Sang kien KN Toan 9

A-đặt vấn đề I). Đặt vấn đề. Kiến thức về phơng trình trong chơng trình THCS thể hiện ở 2 giai đoạn: Giai đoạn ẩn tàng từ cấp I đến lớp 7; giai đoạn tờng minh bắt đầu từ lớp 8 đến cuối lớp 9. Đó là những hiểu biết cơ bản nhất về phơng trình Đại số ở THCS nhằm đáp ứng yêu cầu liên hệ với những môn học khác và yêu cầu tính toán trong thực tế cuộc sống. Đặc biệt đối với phơng trình bậc hai (dạng ax 2 + bx + c = 0) và nghiệm của nó việc giới thiệu về nghiệm của phơng trình bậc hai đợc tiến hành trong quá trình xây dựng công thức nghiệm tổng quát và đã đợc tiến hành qua xét các ví dụ cụ thể, song tính phức tạp của nó vẫn là điều mà khi giảng dạy mỗi giáo viên cần đặc biệt quan tâm chú ý để xác định đúng mức độ yêu cầu; giúp những học sinh trung bình nắm vững nội dung kiến thức cơ bản; những học sinh khá giỏi phát huy năng lực học tập tích cực chủ động của bản thân. II). Thực tế giảng dạy - học tập ở tr ờng THCS hiện nay . Nhiệm vụ chuyên môn cơ bản chính là nâng cao chất lợng giảng dạy, chất lợng học tập của học sinh. Để làm tốt nhiệm vụ yêu cầu trên cần thực đổi mới phơng pháp dạy học cụ thể Nêu vấn đề và phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh ,, .Giúp các em độc lập tích cực học tập; giải quyết các yêu cầu về kiến thức kỹ năng liên hệ thực tế, kết hợp ôn bài cũ học bài mới với những nội dung liên quan. Bản thân tôi đã mạnh dạn áp dụng phơng pháp trên trong phần dạy về phơng trình bậc hai - nghiệm của phơng trình bậc hai. Song điều kiện hạn chế về thời gian trên lớp cũng nh năng lực học tập của học sinh ở một trờng THCS bình thòng nên việc nêu vấn đề và giải quyết đề cần có sự nỗ lực cao của giáo viên và học sinh. Bản thân các em thờng chỉ áp dụng đơn điệu những vấn đề lý thuyết đã có sẵn nên kĩ năng giải quyết bài tập dới các cách diễn đạt của đề bài khác nhau còn rất hạn chế. III). Lí do chọn đề tài. Việc giới thiệu công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm cũng nh một số tr- ờng hợp tính nhẩm nghiệm mà cơ sở lý thuyết là định lí Viét nhằm làm cho việc tìm nghiệm của phơng trình bậc hai đợc sinh động linh hoạt có sự cân nhắc chọn lựa theo tiêu chuẩn nhanh, gọn và hợp lý. Hệ thức Viét là lý thuyết phát triển, nêu lên mối liên hệ giữa các các nghiệm (nếu có) và các hệ số a, b, c của phong trình. Là hệ thức có nhiều ứng dụng trong tính toán, giải và biện luận phơng trình bậc 2 về nghiệm, số nghiệm, dấu của các nghiệm Vấn đề đặt ra là: Trên cơ sở công thức nghiệm và định lí Viét ta cần nghiên cứu tính chất của các nghiệm. Nếu có phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thì khi nào có thể có nghiệm, có thể có bao nhiêu nghiệm, các nhiệm có liên quan nh thế nào với nhau? Chúng có sự liện hệ nh thế nào với các hệ số a, b, c ? 1 IV). Các nội dung cơ bản. ở một mức độ nhất định , qua thực tế giảng dạy một số năm và qua nghiên cứu các tài liệu liên quan đến nghiệm của phơng trình bậc hai. Tôi xin nêu ra một số vấn đề về nghiệm của phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a 0) nh sau: 1.