GIẢI TOÁN SÁNG TẠO

Giải toán sáng tạo từ một định lý đờng trung bình của hình thang toán 8. Bài toán: Cho hình thang ABCD (AB // CD).M là trung điểm của AD . Qua M kẻ đờng thẳng song song với AB, cắt BC tại N . Chứng minh rằng N là trung điểm của BC. Lời giải: Cách 1: Lấy N là trung điểm của BC ( hình 1),vậy MN là đờng trung bình của hình thang ABCD, suy ra MN// AB Từ giả thiết MN // AB MN// MN MN MN N N N là trungđiểm của BC P C N B D M A B N' N M C D A Hình 1 Hình 2 Cách 2: Gọi P =AC MN(hình 2) Từ giả thiết suy ra MN// CD . xét tam giác ACD, M là trung điểm của AD, MP // CD nên MP là đờng trung bình của tam giác , suy ra P là trung điểm của AC. Xét CAB , tơng tự ta có PN là đờng trung bình của tam giác nên N là trung điểm của BC. Cách 3: Qua B , kẻ đờng thẳng song song với AD , cắt MN,CD lần lợt tại P, Q (hình3), kết hợp với giả thiết , ta suy ra ABPM và MPQD là các hình bình hành nên AM=PB., MD= PQ. Mặt khác , M là trung điểm của AD hay AM=MD nên PB= PQ hay P là trung điểm của BQ. Xét BQC,tơng tự nh cách 2 ta có PN là đờng trung bình của tam giác nên N là trung điểm của BC. D Q P NM C B A B Q P M N C D A Hình 3 Hình 4 Cách 4: Qua B , N kẻ các đờng thẳng song song với AD, lần lợt cắt MN, CD tại P, Q(hình 4). Dễ thấy ABPM và MNQD là các hình bình hành nên AM=PB, MD=NQ PB=NQ(do AM=MD). Mặt khác , PBN = QNC. (đồng vị ), BPN= NQC (cạnh tơng ứng song song cùng chiều ) Vậy BPN= NQC(g-c-g) BN=CN N là trung điểm của BC. Cách 5: (Dùng phơng pháp diện tích ) E N M B C D A Hình 5. Lấy điểm E bất kì trên đoạn MN(hình 5) Vì M là trung điểm của AD, MN//AB, AB//CD nên hoàn toàn có thể chứng minh đợc khoảng cách từ các điểm A ,B ,C , D xuống MN bằng nhau , ta kí hiệu là h Suy ra S ) 2 1 ( ENhS CENBEN == . Mặt khác , hai tam giác này có cùng chiều cao xuất phát từ E xuống BC nên BN= CN hay N là trung điểm của BC. . Giải toán sáng tạo từ một định lý đờng trung bình của hình thang toán 8. Bài toán: Cho hình thang ABCD (AB // CD).M. song song với AB, cắt BC tại N . Chứng minh rằng N là trung điểm của BC. Lời giải: Cách 1: Lấy N là trung điểm của BC ( hình 1),vậy MN là đờng trung bình