Chủ đề 4 : biểu thức đại số Dạng 1. Tính giá trị biểu thức. Bài 1. Viết biểu thức đại số biểu diễn: a. Hiệu của a và lập phơng của b b. Hiệu các lập phơng của a và b c. Lập phơng của hiệu a và b. Bài 2. Tính giá trị các biểu thức sau : 1) 2x 2 3x +1 tại x = -1 2) 5x 2 3x 16 tại x = 2 3) x 2 y 2 + xy + x 3 + y 3 tại x = 1; y = 3 4) 2x 3y 2 + 4z 3 tại x = 2; y = -1; z = -1 5) 3x 3 y + 6x 2 y 2 + 3xy 3 tại 1 1 ; 2 3 x y= = 6) 5x 7y + 10 tại x = 5 1 ; y = 1 7 7) 2x 5y - 8 tại x = 1 4 ; y = 1 10 8) x 2 + 4xy - 3y 3 với |x| = 5; |y| = 1 9) 2x 2 8xy y 2 tại x = 2 1 ; y = 1 10) yx yx 3 23 với y x = 3 10 11) ( ) ( ) ( ) 10 9 8 x 3 x 3 x 3 x 1+ + + + + tại x = -3 12) ( ) ( ) 10 8 2 x 2 x 5x 4 x 6x 13+ + + + tại x = -2 13) 2 2 3 2 2 x x M x + = + tại: x = -1 14) N = 12 36 2 + x xx với x = 2 1 15) P = 13 175 2 + x xx với x = 2 1 16) Q = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 6 6 2 7 7 a b a b a b a 3b a b + + + + với a = 6; b = 12 17) M = ( ) ( ) ( ) 12 5100 .21 55 + ++++ a baba với a = 25 3 ; b = 0,6 18) xy3 9y4 yx3 9x4 B + + + = ( x -3y; y -3x) Cho x - y = 9 19) A = 3x 3 y + 6x 2 y 2 + 3xy 3 tại 1 1 ; 2 3 x y= = 20) B = x 2 y 2 + xy + x 3 + y 3 tại x = 1; y = 3 Bài 3. Tính giá trị của biểu thức sau : 22 22 310 35 yx yx + với 53 yx = Bài 4. Cho x, y, z 0 và x - y - z = 0 .Tính giá trị của biểu thức : B = + z y y x x z 111 Dạng 2. Đơn thức, tích các đơn thức. Bài 1. Cho các biểu thức : ( ) 2 2 2 2xy 3 1 6 ; xy z 1 ; y z ; xyz z 2 x 7 + Những biểu thức là đơn thức và những đơn thức nào đồng dạng với nhau nếu : a. x và y là biến, z là hằng b. z và x là biến, y là hằng c. y là biến, z và x là hằng. Bài 2. Tính tích các đơn thức sau : ( chỉ ra hệ số, phần biến và bậc của kết quả đối với 6 câu đầu tiên) 1) ( ) ( ) 3 2 2 5xy x y 2) ( ) ( ) 5 2 3 3 3 4x y x y 3) ( ) ( ) 2 3 2 2 4x y x y 4) ( ) ( ) 2 3 2 5 7 3x y x y 5) 2 2 3 3 1 5 6 x y x y ữ ữ 6) 3 2 5 5 3 6 10 x y xy ữ ữ 7) 2 3 3 2 1 4 2 5 x y z xy z ữ ữ 8) 2 4 3 9 8 x yz xyz ữ ữ 9) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 5x y xyz x y z 10) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 7x y z xyz xy z 11) ( ) ( ) ( ) 2 3 5 5 3xyz x xy 12) 2 3 1 3 10 2 5 21 xy x y xy ữ ữ ữ 13) ( ) 2 3 2 3 2 3 4 9 xy x y xy ữ ữ 14) ( ) ( ) 2 2 3 1 10 5 xyz x y y z ữ 15) ữ ữ ữ 0 2 1 5 1 1 x y xy 2 xy 4 6 2 16) ữ ữ ữ 2 2 2 3 8 2 4 x z xy z x y 3 3 5 17) ữ ữ 10 10 2 3 5 4 1 3 2 x y x y 3 7 1 18) ữ ữ 2 2 3 2 2 1 x y 2 xy 25 2 19) 2 2 3 2 1 6 3 7 x yz xyz ữ ữ 20) 2 4 4 5 3 1 1 3 . . 3 2 x y y z x zyx ữ ữ 21) 3 2 2 2 2 1 . 5 3 x y xy ữ ữ 22) 2 3 2 4 3 2 4 3 xy x y ữ 23) 2 3 2 3 3 2 3 1 5 3 x y x y ữ ữ 24) ( ) 2 2 2 3 1 . 