Điều kiện để phong trình bậc hai có nghiệm ứng dụng để tìm điều kiện cho hệ có nghiệm (hệ hai phơng trình) 2.Quan hệ giữa các nghiệm trong một phơng trình, giữa các nghiệm trong hai ph- ơng trình . 3. So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số cho trớc. 4. ý nghĩa hình học của việc tìm nghiệm của phơng trình bậc hai. V). Các kỹ năng cần rèn luyện. 1.Kỹ năng chứng minh phơng trình bậc hai có một nghiệm, có hai nghiệm hay không có nghiệm hay vô số nghiệm. 2.Kỹ năng sử dụng điều kiện có nghiệm của một phơng trình bậc hai để chứng minh hệ hai phơng trình có hay vô nghiệm, hoặc tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm hay vô nghiệm. 3.Kỹ năng lập mối kiên hệ giữa 2 nghiệm trong 1 phơng trình, giữa hai nghiệm trong hai phơng trình theo tham số cho trớc, hoặc tìm điều kiện của tham số để nghiệm của phơng trình thoả mãn một điều kiện nào đó 4.Kỹ năng so sánh nghiệm của phơng trình với một số nào đó ( với số 0; với số thực nào đó ). 5.Kỹ năng xác định sự tơng giao giữa đồ thị của hàm số bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (P) và đồ thị của hàm số bậc nhất g(x) = mx + n (d) (a 0, m 0). Kỹ năng tìm điều kiện của tham số để xác định các vị trí tơng đối của (P) và (d). VI) ý nghĩa. Đồng thời với việc nêu những vấn đề nói trên là những phơng pháp giải quyết phù hợp với từng loại cùng các bài tập cụ thể, phù hợp với từng nội dung vấn đề. Điều này sẽ đáp ứng yêu cầu giải quyết phần lớn nội dung bài tập ở sgk Đại số 9 cho học sinh một cách chủ động, tích cực, độc lập. Học sinh trên cơ sở nắm chắc đợc mấu chốt của từng loại vấn đề từ đó phát triển áp dụng linh hoạt cho nhiều dạng bài khác nhau với nhiều cách đặt vấn đề của đề bài khác nhau. Giúp các em có đợc sự tự tin mạnh bạo, cố gắng chăm chỉ chủ động lĩnh hội kiến thức và có quyết tâm giải quyết các bài tập. B. Biện pháp thực hiện B 1 . Lý thuyết cơ bản. 1.Công thức tính nghiệm của phơng trình (Pt) ax 2 + bx + c = 0 (a 0) a. Đặt = b 2 - 4ac * < 0 Pt vô nghiệm * = 0 Pt có nghiệm kép: x = a b 2 2 * > 0 Pt có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = a b 2 + , x 2 = a b 2 + . b. Công thức nghiệm thu gọn: trờng hợp b = 2b Đặt ' = b 2 - 4ac. ( ' và cùng dấu, = 4 ' ) * ' < 0 Pt vô nghiệm * ' = 0 Pt có nghiệm kép: x = a b' * ' > 0 Pt có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = a b '' + , x 2 = a b '' + 2. Tổng và tích các nghiệm số. a. Định lí Viét: Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thì x 1 + x 2 = a b = S x 1 .x 2 = a c = P b. Định lí đảo: Nếu 2 số x 1 , x 2 có tổng bằng a b và có tích bằng a c thì hai số đó là nghiệm của phơng trình bậc hai :x 2 - Sx + P = 0 . c. Chú ý: Nếu a + b + c = 0 thì : x 1 = 1 ; x 2 = a c Nếu a - b + c = 0 thì : x 1 = -1 ; x 2 = a c 3. Cần biết thêm về biểu thức ax 2 + bx + c ( a 