1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) Giải: Ta có: ( BĐT Côsi) Dấu “ =” xảy ra Vậy Min = tại Bài 2: Cho ba số thực thỏa . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Giải: Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: (1) Tương tự, ta có: (2) (3) Từ (1) , (2) và (3) nhân vế với vế ta được: Suy ra: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (thỏa điều kiện ban đầu) Vậy tại Cách khác: Từ giả thiết ta có: (1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: (2) Từ (1) và (2) ta được: hay Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy Mmax = tại Bài toán tổng quát: Cho thỏa mãn : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Lập luận như trên ta được Mmax tại Bài 3: Cho hàm số xác định trên . Tìm giá trị lớn nhất của trên D. Giải: Áp dụng bất thức Côsi ta có: (1) (2) (3) Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta được: (4) Nhận thấy (4) xảy ra khi và chỉ khi (1), (2) và (3) đồng thời xảy ra khi và chỉ khi . Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: (5) (6) Từ (5), (6) đưa đến: (7) Dấu “=” ở (7) xảy ra khi và chỉ khi ở (5) và (6) đồng thời xảy ra khi và chỉ khi . Từ (4) và (7) suy ra . Ta lại có . Do đó: max = 3. Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thực sau: với Giải: Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy tại Bài 5: Cho ba số thực dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Đặt: Và () Từ đó ta có: ( Bất đẳng thức Côsi) Dấu “=” xảy ra Từ () ta có Vậy với mọi số thực dương thỏa . Bài 6: Cho ba số thực dương thỏa: . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương, ta có: (1) Và (2) Từ (1) và (2) nhân vế với vế ta được: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên miền . Giải: Nhận thấy D là miền xác định của . Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: Do đó: Từ đó suy ra: Mặt khác để dấu “=” xảy ra thì Ta lại có: Vậy Bài 8: Cho hàm số . Tìm giá trị nhỏ nhất của với Giải: Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: Dấu “=” xảy ra > 0. Vậy tại Bài 9: Cho ba số thức dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: Giải: Ta viết biểu thức A lại dưới dạng sau: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: Từ đó suy ra: (BĐT Côsi) Dấu “=” xảy ra Vậy MinA = 6 tại Bài 10: Cho biểu thức sau: Tìm giá trị nhỏ nhất của P với và Giải: Ta có: (1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: (2) (3) (4) Từ (1), (2), (3) và (4) ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy Pmin = 18 tại Bài 11: Cho n số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức , Trong đó: là n số dương cho trước. Giải: Đặt , thì Và . Áp dụng bất đẳng thức Côsi mở rộng ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy Bài 1: Cho và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: . Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy MinP = tại . Bài 2: Cho các hằng số dương và các số dương thay đổi sao cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Giải: Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Dấu “=” xảy ra (1) Mặt khác: (2) Từ (1) và (2) suy ra: Vậy maxA = Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số , trên miền Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta dược: (1) Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Vì nên: (2) Từ (1) và (2) ta có: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời xảy ra kết hợp với điều kiện Ta được: Vậy Bài 4: Cho các số dương thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Ta có: (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai dãy số sau: và ta có: (2) Mà , từ (2) suy ra (3) Mặt khác theo bất đẳng thức Côsi ta có: Từ (3) ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy MinP = Bài 5: Cho hai số dương thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Ta có: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy minM = Bài toán tổng quát: Cho với Thì minP Bài 6: Cho hàm số thực . