Mục lục LŨY THỪA-MŨ-LOGARIT Phần Trang LŨY THỪA-MŨ-LOGARIT 1 Khái Niệm Lũy Thừa Logarit VÍ DỤ MINH HỌA BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Logarit 10 Hàm Số Mũ 11 VÍ DỤ MINH HỌA 13 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 15 KIẾN THỨC CƠ BẢN 15 VÍ DỤ MINH HỌA 16 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .17 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT20 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 20 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 20 VÍ DỤ MINH HỌA 21 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 21 Lãi Đơn 21 Lãi Kép 22 Gửi Tiền Hàng Tháng Vào Ngân Hàng 22 Gửi tiền vào ngân hàng rút tiền hàng tháng 23 Bài tốn vay vốn trả góp 24 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Lãi kép liên tục 25 VÍ DỤ MINH HỌA 25 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .26 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 187 Phan Đình Phùng Tp Huế Phần LŨY THỪA-MŨ-LOGARIT §1 LŨY THỪA-MŨ-LOGARIT 1.1 Khái Niệm Lũy Thừa Định nghĩa Lũy thừa với số mũ nguyên dương Với a số thực tùy ý, lũy thừa bậc n a tích n thừa số a an = a · a · · · · a (n ∈ N∗ , a ∈ R) n thừa số Lũy thừa với số mũ không Với a = 0, a0 = Lũy thừa với số mũ nguyên âm Với a = a−n = n Ta gọi a số, n mũ số Chú ý: 0◦ 0−n khơng có nghĩa a Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Cho số thực a > số hữu tỷ r = m , m, n ∈ Z, n ≥ .Khi n m √ ar = a n = n m Lũy thừa với số mũ vô tỉ Giả sử a số dương α số vô tỷ (rn ) dãy số hữu tỷ cho n lim rn = r Khi lim ar = aα Một số tính chất lũy thừa 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Tính chất đẳng thức: Cho a = 0; b = 0; m, n ∈ R, ta có a) am · an = am+n ; b) am = am−n ; an c) (am )n = am×n ; Å ãm a am e) = m b b d) (a · b)m = am · bm ; Tính chất bất đẳng thức: So sánh số: Cho m, n ∈ R Khi Với a > am > an ⇔ m > n; Với < a < am > an ⇔ m < n So sánh số mũ: Với số mũ dương n > : a > b > ⇒ an > bn Với số mũ âm n < : a > b > ⇒ an < bn Một số tính chất bậc n Cho số thực b số nguyên dương n ≤ Số a gọi bậc n số b an = b Với n lẻ: b ∈ R có bậc n b, tức số thực có √ bậc lẻ, kí hiệu n b Với n chẵn: b < 0: không tồn bậc n b b = 0: có bậc n b số b > 0: có hai giá trị bậc n b trái dấu, kí hiệu giá trị dương √ âm n b √ n b, giá trị Với a, b ∈ R; n ∈ N∗ , ta có: √ a2n = |a|, ∀a; √ 2n 2n+1 » » √ ab = 2n |a| · 2n |b|, ∀ab ≥ 0; √ 2n … 2n 2n+1 a2n+1 = a, ∀a 2n+1 a = b 2n+1 » 2n |a| a » , ∀ab ≥ 0, b = 0; = 2n b |b| … 2n+1 √ a· ab = √ 2n+1 b, ∀a, b √ a √ , ∀a, ∀b = 2n+1 b √ √ m n am = ( n a) , ∀a > 0, n nguyên dương, m nguyên 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 » n Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh √ √ m a = nm a, ∀a ≥ 0, n,m nguyên dương √ √ p q = n ap = m aq , ∀a > 0, m, n nguyên dương p, q nguyên n m √ √ Đặc biệt: n a = m·n am Nếu 1.2 Logarit Định nghĩa Cho hai số dương a, b với a = Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b gọi logarit số a b kí hiệu loga b α = loga b ⇔ aα = b Khơng có logarit số âm số ! Khi a = 10 số thập phân ta ký hiệu: log x (log x hiểu log10 x) Khi a = e ≈ 2, 712818 số tự nhiên ta kí hiệu: ln x Tóm tắt cơng thức loga = 0, (0 < a = 1) loga a = 1, (0 < a = 1) α α logaβ bα = · loga b β loga bα = α · loga b, (a, b > 0, a = 1) logaα a = loga b + loga c = loga (bc) Ç å loga b − loga c = loga b c loga b = logb a Công thức đổi số: Cho số dương a, b, c với a = 1, c = 1, ta có logc b loga b = logc a 1 Đặc biệt loga c = logaα b = loga b với α = logc a α 1.3 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Với a số thực dương tùy ý, ln(7a) − ln(3a) ln(7a) ln 7 A B C ln D ln(4a) ln(3a) ln 3 THPT QUỐC GIA - 2018 - 103 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Lời Giải Ç 7a Ta có ln(7a) − ln(3a) = ln 3a å = ln Vậy ta chọn đáp án C Ví dụ Cho a > 0, b > thỏa mãn log4a+5b+1 (16a2 +b2 +1)+log8ab+1 (4a+5b+1) = Giá trị a + 2b A B C 27 20 D THPT QUỐC GIA - 2018 - 103 Lời Giải √ 16a2 + b2 16a2 b2 Do a, b > nên ⇒ log4a+5b+1 (16a2 + b2 + 1) 4a + 5b + > Do log4a+5b+1 (16a2 + b2 + 1) + log8ab+1 (4a + 5b + 1) log4a+5b+1 (8ab + 1) log4a+5b+1 (8ab + 1) + log8ab+1 (4a + 5b + 1) (áp dụng BĐT Cô-si) a = = b ; a > 0, b > =b>0 Dấu xảy ⇔ ⇔ ⇔ 8ab + = 4a + 5b + 2b2 + = 6b + b = 27 Vậy a + 2b = 16a2 4a 1.4 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho a số thực dương tùy ý khác Mệnh đề đúng? 1 A log2 a = loga B log2 a = C log2 a = D log2 a = − loga log2 a loga (THPT QUỐC GIA 2017 - 104) Câu Cho a số thực dương khác Mệnh đề với số thực dương x, y? x = loga x − loga y y x C loga = loga (x − y) y x = loga x + loga y y x loga x D loga = y loga y A loga B loga (THPT QUỐC GIA 2017 - 102) Câu Với a số thực dương tùy ý, ln(5a) − ln(3a) ln(5a) A B ln(2a) C ln ln(3a) D ln ln (THPT QUỐC GIA 2018 - 101) 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Câu Với a số thực dương tuỳ ý, log3 (3a) A log3 a B + log3 a C + log3 a D − log3 a (THPT QUỐC GIA 2018 - 102) Ç å Câu Với a số thực dương tùy ý, log3 A − log3 a a B − log3 a C log3 a D + log3 a (THPT QUỐC GIA 2018 - 104) Câu Cho a > 0, b > thỏa mãn log3a+2b+1 (9a2 + b2 + 1) + log6ab+1 (3a + 2b + 1) = Giá trị a + 2b A B C D (THPT QUỐC GIA 2018 - 101) Câu Cho a > 0, b > thỏa mãn log10a+3b+1 (25a2 + b2 + 1) + log10ab+1 (10a + 3b + 1) = Giá trị a + 2b A B C 22 D 11 (THPT QUỐC GIA 2018 - 102) Câu Cho a > 0, b > thỏa mãn log2a+2b+1 (4a2 + b2 + 1) + log4ab+1 (2a + 2b + 1) = Giá trị a + 2b 15 A B C D (THPT QUỐC GIA 2018 - 104) Câu Rút gọn biểu thức P = x · A P = x8 √ x với x > B P = x2 C P = √ x D P = x9 (THPT QUỐC GIA 2017 - 102) √ Câu 10 Rút gọn biểu thức Q = b : b với b > − A Q=b B Q = b9 C Q = b D Q = b3 (THPT QUỐC GIA 2017 - 103) Câu 11 Cho a số thực dương khác Tính I = log√a a A I= B I = C I = −2 D I = (THPT QUỐC GIA 2017 - 101) 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Ç 2å a Câu 12 Cho a số thực dương khác Tính I = log a 1 A I= B I = C I=− 2 D I = −2 (THPT QUỐC GIA 2017 - 103) Câu 13 Với a, b số thực dương tùy ý a khác 1, đặt P = loga b3 + loga2 b6 Mệnh đề đúng? A P = loga b B P = 27 loga b C P = 15 loga b D P = loga b (THPT QUỐC GIA 2017 - 101) Câu 14 Với a, b, x số thực dương thỏa mãn log2 x = log2 a + log2 b, mệnh đề đúng? A x = 3a + 5b C x = a5 + b B x = 5a + 3b D x = a5 b (THPT QUỐC GIA 2017 - 104) Câu 15 Cho loga b = loga c = Tính P = loga (b2 c3 ) A P = 31 B P = 13 C P = 30 D P = 108 (THPT QUỐC GIA 2017 - 102) Câu 16 Cho loga x = 3, logb x = với a, b số thực lớn Tính P = logab x 12 A P = B P = C P = 12 D P = 12 12 (THPT QUỐC GIA 2017 - 101) Câu 17 Cho x, y số thực lớn thỏa mãn x2 + 9y = 6xy Tính + log12 x + log12 y M= log12 (x + 3y) 1 A M= B M = C M= D M= (THPT QUỐC GIA 2017 - 102) Câu 18 Cho log3 a = log2 b = Tính I = log3 [log3 (3a)] + log b2 A I= B I = C I = D I= (THPT QUỐC GIA 2017 - 103) Câu 19 Với số thực dương a b thỏa mãn a2 + b2 = 8ab, mệnh đề đúng? A log(a + b) = (log a + log b) C log(a + b) = (1 + log a + log b) 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế B log(a + b) = + log a + log b D log(a + b) = + log a + log b 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh (THPT QUỐC GIA 2017 - 103) Câu 20 Với số thực dương x, y tùy ý, đặt log3 x = α, log3 y = β Mệnh đề đúng? Ç √ å3 Ç √ å3 ã Å x α A log27 −β =9 y Ç √ å3 ã Å x α C log27 +β =9 y x α = + β y Ç √ å3 α x D log27 = − β y B log27 (THPT QUỐC GIA 2017 - 104) ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM C 11 D A 12 B §2 C 13 D C 14 D A 15 B C 16 D D 17 B A 18 D C 10 D 19 C 20 D HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 2.1 Hàm Số Lũy Thừa Định nghĩa Xét hàm số y = xα , với α số thực cho trước Hàm số y = xα , với α ∈ R, gọi làm hàm số lũy thừa Tập xác định Với α nguyên dương, D = R Với α nguyên âm 0, D = R \ {0} Với α không nguyên, D = (0; +∞) Tập giá trị G = (0; +∞) Đạo hàm (uα ) = αu · uα−1 Tính đơn điệu 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến y = xα , α > Đạo hàm: y = αx α−1 y = xα , α < Đạo hàm: y = αxα−1 < 0, ∀x > > 0, ∀x > Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim+ xα = 0, x→0 lim xα = +∞, lim xα = +∞ x→0+ lim xα = x→+∞ x→+∞ Ox tiệm cận ngang, Oy tiệm cận đứng Khơng có tiệm cận đồ thị Bảng biến thiên x y /ToanTienNhanh Bảng biến thiên +∞ x y + +∞ +∞ − +∞ y y −∞ −∞ y a>1 a=1 0 (THPT QUỐC GIA 2017 - 104) Câu Tính đạo hàm hàm số y = log2 (2x + 1) A y = B y = (2x + 1) ln (2x + 1) ln 2 C y = D y = 2x + 2x + (THPT QUỐC GIA 2017 - 102) 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 13 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Câu y Cho hai hàm số y = ax , y = bx với a, b hai số thực dương khác 1, có đồ thị (C1 ) (C2 ) hình bên Mệnh đề (C1 ) (C2 ) đúng? A < a < b < B < b < < a C < a < < b D < b < a < x O (THPT QUỐC GIA 2017 - 103) Câu Xét số nguyên dương a, b cho phương trình a ln2 x + b ln x + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 phương trình log2 x + b log x + a = có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2 > x3 x4 Tìm giá trị nhỏ Smin S = 2a + 3b A Smin = 30 B Smin = 25 C Smin = 33 D Smin = 17 (THPT QUỐC GIA 2017 - 104) Câu 10 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log3 nhỏ Pmin √ P = x + y 11 − 19 A Pmin = √9 18 11 − 29 C Pmin = 21 − xy = 3xy + x + 2y − Tìm giá trị x + 2y B Pmin D Pmin √ 11 + 19 = √ 11 − = (THPT QUỐC GIA 2017 - 101) − ab = 2ab + a + b − Tìm giá trị nhỏ a+b √ 10 − B Pmin = √ 2 10 − D Pmin = Câu 11 Xét số thực dương a, b thỏa mãn log2 Pmin P√ = a + 2b 10 − A Pmin = √ 2 10 − C Pmin = (THPT QUỐC GIA 2017 - 102) 9t với m tham số thực Gọi S tập hợp tất 9t + m2 giá trị m cho f (x) + f (y) = với số thực x, y thỏa mãn ex+y ≤ e(x + y) Tìm Câu 12 Xét hàm số f (t) = số phần tử S A B D C Vô số (THPT QUỐC GIA 2017 - 103) ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM B D D C B D B B A 10 D 11 A 12 D 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 14 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 §3 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 3.