ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 MÔN TOÁN, ĐỀ SỐ 79

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 MÔN TOÁN, ĐỀ SỐ 79

Đề thi thử đại học môn toán www.VIETMATHS.com Ôn thi Đại học ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 79 ) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm) Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số 23 23 +−= xxy 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Biện luận số nghiệm của phương trình 1 22 2 − =−− x m xx theo tham số m. Câu II (2.0 điểm ) 1. Giải phương trình: ( ) 2 3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x− = + 2. Giải phương trình: 2 3 16 4 2 14 40 0 x x x log x log x log x .− + = Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân 3 2 3 x sin x I dx. cos x π π − = ∫ Câu IV(1.0điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 3 2 12 1 − + == − zyx và mặt phẳng 012:)( =−++ zyxP .Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong )(P . Câu V:(1.0điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm )2;1;1(A , )2;0;2(B . Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng )(OAB và )(Oxy . PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a(2.0 điểm) 1. Cho hàm số 3 2 sin)( 2 −+−= x xexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng minh rằng 0)( = xf có đúng hai nghiệm. 2. Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:    +−=+ −−= izz izz .25 .55. 2 2 2 1 21 Câu VII.a(1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC ∆ có ( ) 0 5A ; . Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là 1 2 1 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − = Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC. B.Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2.0 điểm) 1. Giải phương trình 12 9. 4 1 4.69. 3 1 4.3 ++ −=+ xxxx . 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x, x = 2 π Đề thi thử đại học môn toán www.VIETMATHS.com Ôn thi Đại học Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng )(P vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng )(P và hình chóp. Hết đề … Họ và tên thí sinh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……… …………… ; Số báo danh:. . . . . . . . . ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 79 ) Câu I 2 điểm a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 3 2y x x .= − + • Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R.= • Sự biến thiên: 2 3 6y' x x.= − Ta có 0 0 2 x y' x =  = ⇔  =  0,25 • ( ) ( ) 0 2 2 2 CD CT y y ; y y .= = = = − 0,25 • Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 +∞ y' + 0 − 0 + y 2 +∞ −∞ 2− 0,25 • Đồ thị: -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 x y 0,25 Đề thi thử đại học môn toán www.VIETMATHS.com Ôn thi Đại học b) Biện luận số nghiệm của phương trình 1 22 2 − =−− x m xx theo tham số m. • Ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 m x x x x x m,x . x − − = ⇔ − − − = ≠ − Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của ( ) ( ) 2 2 2 1y x x x , C'= − − − và đường thẳng 1y m,x .= ≠ 0,25 • Vì ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 f x khi x y x x x f x khi x ≥  = − − − =  − <   nên ( ) C' bao gồm: + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng 1x .= + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng 1x = qua Ox. 0,25 • Đồ thị: -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 x y 0,25 • Dựa vào đồ thị ta có: + 2m :< − Phương trình vô nghiệm; + 2m := − Phương trình có 2 nghiệm kép; + 2 0m :− < < Phương trình có 4 nghiệm phân biệt; + 0m :≥ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. 0,25 Câu II 2 điểm a) Giải phương trình ( ) 2 3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x− = + • Biến đổi phương trình về dạng ( ) ( ) 2 3 2 1 2 1 0sin x sin x sin x+ − + = 0,75 • Do đó nghiệm của phương trình là 0,25 Đề thi thử đại học môn toán www.VIETMATHS.com Ôn thi Đại học 7 2 5 2 2 2 6 6 18 3 18 3 k k x k ; x k ; x ;x π π π π π π π π = − + = + = + = + b) Giải phương trình 2 3 16 4 2 14 40 0 x x x log x log x log x .− + = • Điều kiện: 1 1 0 2 4 16 x ;x ;x ; x .> ≠ ≠ ≠ • Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho 0,25 • Với 1x ≠ . Đặt 2 x t log= và biến đổi phương trình về dạng 2 42 20 0 1 4 1 2 1t t t − + = − + + 0,5 • Giải ra ta được 1 1 2 4 2 2 t ;t x ; x .