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của trên miền xác định của nó. Giải: Ta có miền xác định của Mặt khác: lẻ Và Do đó: và Với , ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski thì: Suy ra: Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy tại tại Bài 7: Cho thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy minT = tại . Bài 8: Cho ba số dương thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: Mà ta lại có: Thật vậy, từ trên ta có: (suy ra từ bất đẳng thức Cosi) Do đó: Dấu “=” xảy ra Vậy minP = 30 tại Bài toán tổng quát: Cho n số dương . Đặt Thì khi 2.3. Sử dụng bất đẳng thức vectơ Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vectơ thì biểu thức giả thiết hoặc biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có dạng tổng bình phương của các số hạng hoặc căn bậc hai của tổng bình phương hoặc là tổng của các tích của các thừa số. Bài 1: Cho hai số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng Giải: Ta có Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn Dấu “=” xảy ra Kết hợp với điều kiện ban đầu ta được: Vậy minS = tại Bài 2: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: Ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy minP = khi Bài 3: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Do đó: Dấu “=” xảy ra Kết hợp với điều kiện ban đầu Suy ra: Vậy khi Bài 4: Cho ba số dương và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn: Áp dụng bất đẳng thức ta có: (1) Nhận thấy: (2) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được: (3) Từ (2) và (3) ta có: Và do (1) nên: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy khi . Bài 5: Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn: Ta có: Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = 10 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a. Có hai trong ba vectơ bằng vectơ b. Có một trong ba vectơ bằng vectơ Giả sử thì c. Không có vectơ nào bằng vectơ Bài 6: Cho các số dương thỏa . Tìm giá trị bé nhất của biểu thức Giải: Trong không gian Oxyz chọn: Ta có: Mà: Mặt khác ta có: = 4 Từ đó ta có: Vậy: minF = 16 khi Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: Ta có: Dấu “=” xảy ra Vậy tại Bài 8: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Ta có: Trong mặt phẳng tọ độ Oxy chọn: Mà: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy: khi Bài 9: Cho ba số dương thỏa: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: Ta có: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: Và Mặt khác: Do đó: Mà: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Vậy khi
Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x) x ( x0) x3 Giải: 3 1 �1 � ( BĐT Côsi) �5 � x � 3 x x 27 �3 �x Dấu “ =” xảy � x � x � x 3 x Vậy Min f x = x 27 Ta có: f ( x) x x x Bài 2: Cho ba số thực a, b, c 0 thỏa 1 2 1 a 1 b 1 c Tìm giá trị lớn biểu thức M abc Giải: Ta có: 1 1 1 2 2 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 b c 1 1 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: bc b c 2 1 b 1 c 1 b 1 c 1 a bc b 1 c (1) Tương tự, ta có: ac 2 1 b 1 a 1 c (2) ab 2 1 c 1 a 1 b (3) Từ (1) , (2) (3) nhân vế với vế ta được: �1 � �1 � �1 � �8 � � � � � a �� 1 b � 1 c � � � � ۳ Suy ra: 1 a 1 b 1 c M abc � Dấu “=” xảy Trang a 2b c 2 2 1 a 1 b 1 c abc 1 a 1 b 1 c Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình 1 1 � a bc 1 a 1 b 1 c (thỏa điều kiện ban đầu) 1 Vậy M max a b c Cách khác: Từ giả thiết ta có: b c a c a b �2 a b c � a b c ab bc ac �2 a b c ۳ 2abc ab bc ac (1) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: 2abc ab bc ac �4 2a 3b3c Từ (1) (2) ta được: � 4 2a 3b3c3 (2) 8abc hay M abc � Dấu “=” xảy 2abc ab bc ac � a b c Vậy Mmax = a b c 2 Bài toán tổng quát: Cho a1 , a2 , , an thỏa mãn : n �n � i 1 Tìm giá trị lớn biểu thức M a1.a2 an Lập luận ta Mmax 2n a1 a2 an n 1 Bài 3: Cho hàm số f ( x) x x x xác định D x �R : 1 �x �1 Tìm giá trị lớn f ( x) D Giải: Áp dụng bất thức Cơsi ta có: x2 1 x.4 1 x � x x � 1 x 1 x 1 x 1 Trang (1) (2) Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình x x � 1 x 1 (3) Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta được: f ( x) �1 x x x �D (4) Nhận thấy (4) xảy (1), (2) (3) đồng thời xảy x Lại áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: 1 1 x x x � (5) 1 1 x x x � (6) Từ (5), (6) đưa đến: x x �2 � x x �3 (7) Dấu “=” (7) xảy (5) (6) đồng thời xảy x Từ (4) (7) suy f ( x) �3 x �D Ta lại có f (0) 3, �D Do đó: max f ( x) = Bài 4: Tìm giá trị nhỏ hàm số thực sau: f ( x) 1 x 1 x với x 1 Giải: Ta có: f ( x ) 1 1 x x x � �1 x � �1 � � x 1 x x 1 x � 1 x 1 x � x � � �x � 1 x x 2 x 1 x Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: f ( x) 1 x x 1 x x �2 24 x 1 x x 1 x Dấu “=” xảy Vậy f ( x) x 1 x x � x x 1 x 2 Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c Trang Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Giải: Đặt: x b c, �a b c Và a y c a, a b c bc ca a b z ab x y z yzx , b zx y , c x yz (*) Từ ta có: P � y z x z x y x y z �y z z x x y � 3� 2x 2y 2z 2� x y z � �y 1� � � 2� �x x � �z x � �z � � � y�� �x z � �y � 3 2 y� � � 3� z� � ( Bất đẳng thức Côsi) �y x �x y � �z x Dấu “=” xảy � � � x y z �x z �z y �y z � Từ (*) ta có a b c Vậy Pmin với số thực dương a, b, c thỏa a b c Bài 6: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa: a b c Tìm giá trị lớn biểu thức S abc a b b c c a Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương, ta có: a �۳ b c 33 abc 33 abc Trang (1) Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Và a b b c c a �3 a b b c c a ۳ 33 a b b c c a (2) Từ (1) (2) nhân vế với vế ta được: �9 abc a b b c c a S ۳ 93 S ۣ S 729 Dấu “=” xảy a b c Vậy Smax 729 Bài 7: Tìm giá trị lớn hàm số f ( x) x x 2x2 1� � miền D �x �R : 1 �x � � � Giải: Nhận thấy D miền xác định f ( x) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: x x x x x x 2x f ( x) � 2 Do đó: Từ suy ra: 2 x 2x2 � f ( x) x x �D f ( x) �1 Mặt khác để dấu “=” xảy � � 1 x x2 � 1 x � x �D � � � 1 �x � � Ta lại có: f (0) Trang x �D Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình f ( x) Vậy max x�D � �1 Bài 8: Cho hàm số f ( x) x � � x � �x Tìm giá trị nhỏ f ( x) với x Giải: � � �1 � � Ta có: f ( x ) x � 1� � 1 x � � 1� � x � � �x �x � � Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: � 1� f ( x ) �� x � 16 x � � Dấu “=” xảy � x > f ( x) 16 x Vậy x 0 Bài 9: Cho ba số thức dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: �1 1 � a b c A abc 1 � � a b