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương trình mũ lơgarit Phương trình mũ có dạng: ax = m (1) Nếu m > phương trình (1) có nghiệm x = loga m Nếu m ≤ phương trình(1) vơ nghiệm Phương trình logarit có dạng loga x = m (2) Với m ∈ R, phương trình (2) ln có nghiệm x = am Phương pháp đưa số Với a > a = ta có: af (x) = ag(x) ⇔ f (x) = g(x) f (x) = g(x) loga f (x) = loga g(x) ⇔ f (x) > g(x) >0 Phương pháp lơgarit hố af (x) = b ⇔ f (x) = loga b af (x) = bg(x) ⇔ f (x) = g(x) loga b loga f (x) = b ⇔ f (x) = ab Phương pháp đặt ẩn phụ Bằng phương pháp chọn ẩn thích hợp, ta đưa tốn phương trình mũ, phương trình logarit phương trình đơn giải Từ dễ dàng giải tốn ban đầu Thơng thường ta dùng tính chất đơn điệu hàm số để đánh giá hai vế Xét phương trình: f (x) = g(x)(1) Nếu f (x) hàm đồng biến nghịch biến, g(x) hàm hằng, tồn x0 thoả mãn f (x0 ) = g (x0 ) x0 nghiệm phương trình (1) 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 15 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Nếu f (x)là hàm đồng biến, g(x) hàm nghịch biến (hoặc f (x) nghịch biến, g(x) đồng biến), tồn x0 thoả mãn f (x0 ) = g (x0 ) x0 nghiệm phương trình (1) Nếu y = f (t) hàm số đơn điệu f (u(x)) = f (v(x)) ta có: u(x) = v(x) 3.2 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Phương trình 22x+1 = 32 có nghiệm A x= B x = C x= D x = 2 THPT QUỐC GIA - 2018 - 101 Lời Giải: Ta có 22x+1 = 32 ⇔ 2x + = ⇔ x = Ví dụ Tập nghiệm phương trình log2 (x2 − 1) = A {−3; 3} B {−3} √ √ D {− 10; 10} C {3} THPT QUỐC GIA - 2018 - 102 Lời Giải x=3 Ta có log2 (x2 − 1) = ⇔ x2 − = 23 ⇔ x = −3 Vậy tập nghiệm phương trình cho {−3; 3} Ví dụ Gọi S tất giá trị nguyên tham số m cho phương trình 4x − m · 2x+1 + 2m2 − = có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có phần tử? A B C D THPT QUỐC GIA - 2018 - 103 Lời Giải Ta có 4x − m · 2x+1 + 2m2 − = ⇔ 4x − 2m · 2x + 2m2 − = (1) Đặt t = 2x , t > Phương trình (1) thành: t2 − 2m · t + 2m2 − = (2) Yêu cầu tốn ⇔ (2) có nghiệm dương phân biệt √ √ 2 < m < − ∆ > m − 2m + > P 2m2 ⇔ S > ⇔ 2m > >0 ⇔ m −5>0 √ m>0 ⇔ √ 10 < m < Do m số nguyên nên m = Vậy S có phần tử 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 16 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Ví dụ Cho phương trình 7x + m = log7 (x − m) với m tham số Có giá trị nguyên m ∈ (−25; 25) để phương trình cho có nghiệm? A B 25 C 24 D 26 THPT QUỐC GIA - 2018 - 103 Lời Giải Điều kiện: x > m 7x Đặt t = log7 (x − m) ta có +m=t ⇒ 7x + x = 7t + t (1) +m=x Do hàm số f (u) = 7u + u đồng biến R nên ta có (1) ⇔ t = x Tức t 7x + m = x ⇔ m = x − 7x Xét hàm số g(x) = x − 7x ⇒ g (x) = − 7x ln = ⇔ x = − log7 (ln 7) = x0 Bảng biến thiên: x −∞ g (x) − log7 (ln 7) + − +∞ g(x0 ) g(x) −∞ −∞ g (− log7 (ln 7)) ≈ −0,856 Từ phương trình cho có nghiệm m (các nghiệm thỏa mãn điều kiện x − m = 7x > 0) Do m nguyên thuộc khoảng (−25; 25) nên m ∈ {−24; −16; ; −1} 3.3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho phương trình 4x + 2x+1 − = Khi đặt t = 2x , ta phương trình đây? A 2t2 − = B t2 + t − = C 4t − = D t2 + 2t − = (THPT QUỐC GIA 2017 - 101) Câu Tìm nghiệm phương trình log2 (1 − x) = A x = −4 B x = −3 C x = D x = (THPT QUỐC GIA 2017 - 102) Câu Tìm nghiệm phương trình log25 (x + 1) = A x = −6 B x = C x = D x= 23 (THPT QUỐC GIA 2017 - 103) 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 17 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Câu Tìm nghiệm phương trình log2 (x − 5) = A x = 21 B x = C x = 11 D x = 13 (THPT QUỐC GIA 2017 - 104) Câu Tập nghiệm S phương trình log3 (2x + 1) − log3 (x − 1) = A S = {4} B S = {3} C S = {−2} D S = {1} (THPT QUỐC GIA 2017 - 103) Câu Tìm tập nghiệm S phương trình log√2 (x − 1) + log (x + 1) = ¶ A S = 2+ ¶ √ √ © B S = − 5; + √ + 13 D S= √ © C S = {3} (THPT QUỐC GIA 2017 - 102) Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 