BTCM DANG THUC ON HSG LOP8

Một số bài toán CM đẳng thức và quan hệ đại số Toán 8 I Một số bài toán và phơng pháp chứng minh đẳng thức và m au: ối quan hệ đại số: 1. Phơng pháp chứng minh vế trái (VT)bằng vế phải (VP) Muốn chứng minh đẳng thức A(x,y, ,z) = B(x,y, ,z) thì ta có thể biến đổi đại số của VT hoặc VP để VT=VP. Bài toán 1: Chứng minh rằng: 1. a 3 - b 3 = ( a b) 3 + 3ab( a-b) 2. ( b-c) 3 + (c-a) 3 + (a-b) 3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) Phơng pháp (PP): Trong bài toán này vế trái trái của đẳng thức là các hằng đẳng thức vì vậy chúng ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức phù hợp để giải. Lời giải: 1. Đặt VT = a 3 + b 3 = (a- b) 3 +3a 2 b - 3ab 2 = ( a b) 3 + 3ab( a-b) = VP (ĐPCM) 2. Đặt VT= b 3 -3b 2 c+3bc 2 -c 3 +c 3 -3c 2 a+3ca 2 -a 3 +a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3 = 3(-b 2 c+bc 2 -c 2 a+ca 2 -a 2 b+ab 2 ) = 3(a-b)(b-c)(c-a) =VP (ĐPCM) Bài toán 2: Chứng minh rằng: yx yxyyxx yxyx = + ++ 1 22 32 3223 22 PP: Đây thực ra là một bài toán rút gọn biểu thức, cho nên muốn làm đợc bài này ta cần phân tích tử và mẫu thức thành nhân tử từ đó rút gọn các nhân tử chung. Lời giải: Ta có 2x 2 +3xy+y 2 =(x+1)(2x+y) 2x 3 +x 2 y -2 xy 2 -y 3 = (2x+y)(x-y)(x+y) Khi đó: ( )( ) ( )( )( ) yxyxyxyx yxyx yxyyxx yxyx = ++ ++ = + ++ 1 2 2 22 32 3223 22 (ĐPCM). Bài toán 3: Với ba số a,b,c là ba số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: ( )( ) ( )( ) ( )( ) accbbabcac ba abcb ac caba cb + + = + + 222 PP: Đây là một bài toán nếu nhìn bình thờng thì ta nghĩ ngay đến việc quy đồng và thực hiện cộng ba phân thức với nhau, nhng nếu làm nh vậy ta sẻ đi đến một 1 Một số bài toán CM đẳng thức và quan hệ đại số Toán 8 biểu thức tơng đối khó. Với bài này ta nên thêm bớt vào tử thức để có thể đa về các phân thức có mẫu bằng 1. Lời giải: Đặt VT = ))(())(())(( bcac ba abcb ac caba cb + + = ))(( )()( ))(( )()( abcb abbc caba caab + + + + ))(( )()( bcac bcca + = bcacabcbcaba + + 111111 accbba + + = 222 = VP (ĐPCM). Chú ý. Bài toán trên có thể biến đổi tơng tơng bằng cách chuyển VP sang VT. 2. Bài toán có điều kiện: Đa số các bài toán nói chung và bài toán chứng minh đẳng thức và quan hệ đại số nói riêng là bài toán có điều kiện ban đầu( hay gọi là giả thiết) Trong quá trình giải toán HS thờng băn khoăn không biết sử dụng giả thiết nh thế nào cho đúng ?. Đây là một vấn đề nhạy cảm vì vậy cần hình thành cho HS một cái nhìn bao quán trong quá trình giải toán. Sau đây là một số bài toán nh thế, qua đó ta có thể rèn luyện kỉ năng vận dụng giả thiết vào giải toán. Bài toán 1 : Cho ba số a,b,c thoả mãn a+b+c =0. Chứng minh rằng: (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 = 2(a 4 +b 4 +c 4 ) PP: Ta thấy VT và VP của đẳng thức là các luỹ thừa 2 và 4 vậy thì việc sử dụng GT