021_Đề HSG Toán 9_Thanh Hóa 2012-2013

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HỐ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi : TỐN Thời gian làm :150 phút Câu 1: (2.0 điểm )  x 2 x 3 x 2  x     :    x 3   x    x 5 x 6 2 x Cho biểu thức : A   1/ Rút gọn biểu thức A 2/ Tìm giá trị x để  A Câu (2,0 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2  a   đường thẳng (d): y = bx + 1/ Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) cịn có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Câu (2.0 điểm) 2 1/ Cho phương trình: x  (2m  1) x  m  m   (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  x 1  y 1  2/ Giải hệ phương trình:  1 x  y 1  Câu (3.0 điểm) : Cho A điểm cố định nằm ngồi đường trịn (O) Từ A kẻ tiếp tuyến AP AQ tới đường tròn (P Q tiếp điểm) Đường thẳng qua O vng góc với OP cắt đường thẳng OQ M 1/ Chứng minh rằng: MO = MA 2/ Lấy điểm N cung lớn PQ đường tròn (O) cho tiếp tuyến với (O) N cắt tia AP, AQ B C Chứng minh rằng: a) AB  AC  BC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm N b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đường trịn PQ//BC Câu (1.0 điểm) Cho x, y số thực dương thoả mãn :   Chứng minh : x y 5x2  y  xy  y  Hết -Họ tên thí sinh …………………………………………… Số báo danh: ………………………… Chữ ký giám thị 1: ………………………………… Chữ ký giám thị 2: …………………… Bài giải Câu 1: (2.0 điểm )  x 2 x 3 x 2  x     :    x 3   x    x 5 x 6 2 x Cho biểu thức : A   1/ Rút gọn biểu thức A  x 2 x 3 x 2  x  A      :    (ĐK: x  0, x  4, x  ) x 3   x    x 5 x 6 2 x A=…= x 1 x4 2/ Tìm giá trị x để  A x4      x   5 x  A 2 x 1 1  x  x    3  x    x  2 0 x Kết hợp với ĐK   x  Câu (2,0 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2  a   đường thẳng (d): y = bx + 1/ Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) M (P)  …  a =  y = 2x2 M  (d)  …  b =  y = x + 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) cịn có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Xét pt hoành độ gđ: 2x2 = x +  2x2 - x - = x  1 y   1   M 1;  ; N   ;  1 x    y   2 2  SMON  Sthang   S1  S2    0,75 (dvv) Câu (2.0 điểm) 2 1/ Cho phương trình: x  (2m  1) x  m  m   (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt? phương trình có hai nghiệm dương phân biệt    m  3   25     m  m2  a.c   m  m      b    2m     m     a  x   y   (1)  2/ Giải hệ phương trình:  1 (ĐK: x  1; y  1) (2)  x  y 1  (2)  x + y = xy (3) Hai vế (1) dương ta bình phương hai vế ta có: x y 22  x  1 y  1   x  y   xy   x  y     x+y=4  xy=4 Thay (3) vào ta có: x + y = kết hợp với (3) có hệ:  Áp dụng hệ thức Vi Ét ta có x; y hai nghiệm pt: X2 - 4x + =  x = 2; y = Câu (3.0 điểm) : Cho A điểm cố định nằm ngồi đường trịn (O) Từ A kẻ tiếp tuyến AP AQ tới đường tròn (P Q tiếp điểm) Đường thẳng qua O vng góc với OP cắt đường thẳng OQ M B P N A M O Q C 1/ Chứng minh rằng: MO = MA A1 = O1 A1 = A2  A2 = O1  MAO cân  MO = MA 2/ Lấy điểm N cung lớn PQ đường tròn (O) cho tiếp tuyến với (O) N cắt tia AP, AQ B C Chứng minh rằng: a) AB  AC  BC không phụ thuộc vào vị trí điểm N Theo t/c hai tia tiếp tuyến ta có …  AB + AC - BC = … = 2.AP (không đổi) b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đường trịn PQ//BC Nếu tứ giác BCQP nội tiếp  P1 = C1 mà P1 = Q1  C1 = Q1  PQ//BC Câu (1.0 điểm) Cho x, y số thực dương thoả mãn :   Chứng minh : x y 5x2  y  xy  y  * Ta có: x  y  xy  y   x  xy  y  x  y     x  y   x2  y   2 2 2x  2x         y  * x y y x y x 2x 1 Vì : y > ; x >  2x - >  x > 1/2 Thay y  2x vào x2  y   2x 1 2x x3  x  x  x  3   (1) Ta có: x  y    x  2x 1 2x 1 3 Vì 2x - >  (1)  x  x  x  x    x  x  x   Mà x  x  x   x3  x  x  x  3x  2    x  1 x  x    x  1  x  3  2 Vậy  x  y   x  y    x  x  0; y 