ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2012-2013 Môn Toán - Khối A TRƯỜNG THPT BỈM SƠN

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2012-2013 Môn Toán - Khối A TRƯỜNG THPT BỈM SƠN

www.laisac.page.tl SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT BỈM SƠN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn - Khối A (Thời gian làm bài: 180 phút) Phần I: Phần chung cho tất thí sinh (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − x + (C ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt M(2; 0), N, P cho tiếp tuyến (C) N P vng góc với Câu II (2 điểm) ( cos x − sin x ) = tan x + cot x cot x −  x + 21 = y − + y  Giải hệ phương trình:   y + 21 = x − + x  Giải phương trình: Câu III (1 điểm) Giải phương trình: 3 x − = x3 − 36 x + 53 x − 25 Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy Góc tạo SC mặt phẳng (SAB) 300 Gọi E trung điểm BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng DE, SC theo a Câu V (1 điểm) Cho số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = Chứng minh rằng: + ≥ xyz ( x + y )( y + z )( z + x ) Phần II: Phần riêng (3 điểm): thí sinh chọn hai phần A Theo chương trình chuẩn Câu VIa.(2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD tâm I(2; 1) AC = 2BD  1 Điểm M  0;  thuộc đường thẳng AB, điểm N(0; 7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B  3 biết B có hồnh độ dương x2 y 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip có phương trình tắc ( E ) : + =1 25 Viết phương trình đường thẳng song song với Oy cắt (E) hai điểm A, B cho AB = CâuVIIa (1 điểm) Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức P = x (1 − x ) + x (1 + x ) , biết n 2n n −1 An − Cn +1 = B Theo chương trình nâng cao Câu VIb.(2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 22, biết đường thẳng AB, BD có phương trình x + y + = x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình tắc Elip (E) biết có đỉnh hai tiêu điểm (E) tạo thành tam giác chu vi hình chữ nhật sở (E) ( 12 + ) Câu VIIb (1 điểm) Tìm số nguyên dương n cho: 1 n +1 C2 n +1 − 2.2.C2 n +1 + 3.22.C2 n +1 − 4.23.C2 n +1 + + ( 2n + 1) 22 n.C2 n +1 = 2013 ………………… Hết………………… ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I KHỐI A Câu y = x − x + (C ) + Tập xác định: D = ℝ + Giới hạn: lim y = −∞, lim y = +∞ Nội dung Điểm x →−∞ 0.25 x →+∞ x = + Đaọ hàm y ' = x − x; y ' = ⇔  x = BBT: x -∞ y’ + y +∞ - + 0.25 +∞ -∞ Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) , ( 2; +∞ ) , nghịch biến khoảng ( 0; ) Hàm số đạt cực đại x = 0, yCD = I.1 0.25 Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = + Đồ thị: Đồ thị hàm số qua điểm (-1; 0) nhận điểm I(1; 2) làm tâm đối xứng 15 10 -1 0.25 10 15 Phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(2; 0) có hệ số góc k là: y = k (x − 2) I.2 + Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) là: k ( x − ) = x − x + x = = x A ⇔ (x − 2) x − x − − k = ⇔   g (x ) = x − x − − k = ( 0.25 ) + (d) cắt (C) điểm phân biệt M, N, P ⇔ pt g ( x ) = có hai nghiệm phân biệt 0.25 ∆ > ⇔ − < k ≠ (*) khác ⇔   g (2 ) ≠ xM + x N = + Theo định lí viet ta có:   x M x N = − k − + Các tiếp tuyến M, N vng góc với ⇔ y ' ( x M ) y ' ( x N ) = −1 −3± 2 (thỏa(*)) ( cos x − sin x ) ( cos x − sin x ) 1 pt ⇔ = ⇔ = sin x cos x cos x cos x cos x − sin x + −1 cos x sin x sin x cos x.sin x sin x kπ  x ≠ sin x ≠  Điều kiện:  ⇔ cos x − sin x ≠  x ≠ π + kπ   ( )( 0.5 ) 2 ⇔ x M − x M x N − x N = −1 ⇔ 9k + 18k + = ⇔ k = II.1 Khi pt ⇔ sin x = sin x ⇔ cos x = 0.25 0.25 π ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ℤ ) 0.25 + k 2π ( k ∈ ℤ ) 0.25 Đối chiếu với điều kiện, pt cho có nghiệm x = − π  x + 21 = y − + y (1)    y + 21 = x − + x ( )  x ≥ Điều kiện:  y ≥1 Trừ hai vế pt (1) (2) cho ta được: x + 21 − y + 21 = ⇔ II.2 ( x − y )( x + y ) x + 21 + y + 21 2 + y − − x − + y − x2 x− y + ( x − y )( x + y ) = x −1 + y −1 0.5   ( x + y) ⇔ ( x − y) + + x+ y =   x + 21 + y + 21 x −1 + y −1   ⇔ x= y Thay x = y vào pt (1) ta được: x + 21 = x − + x ⇔ x + 21 − = x − − + x − ⇔ x2 − x + 21 + = x−2 + ( x + )( x − ) x −1 +1 0.5    1 ⇔ ( x − 2)  + ( x + ) 1 −  = ⇔ x = x + 21 +       x −1 +1 Vậy pt có nghiệm x = pt ⇔ 3 x − = ( x − 3) − x + (*) III Đặt y − = 3 x − ⇔ ( y − 3) = x − 0.5 ( x − 3)3 = y + x − (**)  Ta có hệ phương trình:  ( y − 3) = x −  Trừ vế với vế hai phương trình ta đươc: 2 ( x − y ) ( x − 3) + ( x − 3)( y − 3) + ( y − )  = −2 ( x − y )   0.5 2 ⇔ ( x − y ) ( x − 3) + ( x − 3)( y − 3) + ( y − 3) +  =   ⇔ x= y ( x − 3) Thay x=y vào (**) ta được: = 3x − ⇔ x3 − 36 x + 51x − 22 = ⇔ x1 = 2, x2 = 5+ 5− , x3 = 4 S A I T M D H K B E C CB ⊥ AB ⇒ CB ⊥ ( SAB ) ⇒ SB hình chiếu SC lên mp(SAB) Vì  CB ⊥ SA ( ) ( ) ⇒ SC , ( SAB ) = SC , SB = CSB = 300 ⇒ SB = BC.cot 300 = a ⇒ SA = a IV Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: 1 2a VS ABCD = SA.S ABCD = a 2.a = (dvtt ) 3 a + Từ C dựng CI // DE ⇒ CE = DI = DE / / ( SCI ) ⇒ d ( DE , SC ) = d ( DE , ( CSI ) ) 0.25 0.25 Từ A kẻ AK ⊥ CI cắt ED H, cắt CI K  SA ⊥ CI ⇒ CI ⊥ ( SAK ) ⇒ ( SCI ) ⊥ ( SAK ) theo giao tuyến SK Ta có:   AK ⊥ CI 0.25 Trong mặt phẳng (SAK) kẻ HT ⊥ AK ⇒ HT ⊥ ( SCI ) ⇒ d ( DE , SC ) = d ( H , ( SCI ) ) = HT + Ta có: S ACI 1 CD AI = AK CI = CD AI ⇒ AK = = 2 CI a a a a +  2 2 = 3a 0.25 HK KM 1 a = = ⇒ HK = AK = HA AD a a SA HT SA.HK = 38 Lại c ó: sin SKA = = ⇒ HT = = SK HK SK 19 9a 2a + Kẻ KM//AD ( M ∈ ED) ⇒ Vậy d ( ED, SC ) = 38 19 Áp dụng bđt Cosi cho số dương 1 ta được: , , xyz xyz ( x + y )( y + z )( z + x ) 1 + = + + xyz ( x + y )( y + z )( z + x ) xyz xyz ( x + y )( y + z )( z + x ) 0.25 ≥ ( x + y )( y + z )( z + x ) Ta có: x y z ( x + y )( y + z )( z + x ) = xyz ( zx + yz )( xy + zx )( yz + xy ) 2 x y z Áp dụng bđt Cosi cho số dương xy, yz, zx: V  xy + yz + zx  2 xy yz.zx ≤   = ⇒ x y z ≤ ⇒ xyz ≤ (1)   Áp dụng bđt Cosi cho số dương zx + yz , xy + zx, yz + xy : 0.5  ( zx + yz ) + ( xy + zx ) + ( yz + xy )  ( zx + yz )( xy + zx )( yz + xy ) ≤   = ( 2)   Từ (1) (2) suy ra: x y z ( x + y )( y + z )( z + x ) ≤ 0.25 3 + ≥ = Vậ y xyz ( x + y )( y + z )( z + x ) B L M VIa A C I 0.25 N D Gọi N’ điểm đối xứng với N qua I ⇒ N ' ( 4; −5 ) Phương trình đường thẳng AB: 4x + 3y – = 4.2 + 3.1 − =2 Khoảng cách từ I đến AB là: d = + 32 Vì AC = 2BD nên AI = BI, đặt BI = x, AI = 2x, tam giác vng ABI có: 0.25 0.25 1 = + ⇒ x = ⇒ BI = d x 4x Điểm B giao điểm đường thẳng 4x+3y-1=0 với