a+b+c =0 nh thế nào để làm xuất hiện các luỹ thừa cần dùng. Lời giải: Do a+b+c = 0 nên (a+b+c) 2 =0 a 2 +b 2 +c 2 = -( 2ab+2bc+2ac) (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 = 4(ab+bc+ac) 2 a 4 +b 4 +c 4 +2a 2 b 2 +2b 2 c 2 +2a 2 c 2 = 4(a 2 b 2 +b 2 c 2 +a 2 c 2 +2ab 2 c+2a 2 bc+2abc 2 ) a 4 +b 4 +c 4 = 2a 2 b 2 +2b 2 c 2 +2a 2 c 2 +8abc(a+b+c) do a+b+c =0 nên a 4 +b 4 +c 4 = 2a 2 b 2 +2b 2 c 2 +2a 2 c 2 = 2(a 2 b 2 +b 2 c 2 +a 2 c 2 ). Mặt khác: (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 = 4(a 2 b 2 +b 2 c 2 +a 2 c 2 ) +2abc(a+b+c) (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 = 4(a 2 b 2 +b 2 c 2 +a 2 c 2 ) (do a+b+c =0) Khi đó: 2(a 4 +b 4 +c 4 )= (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 (ĐPCM) Bài toán 2: Cho a 2 +b 2 =1 , c 2 +d 2 =1, ac+bd=0.Chứng minh rằng: 2 Một số bài toán CM đẳng thức và quan hệ đại số Toán 8 ab+cd=0. PP: Đây là một bài toán sử dụng giả thiết tơng đối khó vì HS không biết sử dụng các luỹ thừa 2 nh thế nào. Với bài này cần cho HS biết cách sử dụng số 1 hợp lý vào biểu thức cần chứng minh vì ab+cd = ab.1+cd.1 ; cuối cùng là đa về nhân tử để sử dụng ac+bd=0 . Lời giải: Ta có ab+cd= ab(c 2 +d 2 )+cd(a 2 +b 2 ) = ab c 2 +abd 2 +cda 2 +cdb 2 =ac(bc+ad) +bd(ad+bc) = (bc+ad)(ac+bd)= 0 (do ac+bd=0) Vậy ab+cd=0. Bài toán 3: Chứng minh rằng Nếu: c z b y a x == thì: (x 2 +y 2 +c 2 )( a 2 +b 2 +c 2 ) = (ax+by+cz) 2 PP : Bài toán này có GT là một dãy tỉ số bằng nhau vì vậy cần sử dụng kiến thức tỉ lệ thức để vận dụng vào trong quá trình giải. Lời giải Đặt c z b y a x == = k. Do đó x=ak , y=bk, c=kc. VT= (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 k 2 VP= (a 2 +b 2 +c 2 ) 2 k 2 Suy ra: VP=VT Vậy (x 2 +y 2 +c 2 )( a 2 +b 2 +c 2 ) = (ax+by+cz) 2 Bài toán 4: Cho a,b,c là ba số thoả mãn điều kiện a+b+c=1 và a 3 +b 3 +c 3 =1. Chứng minh rằng: a 2005 +b 2005 +c 2005 =1. PP. Đây là bài toán khó đối với HS vì luỹ thừa lớn nên HS thờng không biết sử lý nh thế nào. Với bài này chúng ta nên dạy cho HS cách phán đoán trớc khi giải: Bài này ta có thể dự đoán một trong các số a;b;c bằng 1 cong hai số còn lại bằng 0. Lời giải: Do a 3 +b 3 +c 3 =1 và a+b+c=1 ta có. a 3 +b 3 +c 3 = a+b+c 3(a+b)(b+c)(c+a)=0 a=-b hoặc b=-c hoặc c=-a Nếu a=-b ta có a 2005 +b 2005 +c 2005 = a 2005 - a 2005 +c 2005 = c 2005 = 1 vì a-a+c=1 Tơng tự ta cũng có kết luận nh trên 3 Một số bài toán CM đẳng thức và quan hệ đại số Toán 8 Vậy a 2005 +b 2005 +c 2005 =1 Bài toán 5: Cho x+y = a + b và x 2 +y 2 =a 2 +b 2 Chứng minh rằng: x 2009 +y 2009 = a 2009 +b 2009 ( Trong đề chọn HSG tỉnh năm 2009) PP: Đây là một bài toán với yêu cầu chứng minh với số mũ tơng đối lớn vì vậy cần hớng dẫn học sinh định hớng trớc khi giải là: Sử dụng giả thiết để chỉ ra có các cặp lá hai số đối nhau hợc các cặp bằng nhau. Lời