mối quan hệ giữa đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2

BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN MỐI QUAN HỆ GIỮA CỰC TRỊ VÀ ĐẠO HÀM CẤP ĐẠO HÀM CẤP (ĐỀ 01) *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website: www.vted.vn Video giảng lời giải chi tiết có website: www.vted.vn (1) Mối quan hệ cực trị đạo hàm hàm số Định lí Nếu hàm số y = f (x) đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f (x) có đạo hàm x0 f ′(x0 ) = • Điều ngược lại khơng đúng, tức f ′(x0 ) = hàm số f (x) không đạt cực trị x0 Chẳng hạn hàm số y = x , y = x • Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Chẳng hạn hàm số y = x , y = x (x + 2) Như vậy, hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số 0, hàm số khơng có đạo hàm • Điều kiện cần để hàm số f đạt cực trị x0 hàm số có đạo hàm triệt tiêu x0 hàm số khơng có đạo hàm x0 • Điều kiện đủ: Định lí Giả sử hàm số y = f (x) liên tục khoảng (a;b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; x0 ) (x0 ;b) Khi • Nếu f ′(x) < 0,∀x ∈ (a; x0 ) f ′(x) > 0,∀x ∈ (x0 ;b) hàm số f (x) đạt cực tiểu điểm x0 • Nếu f ′(x) > 0,∀x ∈ (a; x0 ) f ′(x) < 0,∀x ∈ (x0 ;b) hàm số f (x) đạt cực đại điểm x0 Nói cách khác: (2) Mối quan hệ điểm cực trị đạo hàm cấp hai hàm số Định lí Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm đến cấp hai x0 f ′(x0 ) = 0, f ′′(x0 ) ≠ x0 điểm cực trị hàm số Hơn nữa, • Nếu f ′′(x0 ) > x0 điểm cực tiểu • Nếu f ′′(x0 ) < x0 điểm cực đại Trong trường hợp f ′′(x0 ) = chưa thể khẳng định x0 điểm cực trị hàm số hay không Chứng minh Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a;b) chứa điểm x0 , f ′(x0 ) = f ′′(x0 ) < Khi đó, theo định nghĩa đạo hàm cấp hai, ta có f ′(x)− f ′(x0 ) f ′(x) f ′′(x0 ) = lim = lim < x→x0 x→x0 x − x x − x0 Do tồn số h > cho [x0 − h; x0 + h] ⊂ (a;b) f ′(x) < với x ∈ (x0 − h; x0 + h) \{x0 } x − x0 • Vì x − x0 < 0,∀x ∈ (x0 − h; x0 ) nên f ′(x) > 0,∀x ∈ (x0 − h; x0 ) • Vì x − x0 > 0,∀x ∈ (x0 ; x0 + h) nên f ′(x) < 0,∀x ∈ (x0 ; x0 + h) BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Vậy f ′(x) đổi dấu từ dương qua âm qua x0 Do hàm số f đạt cực tiểu x0 Tương tự, hàm số f có đạo hàm khoảng (a;b) chứa điểm x0 , f ′(x0 ) = f ′′(x0 ) > Hàm số f đạt cực đại x0 Chú ý Định lí thường sử dụng để nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số cho hàm số có chứa lượng giác hàm có chứa thức (khi việc xét dấu đạo hàm khó khăn) Câu Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ′(x) hình vẽ bên Hỏi hàm số y = f (x) có tất điểm cực trị ? A B C D Câu Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ′(x) hình vẽ bên Hỏi hàm số y = f (x) có tất điểm cực trị ? A B C Câu Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ′(x) hình vẽ bên BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN D BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Hỏi hàm số y = f (x)− x có điểm cực trị ? A B C D