c �a b c � b c a Giải: Ta viết biểu thức A lại dạng sau: a� � b� � c � 1 � A� ab � � bc � � ac � a b c � b�� c� � a� a b c Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: ab a �2a , b bc b �2b , c Từ suy ra: A �2a 2b 2c ۳ A abc ac c �2c a 1 a b c a b c 1 � 1� � 1� � 1� � a � � b � � c � a b c � a� � b�� c� 1 ۳ A a b c a b c Dấu “=” xảy � a b c Trang (BĐT Côsi) Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Vậy MinA = a b c � ab bc ca � Bài 10: Cho biểu thức sau: P a b c � a3 b3 � � c � Tìm giá trị nhỏ P với a 0, b 0, c abc 3 Giải: �a a b3 b3 c c � Ta có: P � � �b c c a a b � �a 4b ab5 b 4c bc5 a5c a 2c � � � ab bc ca c a a b b � �c (1) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: a3 a b3 b3 c c3 a a b3 b3 c3 c3 �6 b3 c c a a b b c c a a b (2) a 4b ab b 4c bc a 5c a 2c a 4b ab b 4c bc a 5c a 2c � c3 c3 a3 a3 b3 b3 c3 c3 a a3 b3 b3 � a 4b ab5 b 4c bc a 5c a 2c �6abc c3 c a a b b ab bc ca �3 ab2 bc ca 3abc Từ (1), (2), (3) (4) ta có: P �3 18 Dấu “=” xảy � a b c Vậy Pmin = 18 a b c n �2 thỏa mãn x1 x2 xn a Tìm giá trị lớn biểu thức S x1a1 x2a2 xn n , Trong đó: a1 , a2 , a3 , , an n số dương cho trước Bài 11: Cho n số dương x1 , x2 , x3 , , xn Giải: Đặt a a1 a2 an , bi a i 1, 2, , n bi Và b1 b2 bn Áp dụng bất đẳng thức Cơsi mở rộng ta có: Trang (3) (4) Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình b1 b2 bn �x1 � �x2 � �xn � b1 b2 bn � �.� � � � � x1 x2 xn a2 an �a1 � �a2 � �an � a1 1 � x1 x2 xn a a � S x1a1 x2a2 xnan � a a1a1 a2a2 anan a xn x x xn x1 x2 x x1 x2 � n Dấu “=” xảy � a1 a2 an a1 a2 an a1 a2 an x a x x � n � xi i i 1, 2, , n a a1 a2 an a a a a Vậy Smax a a1 a2 an n a Bài 1: Cho a, b, c � a b c Tìm giá trị lớn biểu thức sau: P 4a 4b 4c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 4a 4b 4c � 1 4a ab ac 3 �3 a b c �3 4.3 63 � P 4a 4b 4c �3 � 4a 4b 4c � 1 � � a b c 1 � a b c 1 Dấu “=” xảy � � � � a, b, c � � Vậy MinP = a b c Bài 2: Cho số dương a, b, c số dương x, y, z thay đổi cho a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x y z x y z Giải: a b c x y z Ta có: a b c x y z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: Trang Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình a b c � 2 �a � �a b c � b c � x y z ��� � x y z x y z x y z � � � � a b c Dấu “=” xảy Mặt khác: �x y z b y a x x � a b c 1 x y z y z Vậy maxA = a b c (1) (2) b c Từ (1) (2) suy ra: x a y c z � a b c x y z z c c a b c a b a b Bài 3: Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x, y, z ) x y z , miền D x, y, z : x, y, z xy yz zx 1 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta dược: 1.x y 1.z �3 x y z (1) Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: xy yz zx � x y z x y z x y z Vì xy yz zx nên: x y z �1 (2) 4 Từ (1) (2) ta có: x y z �1 Dấu “=” xảy (1) (2) đồng thời xảy �x y z � � �x y z kết hợp với điều kiện xy yz zx �y z x � ۳ f ( x, y , z ) Ta được: x y z Vậy Max f ( x, y, z ) ( x , y , z )�D 3 Trang Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Bài 4: Cho số dương a, b, c thỏa a b2 c Tìm giá trị nhỏ biểu a3 b3 c3 thức P a 2b 3c b 2c 3a c 2a 3b Giải: Ta có: P a4 b4 c4 a 2ab 3ac b 2bc 3ba c 2ca 3cb (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai dãy số sau: a 2ab 3ac , b2 2bc 3ba , c 2ca 3cb a2 a 2ab 3ac a b c , b2 b 2bc 3ba , c2 c 2ca 3cb ta có: � � a4 b4 c4 �� � �a 2ab 3ac b 2bc 3ba c 2ca 3cb � 2 a ab 3ac b 2bc 3ba c 2ca 3cb � a b c �P � a b c ab bc ca � � � (2) Mà a b c , từ (2) suy P� ab bc ca Mặt khác