đường trịn tâm I bán kính Tọa độ B nghiệm hệ: − 4x  y = 1− 4x  4 x + y − =  x =  y = ⇔ ⇔  x = ⇔  2  y = −1 ( x − ) + ( y − 1) =    25 x − 20 x − =   x = − ( loai )  0.25 ⇒ B (1; −1) Gọi pt đường thẳng song song với Oy (d): x = a (với a ≠ ) Tung độ giao điểm a2 y2 25 − a (d) (E) là: 25 − a ( a ≤ ) + = ⇔ y = ⇔ y=± 25 25     V ậ y A  a; 25 − a  , B  a; − 25 − a  ⇒ AB = 25 − a 5     VIa 100 5 Do AB = ⇔ 25 − a = ⇔ 25 − a = ⇔a=± (thỏa mãn đk) 5 5 ,x = − Vậy phương trình đường thẳng cần tìm x = 3 Điều kiện n ≥ 2, n ∈ ℕ Ta có: ( n + 1) n = n −1 An − Cn +1 = ⇔ n ( n − 1) −  n = −2(loai ) VII ⇔ n − 3n − 10 = ⇔  a n = 5 10 l Với n = ta có: P = x (1 − x ) + x (1 + x ) = x∑ C5k ( −2 x ) + x ∑ C10 ( x ) 10 k k =0 VIb l =0 3.2 − 4.1 +4 0.5 0.25 B 0.25 D + S ABCD = AB AD = 22 (1) + Ta có: cos ABD = 0.25 0.5 10 0.25 l ⇒ số hạng chứa x x.C ( −2 x ) + x C ( x ) = (16.5 + 27.120 ) x5 = 3320 x5 Vậy hệ số x5 biểu thức P cho 3320 + Tọa độ B = AB ∩ BD nghiệm A phương trình: hệ 3 x + y + = x = ⇔ ⇒ B (1; −1)  2 x − y − =  y = −1 0.25 2 + ( −1) 2 = 5 C ⇒ tan ABD = 11 AD = ( 2) AB Từ (1) (2) ta có: AD =11; AB = (3) + Vì D ∈ BD ⇒ D ( x; −2 x + 3) Ta có: AD = d ( D; AB ) = 11x − 11 ( 4) 0.25 x = Từ (3) (4) suy 11x − 11 = 55 ⇔   x = −4 + Với x = ⇒ D ( 6;9 ) ⇒ phương trình đường thẳng AD qua A vng góc với AB : x − y + =  1  38 39  ⇒ A = AD ∩ AB =  − ;  ⇒ C  ;   5  5  + Với x = -4 ⇒ D ( −4; −11) ⇒ phương trình đường thẳng AD qua A vng góc với AB : x − y − 17 =  13 11   28 49  ⇒ A = AD ∩ AB =  ; −  ⇒ C  − ; −  5  5  0.25 x2 y2 + = 1( a > b > ) với hai tiêu điểm F1 ( −c; ) , a b2 c = a − b , c > hai đinh trục nhỏ là: B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b ) Gọi pt Elip cần tìm là: F2 ( c; ) VIb ( )  c = a − b b = a a =      Theo giả thiết ta có hệ: b = 2c ⇔ b = 3c ⇔ b = 3   c =  4 ( a + b ) = 12 + a + b = +    2 x y + =1 Vậy (E): 36 27 ( ) 0.25 ( ) 0.25 0.5 0.25 n +1 C2 n+1 − 2.2.C2 n +1 + 3.22.C2 n +1 − 4.23.C2 n +1 + + ( 2n + 1) 22 n.C2 n +1 = 2013 (*) Xét khai triên: (1 + x ) n +1 n +1 = C2 n+1 + xC2 n +1 + x 2C2 n +1 + x3C2 n +1 + x 4C2 n +1 + + x n +1C2 n +1 Đạo hàm hai vế khai triển ta được: VII ( 2n + 1)(1 + x ) 2n 0.5 n +1 = C2 n+1 + xC2 n +1 + x 2C2 n +1 + x 3C2 n +1 + + ( 2n + 1) x nC2 n +1 Thay x=-2 vào ta được: n +1 2n + = C2 n +1 − 2.2.C2 n +1 + 3.22.C2 n +1 − 4.23.C2 n +1 + + ( 2n + 1) 22 n.C2 n +1 0.5 Do (2) ⇔ 2n + = 2013 ⇔ n = 1006 ………………… Hết………………… SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT BỈM SƠN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn - Khối B (Thời gian làm bài: 180 phút) Phần I: Phần chung cho tất thí sinh (7,0 điểm) 2x Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = (C ) x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm m để đường thẳng ( d ) : y = mx − m + cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho độ dài AB nhỏ Câu II (2 điểm) ( cos x − sin x ) = tan x + cot x cot x −  x+ y + x− y =  Giải hệ phương trình:  2  x + y = 128  Giải phương trình: www.mathvn.com www.MATHVN.com Câu III (1 điểm) Giải phương trình: 2x + − 2 − x = 6x − x2 + Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy Góc tạo SC mặt phẳng (SAB) 300 Gọi E trung điểm BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng DE, SC theo a Câu V (1 điểm) Với số thực x, y thỏa mãn điều kiện ( x + y ) = xy + x4 + y4 xy + Phần II: Phần riêng (3 điểm): thí sinh chọn hai phần A Theo chương trình chuẩn Câu VIa (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y − x − y − = điểm Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = A ( 0; −1) Tìm tọa độ điểm B, C thuộc đường tròn (C) cho tam giác ABC x2 y + =1 25 Viết phương trình đường thẳng song song với Oy cắt (E) hai điểm A, B cho AB = Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip có phương trình tắc ( E ) : n 1  CâuVIIa (1 điểm) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Newton  x +  , biết x  n −1 An − Cn +1 = n + B Theo chương trình nâng cao Câu VIb (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x − y − = , đường thẳng BC, CD qua điểm M(4; 0), N(0; 2) Biết tam giác AMN cân A Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình tắc Elip (E) biết có đỉnh hai tiêu điểm (E) tạo thành tam giác chu vi hình chữ nhật sở (E) ( 12 + ) Câu VIIb (1 điểm) Tìm số nguyên dương n cho: n +1 C2 n +1 − 2.2.C2 n +1 + 3.22.C2 n +1 − 4.23.C2 n +1 + + ( 2n + 1) 22 n.C2 n +1 = 2013 ………………… Hết………………… ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I KHỐI B Câu I.1 + Tập xác định: D = ℝ \ {1} Nội dung + Giới hạn: lim y = ⇒ y =2 tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →±∞ Điểm 0.25 lim y = +∞, lim y = −∞ ⇒ x =1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số − x →1+ + Đaọ hàm y ' = x →1 −2 ( x − 1) < 0, ∀x ≠ Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ ) BBT: www.mathvn.com 0.5 www.MATHVN.com -∞ x y’ y +∞ - - +∞ -∞ Hàm số khơng có cực trị + Đồ thị: Đồ thị hàm số qua gốc tọa độ nhận giao điểm I(1; 2) hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng f(x) = 2·x x I 15 10 0.25 O 5 10 15 + Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) là:  2x x ≠ = mx − m + ⇔  x −1  g ( x ) = mx − 2mx + m − = 0(*)  0.25 + (d) cắt (C) hai điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = có hai nghiệm phân biệt khác m ≠  ⇔  ∆ = m − m + 2m > ⇔m>0  g = m − 2m + m − ≠  ( ) Gọi x1, x2 hai nghiệm pt (*) Khi A ( x1; mx1 − m + ) , B ( x2 ; mx2 − m + ) I.2  x1 + x2 =  Theo định lí viét, ta có:  m−2  x1.x2 = m  ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + m = + m2 m 1  ⇒ AB =  m +  m  ( ) ( 0.25 0.25 ) Áp dụng định lí cosi cho số dương m ta được: m 0.25 1  AB =  m +  ≥ 16 ⇒ ABmin = ⇔ m = m  www.mathvn.com 10 www.MATHVN.com ( cos x − sin x ) ( cos x − sin x ) ⇔ = sin x cos x cos x cos x cos x − sin x + −1 cos x sin x sin x cos x.sin x sin x kπ  x ≠ sin x ≠  Điều kiện:  ⇔ cos x − sin x ≠  x ≠ π + kπ   pt ⇔ II.1 = 0.25 0.25 π ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ℝ ) Khi pt ⇔ sin x = sin x ⇔ cos x = 0.25 + k 2π ( k ∈ ℝ ) 0.25 Đối chiếu với điều kiện, pt cho có nghiệm x = − π  x + y + x − y = (1)   2 ( 2)  x + y = 128  x + y ≥ Điều kiện:  (*) x − y ≥ II.2 x ≤ Ta có: (1) ⇔ x + x − y = 16 ⇔ x − y = − x ⇔  2  x − y = 64 − 16 x + x x ≤  ⇔ − y = 64 − 16 x ( )  x = Cộng (2) với (3) vế với vế ta được: x + 16 x − 192 = ⇔  (thỏa mãn x ≤ )  x = −24 + Với x = 8, thay vào (2) ta