Câu Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ′(x) hình vẽ bên Hỏi hàm số y = f (x) có điểm cực trị ? A B C D Câu Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ′(x) hình vẽ bên Hỏi điểm cực đại hàm số y = f (x)− x ? A x = B x = C x = D x = −1 Câu Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ′(x) hình vẽ bên BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 4 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Đồ thị hàm số y = f (x) + (x +1)2 có điểm cực trị ? A B C D ′ Câu Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số y = f (x) có điểm cực trị ? A B C D ′ Câu Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Đồ thị hàm số y = f (x)−7x có điểm cực trị ? A B C D Câu Mệnh đề sau ? A Nếu x0 nghiệm phương trình f ′(x) = x0 điểm cực trị hàm số B Nếu hàm số f (x) đạt cực trị x0 hàm số có đạo hàm x0 C Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm D Nếu hàm số f (x) đạt cực trị x0 f ′(x0 ) = Câu 10 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) xác định ! Đồ thị hàm số y = f ′(x) hình vẽ bên BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Hỏi hàm số y = f (x ) có điểm cực đại điểm cực tiểu ? A điểm cực đại, điểm cực tiểu B điểm cực tiểu, điểm cực đại C điểm cực đại, điểm cực tiểu D điểm cực tiểu, điểm cực đại Câu 11 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ′(x) hình vẽ bên Hỏi điểm cực tiểu hàm số y = f (x)− x ? A x = B x = C x = D x = −1 Câu 12 Cho hàm số y = x −3x Mệnh đề sau ? A Cực đại hàm số B Cực đại hàm số −1 C Cực đại hàm số −2 D Cực đại hàm số −2 Câu 13 Cho hàm số y = f (x) có f ′(x) = x (x + 2) Hỏi số điểm cực trị hàm số y = f (x) ? A B C D Câu 14 Cho hàm số y = f (x) có f ′(x) = x (x −1)(x + 2) Hỏi số điểm cực trị hàm số y = f (x) ? A B C D 2 Câu 15 Cho hàm số y = f (x) có f ′(x) = x (x + 3) Hỏi số điểm cực trị hàm số y = f (x) ? A B C D Câu 16 Hỏi cực đại hàm số y = x −3x + ? A B −1 C D BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 6 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Câu 17 Hỏi điểm điểm cực đại hàm số y = 2sin 2x ? π π 3π π A x = + k B x = + kπ C x = + kπ 4 Câu 18 Hỏi điểm điểm cực tiểu hàm số y = 2sin 2x ? 3π π C x = + kπ + kπ 4 Câu 19 Cho hàm số y = x − x −3x + Mệnh đề sau ? 3 A Cực tiểu hàm số B Cực tiểu hàm số −1 23 C Cực tiểu hàm số − D Cực tiểu hàm số −9 A x = π π +k B x = D x = 3π π +k D x = 3π π +k Câu 20 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục khoảng (a;b) điểm x0 thuộc khoảng (a;b) Xét mệnh đề sau: I Nếu x0 điểm cực trị hàm số f (x) f ′(x0 ) = II Nếu f (x) ≥ f (x0 ),∀x ∈ (a;b) x0 điểm cực tiểu hàm số f (x) III Nếu f (x) < f (x0 ),∀x ∈ (a;b) \{x0 } x0 điểm cực đại hàm số f (x) IV Nếu x0 điểm cực đại hàm số f (x) f ′′(x0 ) < Số mệnh đề ? A B C D Câu 21 Cho hàm số f (x) có đạo hàm khoảng (a;b) điểm x0 thuộc khoảng (a;b) Xét mệnh đề sau: (1) Nếu x0 điểm cực trị hàm số f (x) f ′(x0 ) = (2) Nếu f ′(x0 ) = x0 điểm cực trị hàm số f (x) (3) Nếu