3x = m có nghiệm thực A m ≥ B m ≥ C m > D m = (THPT QUỐC GIA 2017 - 104) Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 4x − 2x+1 + m = có hai nghiệm thực phân biệt A m ∈ (−∞; 1) B m ∈ (0; +∞) C m ∈ (0; 1] D m ∈ (0; 1) (THPT QUỐC GIA 2017 - 102) Câu Tìm giá trị thực tham số m để phương trình log23 x − m log3 x + 2m − = có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 = 81 A m = −4 B m = C m = 81 D m = 44 (THPT QUỐC GIA 2017 - 101) Câu 10 Tìm giá trị thực tham số m để phương trình 9x − · 3x+1 + m = có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = A m = B m = −3 C m = D m = (THPT QUỐC GIA 2017 - 104) Câu 11 Phương trình 52x+1 = 125 có nghiệm A x= B x= C x = 2 D x = (THPT QUỐC GIA - 2018 - 104) 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 18 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Câu 12 Tập nghiệm phương trình log3 (x2 − 7) = ¶ √ √ © A − 15; 15 B {−4; 4} C {4} D {−4} (THPT QUỐC GIA - 2018 - 103) Câu 13 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho phương trình 16x − m · 4x+1 + 5m2 − 45 = có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có phần tử? A 13 B C D (THPT QUỐC GIA - 2018 - 101) Câu 14 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho phương trình 25x − m · 5x+1 + 7m2 − = có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có phần tử? A B C D (THPT QUỐC GIA - 2018 - 102) Câu 15 Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m cho phương trình 9x − m3x+1 + 3m2 − 75 = có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có phần tử? A B C 19 D (THPT QUỐC GIA - 2018 - 104) Câu 16 Cho phương trình 3x + m = log3 (x − m) với m tham số Có giá trị nguyên m ∈ (−15; 15) để phương trình cho có nghiệm? A 16 B C 14 D 15 (THPT QUỐC GIA - 2018 - 102) Câu 17 Cho phương trình 2x + m = log2 (x − m) với m tham số Có giá trị nguyên m ∈ (−18; 18) để phương trình cho có nghiệm? A B 19 C 17 D 18 (THPT QUỐC GIA - 2018 - 104) Câu 18 Cho phương trình 5x + m = log5 (x − m) với m tham số Có giá trị nguyên m ∈ (−20; 20) để phương trình cho có nghiệm? A 20 B 19 C D 21 (THPT QUỐC GIA - 2018 - 101) ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 10 11 12 13 14 15 16 17 18 D B C A A A C D B C 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế C 19 B B C B C C B 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 §4 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 4.1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Bất phương trình dạng af (x) > ag(x) (a > 0, a = 1) Nếu a > af (x) > ag(x) ⇔ f (x) > g(x) Nếu < a < af (x) > ag(x) ⇔ f (x) < g(x) Bất phương trình dạng ax > b(a > 0, a = 1) Nếu b ≥ ax > b ⇔ x ∈ R Nếu a > ax > b ⇔ x > loga b Nếu < a < ax > b ⇔ x < loga b Bất phương trình dạng ax < b(a > 0, a = 1) Nếu b ≥ ax < b ⇔ x ∈ ∅ Nếu a > 1, b > ax < b ⇔ x < loga b Nếu < a < ax < b ⇔ x > loga b 4.2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Bất phương trình logarit bản: Với a > 0, a = : loga x > b; loga x ≥ b; loga x < b; loga x ≤ b loga f (x) < loga g(x) ⇔ a > 0 < f (x) < g(x) 0 < a < f (x) > g(x) loga f (x) < b ⇔ 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế ⇔ 0 < a = f (x) > g(x) > (a − 1)[f (x) − g(x)] < a > 0 < f (x) < ab 0 < a < f (x) > ab 20 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Ngoài ta cần kết hợp áp dụng số phương pháp giải bất phương trình tương tự phương pháp nêu phần giải phương trình logarit: Đưa số ! Mũ hóa Đặt ẩn phụ Sử