y = ±8 + Với x = -24, thay vào (2) ta phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2x + − 4( − x) 6x − pt ⇔ = ⇔ 2x + + 2 − x x2 +  x = ⇔  x + + 2 − x = x2 + ( 2)  III Giải (2): ⇔ x + + ( − x ) + ( x; y) = (8;8) ;(8; −8) 6x − 6x − = 2x + + 2 − x x2 + 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 ( x + )( − x ) = x + ⇔ ( x + )( − x ) − ( x + x − 8) = ⇔ ( x + )( − x ) − ( x − )( x + ) = ⇔ ( − x ) ( ( x + ) + ( − x ) ( x + ) ) = ⇔ x = Vậy pt cho có hai nghiệm x = x = www.mathvn.com 0.5 11 www.MATHVN.com S A I T M D H K B E C CB ⊥ AB ⇒ CB ⊥ ( SAB ) ⇒ SB hình chiếu SC lên mp(SAB) Vì  CB ⊥ SA ( ) ( ) ⇒ SC , ( SAB ) = SC , SB = CSB = 300 ⇒ SB = BC.cot 300 = a ⇒ SA = a Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: 1 2a VS ABCD = SA.S ABCD = a 2.a = (dvtt ) 3 a + Từ C dựng CI // DE ⇒ CE = DI = DE / / ( SCI ) ⇒ d ( DE , SC ) = d ( DE , ( CSI ) ) 0.25 Từ A kẻ AK ⊥ CI cắt ED H, cắt CI K  SA ⊥ CI Ta có:  ⇒ CI ⊥ ( SAK ) ⇒ ( SCI ) ⊥ ( SAK ) theo giao tuyến SK  AK ⊥ CI IV 0.25 0.25 Trong mặt phẳng (SAK) kẻ HT ⊥ AK ⇒ HT ⊥ ( SCI ) ⇒ d ( DE , SC ) = d ( H , ( SCI ) ) = HT + Ta có: S ACI 1 CD AI = AK CI = CD AI ⇒ AK = = 2 CI a a 2 a a2 +   2 HK KM 1 a Kẻ KM//AD ( M ∈ ED ) ⇒ = = ⇒ HK = AK = HA AD a a SA HT SA.HK = 38 Lại c ó: sin SKA = = ⇒ HT = = SK HK SK 19 9a 2a + Vậy d ( ED, SC ) = V 3a 0.25 38 19 Đặt t = xy Ta có: xy + = ( x + y ) − xy  ≥ −4 xy ⇒ xy ≥ −   1 Và xy + = ( x − y ) + xy  ≥ xy ⇒ xy ≤ nên − ≤ t ≤   www.mathvn.com = 0.25 12 www.MATHVN.com (x Suy P = V + y2 ) − x2 y2 xy + = −7t + 2t + ( 2t + 1) 0.25 ( ) −t − t t = −7t + 2t + ; f ' (t ) = ⇔  Xét hàm số f ( t ) = có f ' ( t ) = ( 2t + 1) ( 2t + 1) t = −1(l )  1 1 f  −  = f   = ; f ( 0) =  5   15 Vậy GTLN , GTNN 15 0.25 1 = ( xH − 1)  3 7 (C) có tâm I(1; 2), bán kính R = 10 ⇒ AI = IH ⇒  ⇒H ;  2 2 3 = ( yH − )  (Do I trọng tâm tam giác ABC, H trung điểm BC) Pt đường thẳng BC qua H nhận AI = (1;3) làm vecto pháp tuyến là: x + y − 12 = VIa  7+  7− y = y = x + y − 2x − y − =   2 ⇔ ∨  3−3  3+ 3  x + y − 12 =  x = x = 2    3−3 +   3+ 3 −  Vậy B  ngược lại  ; , C  ;         Gọi pt đường thẳng song song với Oy (d): x = a (với a ≠ ) Tung độ giao điểm a2 y2 25 − a (d) (E) là: + = ⇔ y = ⇔ y=± 25 − a ( a ≤ ) 25 25     VIa Vậy A  a; 25 − a  , B  a; − 25 − a  ⇒ AB = 25 − a     100 5 Do AB = ⇔ 25 − a = ⇔ 25 − a = ⇔a=± (thỏa mãn đk) 5 5 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm x = ,x = − 3 Điều kiện n ≥ 2, n ∈ ℤ 0.25 2 n −1 An − Cn +1 = 4n + ⇔ n ( n − 1) − ( n + 1) n = 4n + Ta có: 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5  n = −1(loai ) ⇔ n − 11n − 12 = ⇔   n = 12 Với n = 12 ta có: n 12 k 12 12 12 − k    1  1 k k x +  =  x +  = ∑ C12 x3 = ∑ C12 212− k x36− k    x  x x   k =0 k =0 Số hạng không chứa x ứng với k = C12 = 1760 VIb 0.25 Vì B, C ∈ ( C ) ⇒ tọa độ B, C nghiệm hệ phương trình: VII a 0.25 ( ) Vì A ∈ d ⇒ A ( t ; t − ) Do tam giác ABC cân A nên AM = AN www.mathvn.com 0.5 0.25 13 www.MATHVN.com ⇔ ( t − ) + ( t − ) = t + ( t − ) ⇔ t = −1 ⇒ A ( −1; −5 ) 2 Giả sử pt đường thẳng BC qua M(4; 0) có dạng a ( x − ) + by = ( a + b ≠ ) Do CD ⊥ BC đường thẳng CD qua điểm N(0; 2) ⇒ CD : bx − a ( y − ) = Vì ABCD hình vng nên ta