f ′(x) > 0,∀x ∈ (a; x0 ) f ′(x) < 0,∀x ∈ (x0 ;b) x0 điểm cực đại hàm số f (x) (4) Nếu f ′(x) < 0,∀x ∈ (a; x0 ) f ′(x) > 0,∀x ∈ (x0 ;b) x0 điểm cực tiểu hàm số f (x) (5) Nếu x0 điểm cực trị hàm số f (x) tiếp tuyến đồ thị hàm số f (x) điểm (x0 ; f (x0 )) song song trùng với trục hoành Số mệnh đề ? A B C D Câu 22 Cho hàm số f (x) có đạo hàm khoảng (a;b) điểm x0 thuộc khoảng (a;b) Xét mệnh đề sau: (1) Nếu x0 điểm cực trị hàm số f (x) f ′(x0 ) = (2) Nếu f ′(x0 ) = x0 điểm cực trị hàm số f (x) (3) Nếu f ′(x) > 0,∀x ∈ (a; x0 ) f ′(x) < 0,∀x ∈ (x0 ;b) f (x0 ) cực đại hàm số f (x) BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN (4) Nếu f ′(x) < 0,∀x ∈ (a; x0 ) f ′(x) > 0,∀x ∈ (x0 ;b) f (x0 ) cực tiểu hàm số f (x) (5) Nếu x0 điểm cực trị hàm số f (x) tiếp tuyến đồ thị hàm số f (x) điểm (x0 ; f (x0 )) song song trùng với trục hoành Số mệnh đề ? A B C D Câu 23 Cho hàm số f (x) có đạo hàm khoảng (a;b) chứa điểm x0 , f ′(x0 ) = hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai điểm x0 Xét mệnh đề sau: (1) Nếu f ′′(x0 ) < x0 điểm cực đại hàm số f (x) (2) Nếu f ′′(x0 ) > x0 điểm cực tiểu hàm số f (x) (3) Nếu f ′′(x0 ) = x0 khơng điểm cực trị hàm số f (x) (4) Nếu f ′′(x0 ) = x0 điểm cực trị hàm số f (x) (5) Nếu f ′′(x0 ) < f (x0 ) cực đại hàm số f (x) (6) Nếu f ′′(x0 ) > f (x0 ) cực tiểu hàm số f (x) Số mệnh đề ? A B C D Câu 24 Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a;b) x0 thuộc khoảng (a;b) (1) Nếu f (x0 ) ≥ f (x),∀x ∈ (a;b) f (x0 ) giá trị lớn hàm số f (x) khoảng (a;b) (2) Nếu f (x0 ) ≤ f (x),∀x ∈ (a;b) f (x0 ) giá trị nhỏ hàm số f (x) khoảng (a;b) (3) Nếu f (x0 ) > f (x),∀x ∈ (a;b) \{x0 } f (x0 ) cực đại hàm số f (x) (4) Nếu f (x0 ) < f (x),∀x ∈ (a;b) \{x0 } f (x0 ) cực tiểu hàm số f (x) Số mệnh đề ? A B C D Câu 25 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ′(x) hình vẽ bên Đồ thị hàm số y = f (x)− x có điểm cực trị ? A B C D Câu 26 Cho hàm số y = f ( x ) xác định có đạo hàm f ' ( x ) Đồ thị hàm số f ' ( x ) hình Khẳng định sau đúng? BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 8 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN y x -3 -2 -1 -2 A Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞ ;2 ) B Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( −∞ ; − 1) C Hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị D Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( 0;1) Câu 27 Đồ thị hàm số y = x −3x −9x +1 có hai điểm cực trị A B Điểm thuộc đường thẳng AB? A P(1;0) B M (0;−1) C N (1;−10) D Q(−1;10) Câu 28 Đồ thị hàm số y = −x + 3x + có hai điểm cực trị A B Tính diện tích S tam giác OAB với O gốc toạ độ 10 A S = C S = D S = 10 B S = Câu 29 Đồ thị hàm số y = x3 − 3x − có điểm cực trị A, B Tìm tọa độ trung điểm M đoạn thẳng AB A M (0; −2) B M (2;0) C M (−1;0) D M ( −2; 4) Câu 30 Đồ thị hàm số y = x3 - x + x - có điểm cực trị A, B Tính độ dài đoạn thẳng AB B AB = C AB = 2 D AB = x +5 Câu 