theo bất đẳng thức Cơsi ta có: a b �2ab � � b c �2bc �� ab bc ca �a b c c a �2ca � � 1 � Từ (3) ta có: P � ab bc ca 5.1 Dấu “=” xảy � a b c Vậy MinP = 3 Trang 10 (3) Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Bài 5: Cho hai số dương a, b thỏa a 1,0 b Tìm giá trị nhỏ biểu a2 b2 ab thức M 1 a 1 b a b Giải: Ta có: a2 b2 M 1 a 1 b 2 1 a 1 b ab a a b2 b2 2 1 a 1 b a b 1 2 1 a 1 b a b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 1 � � 1 a 1 b a b �� � 1 b ab � 1 a � 1 � �1 �� � a b a b � � � 1 a 1 b a b � � � 1 ��۳ 1 a 1 b ab M 2 �1 � � 1 a a b � ab Dấu “=” xảy � � �1 � 1 b a b Bài toán tổng quát: a12 a22 an2 P Cho với i 1, n a1 a2 an a1 a2 an 2n Thì minP n Vậy minM = Bài 6: Cho hàm số thực f ( x) x 2007 2009 x Tìm giá trị lớn nhỏ f ( x) miền xác định Giải: 2009; 2009 � Ta có miền xác định f ( x ) : D � � � Mặt khác: f ( x ) x 2007 2009 x f ( x ) � f ( x ) hàm lẻ Trang 11 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình 0; 2009 � Và f ( x) �0, x �D � � � Do đó: max f ( x ) max f ( x) f ( x) max f ( x) x�D x�D x�D x�D Với x �D , ta có: f ( x) x 2007 2007 2009 x Theo bất đẳng thức Bunhiacopski thì: 2007 2007 2009 x � 2008 2007 2009 x � 2008 4016 x Suy ra: f ( x) �x 2008 4016 x 2008 x 4016 x Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x 4016 x f ( x ) � 2008 2008.2008 � 2007 2009 x � � x 2008 Dấu “=” xảy � � 2007 �x 4016 x � f ( x) 2008 2008 x 2008 Vậy max x�D f ( x) 2008 2008 x 2008 x�D Bài 7: Cho x, y, z thỏa mãn thức T 2 xy yz zx Tìm giá trị nhỏ biểu x y z x y yz z x Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 1 x y y z z x � x y z y z x x y z x y z � x � � x y � x y y yz � x2 y2 �� x y y z � � T x y z z yz zx � z x �� � � z2 � x y y z z x 2T x y z � zx� Dấu “=” xảy � x y z 1 Vậy minT = x y z Trang 12 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Bài 8: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: a b c Tìm giá trị nhỏ biểu 1 1 thức P 2 a b c ab bc ca Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: � � 1 1 100 � a b2 c ab bc ca �� 2 ab bc ca � a b c � 1 1 � � �� � a b c 9ab 9bc 9ca 2 ab bc ca � �a b c �P � P� ab bc ca � a b c ab bc ca � � � � � Mà ta lại có: a b c �ab bc ca Thật vậy, từ ta có: a b c �3 ab bc ca Do đó: � a b c �ab bc ca (suy từ bất đẳng thức Cosi) � 10 � 100 �P � a b c � P � � ۳ P 30 Dấu “=” xảy � a b c Vậy minP = 30 a b c Bài toán tổng quát: Cho n số dương a1 , a2 , , an n �2 a1 a2 an Đặt P = 1 1 a1 a2 a n a1a2 a2 a3 an 1an an a1 Thì P n n3 n a1 a2 a n n 2.3 Sử dụng bất đẳng thức vectơ Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vectơ biểu thức giả thiết biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có dạng tổng bình phương số hạng bậc hai tổng bình phương tổng tích thừa số Trang 13 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Bài 1: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ tổng S 3 x y Giải: Ta có S 3x y 3x y Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn 35 u , u 2 v x, y v x y u.v 2 x y 1 u v Dấu “=” xảy 35 3x y 3x y 35 y 9 x 3x y Kết hợp với điều kiện ban đầu ta được: x Vậy minS = ,y 35 35 x , y 35 35 35 Bài 2: Cho x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y z Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: u x, y, z u x y z v z , x, y v x y z 2 2 Ta có: u.v u v xz xy yz x y z 2 x y z 2 xz xy yz 3 x y z x y z xz xy yz 3 x y z x y z 1 x2 y z x y z Dấu “=” xảy x y z z x y 1 Vậy minP = x y z 3 2 Bài 3: Cho a b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A