dụng tính đơn điệu hàm số, 4.3 VÍ DỤ MINH HỌA Câu Tìm tập nghiệm S bất phương trình log22 x − log2 x + ≥ A S = (−∞; 2) ∪ [16; +∞) B S = [2; 16] C S = (0; 2] ∪ [16; +∞) D S = (−∞; 1] ∪ [4; +∞) (THPT QUỐC GIA 2017 - 101) Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log22 x − log2 x + 3m − < có nghiệm thực A m < B m< C m < D m ≤ (THPT QUỐC GIA 2017 - 103) ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM §5 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 5.1 Lãi Đơn Định nghĩa Lãi đơn số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh ra, tức tiền lãi kì hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến lấy tiền Công thức 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 21 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r/kì hạn số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗ ) là: Sn = A + nAr = A(1 + nr) (1.1) r ! Trong tính tốn tốn lãi suất toán liên quan, ta nhớ r% 100 5.2 Lãi Kép Định nghĩa Lãi kép tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Cơng thức Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗ ) Sn = A(1 + r)n (1.2) Từ công thức (2) ta tính Ç n = log1+r r= A= Sn A å (1.3) Sn −1 A (1.4) Sn (1 + r)n (1.5) n 5.3 Gửi Tiền Hàng Tháng Vào Ngân Hàng Định nghĩa Đầu tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r%/tháng, số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng (n ∈ N∗ ) (nhận tiền cuối tháng, ngân hàng tính lãi) Sn Công thức 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 22 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Cuối tháng thứ nhất, ngân hàng tính lãi số tiền có S1 = A(1 + r) = ó (1 + r)1 − (1 + r) r Đầu tháng thứ hai, gửi thêm số tiền A đồng số tiền T1 = A(1 + r) + A = A [(1 + r) + 1] = A ó [(1 + r)2 − 1] = (1 + r)2 − (1 + r) − r Cuối tháng thứ hai, ngân hàng tính lãi số tiền có S2 = ó (1 + r)2 − (1 + r) r Từ ta có cơng thức tổng qt Sn = A [(1 + r)n − 1] (1 + r) r (1.6) Chú ý: Từ cơng thức (6) ta tính Ç n = log(1+r) A= Sn r +1 A(1 + r) å (1.7) Sn r (1 + r) [(1 + r)n − 1] (1.8) 5.4 Gửi tiền vào ngân hàng rút tiền hàng tháng Định nghĩa Một người gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%/tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, người rút số tiền X đồng Tính số tiền lại sau n tháng Công thức Cuối tháng thứ nhất, ngân hàng tính lãi số tiền có T1 = A(1 + r) sau rút số tiền lại S1 = A(1 + r) − X = A(1 + r) − X 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 23 (1 + r) − r 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Cuối tháng thứ hai, ngân hàng tính lãi số tiền có T2 = [A(1 + r) − X] (1 + r) = A(1 + r)2 − X(1 + r) sau rút số tiền lại S2 = A(1 + r)2 − X(1 + r) − X = A(1 + r)2 − X [(1 + r) + 1] = A(1 + r)2 − X (1 + r)2 − r Từ ta có cơng thức tổng qt số tiền lại sau n tháng Sn = A(1 + r)n − X (1 + r)n − r (1.9) Chú ý: Từ cơng thức (9) ta tính X = [A(1 + r)n − Sn ] r (1 + r)n − (1.10) 5.5 Bài toán vay vốn trả góp Vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%/tháng Sau tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách tháng, lần hoàn nợ số tiền X đồng trả hết tiền nợ sau n tháng Cơng thức Cách tính số tiền lại sau n tháng giống hồn tồn cơng thức tính tiền gửi ngân hàng rút tiền hàng tháng nên ta có (1 + r)n − Sn = A(1 + r) − X r n (1.11) Để sau n tháng trả hết nợ Sn = nên (1 + r)n − A(1 + r) − X =0 r n (1.12) X= 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế A(1 + r)n · r (1 + r)n − 