4 2 xy z x yz ữ 25) 2 4 1 3 . 3 5 x y x ữ 26) 2 3 3 2 . . . 4 3 u v uv ữ ữ 27) 2 2 3 2 4 3 y x y ữ 28) ( ) 3 2 2 2 1 3 3 x y xy ữ 29) 3 5 3 1 15 . . 2 x yz xy z ữ 30) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 . . .x yx x y 31) 2 2 2 3 2 5 9 . . 3 9 10 abx a x bx ữ ữ ữ 32) 3 2 2 2 1 15 1 . 2 8 5 ab c a b bc ữ ữ Bài 3. Tính tích các đơn thức sau rồi cho biết hệ số và bậc của đơn thức thu đợc ( a, b, c, d là hằng ) a) 5 3 4 2 1 - (a -1)x y z 2 b) ( ) ( ) 2 2 2 n 1 3 4 7 n a b xy z b cx z c) ữ ữ 3 3 2 5 2 9 5 - a x y . - ax y z 10 3 Bài 4. Cho 3 đơn thức sau: zx 2 8 3 ; 22 3 2 zxy ; yx 3 5 4 a. Tính tích của 3 đơn thức trên. b. Tính giá trị của mỗi đơn thức và giá trị của đơn thức tích tại x= -1, y = -2; z = 3. Bài 5. Cho các đơn thức : 3 4 A = - x y 9 ; 5 3 3 B = x y 8 . Có các cặp giá trị nào của x và y làm cho A và B cùng có giá trị âm không ? Bài 6. Cho ba n thc M = -5xy; N = 11xy 2 ; P= 2 3 7 5 x y . Chng minh rng ba n thc ny không thể cùng có giá trị dơng. Bài 7. Chứng minh ba đơn thức 2 3 2 5 1 3 x y ; xy ; 16x y 2 4 không thể cùng có giá trị âm (có ít nhất một đơn thức có giá trị dơng) Dạng 3. Đơn thức đồng dạng, tổng và hiệu các đơn thức đồng dạng. Bài 1. Thực hiện phép tính sau : 1) 2 2 2 5x y x y+ 2) ( ) 3 2 3 2 3 8x y x y+ 3) ( ) ( ) 2 2 7xy xy + 4) 3 3 4 13x y x y 5) ( ) 2 2 3xyz xyz 6) ( ) 2 2 5 3x yz x yz 7) 2 5 2 5 2 1 3 6 x y x y + ữ 8) 3 2 3 2 3 1 5 2 xy z xy z ữ 9) 2 2 3 5 8 6 xy z xy z ữ ữ Bài 2. Rút gọn biểu thức : 1) 2 3 2 3 3 5x y x y+ 2) 3 3 3 2 7 4x yz x yz x yz + 3) 2 2 2 2 2 2 5 3xy z xy z xy z 4) ( ) ( ) 2 2 2 2 3a b + -a b + 2a b - -6a b 5) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 -7y + -y -8y 6) ( ) ( ) 2 2 2 2 -4,2p + - 0,3p +0,5p + 3p 7) ( ) n n n 5a + - 2a + 6a 8) 2 3 63 xxx ++ 9) 3ab. 5 2 ac 2a.abc - 3 1 a 2 bc 10) 2 5 2 5 2 5 1 3 4 2 4 3 y z y z y z + 11) 3 3 3 7 3 axy bxy xy + Bài 3. 2 2 2 2 2 1 1 Cho A x y; B xy ; C x y; D xy 3 2 3 = = = = a. Xếp chúng thành nhóm các đơn thức đồng dạng rồi tính tổng của từng nhúm b. Tính tích của các tổng vừa tìm đợc. Chỉ ra phần hệ số, phần biến, bậc của tích tìm đợc. c. Tính giá trị của các tích trên tại x = 2 , y = - 3 d. Biểu thức A và biểu thức C có thể cùng có giá trị dơng đợc không ? Vì sao ? 2 Bài 4. 3 2 5 2 1 1 Cho A x y . 