= = − ⇒ = = Vậy pt có 3 nghiệm x =1; 1 4 2 x ; x .= = 0,25 Câu III 1.0 điểm a) Tính tích phân 3 2 3 x sin x I dx. cos x π π − = ∫ • Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có 3 3 3 3 3 3 1 4 3 x dx I xd J , cosx cosx cosx π π π π π π π − − −   = = − = −  ÷   ∫ ∫ với 3 3 dx J cosx π π − = ∫ 0,25 • Để tính J ta đặt t sin x.= Khi đó 3 3 3 2 2 2 3 3 2 3 2 1 1 2 3 1 2 1 2 3 dx dt t J ln ln . cosx t t π π − − − − − = = = − = − − + + ∫ ∫ 0,5 • Vậy 4 2 3 3 2 3 I ln . π − = − + 0,25 Câu IV 1.0 điểm Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong )(P . • Tìm giao điểm của d và (P) ta được 1 7 2 2 2 A ; ;   −  ÷   0,25 • Ta có ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 1 1 1 2 0 d P d p u ; ; ,n ; ; u u ;n ; ; ∆   = − = ⇒ = = −   uur uur uur uur uur 0,5 • Vậy phương trình đường thẳng ∆ là 1 7 2 2 2 2 : x t; y t; z .∆ = + = − = − 0,25 Câu V 1.0 điểm Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm )2;1;1(A , )2;0;2(B . Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng )(OAB và )(Oxy . Đề thi thử đại học môn toán www.VIETMATHS.com Ôn thi Đại học ( ) ( ) , ; ; ; ;2 2 2 2 1 1 1OA OB   = − = −   uuur uuur ( ) : 0OAB x y z⇒ + − = . ( ) : 0Oxy z = . ( ) ; ;N x y z cách đều ( ) OAB và ( ) Oxy ( ) ( ) ( ) ( ) , ,d N OAB d N Oxy⇔ = 1 3 x y z z+ − ⇔ = ( ) ( ) . 3 1 0 3 3 1 0 x y z x y z z x y z  + − + =  ⇔ + − = ± ⇔  + + − =   Vậy tập hợp các điểm N là hai mặt phẳng có phương trình ( ) 3 1 0x y z+ − + = và ( ) 3 1 0x y z+ + − = . Câu VIa 2.0 điểm 1. Cho hàm số 3 2 sin)( 2 −+−= x xexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng minh rằng 0)( = xf có đúng hai nghiệm. • Ta có x f ( x ) e x cos x. ′ = + − Do đó ( ) 0 x f ' x e x cos x.= ⇔ = − + 0,25 • Hàm số x y e= là hàm đồng biến; hàm số y x cosx= − + là hàm nghịch biến vì 1 0y' sin x , x= − + ≤ ∀ . Mặt khác 0 = x là nghiệm của phương trình x e x cos x= − + nên nó là nghiệm duy nhất. 0,25 • Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) y f x= (học sinh tự làm) ta đi đến kết luận phương trình 0)( = xf có đúng hai nghiệm. • Từ bảng biến thiên ta có ( ) 2 0min f x x .= − ⇔ = 0,5 Cho hàm số 3 2 sin)( 2 −+−= x xexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng minh rằng 0)( = xf có đúng hai nghiệm. • Ta có x f ( x ) e x cos x. ′ = + − Do đó ( ) 0 x f ' x e x cos x.= ⇔ = − + 0,25 2. . Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:    +−=+ −−= izz izz .25 .55. 2 2 2 1 21 Đáp số: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i) Câu VII.a 1.0 điểm Trong mặt phẳng Oxy cho ABC ∆ có ( ) 0 5A ; . Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là Đề thi thử đại học môn toán www.VIETMATHS.com Ôn thi Đại học 1 2 1 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − = Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC. • Ta có ( ) 1 2 2 1 3 5 0B d d B ; AB : x y .= ∩ ⇒ − − ⇒ − + = 0,25 • Gọi A' đối xứng với A qua ( ) ( ) 1 2 3 4 1d H ; ,A' ; .⇒ 0,25 • Ta có 3 1 0A' BC BC : x y .∈ ⇒ − − = 0,25 • Tìm được ( ) 28 9 7 35 0C ; AC : x y .⇒ − + = 0,25 Câu VI.b 2.0 điểm 1. Giải phương trình 12 9. 4 1 4.69. 3 1 4.3 ++ −=+ xxxx • Biến đổi phương trình đã cho về dạng 2 2 2 2 9 3 2 27 3 6 2 3 4 x x x x . . . .+ = − 0,5 • Từ đó ta thu được 3 2 3 2 2 2 39 39 x x log   = ⇔ =  ÷   0,5 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau y = x.sin2x, y = 2x, x = 2 π Ta có: x.sin2x = 2x ⇔ x.sin2x – 2x = 0 ⇔ x(sin2x – 2) =0 ⇔ x = 0 Diện tích hình phẳng là: ∫∫ −=−= 2 0 2 0 )22(sin)22sin.( π π dxxxdxxxxS Đặt      − − = = ⇒    −= = x x v dxdu dxxdv xu 2 2 2cos )22(sin 44424 222 πππππ −=+−=⇔ S (đvdt) 0.5 0.5 Câu VII.b 1.0 điểm Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều. Qua A dựng mặt phẳng )(P vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng )(P và hình chóp. • Học sinh tự vẽ hình 0,25 • Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC.⊥ Gọi I AC' SO.= ∩ 0,25 • Kẻ B' D' // BD. Ta có 2 1 1 2 3 3 2 2 3 2 6 AD' C' B' a a S B' D' .AC' . BD. .= = = 0,5 . Đề thi thử đại học môn toán www .VIETMATHS. com Ôn thi Đại học ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012 Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 79 ) PHẦN CHUNG CHO. . . . . . ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 79 ) Câu I 2 điểm a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 3 2y x x .= −