24 (1.13) 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh 5.6 Lãi kép liên tục Định nghĩa Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/năm số tiền nhận vốn lẫn lãi sau n năm (n ∈ N∗ ) Sn = A (1 + r)n (1.14) Giả sử ta chia năm thành m kì hạn để tính lãi lãi suất kì hạn r % số tiền m thu sau n năm r ãm·n Sn = A + m Å Khi tăng số kì hạn năm lên vơ cực, tức m → +∞ người ta chứng minh Sn → Aem·r Đặt S = Aem·r (1.15) Khi S gọi lãi kép tiên tục hay gọi cơng thức tăng trưởng mũ 5.7 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6,6%/năm Biết khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian lãi suất khơng thay đổi người khơng rút tiền ra? A 11 năm B 10 năm C 13 năm D 12 năm THPT QUỐC GIA - 2018 - 103 Lời Giải Với số tiền gửi ban đầu A, lãi suất cố định r/năm, sau n năm gửi tiền, số tiền có là: Tn = A(1 + r)n Theo giả thiết: Tn = 2A nên (1 + r)n = Thay số ta được: (1 + 0,066)n = ⇒ n = log1,066 ⇒ n ≈ 10,85 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 25 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Vậy sau 11 năm gửi tiền số tiền người gửi đạt gấp đôi số tiền vốn ban đầu 5.8 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người nhận số tiền nhiều 100 triệu đồng bao gồm gốc lãi? Giả định suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi người khơng rút tiền A 13 năm B 14 năm C 12 năm D 11 năm (THPT QUỐC GIA 2017 - 101) Câu Đầu năm 2016, ông A thành lập công ty Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên năm 2016 tỷ đồng Biết sau năm tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên năm tăng thêm 15% so với năm trước Hỏi năm năm mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên năm lớn tỷ đồng? A Năm 2023 B Năm 2022 C Năm 2021 D Năm 2020 (QG17,102,c41) Câu Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6,1 %/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian lãi suất không thay đổi người khơng rút tiền ra? A 13 năm B 10 năm C 11 năm D 12 năm (THPT QUỐC GIA - 2018 - 104) Câu Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 7,5 %/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi, giả định khoảng thời gian lãi suất không thay đổi người khơng rút tiền ra? A 11 năm B năm C 10 năm D 12 năm (THPT QUỐC GIA - 2018 - 101) 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 26 187 Phan Đình Phùng Tp Huế 0945949933 Gv: Nguyễn Hữu Nhanh Tiến /ToanTienNhanh Câu Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 7,2%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian lãi suất không thay đổi người khơng rút tiền ra? A 11 năm B 12 năm C năm D 10 năm (THPT QUỐC GIA - 2018 - 102) ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM C C D 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế C D 27 187 Phan Đình Phùng Tp Huế ... BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .26 161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế 187 Phan Đình Phùng Tp Huế Phần LŨY THỪA-MŨ -LOGARIT §1 LŨY THỪA-MŨ -LOGARIT 1.1 Khái Niệm Lũy Thừa Định... nghĩa Lũy thừa với số mũ nguyên dương Với a số thực tùy ý, lũy thừa bậc n a tích n thừa số a an = a · a · · · · a (n ∈ N∗ , a ∈ R) n thừa số Lũy thừa với số mũ khơng Với a = 0, a0 = Lũy thừa. .. - 104) ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM C 11 D A 12 B §2 C 13 D C 14 D A 15 B C 16 D D 17 B A 18 D C 10 D 19 C 20 D HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT 2.1 Hàm Số Lũy Thừa Định nghĩa Xét hàm