giải: Từ x+y = a + b x-a=b-y Từ x 2 +y 2 =a 2 +b 2 x 2 - a 2 =b 2 -y 2 (x-a)(x+a) = (b-y)(b+y) Suy ra (b-y)(x+a) - (b-y)(b+y) = 0 (b-y)(x+a-b-y)=0 b=y hoặc x+a-b-y=0 Nếu b=y x=a x 2009 +y 2009 = a 2009 +b 2009 Nếu x+a-b-y=0 x-y = b-a kết hợp với x+y = a + b suy ra x=b y=a x 2009 +y 2009 = a 2009 +b 2009 ( ĐPCM) Bài toán 6. Cho cbacba ++ =++ 1111 Chứng minh rằng: 200920092009200920092009 1111 cbacba ++ =++ PP. Bài toán này trớc khi làm cần hớng dẫn HS xét xem bài toán xảy ra dấu bằng khi nào?. Bài toán này xảy ra khi ba số a; b; c đôi một đối nhau, chính vì vậy từ giả thiết ta biến đổi tơng đơng để đa về dạng (a+b)(b+c)(c+a) = 0 Lời giải: Ta có: )( )(1111 cbac ba ab ba ccbaba ++ + = + ++ =+ 0 )( = ++ + + + cbac ba ab ba (a+b)(b+c)(c+a) = 0 Suy ra : a=-b; b=-c; c=-a Nếu a = -b Ta có 2009200920092009200920092009200920092009 11111111 cbaccaacba ++ ==+ +=++ Tơng tự ta cũng có các kết luận nh trên với b=-c; c=-a 4 Một số bài toán CM đẳng thức và quan hệ đại số Toán 8 Vậy 200920092009200920092009 1111 cbacba ++ =++ Mở rộng : Bài toán trên có thể chứng minh với luỹ thừa bậ n ( n lẻ) hoặc chứng minh rằng: cbacba ++ =++ 1111 sảy ra khi và vhỉ khi a=-b; b=-c; c=-a. Bài toán 7: a. CMR: Nếu x = by+cz , y = ax+ cz , z= ax+by và x+y+z 0. Thì 2 1 1 1 1 1 1 = + + + + + cba PP: Trong bài điều kiện tởng nh bình thờng x+y+z 0 thì lại là điều kiện cần xem xét đầu tiên vì nó gợi cho ta việc cộng ba giả thiết đầu lại với nhau. Từ đó kết hợp với mỗi giả thiết để làm xuất hiện 1 1 1 ; ; 1 1 1a b c+ + + Lời giải: a. Ta có x+y+z = 2(ax+by+cz) . Khi đó: x+y+z = 2(ax + x) = 2x( a+1) zyx x a ++ = + 2 1 1 Tơng tự ta có: zyx y b ++ = + 2 1 1 và zyx z c ++ = + 2 1 1 Suy ra: = + + + + + 1 1 1 1 1 1 cba zyx z zyx y zyx x ++ + ++ + ++ 222 = 2 Vậy 2 1 1 1 1 1 1 = + + + + + cba Bài toán 8: CMR: Nếu 1 111 = zyx va x =y +z thì 1 111 222 =++ zyx PP. Bài trên đẳng thức yêu cầu chứng minh có luỹ thừa 2 và nó là phân luỹ thừa của một hằng đẳng thức vì vậy để tạo ra nó cần có cái nhìn về GT . Ta có thể tạo ra bằng cách bình phơng hai vế của 1 111 = zyx . Lời giải: Ta có 1 111 = zyx 1 222111 222 =+++ zxyzxy zyx =++ 222 111 zyx 1+ zxyzxy 222 + 5 Một số bài toán CM đẳng thức và quan hệ đại số Toán 8 =++ 222 111 zyx 1+ 1 22 1 22 =+= + yzyzyzyz zy x (vì x=y+z) Vậy 1 111 222 =++ zyx Bài toán 9: Cho 1= + + + + + ba c ca b cb a . CMR: 0 222 = + + + + + ba c ca b cb a PP. Bài toán này cũng là một bài toán khó khi các em HS tìm cách tạo ra a 2 , ,trong đẳng thức cần chứng minh. Ta thấy rằng mẫu của GT cũng nh dẳng thức cần chứng minh là nh nhau nên chúng ta không nên sử lý đối với mẫu mà tạo ra các luỹ thừa bằng cách nhân cả hai vế của GT với (a +b+c) Lời giải: Ta có 1= + + + + + ba c ca b cb a cbacba ba c ca b cb a ++=++ + + + + + ))(( 0 )()()( 222 222 222 = + + + + + ++=+ + ++ + ++ + ++= + ++ + + ++ + + ++ ba c ca b cb a cbac ba c b ca b a cb a cba ba cbac ca bcab cb cbaa Vậy 0 222 = + + + + + ba c ca b cb a Khi 1= + + + + + ba c ca b cb a Bài toán 10: a. Cho 2 111 =++ cba (1) và 2 111 222 =++ cba (2). CMR: a+b+c=abc b. 2 =++ z c y b x a (1) và 0 =++ c z b y a x (2). CMR: 4 2 2 2 2 2 2 =++ z c y b x a PP: Bình phơng hai vế của của (1), biến đổi để sử dụng giả thiết (2). Lời giải: a. Từ (1) ta có 4 111 2 = ++ cba 4 111 2 111 222 = ++++ acbcab cba 6 Một số bài toán CM đẳng thức và quan hệ đại số Toán 8 acbcab 111 ++ =0 ( vì 2 111 222 =++ cba ) a+b+c=abc (ĐPCM). b. Tacó: 2 =++ z c y b x a 4)( 2 =++ z c y b x a 42 2 2 2 2 2 2 = +++++ xz ac yz bc xy ab z c y b x a 42 2 2 2 2 2 2 = ++ +++ xyz acybcxabz z c y b x a Mặt khác 0 =++ c z b y a x Nên xyz acybcxabz ++ =0 Vậy 4 2 2 2 2 2 2 =++ z c y b x a Bài toán 11: Cho ,0,0, = ca cb ba c a a-b 0 và b-c 0. CMR: ccbbaa 1111 = + PP: Quy đồng hai vế của giả thiết và của yêu cầu CM để chỉ ra đẳng thức đúng. L ời giải : Từ cb ba c a = a(b-c) = c(a-b) (1) Từ ccbbaa 1111 = + acbbac 1111 = + )()( cba cba bac cba + = + a(b-c) = c(a-b) (2) Từ (1) và (2) ta có ĐPCM Bài toán 12: Cho a+b+c=0 ; x+y+z=0 và 0 =++ z c y b x a CMR: ax 2 + by 2 +cz 2 =0. PP: Sử dụng giả thiết x+y+z =0 để thay x ,y,z vào biể thức A = ax 2 + by 2 +cz 2 , đặt nhân tử chung và thy a,b,c ở a+b+c=0 và biểu thức Lời giải: Từ x+y+z =0 Ta có: x 2 = (y+z) 2 ; y 2 = (x+z) 2 ; z 2 = (x+y) 2 Đặt A = ax 2 + by 2 +cz 2 7 Một số bài toán CM đẳng thức và quan hệ đại số Toán 8 = a(y+z) 2 +b(x+z) 2 +c(x+y) 2 = ay 2 +2axy+az 2 + bx 2 +2bxz+bz 2 +cx 2 +2cxy+cy 2 = x 2 (b+c)+y 2 (a+c)+z 2 (a+b)+2(axy+bxz+cxy) Mà a+b+c=0 nên b+c=-a; a+c=-b; a+b=-c Khi đó: A = -ax 2 by 2 cz 2 +2(axy+bxz+cxy) Mặt khác: 0 =++ z c y b x a axy+bxz+cxy = 0. Suy ra A = -ax 2 by 2 cz 2 = ax 2 + by 2 +cz 2 ax 2 + by 2 +cz 2 =0. Vậy ax 2 + by 2 +cz 2 =0. Bài toán 13: Cho . 111 x xz z yz y xy + = + = + CMR: x=y hoặc y=z hoặc x=z hoặc x 2 y 2 z 2 =1. PP: Đối với các bài kiểu này thì chúng ta cần hớng HS đến việc sử dụng giả thiết để biến đổi về dạng tích (x-y)(y-z)(z-x)(x 2 y 2 z 2 -1) = 0 Lời giải: y xy 1 + = z yz 1 + x+ z y y 11 += x-y = yz 11 = yz zy Tơng tự ta có: y-z= xz xz ; z-x = xy yx Suy ra (x-y)(y-z)(z-x) = 222 ))()(( zyx xzzyyx (x-y)(y-z)(z-x)(x 2 y 2 z 2 -1) = 0 x=y hoặc y=z hoặc z=x hoặc x 2 y 2 z 2 =1. (ĐPCM). Bài tập đề nghị: 1. Cho 0 = + + ba c ac b cb a . CMR: 0 )()()( 222 = + + ba c ac b cb a 2. CMR: Nếu (a 2 -bc)(b-abc) = (b 2 - ac)(a-abc) và a,b,c, a-b khác 0 Thì . 