có: −5a − 5b 7a − b 3a = −b d ( A, BC ) = d ( A, CD ) ⇔ = ⇔ a2 + b2 a + b2  a = 3b Với 3a = -b, chọn a = 1, b = -3, ta có: AB : x + y + = 0, BC : x − y − = 0, CD : 3x + y − = ⇒ B ( −2; −2 ) , C (1; −1) , D ( 2; −4 ) Với a = 3b, chọn a = 3, b = ta có: AB : x − y − 14 = 0, BC : x + y − 12 = 0, 0.25 0.25 CD : x − y + = ⇒ B ( 5; −3) , C ( 3;3) , D ( −3;1) 0.25 x2 y2 + = 1( a > b > ) với hai tiêu điểm F1 ( −c; ) , a b2 F2 ( c; ) ( c = a − b , c > ) hai đỉnh trục nhỏ là: B1 ( 0; −b ) , B2 ( 0; b ) 0.25 Gọi pt Elip cần tìm là: VIb c = a − b a =    Theo giả thiết ta có hệ: b = 2c ⇔ b = 3  c =  4 ( a + b ) = 12 +  x2 y2 Vậy (E): + =1 36 27 n +1 C2 n+1 − 2.2.C2 n +1 + 3.22.C2 n +1 − 4.23.C2 n +1 + + ( 2n + 1) 22 n.C2 n +1 = 2013 (*) ( 0.5 ) 0.25 Xét khai triên: (1 + x ) VII n +1 n +1 = C2 n+1 + xC2 n +1 + x 2C2 n +1 + x3C2 n +1 + x 4C2 n +1 + + x n +1C2 n +1 Đạo hàm hai vế cua khai triển ta được: 2n ( 2n + 1)(1 + x ) = C2 n+1 + xC22n+1 + 3x 2C23n+1 + x3C24n+1 + + ( 2n + 1) x nC22nn++11 Thay x=-2 vào ta được: n +1 2n + = C2 n +1 − 2.2.C2 n +1 + 3.22.C2 n +1 − 4.23.C2 n +1 + + ( 2n + 1) 22 n.C2 n +1 0.5 0.5 Do (*) ⇔ 2n + = 2013 ⇔ n = 1006 ……………………………… Hết………………………………… www.mathvn.com 14 www.MATHVN.com SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT BỈM SƠN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn - Khối D (Thời gian làm bài: 180 phút) Phần I: Phần chung cho tất thí sinh (7,0 điểm) 2x Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = (C ) x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm m để đường thẳng ( d ) : y = mx − m + cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB Câu II: (2 điểm) ( cos x − sin x ) 1 Giải phương trình: = tan x + cot x cot x −  x+ y + x− y =  Giải hệ phương trình:  2  x + y = 128  Câu III: (1 điểm) Giải bất phương trình + x − − x − < −1 + ( + x )( − x − 3) Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy Góc tạo SC mặt phẳng (SAB) 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) Câu V:(1 điểm)Với số thực x, y thỏa mãn điều kiện ( x + y ) = xy + x4 + y4 xy + Phần II: Phần riêng (3 điểm): thí sinh chọn hai phần A Theo chương trình chuẩn Câu VIa.(2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A cố định nằm đường thẳng ∆ : x − y + 14 = , cạnh BC song song với ∆ , đường cao CH có phương trình x − y − = Biết trung điểm cạnh AB điểm M(-3; 0) Xác định tọa độ đỉnh A, B, C Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x2 y + =1 25 Viết phương trình đường thẳng song song với Oy cắt (E) hai điểm A, B cho AB = Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip có phương trình tắc ( E ) : www.mathvn.com 15 www.MATHVN.com n 1  CâuVIIa: (1 điểm) Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton  x +  , biết x  n −1 An − Cn +1 = n + B Theo chương trình nâng cao Câu VIb.