1 x y 3 2 = ữ ữ a. Viết A dới dạng đơn giản nhất. b. Chứng tỏ A không dơng với mọi x, y c. Tính giá trị của A tại x 2 ; y 1= = Bài 5. Cho các biểu thức : 2 2 2 2 2 1 1 1 2 A 1 x y ; B 2 xy ; C x y ; D x y 4 2 3 3 = = = = ữ a. Tính A.B, B.C và chỉ ra phần hệ số, phần biến, và bậc của kết quả tìm đợc. b. Tính A - D , A + D ; A 2 + C c. A và D có thể cùng dơng đợc không ? Bài 6. Cho n thc A = 5m (x 2 y 3 ) 2 ; 4 6 2 B = - x y m trong ú m l hng s dng. a/ Hai n thc A v B cú ng dng khụng ? b/ Tớnh hiu A - B c/ Tớnh GTNN ca hiu A B Bài 7. Cho A = 8x 5 y 3 ; B = -2x 6 y 3 ; C = -6x 7 y 3 . Chng minh rng Ax 2 + Bx + C = 0 Bài 8. Cho A = (-3x 5 y 3 ) 4 ; B = (2x 2 z 4 ). Tỡm x, y, z bit A + B = 0 Bài 9. Biết A = x 2 yz , B = xy 2 z ; C = xyz 2 và x+ x + z = 1. Chứng tỏ rằng A + B + C = xyz Bài 10. Cho các đơn thức A = x 2 y và B = xy 2 . Chứng tỏ rằng nếu x, y Z và x + y chia hết cho 13 thì A + B chia hết cho 13 Bài 11. Chng minh rng vi nN * thì : a/ 8.2 n + 2 n+1 cú tn cựng bng ch s 0 b/ 3 n+3 - 2.3 n + 2 n+5 - 7.2 n chia ht cho 25 c/ 4 n+3 + 4 n+2 - 4 n+1 - 4 n chia ht cho 300 Bài 12. Rút gọn các biểu thức sau : a) 10 n+1 - 66.10 n b) 2 n+ 3 + 2 n +2 - 2 n + 1 + 2 n c) 90.10 k - 10 k+2 + 10 k+1 d)2,5.5 n - 3 .10+5 n -6.5 n- 1 Bài 13. Rút gọn: a) M + N - P với M = 2a 2 3a + 1 , N = 5a 2 + a , P = a 2 - 4 b) 2y - x - ( ) [ ] { } xyxyyx + 532 với x =a 2 + 2ab + b 2 , y = a 2 - 2ab + b 2 Dạng 4. Đa thức, cộng trừ đa thức. Bài 1. Rút gọn đa thức : 1) x 3 y xy + 3y + 6xy x 3 y +y 5 2) 2 2 2 2 1 1 1 5 3 2 3 x y xy xy xy xy x y+ + 1) 2 3 2 3 1 3 4 2 4 4 x y xy x y xy xy + + 1) 2 2 1 1 1 3 1 3 4 2 4 x y xy x y xy xy + + 3) 5x 2 yz +8xyz 2 -3x 2 yz xyz 2 +x 2 yz +xyz 2 4) 3 2 3 3 2 1 1 2 4 2 2 y x y y y x y + 5) xy 2 -2x 3 y 2 + xy -3 + x 3 y 2 - 5xy 2 - 2 - 4xy 6) 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 15 7 8 12 11 12+ + x y x x y x x y x y 7) 5 4 2 3 5 4 2 3 1 3 1 3 2 3 4 2 + + + x y xy x y x y xy x y 8) ( ) 2 3 2 4 3 2 3 3 1 2 5 1 x y x y xy xy xy 5 x y 3 5 6 2 + + 9) - 2 1 xy 2 z+3x 3 y 2 +2xy 2 z - 3 2 xy 2 z - 3 1 x 3 y 2 +xy 2 z 10) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 3 1 2 3 xy x y 3x y 2 xy 3x y xy x y 2 3 2 + ữ ữ ữ Bài 2. Thực hiện phép tính : 1) ( ) ( ) 2 2 2 2 -5x y + 3xy + 7 + - 6x y + 4xy 5 2) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 2,4x -10x y + 7x y - 2,4x + 3xy 3) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 15x y - 7xy -6y + 2x - 12x y + 7xy 4) ( ) ( ) 3x + y - z - 4x -2y + 6z 5) ( ) ( ) 3 2 3 3 3 6 5 2 5 7x x y x x y+ + + 6) ( ) ( ) 2 3 2 3 5,7 3,1 8 6,9 2,3 8x y xy y xy x y y + + 7) ( ) ( ) 2x. -3x + 5 + 3x 2x 12 + 26x 8) 2 2 7 5 4 3 3 6 9 5 2 5 5 x x x x x + ữ ữ 9) ( 15x + 2y) - ( ) ( ) [ ] yxx ++ 532 10) - (12x + 3y) + (5x 2y) - ( ) [ ] 5213 + yx 11) (4x 2 +x 2 y -5y 3 )+( yxxyx 223 6 3 5 )+( 3 3 10 3 y x + )+ ( 3223 104156 xyxxyy ) 3 Bài 3. Cho cỏc a thc : A = 16x 4 - 8x 3 y + 7x 2 y 2 - 9y 4 ; B = -15x 4 + 3x 3 y - 5x 2 y 2 - 6y 4 ; C = 5x 3 y + 3x 2 y 2 + 17y 4 + 1. Tớnh A+B-C Bài 4. Cho các đa thức : A = 4x 2 - 5xy + 3y 2 ; B = 3x 2 +2xy + y 2 C = - x 2 + 3xy + 2y 2 . Tính: a. A + B + C; b. B - C - A; c. C - A - B. Bài 5. Tìm đa tức M , biết: a. M + ( 5x 2 2xy ) = 6x 2 + 9xy y 2 b. M - (3xy - 4y 2 ) = x 2 - 7xy + 8y 2 c. (25x 2 y - 13 xy 2 + y 3 ) - M = 11x 2 y 2y 2 ; d. M + ( 12x 4 - 15x 2 y + 2xy 2 +7 ) = 0 Bài 6. Cho a thc P = 5x 2 - 7y 2 + y - 1; Q = x 2 - 2y 2 a) Tìm a th c M = P - Q b) Tính giá tr c a M t i x=1/2 v y=-1/5 Bài 7. Tìm a th c A bi t A + (3 x 2 y 2 xy 3 ) = 2 x 2 y 4 xy 3 = + = + + 2 3 3 2 3 2 3 2 13 Cho M x y 0,5xy x y và N xy x y 5,5x y 2 a. Tính M + N, M N, N - M và chỉ ra bậc của KQ tìm đợc. b. Tìm bậc của M và N. Tính giá trị của M và N tại x = -0,5 , y = 1 c. Tính 2M N , M 2N d. Tìm đa thức P biết 2P + M = N e. Tìm đa thức Q biết Q 2M = N Bài 8. Cho các đa thức: 4 2 3 5 3 5 4 2 3 5 1 A 2x y 7x y ; B 2x y x y ; C 5x y 2 = = = Chứng tỏ có ít nhất một đa thức không âm với mọi x, y. Bài 9. Cho các đa thức : 2 4 3 2 2 2 2 2 2 4 2 2 A x y 2x y x y và B x y 3x y. x 5x y 5 3 = = + ữ Chứng minh A và B không thể cùng có giá trị âm với mọi x, y Bài 10. Cho các đa thức : 2 2 2 2 P 3x 2xy 4y 1, Q x 2xy 5y= + + = + Chứng minh rằng với mọi x, y thì giá trị của hai đa thức trên không thể đồng thời nhỏ hơn 0 Bài 11. Cho a thc P = 2x(x + y - 1) + y 2 + 1 a/ Tớnh giỏ tr ca P vi x = -5; y = 3 b/ Chng minh rng P luụn luụn nhn giỏ tr khụng õm vi mi x, y Bài 12. Tìm x biết : 1) ( ) ( ) ( ) 0,4x - 2 - 1,5x + 1 - - 4x - 0,8 = 3,6 2) 3 3 4 x + ữ - 4 3 2 x - + 1 6 1 x = + 4 3 1 x - 3 3 1 x 3) 6 1 4 1 3 1 2 1 = xx 4) ( ) ( ) ( ) 5 9 2 1 1 2 2 3x x x x + + = + 5) 4 2 3 1 = + xx 6) ( ) ( ) ( ) 2 7 8 3 12 5 1x x x x = + + 7) 3(x-2)+ 2(x-1)=10 8) ( ) ( ) ( ) 3 2 5 2 1 3 2 3 4x x x+ = 9) ( ) ( ) 2 2 3 1 5 3 6 1x x x x+ = 10) ( ) ( ) ( ) 2 5 2 3 2 2 4x x x x x x + = + 11) x +2x+3x+4x+ + 100x = -213 12) x -6 x - 7 x -8 x - 9 x -10 x -11 + + = + + 7 8 9 10 11 12 13) x + 32 x + 23 x + 38 x + 27 + = + 11 12 13 14 14) x n 2x n+1 + 5x n 4x n+1 = 0 ( n N; n 0) Bài 13. Tớnh tng S ab abc ba bac= + + Bài 14. Tớnh giỏ tr ca cỏc a thc sau bit x - y = 0 a/ M = 7x - 7y + 4ax - 4ay - 5 b/ N = x (x 2 + y 2 ) - y (x 2 + y 2 ) + 3 Bài 15. Tớnh giỏ tr ca a thc A = 4x 4 + 7x 2 y 2 + 3y 4 + 5y 2 vi x 2 + y 2 = 5 Bài 16. Chứng minh các đẳng thức sau : a) x 2 y 2 = (x+ y) (x- y) b) x 3 + y 3 = (x+ y) ( x 2 xy + y 2 ) 4 c) a(a b) b(b- a) = a 2 b 