111 cba cba ++=++ 8 Một số bài toán CM đẳng thức và quan hệ đại số Toán 8 3. CMR: Nếu x+y+z=a và azyx 1111 =++ thì tồn tại một trong ba số bằng a. 4. CMR:Nếu m=a+b+c thì: ( am+bc)(bm+ac)(cm+ab)= (a+b) 2 (b+c) 2 (c+a) 2 5. CMR: Nếu a+b+c=0 và abc 0 thì: 9 = + + + + cb a ac b ba c b ac a cb c ba 3. Một số bài toán về quan hệ đại số trong toán học: Trong dạy học môn toán đặc biệt là đại số các đối tợng đại số luôn có mối quan hệ nhất định nào đó, việc chứng minh đợc mối quan hệ đó không phải là khó nh- ng cũng không phải là dễ đối với một số đối tợng HS của chúng ta. Việc cung cấp cho HS đặc biệt là HS khá, giỏi là rất cần thiết không những lớp 8 mà còn là hành trang cho HS sau này. Với một lợng bài không nhiều nhng tôi tin rằng sau khi các em làm xong các bài toán sau thì có thể vững tin vào các bài khác khi bắt gặp. Về phơng pháp chung với các bài toán loại này thờng là: áp dụng hợp lý giả thiết của bài toán để đa về dạng tích hoặc là tổng các bình phơng, cũng có thể sử dạng điều kiện sảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức. Bài toán 1: CMR: Nếu x 2 +y 2 +z 2 =xy+yz+xz thì x=y=z. PP: Bài toán này để suy ra đợc x=y=z ta cần biến đổi giả thiết về dạng tổng các bình phơng. Lời giải: Ta có: x 2 +y 2 +z 2 =xy+yz+xz 2x 2 +2y 2 +2z 2 =2xy+2yz+2xz 2x 2 -2y 2 -2z 2 -2xy-2yz-2xz = 0 (x-y) 2 +(y-z) 2 +(z-x) 2 = 0 Do (x-y) 2 0 ; (y-z) 2 0 ; (z-x) 2 0 Nên: (x-y) 2 +(y-z) 2 +(z-x) 2 = 0 9 Một số bài toán CM đẳng thức và quan hệ đại số Toán 8 ( ) = 0x-z 0 = z)-(y 0 =y)-(x 2 2 2 zyx xz zy yx xz zy yx == = = = = = = 0 0 0 Vậy nếu x 2 +y 2 +z 2 =xy+yz+xz thì x=y=z. Bài toán 2: Cho a. b,c là ba số dơng. CMR: (a+b)(b+c)(c+a) = 8abc khi và chỉ khi a=b=c. PP: Ta biến đổi tơng đơng giả thiết để đa về dạng tổng các bình phơng, nhng bài này ta sử dụng bất đẳng thức (x+y) 2 4xy thì đợc kết quả dễ dàng hơn. Lời giải: Do a,b,c là ba số dơng nên ta có: (a+b) 2 4ab (b+c) 2 4bc (c+a) 2 4ac Suy ra (a+b) 2 (b+c) 2 (c+a) 2 64a 2 b 2 c 2 (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. Vậy (a+b)(b+c)(c+a) = 8abc khi và chỉ khi a=b=c. Bài toán 3: CMR: Trong ba số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau. Nếu: a 2 (b-c)+b 2 (c-a)+c 2 (a-b) = 0 PP: Đa về dạng tích đối với a,b,c. Lời giải: Ta có: a 2 (b-c)+b 2 (c-a)+c 2 (a-b) = 0 a 2 (b-c) + b 2 c b 2 a +c 2 a-c 2 b =0 a 2 (b-c) +bc(b-c) a(b 2 -c 2 ) =0 (b-c)( a 2 +bc ab-ac) = 0 (b-c)( a-b)(c-a) = 0 b-c=0 hoặc a-b=0 hoặc c-a=0 b=c hoặc a=b hoặc c=a 10 [...]...Một số bài toán CM đẳng thức và quan hệ đại số Toán 8 Vậy Trong ba số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau Bài toán 4: CMR: Nếu ba số x,y,z là ba số dơng thoả mãn x3+y3+z3=3xyz thì x=y=z PP: Bài toán này để suy ra đợc x=y=z ta cần biến đổi giả thiết về dạng tổng các . HS cách phán đoán trớc khi giải: Bài này ta có thể dự đoán một trong các số a;b;c bằng 1 cong hai số còn lại bằng 0. Lời giải: Do a 3 +b 3 +c 3 =1 và a+b+c=1. 2 +y 2 =a 2 +b 2 Chứng minh rằng: x 2009 +y 2009 = a 2009 +b 2009 ( Trong đề chọn HSG tỉnh năm 2009) PP: Đây là một bài toán với yêu cầu chứng minh với