vuông tại I có · 0 60 ( )POI cmt= ⇒ PI = PO . sin60 0 = 3 . 2 PO ⇒ PQ = PO. 3 3 3 . 2 OM AM= = ( Vì PO = OM = 1 2 AM) Do đó PQ có độ dài nhỏ nhất ⇔ AM có độ dài nhỏ nhất. Mặt khác trong tam giác vuông AHM ( µ H =90 0 ) nên AM ≥ AH suy ra AM có độ dài nhỏ nhất M H ⇔ ≡ Vậy khi M H≡ thì đoạn PQ có độ dài nhỏ nhất. Câu 5: (1điểm) Cho a, b là các số dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 3 3 3 3 2 3 2 3 4 2 3 2 3 a b b a a b b a a b + + + ≤ + + + (*) Đặt a t b = . Vì a > 0, b > 0 nên t > 0 Khi đó (*) trở thành: 2 2 3 3 2 3 2 3 4 2 3 2 3 1 t t t t t + + + ≤ + + + ( ) 5 3 2 6 3 6 5 2 2 2 4 3 2 2 2 2 4 3 2 2 ( 1)(12 13 13 12) 4(6 13 6) 12( 1) 13 ( 2 1) 0 12( 1) ( 1) 13 ( 1) 0 ( 1) 12 1 13 0, 0 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ⇔ + + + + ≤ + + ⇔ − − + − − + ≥ ⇔ − + + + + − − ≥ ⇔ − + + + + − ≥ ∀ > Vì: 12t 4 (t 4 + t 3 + t 2 + t + 1) – 13t 2 = 12t 4 + 12t(t-1) 2 + 23t 2 + 12 > 0, ∀ t > 0 Vậy bất đẳng thức đã cho đúng với mọi a, b dương. Dấu bằng xảy ra khi t = 1 a b⇔ = . . SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT NĂM HỌC 2007 – 2008 …………………… …………………………………………………