2 d) a( b- c) b(a + c) + c( a b) = - 2bc e) a( 1- b) + a( a 2 1) = a (a 2 - b) f) a(b x) + x(a + b) = b( a + x) Bài 17. Đặt thừa số chung để viết các tổng sau đây thành tích : a) ab + bd ac cd b) ax + by ay bx c) x 2 xy xy + y 2 Bài 18. Cho đa thức C thỏa mãn : ( ) 2 2 2 2 C 3x 5xy 2y 4x 5xy 6y+ + = + . Chứng minh C 0 x,y Bài 19. Hóy vit cỏc a thc di dng tng ca cỏc n thc ri thu gn. a/ D = 4x(x+y) - 5y(x-y) - 4x 2 b/ E = 3(x 2 + 1) - x(y+3x) + (xy +y 2 + 1) Bài 20. Cho a thc A = 2x 2 + | 7x - 1| - (5 - x +2x 2 ) a/ Thu gn A b/ Tỡm x A = 2 Dạng 5. Đa thức một biến, nghiệm của đa thức một biến. Bài 1. Viết các đa thức sau dới dạng luỹ thừa giảm của biến rồi tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do và bậc của chúng: 3x 5 + 5x 3 ( x 2 - x +1 ) - 2x 2 ( 4x 3 + 2x 2 + 3x - 4 ) ( x 3 +3x +2 ) ( x- 2 ) - 2 1 x ( 2x 2 4x 7 ) Bài 2. Cho đa thức P(x) = 2 3 3 2 2 2 1 2 3 4 1 5 3 3 4 3 x x x x x x + + + + a) Thu gọn P(x) và sắp xếp theo lũy thừa giảm của biến. b) Tính P(x) với x = -1 Bài 3. Cho P(x) = 2x 3 2x 5 ; Q(x) = x 3 + x 2 + 1 x. Tính: a. P(x) +Q(x); b. P(x) - Q(x). Bài 4. Cho đa thức : A(x) = 3x 4 3/4x 3 + 2x 2 3 B(x) = 8x 4 + 1/5x 3 9x + 2/5 Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x); Bài 5. Cho các đa thức: f(x) = x 3 - 2x 2 + 3x + 1 g(x) = x 3 + x - 1 h(x) = 2x 2 - 1 a) Tính: f(x) - g(x) + h(x) b) Tìm x sao cho f(x) - g(x) + h(x) = 0 Bài 6. Cho các đa thức : A(x) = 3x 6 5x 4 +2x 2 - 7 B(x) = 8x 6 + 7x 4 x 2 + 11 C(x) = x 6 + x 4 8x 2 + 6 Tính : 1) A(x) + B(x); 2) B(x) + C(x); 3) A(x) + C(x); 4) A(x) + B(x)- C(x); 5) B(x) + C(x) A(x); 6) C(x) + A(x) - B(x); 7) A(x) + 2B(x); 8) A(x) -2 C(x) Bài 7. Cho 2 đa thức f(x) = x 2 3x 3 -5x + 5x 3 x +x 2 + 4x +1 g(x) = 2x 2 x 3 +3x +3x 3 +x 2 x -9x +5 a) Thu gọn hai đa thức trên và sắp xếp theo lũy thừa giảm của biến, tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do và bậc của chúng. b) Tính f(x) + g(x) và f(x) g(x). Bài 8. Cho các đa thức : M = x 2 + 5x 4 3x 3 + x 2 + 4x 4 + 3x 3 x + 5 N = x 5x 3 2x 2 8x 4 + 4 x 3 x + 5 a. Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. b. Tính M+N; M - N Bài 9. Cho các đa thức : f(x) = 3x 2 + x 1 + x 4 x 3 x 2 + 3x 4 g(x) = x 4 + x 2 x 3 + x 5 + 5x 3 x 2 a. Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến. b. Tính f(x) g(x); f(x) + g(x) c. Tính g(x) tại x = -1. Bài 10. Cho P(x) = 2x 3 + 2x - 3x 2 + 1 ; Q(x) = 2x 2 - 2x 2 + x - 5. Tính : a) P(x) + Q(x); b) P(x)-Q(x) Bài 11. Cho f(x) = -7x 2 + 6x 3 - 3 1 +8x 4 + 7x 2 - 5 1 x và g(x) = 28 5x 4 7x 3 3x 2 3x 4 - 5 2 -2x Tính f(x) + g(x); g(x) f(x) Bài 12. Cho các đa thức : P(x) = x 4 + 2x 2 + 1 và Q(x) = x 4 + 4x 3 + 2x 2 4x + 1; 5 Tính : P(-1); P( 1 2 ); Q(-2); Q(1); Bài 13. Cho đa thức P(x) = 2x 4 3x 2 + 5x -1 a) Tìm đa thức Q(x) biết P(x) + Q(x) = x 3 + x 2 x +1 b) Tìm đa thức R(x) biết P(x) R(x) = 2x 4 4x 2 + 10x -5 c) Tính giá trị của R(x) khi x = 4 ; x = -4. Bài 14. Cho f(x) = 2x 3 (x 2 - 2 1 x +1 ) g(x) = -2x 3 (x 2 +1 ). Tính f(x) + g(x) HSG: Hai đa thức trên có thể cùng mang giá trị dơng đợc không ? Tại sao ? Bài 15. Cho f(x) = 2x 3 (x 2 - 2 1 x +1 ) và g(x) = -2x 3 (x 2 +1 ). Tính f(x) + g(x) Bài 16. Cho f(x) = 6x 7 5x 3 + 4; g(x) = x 2 ( -4x 5 - 2 ) -3 ; h(x) = x 2 ( -2x 5 +x 4 +5x ) + 7x 2 Tính f(x) + g(x) + h(x) HSG : Ba đa thức trên có thể cùng mang giá trị âm đợc không ? Tại sao ? Bài 17. Tính f(x) + g(x) + h(x) với : f(x) = 6x 7 5x 3 +1 h(x) = x 2 ( -2x 5 +x 4 -x 3 ) + 7x 2 g(x) = x ( -4x 6 +2 ) -3 Bài 18. Cho đa thức f(x) = x 4 + 2x 3 2x 2 6x + 5 Trong các số sau : 1; 1; 2; 2; 5; -5 số nào là nghiệm của đa thức f(x) Bài 19. Tìm nghiệm của các đa thức sau : 1) +2x 10 2) 5 2x 3) 2x 5 4) 4 -5x 5) 2 4x 3 6) 3x - 1 4 7) 2x- 5 3 8) 1 3x 2 9) 2 9x 49 10) -x 2 +4 11) 1 8x 3 12) x 3 + 27 13) x 2 -81 14) 3 8 27x 15) + 2 2x 32 16) 4x 2 25 17) ( ) + 2 2 3x 1 18) x 2 + 1 19) (x+2)(3x-1) 20) ( ) ( ) + 2x 4 3 5x 21) (x-3)(16-4x) 22) (2x + 3)(1 - 3x) 23) ( ) ( ) +10 x 2 x 5 24) ( 3x 1 ) 2 25) ( 2x-1 ) ( 2 1 x-5 ) 26) (x - 1)(x + 4)(x - 7) 27) 2 x x 28) 3x 2 4x 29) x 2 + 5x 30) x 2 5x 31) x 3 + x 2 32) 3 2 x 5x 33) 5x 5 + 10x 34) 5x 2 +9x+4 35) x 2 - 5x + 6 36) + 2 x 7x 8 37) x 2 6x + 9 38) + + 2 5x 9x 4 39) x 3 + x 2 + x + 1 40) x 2 - 3x(1 - 2x) 2 +3 Bài 20. Cho hai đa thức: A(x) = 4x 5 x 3 + 4x 2 + 5x + 9 + 4x 5 6x 2 2 B(x) = 3x 4 2x 3 + 10x 2 8x + 5x 3 7 2x 3 + 8x a) Thu gọn mỗi đa thức trên rồi sắp xếp chúng theo lũy thừa giảm dần của biến. b) Tính P(x) = A(x) + B(x) và Q(x) = A(x) B(x) c) Chứng tỏ x = 1 là nghiệm của đa thức P(x). Bài 21. Cho hai đa thức: f(x) = 9 - x 5 + 4x - 2x 3 + x 2 - 7x 4 và g(x) = x 5 - 9 + 2x 2 + 7x 4 + 2x 3 - 3x a) Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến b) Tính tổng h(x) = f(x) + g(x). c) Tìm nghiệm của đa thức h(x). Bài 22. Cho đa thức A(x) = -x 3 -5x 2 +7x +2 và B(x) = x 3 + 6x 2 -3x -7 a) Tính A(x) +B(x) và A(x) B(x) b) Chứng tỏ x = 1 là nghiệm của A(x) +B(x) nhng không phải là nghiệm của A(x). Bài 23. Cho các đa thức: ( ) = + + + + 2 5 4 P x x 2x 3x x x 1 và ( ) = + + 2 4 5 4 2 Q x 3 2x 2x x 3x x 4x a. Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến. Tìm hệ số cao nhất, hệ số tự do và bậc của chúng. b. Tính P(x) + Q(x) , P(x) Q(x). c. Chứng minh đa thức P(x) + Q(x) không có nghiệm. Bài 24. Tìm các giá trị của biến để : a)A= (x + 1)(y 2 6) có giá trị bằng 0 b) B = x 2 12x + 7 có giá trị bằng 7 Bài 25. Tìm x biết 6 a. 2x(x 2 -3x+2) 3x(2x+1) 2x 3 + 3 = 0 b. 3x(x+5) 2x(5x+2) + 7x(x -3) 1 = 0 c. 10x 2 +5 - x(2x-3) - 4x(2x-5) + 2(x + 3) = -14 d. 3x 3 -5x 2 + 2 3x(2x 2 - 1) + 6(x 2 -2x +3) = x 2 -5x e. (2x+3)(x-2) (x+1)(2x-5) = 0 f. (3x - 4)(4x + 1) - (2x - 7)(6x - 1) -2x + 9 = 0 g. 5x( 4x - 3) + (2x-1)(3-10x) 5( 2x - 3) = -1 h. (x - 3)(2x + 8) - (5x + 2)(x - 6) + 2 = 5x 8x 2 Bài 26. Cho g(x) = 4x 2 + 3x +1; h(x) = 3x 2 - 2x - 3 a/ Tớnh f(x) = g(x) - h(x) b/ Chng t rng -4 l nghim ca f(x) c/ Tỡm tp hp nghim ca f(x) Bài 27. Cho hai a thc f(x) = 5x - 7 ; g(x) = 3x +1 a/ Tỡm nghim ca f(x); g(x) b/ Tỡm nghim ca a thc h(x) = f(x) - g(x) c/ T kt qu cõu b suy ra vi giỏ tr no ca x thỡ f(x) = g(x) ? Bài 28. Cho a thc f(x) = x 2 + 4x - 5 a/ S -5 cú phi l nghim ca f(x) khụng? b/ Vit tp hp S tt c cỏc nghim ca f(x) Bài 29. Thu gn ri tỡm nghim ca cỏc a thc sau: a/ f(x) = x(1-2x) + (2x 2 -x + 4) b/ g(x) = x (x - 5) - x ( x +2) + 7x c/ h(x) = x (x -1) + 1 Bài 30. Xỏc nh h s m cỏc a thc sau nhn 1 lm nghim. a/ mx 2 + 2x + 8; b/ 7x 2 + mx - 1; c/ x 5 - 3x 2 + m Bài 31. Cho a thc f(x) = x 2 +mx + 2 a/ Xỏc nh m f(x) nhn -2 lm mt nghim b/ Tỡm tp hp cỏc nghim ca f(x) ng vi giỏ tr va tỡm c ca m Bài 32. a. Tính giá trị của biểu thức A = 3x 2 4x + 5 tại x thỏa mãn x 2 -3x = 0 b. Tính giá trị của biểu thức B = 4x 8 x 10 - 5 tại x thỏa mãn |x| - 5 = - 3 c. Tính GT của ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 C x 2 x 3 x 4 . x 2008= tại x = 15; x = -31 d. Tính GT của biểu thức 2 x 3y D 2x x y = + + tại x, y thỏa mãn x 1 y 2 0+ + = ( có thể cho dạng (x+1) 2 + (y -2) 2 = 0 ) Bài 33. Tính tổng các hệ số của đa thức sau : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2009 5 4 3 2 1000 7 5 3 1996 4 3 2 f x 6x 5x 4x 3x 2x 3 g x x 3x 4x 5x 6 h x 3x 4x 8x x 6 = + + = + + = + Bài 34. Cho f(x) = x 8 - 101x 7 + 101x 6 - 101x 5 + + 101x 2 - 101x + 25. Tính f(100) Bài 35. Cho f(x) = ax 2 + bx + c. Biết 7a + b = 0, hỏi f(10). f(-3) có thể là số âm không? Bài 36. Cho f(x) = ax 3 + 4x(x 2 - 1) + 8 và g(x) = x 3 - 4x(bx +1) + c- 3 trong đó a, b, c là hằng. Xác định a, b, c nếu f(x) = g(x) Bài 37. Cho f(x) = 2x 2 + ax + 4 (a là hằng) và g(x) = x 2 - 5x - b ( b là hằng) Tìm các hệ số a, b sao cho f(1) = g(2) và f(-1) = g(5) Bài 38. Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) = ax 2 + bx + c chia hết cho 3 với mọi x thì các hệ số a, b, c đều chia hết cho 3. Bài 39. Cho f(x) + g(x) = 6x 4 - 3x 2 - 5 và f(x) - g(x) = 4x 4 - 6x 3 + 7x 2 + 8x - 9 Hãy tìm các đa thức f(x) ; g(x) Bài 40. Cho f(x) = x 2n - x 2n-1 + .+ x 2 - x + 1 ( xN) và g(x) = -x 2n+1 + x 2n - x 2n-1 + +x 2 - x + 1 (x N) Tính giá trị của hiệu f(x) - g(x) tại 10 1 = x Bài 41. Cho bit (x -1). f(x) = (x+4). f(x +8) vi mi x. Chng minh rng f(x) cú ớt nht hai nghim. Bài 42. Cho f(x) = ax 2 + bx + c. Chứng minh rằng không có những số nguyên a, b, c nào làm cho f(x) = 1 khi x = 1998 và f(x) = 2 khi x = 2000 Bài 43. Chứng minh rằng biểu thức P = x 8 - x 5 + x 2 - x + 1 luôn nhận giá trị dơng với mọi giá trị của x. Bài 44. Chứng tỏ rằng : a) Biểu thức x 2 + x + 3 luôn luôn có giá trị dơng với mọi giá trị của x . b) Biểu thức 2x 2 + 3x 8 không nhận giá trị dơng với mọi giá trị của x. Bài 45. Xét đa thức f (x) = ax + b. chứng minh rằng nếu có hai giá trị khác nhau x = x 1 ; x = x 2 là nghiệm của f (x) thì a = b = 0. 7 Bài 46. Xét đa thức f(x) = ax 2 + bx + c chứng minh rằng nếu f(x) có ba nghiệm khác nhau x 1 ; x 2 ; x 3 thì a = b = c = 0. Bài 47. Chứng minh rằng nếu x 0 là một nghiệm của đa thức f(x) = ax + b ( a 0, b 0) thì 0 1 x là một nghiệm của đa thức g(x) = bx + a Bài 48. Chứng minh rằng nếu x 0 là một nghiệm của đa thức f(x) = ax 2 + bx + c (a 0; c 0) thì 0 1 x là nghiệm của đa thức g(x) = cx 2 + bx + a Dạng 6. Các dạng khác. Bài 1. Tìm các giá trị của biến để : a/ Biu thc (x+1) 2 (y 2 - 6) cú giỏ tr bng 0 b/ Biu thc x 2 - 12x + 7 cú giỏ tr ln hn 7 Bài 2. Tìm GTNN của các biểu thức sau : a) (x 3) 2 + 2 b) (2x + 1) 4 1 c) (x 2 16) 2 + 3 y - 2 d) ( x+ 2) 2 + ( y - ) 5 1 2 10 e) 102 + xx f) ( ) + 4 2x 1 1 g) ( ) + 2 x 16 y 3 2 h) + + + + 2 2 x 1 72 x y 1 Bài 3. Tìm GTLN của các biểu thức sau : ( ) + 2 2x 1 1 2 11 x 3 7x 3 2 2 6x 3 ( ) + + + 8 x 1 9 y 2 ( ) 532 4 2 + x Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B = 31 + xx với x 11 7 Bài 5. Cho biu thc 2x x5 E = . Tìm các giá trị nguyên ca x : a/ E có giá trị nguyên b/ E có giá tr nh nht Bài 6. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên : A = 15 1510 + + x x Bài 7. Cho f(x) = ax + b (a, b Z) . Chứng minh rằng không thể đồng thời có f(17) = 71 và f(12) = 35 Bài 8. Tìm x, y là các số nguyên biết: a) 1 2 + = x x y b*) 1 32 + = x x y c*) 12 2 = x x y Bài 9. Cho hai biểu thức : 2 4x 7 3x 9x 2 A ; B x 2 x 3 + = = a. Tìm giá trị x nguyên để mỗi biểu thức có giá trị nguyên. b. Tìm giá trị x nguyên để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên. Bài 10. Cho x, y, z 0 v x - y - z = 0, tính giá tr ca biu thc + = z y 1 y x 1 x z 1B 8