a b b a Giải: Trang 14 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: u a, b u a b 1 v 1 b, 1 a v a b Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 1.a 1.b 2 a b Do đó: v A u.v a b b a u v x y a b 1 b 1 a Kết hợp với điều kiện ban đầu a b 1 Suy ra: a b 2 Vậy A max a b Dấu “=” xảy Bài 4: Cho ba số dương x, y, z x y z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau P x 1 y2 z2 2 x y z Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn: 1 u x, u x x x 1 v y, v y y y 1 w z , w z z x 1 1 u v w x y z , x y z Áp dụng bất đẳng thức u v w u v w ta có: 1 x y2 z2 x y z x y z x y z 2 (1) 1 1 2 Nhận thấy: x y z 81 x y z 80 x y z x y z 1 1 x y z Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được: Trang 15 (2) Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình 1 1 1 1 81 x y z 2.9 x y z x y z x y z 2.9.33 xyz 33 2.81 xyz Từ (2) (3) ta có: (3) x y z 2.81 80 82 x y z Và (1) nên: 1 P x y z 82 x y z Dấu “=” xảy x y z Vậy Pmin 82 x y z Bài 5: Cho a b c 2 ax by cz 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 16a ax 16b by 16c cz 2 Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn: u 4a, ax u 16a ax v 4b, by v 16b by 2 w 4c, cz w 16c cz u v w 4 a b c , ax by cz 8,6 u v w 10 Ta có: u v w u v w P 16a ax 16b by 16c cz 10 Giá trị nhỏ P: Pmin = 10 Dấu “=” xảy khi: a Có hai ba vectơ vectơ b Có ba vectơ vectơ Giả sử u 0 w k v k c Khơng có vectơ vectơ 2 Trang 16 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình a kb ax kby a ax x y z 3 b by k by mcz a b c 2 b by m k , m a, b, c c cz a b c 2 ax by cz 0 Bài 6: Cho số dương x, y, z thỏa xy yz zx 4 Tìm giá trị bé biểu thức F x y z Giải: Trong không gian Oxyz chọn: u x , y , z u x y z v 1,1,1 v Ta có: u.v x y z 2 Mà: u.v u v 3 x y z x y z Mặt khác ta có: x y 2 xy y z 2 yz z x 2 zx 2 x y z 2 xy yz zx x y z xy yz zx = 16 4 4 4 Từ ta có: 3 x y z 4 16 x y z Vậy: minF = 16 x y z 13 Bài 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A a 4a a 2ab b b 6b 10 Giải: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: u a 2,2 u a 4a v a b,2 v a b w b 3,1 w b 6b 10 u v w 5,5 u v w 5 Trang 17 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình Ta có: u v w u v w a 4a a 2ab b b 6b 10 5 a b 2 a 0, b 2 Dấu “=” xảy a a b 1 Vậy A 5 a 0, b 2 Bài 8: Cho a R Tìm giá trị nhỏ biểu thức M a 4a 13 a 2a Giải: Ta có: M a 2 a 1 Trong mặt phẳng tọ độ Oxy chọn: u a 2,3 u a 2 v a 1,2 v a 1 u v 3,5 u v 34 Mà: u v u v a 2 a 1 Dấu “=” xảy a Vậy: M 34 a 34 5 Bài 9: Cho ba số dương a, b, c thỏa: ab bc ca abc Tìm giá trị nhỏ b 2a c 2b a 2c biểu thức B ab bc ca Giải: 2 2 2 2 a b b c c a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn: Ta có: B Trang 18 Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình 1 u , a 1 v , b 1 w , c 2 u b a b 2 v c b c 2 w a c a 1 1 1 Và u v w , a b c a b c 1 Mặt khác: ab bc ca abc 1 a b c Do đó: u v w 1, u v w Mà: u v w u v w 2 2 2 a b b c c a Dấu “=” xảy a b c 3 Vậy Bmin a b c 3 B Trang 19 ...Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình 1 1 � a bc 1 a 1 b 1 c (thỏa điều kiện ban đầu) 1 Vậy M max ... 1 x.4 1 x � x x � 1 x 1 x 1 x 1 Trang (1) (2) Vận dụng bất đẳng thức tìm GTLN - GTNN giải phương trình x x � 1 x 1 (3) Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta được: f ( x)... đưa đến: x x �2 � x x �3 (7) Dấu “=” (7) xảy (5) (6) đồng thời xảy x Từ (4) (7) suy f ( x) �3 x �D Ta lại có f (0) 3, �D Do đó: max f ( x) = Bài 4: Tìm giá trị nhỏ hàm số