31 Đồ thị hàm số y = có hai điểm cực trị A B Hỏi đường thẳng qua hai điểm A, B x+2 ? A y = 2x B y = −2x C y = x D y = −x A AB = x + x +1 Câu 32 Đồ thị hàm số y = có hai điểm cực trị A B Tính độ dài đoạn thẳng AB x+2 A AB = B AB = C AB = 15 D AB = 13 Câu 33 Đồ thị hàm số y = x −8x + có ba điểm cực trị A, B,C Gọi S diện tích tam giác ABC Mệnh đề ? B S = 16 D S = 32 A S = C S = Câu 34 Đồ thị hàm số y = −2x + 4x + có ba điểm cực trị A, B,C Gọi R bán kính ngoại tiếp tam giác ABC Mệnh đề ? BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN 5 5 A R = B R = C R = D R = 4 Câu 35 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục ! có bảng xét dấu đạo hàm sau Hỏi hàm số y = f (x) có điểm cực trị ? A B C 3 Câu 36 Cực đại hàm số y = x −5x − x −1 ? D 148 C B D − 27 Câu 37 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục ! có bảng xét dấu đạo hàm sau A −1 Hỏi hàm số y = f (x) có điểm cực đại ? A B C D Câu 38 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục ! có bảng xét dấu đạo hàm sau Hỏi hàm số y = f (x) có điểm cực tiểu ? A B C D ′ Câu 39 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) ! Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số y = f (x) Đặt g(x) = ( f (x)) Hỏi số điểm cực trị hàm số g(x) ? A B C D BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM 10 PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN Câu 40 Cho ba đường cong (C1 ),(C2 ),(C3 ) đồ thị hàm số y = f (x), y = f ′(x), y = f ′′(x) Hỏi đồ thị hàm số y = f (x), y = f ′(x), y = f ′′(x) theo thứ tự, tương ứng với đường cong ? A (C3 ),(C2 ),(C1 ) B (C2 ),(C1 ),(C3 ) C (C2 ),(C3 ),(C1 ) D (C1 ),(C3 ),(C2 ) Câu 41 Cho hàm số y = x −5x − x −1 Cực đại cực tiểu hàm số ? A −1 B −4 C −1 D − 148 27 1 Câu 42 Cho hàm số y = x − x − Mệnh đề ? A Cực tiểu hàm số − B Cực tiểu hàm số C Cực tiểu hàm số − D Cực tiểu hàm số − 2 x +5 Mệnh đề ? Câu 43 Cho hàm số y = x+2 A Cực đại hàm số −5 B Cực đại hàm số C Cực đại hàm số −10 D Cực đại hàm số Câu 44 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′(x) = (x −1)(x − 2)(x − 4) Số điểm cực trị hàm số y = f (x) ? A B C D 1 Câu 45 Cho hàm số y = x − x − Mệnh đề ? A Cực đại hàm số − B Cực đại hàm số C Cực đại hàm số − 10 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM PRO X CHO TEEN 2K – DUY NHẤT TẠI VTED.VN ... Nếu hàm số f (x) đạt cực trị x0 hàm số có đạo hàm x0 C Hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm D Nếu hàm số f (x) đạt cực trị x0 f ′(x0 ) = Câu 10 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm. .. tiểu hàm số − B Cực tiểu hàm số C Cực tiểu hàm số − D Cực tiểu hàm số − 2 x +5 Mệnh đề ? Câu 43 Cho hàm số y = x +2 A Cực đại hàm số −5 B Cực đại hàm số C Cực đại hàm số −10 D Cực đại hàm số... điểm cực tiểu hàm số y = 2sin 2x ? 3π π C x = + kπ + kπ 4 Câu 19 Cho hàm số y = x − x −3x + Mệnh đề sau ? 3 A Cực tiểu hàm số B Cực tiểu hàm số −1 23 C Cực tiểu hàm số − D Cực tiểu hàm số −9 A