(2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(11; 0), trung điểm cạnh BC M(3; -1), đỉnh B thuộc đường thẳng ∆1 : x + y − = đỉnh C thuộc đường thẳng ∆ : x − y − = Xác định tọa độ đỉnh A, B, C Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình tắc Elip (E) có độ dài trục lớn , đỉnh trục nhỏ hai tiêu điểm (E) nằm đường tròn Câu VIIb (1 điểm) Tìm số nguyên dương n biết: 2n C2 n + C2 n + C2 n + + C2 n −1 = 23 ………………… Hết………………… ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I KHỐI D Câu I.1 Nội dung Điểm + Tập xác định: D = ℝ \ {1} + Giới hạn: lim y = ⇒ y =2 tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →±∞ 0.25 lim y = +∞, lim y = −∞ ⇒ x =1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số − x →1+ + Đaọ hàm y ' = x →1 −2 ( x − 1) < 0, ∀x ≠ Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) , (1; +∞ ) BBT: x -∞ y’ y +∞ +∞ -∞ Hàm số cực trị + Đồ thị: Đồ thị hàm số qua gốc tọa độ nhận giao điểm I(1; 2) hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng www.mathvn.com 0.5 - 0.25 16 www.MATHVN.com f(x) = 2·x x 15 10 I O 5 10 15 + Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) là:  2x x ≠ = mx − m + ⇔  x −1  g ( x ) = mx − 2mx + m − = 0(*)  0.25 + (d) cắt (C) hai điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = có hai nghiệm phân biệt khác m ≠  ⇔ ∆ > ⇔ m > g ≠  ( ) Gọi x1, x2 hai nghiệm pt (*) Khi A ( x1; mx1 − m + ) , B ( x2 ; mx2 − m + ) I.2  x1 + x2 =  2 + m2 Theo định lí viét, ta có:  m − ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + m = m x1.x2 =  m  m−2 Ta có: d ( O, AB ) = + m2 ( Do đó: SOAB = ⇔ ( + m2 m ) m−2 + m2 ) ( ) 0.25 0.25 = ⇔ m − = 2m ⇔ m = ± (thỏa 0.25 mãn điều kiện) Vậy m = ± II.1 pt ⇔ sin x cos x + cos x sin x = ( cos x − sin x ) ( cos x − sin x ) ⇔ = cos x cos x cos x − sin x −1 sin x cos x.sin x sin x kπ  x ≠ sin x ≠  Điều kiện:  ⇔ cos x − sin x ≠  x ≠ π + kπ   Khi pt ⇔ sin x = sin x ⇔ cos x = www.mathvn.com π ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ℝ ) 0.25 0.25 0.25 17 www.MATHVN.com Đối chiếu với điều kiện, pt cho có nghiệm x = − π + k 2π ( k ∈ ℝ ) 0.25  x + y + x − y = (1)   2 ( 2)  x + y = 128  x + y ≥ Điều kiện:  (*) x − y ≥ x ≤ Ta có: (1) ⇔ x + x − y = 16 ⇔ x − y = − x ⇔  2  x − y = 64 − 16 x + x II.2 0.25 x ≤  ⇔ − y = 64 − 16 x ( )  x = (thỏa mãn x ≤ ) Cộng (2) với (3) vế với vế ta được: x + 16 x − 192 = ⇔   x = −24 0.25 + Với x = 8, thay vào (2) ta y = ±8 + Với x = -24, thay vào (2) ta phương trình vơ nghiệm 0.25 Vậy hệ phương tình có hai cặp nghiệm ( x; y ) = ( 8;8 ) ; ( 8; −8 ) 0.25 Điều kiện: −5 ≤ x ≤ −3 0.25 + x − − x − < −1 + ⇔ + x − −x − +1− III ⇔ ( )( ( + x )( − x − 3) ( + x )( − x − 3) < ) 0.25 + x +1 1− −x − < ⇔ − −3 − x < ⇔ −3 − x > ⇔ −3 − x > ⇔ x < −4 0.25 Đối chiếu với đk ta −5 ≤ x < −4 Vậy bpt có nghiệm x thỏa mãn −5 ≤ x < −4 0.25 S H A D IV O B www.mathvn.com C 18 www.MATHVN.com CB ⊥ AB Vì  ⇒ CB ⊥ ( SAB ) ⇒ SB hình chiếu SC lên mp(SAB) CB ⊥ SA ( ) ( ) ⇒ SC , ( SAB ) = SC , SB = CSB = 300 ⇒ SB = BC.cot 300 = a ⇒ SA = a 1 2a Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: VS ABCD = SA.S ABCD = a 2.a = (dvtt ) 3  SA ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBD ) ⊥ ( SAC ) = SO ( O = AC ∩ BD ) + Ta có   AC ⊥ BD Trong mp (SAC), kẻ AH ⊥ SO ⇒ AH ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( A, ( SBD ) ) = AH 0.25 0.25 + Trong tam giác vng SAO có: 1 1 10 a = 2+ = + = ⇒ AH = 2 a 2a 2a AH SA AO 10a Vậy d ( A, ( SBD ) ) = 0.25 Đặt t = xy Ta có: xy + = ( x + y ) − xy  ≥ −4 xy ⇒ xy ≥ −   1 Và xy + = ( x − y ) + xy  ≥ xy ⇒ xy ≤ nên − ≤ t ≤   0.25 (x Suy P = V + y2 ) − x2 y2 xy + = −7t + 2t + ( 2t + 1) 0.25 ( ) −t − t t = −7t + 2t + ; f ' (t ) = ⇔  Xét hàm số f ( t ) = có f ' ( t ) = ( 2t + 1) ( 2t + 1) t = −1(l )  1 1 f  −  = f   = ; f ( 0) =  5   15 Vậy GTLN , GTNN 15 Vì AB ⊥ CH nên AB có pt: 2x + y + c = Do M(-3; 0) ∈ AB nên c = Vậy pt AB: 2x + y + = 2 x − y + 14 = Do A ∈ ∆ nên tọa độ A thỏa mãn hệ pt:  ⇒ A ( −4; ) 2 x + y + = VIa Vì M(-3; 0) trung điểm cạnh AB nên B(-2; -2) Phương trình cạnh BC qua B song song với ∆ là: ( x + 2) − 3( y + 2) = ⇔ 2x − y − = 2 x − y − = Vậy tọa độ điểm C nghiệm hpt:  ⇒ C (1; ) x − y −1 = Gọi pt đường thẳng song song với Oy (d): x = a (với a ≠ ) Tung độ giao điêm VIa a2 y 25 − a 2 (d) (E) là: + = ⇔ y = ⇔ y=± 25 − a ( a ≤ ) 25 25     V ậ y A  a; 25 − a  , B  a; − 25 − a  ⇒ AB = 25 − a 5     www.mathvn.com 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 19 www.MATHVN.com 100 5 25 − a = ⇔ 25 − a = ⇔a=± (thỏa mãn đk) 5 5 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm x = ,x = − 3 Điều kiện n ≥ 2, n ∈ ℤ Do AB = ⇔ n −1 An − Cn +1 = 4n + ⇔ n ( n − 1) − Ta có: VII a ( n + 1) n = 4n + n 0.5 12 ( ) 12 − k k 12 1 k = ∑ C12 212− k x36− k   x  k =0  Vì B ∈ ∆1 ⇒ B ( b,5 − b ) ; C ∈ ∆ ⇒ C ( c, c − ) Do M(3; -1) trung điểm BC nên ta có hpt: b + c  =3 b + c = c =  ⇔ ⇔ ⇒ B ( 4;1) , C ( 2; −3)  b =  − b + c − = −1  c − b = −2   Vì H(11; 0) trực tâm tam giác ABC nên ta có:    x A + y A = 11  xA =  AH BC = (11 − x A )( −2 ) + ( − y A )( −4 ) = ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ A ( 3; )  7 x A − y A = 17  yA =    BH AC = 7 ( − x A ) + ( −1)( −3 − y A ) = x2 y2 + = 1( a > b > ) a b2 Theo giả thiết ta có 2a = ⇔ a = 2 (1) Vì hai đỉnh B1, B2 hai tiêu điểm F1, F2 nằm đường tròn nên OF2 = OB2 ⇒ b = c (2) Gọi pt Elip cần tìm là: VIb 0.25  n = −1(loai ) ⇔ n − 11n − 12 = ⇔   n = 12 12 1  1  k Với n = 12 ta có:  x +  =  x3 +  = ∑ C12 x3 x  x  k =0 Số hạng không chứa x ứng với k = C12 = 1760 VIb 0.25 Mặt khác c = a − b ( 3) 2 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 Giải hệ gồm (1), (2) (3) ta b = x2 y2 Vậy (E) cho có pt: + =1 0.25 0.25 2n Ta có: (1 + 1) = C2 n + C2 n + C2 n + C2 n + + C2 n 2n (1 − 1) ( 2n 2n = C2 n − C2 n + C2 n − C2 n + + C2 n ) 2n ⇒ C2 n + C2 n + C2 n + + C2 n −1 = 22 n VII b 2n ⇒ C2 n + C2 n + C2 n + + C2 n −1 = 2 n −1 2n Do giả thiết: C2 n + C2 n + C2 n + + C2 n −1 = 23 nên 2n −1 = 23 ⇔ n − = 23 ⇔ n = 24 ……………………….Hết……………………………… www.mathvn.com 0.5 0.5 20 ... Hết………………………………… www.mathvn.com 14 www.MATHVN.com SỞ GD VÀ ĐT THANH H? ?A TRƯỜNG THPT BỈM SƠN ĐỀ THI THỬ Đ? ?I HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 201 2-2 013 Mơn: Tốn - Kh? ?i D (Th? ?i gian làm b? ?i: 180 phút) Phần I: Phần chung... THANH H? ?A TRƯỜNG THPT BỈM SƠN ĐỀ THI THỬ Đ? ?I HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 201 2-2 013 Mơn: Tốn - Kh? ?i B (Th? ?i gian làm b? ?i: 180 phút) Phần I: Phần chung cho tất thí sinh (7,0 ? ?i? ??m) 2x Câu I (2 ? ?i? ??m) Cho hàm số... , ( SCI ) ) = HT + Ta có: S ACI 1 CD AI = AK CI = CD AI ⇒ AK = = 2 CI a a 2 ? ?a? ?? a2 +   2 HK KM 1 a Kẻ KM//AD ( M ∈ ED ) ⇒ = = ⇒ HK = AK = HA AD a a SA HT SA.HK = 38 L? ?i c ó: sin SKA = = ⇒