0 ). Tên gọi: Tam thức bậc hai ; kí hiệu f(x) = ax 2 + bx + c ( a 0 ) các giá trị x i mà f(x i ) = 0 khi và chỉ khi x i là nghiệm của tam thức. a. Tách ra một bình phơng đủ trong tam thức bậc hai. ax 2 + bx + c = a += + 2 2 2 2 4 ) 2 ( 4 4 ) 2 ( a a b xa a acb a b x (*) b. Phân tích một tam thức bậc hai ra thừa số. - Nếu < 0 thì theo (*) f(x) không phân tích đợc thành các thừa số bậc nhất. - Nếu 0 thì f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) (**) Với x 1 , x 2 là nghiệm của tam thức. c. Dấu của tam thức bậc hai. Dựa vào (*) và (**) ở trên ta có kết luận sau: - Nếu < 0 f(x) cùng dấu với a với mọi x. - Nếu = 0 f(x) cùng dấu với a với mọi x a b 2 - Nếu > 0 dấu của f(x) đợc ghi ở bảng sau: Với x 1 < x 2 x x 1 x 2 f(x) Cùng đấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a 3 B 2 Một số vấn đề về nghiệm của ph ơng trình bậc 2 . I.Vấn đề 1. Điều kiện để ph ơng trình bậc 2 có nghiệm . 1. Các cách chứng minh ph ơng trình bậc 2 có nghiệm . a. Cách 1. Chứng tỏ rằng 0. Ví dụ 1. Chứng minh rằng phơng trình sau đây có nghiệm với mọi a và b. (a + 1)x 2 2(a + b)x + b 1 = 0 (1) Giải: *Với a -1. Pt (1) là Pt bậc 2 , xét ' = (a + b) 2 (a + 1)(b 1). Đặt a + 1 = m, b 1 = n ta có : (a + b) = m + n khi đó ta có: ' = (m + n) 2 mn = m 2 + mn + n 2 = (m + 2 n ) 2 + 0 4 3 2 n Vậy 0 Pt (1) có nghiệm. * Với a = -1 Pt (1) trở thành 2(b 1)x = -(b 1) (1) Nếu b 1 (1) có nghiệm x = 2 1 Nếu b =1 (1) có vô số nghiệm với b = 1. * Vậy (1) có nghiệm với mọi a; b. b. Cách 2. Chứng tỏ rằng ac < 0. (Thật vậy nếu ac < 0 thì = b 2 4ac > 0 ) Ví dụ 2 1 : Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi m. x 2 (3m 2 5m + 1)x (m 2 4m + 5) = 0 (2) Giải * Xét tích ac = - (m 2 4m + 5) = -(m 2 ) 2 1 < 0 Vậy (2) có nghiệm với mọi m. Ví dụ 2 2 : Tìm điều kiện của phơng của m để phơng trình sau đây có nghiệm; m 2 x 2 mx 2 = 0 (3) Giải: Với m 0 ta có: ac = -2m 2 < 0 (3) có nghiệm. Với m = 0 (3) trở thành : 0x = 2 (3) vô nghiệm. - Nhận xét: * Nếu ac 0 mà a 0 thì ta cũng có 0 nên Pt : ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm. * Nếu chỉ với điều kiện ac 0 cha đảm bảo phơng trình có nghiệm vì vậy khi gặp trờng hợp ac 0 ta cần xét 2 trờng hợp : a 0 ( Khi đó Pt có nghiệm ) và a = 0. c. Ngoài ra có thể sử dụng một số cách sau. c 1 . Cho Pt bậc 2. ax 2 + bx + c = 0. (Đặt f(x) = ax 2 + bx + c) (4) Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực sao cho af( ) 0 thì Pt (4) có nghiệm. Thật vậy: với f(x) = ax 2 + bx + c af( ) = a 2 x 2 + abx + ac = (ax + 2 b ) 2 ( 4 2 b - ac) = (ax + 2 b ) 2 - 4 . Do đó: af( ) 0 thì 4 (a + 2 b ) 2 0 Vậy Pt (4) có nghiệm. c 2 Cho Pt : ax 2 + bx + c = 0 (Đặt f(x) = ax 2 + bx + c) (5) 4 Chứng minh rằng nếu tồn tại 2 giá trị ; sao cho f( )f( ) 0 thì (5) có nghiệm. Thật vậy: f( )f( ) 0 a 2 f( )f( ) 0. Vậy tồn tại một trong 2 biểu thức f( ) ; f( ) nhỏ hơn bằng 0. Theo c 1 thì (5) có nghiệm. Bài tập áp dụng. Bài 1. Cho Pt: ax 2 + bx + c = 0 (a 0) với 5a + 2c = b. Chứng minh rằng Pt có nghiệm. Giải: Ta có = b 2 4ac = (5a + 2c) 2 4ac = 25a 2 + 16ac + 4c 2 = (2c + 4a) 2 + 9a 2 0 vậy Pt có nghiệm. Bài 2. Cho Pt: ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thoả mãn điều kiện 4 2 + a c a b chứng minh rằng Pt có nghiệm. Giải - Nếu ac < 0 hiển nhiên Pt có nghiệm - Nếu ac > 0. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dơng 044 4 24424 22 2 2 =+ acbacb a c a b a c a b a c a c a c . Vậy Pt luôn có nghiệm với 4 2 + a c a b Bài 3. a.Tìm giá trị nguyên dơng để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt: x 2 4x + k = 0 b. Tìm giá trị nguyên âm của m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2x 2 6x + m + 7 = 0. Giải : a. có ' = 4 k > 0 k < 4 mà k nguyên dơng nên k = 1; 2 ; 3. b. có ' = 9 2m 14 > 0 -2m 5 > 0 m < -2,5 mà m nguyên âm nên m = -3 ; -4 ; -5 ; -6 ; Bài tập về nhà Bài 1 Chứng minh rằng Pt sau có nghiệm với mọi a, b, c. a) x(x a) + x(x b) + (x a)(x c) = 0 b) (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) =0 Bài 2 Chứng minh rằng với mọi a, b, c khác 0 tồn tại 1 trong các Pt sau có nghiệm. ax 2 + 2bx + c = 0 bx 2 + 2cx +a = 0 cx 2 + 2ax + b = 0 Bài 3 Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, chứng minh rằng Pt sau có nghiệm: (a 2 + b 2 - c 2 )x 2 - 4abx + (a 2 + b 2 - c 2 ) = 0. Khi nào phơng trình có nghiệm kép ? Bài 4 a) Với giá trị nào của a thì phơng trình sau vô nghiệm: 2 0133 2 =+ xax b) Với giá trị nào của k thì phơng trình sau có nghiệm: (k 2 4)x 2 + 2(k + 2)x + 1 = 0 2. Dùng điều kiện có nghiệm của ph ơng trình bậc 2 để chứng minh một hệ số có nghiệm. a. Ví dụ 1. Tìm giá trị của m để hệ phơng trình sau có nghiệm. 5 =+ = )6(52 )6(734 2 22 1 myx yx Giải Từ (6 1 ) 4 37 y x + = thế vào (6 2 ) ta đợc Pt: 49y 2 + 42y + (49 8m) = 0 (6 3 ) Từ (6 1 ) ta thấy: nếu tồn tại y thì cũng tồn tại x, do đó chỉ cần tìm điều kiện để (6 3 ) có nghiệm Giải: (6 3 ) ' 0 ta đợc: 21 2 - 49(49 8m) 0 9 (49 8m) 0 m 5 Vậy với m 5 thì hệ Pt đã cho có nghiệm. b) Ví dụ 2. Tìm giá trị của m để phơng trình mx 4 10mx 2 + m + 8 = 0 (7) +) Có 4 nghiệm phân biệt ? +) Có 4 nghiệm x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 (x 1 < x 2 < x 3 < x 4 ) thoả mãn điều kiện: Giải +) Đặt x 2 = y thì (7) trở thành my 2 10my + m + 8 = 0 (7). cần tìm m để (7) có 2 nghiệm dơng phân biệt đ/k: m 0 , ' > 0 ; P = 0 8 > + m m ; S = 0 10 > m m ta đợc m < -8; m > 3 1 . +) Gọi 2 nghiệm của (7) là y 1 , y 2 với 0 < y 1 < y 2 , 4 nghiệm của (7) là: x 1 = - 2 y ; x 2 = - 1 y ; x 3 = 1 y ; x 4 = 2 y . Ta có x 4 - x 3 = x 3 - x 2 = x 2 - x 1 2 y - 1 y = 1 y - (- 1 y ) 2 y = 3 1 y y 2 = 9 y 1 mà y 1 + y 2 ; y 1 .y 2 = m m 8 + tính đợc y 1 = 1, y 2 = 9, m =1 . Vậy với m = 1 thì Pt (7) thoả mãn điều kiện đầu bài. Bài tập áp dụng Bài 1: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình sau có nghiệm =+ =+ )8( )8(13 2 22 1 ayx yx Giải Từ (8 1 ) ta có : y = -3x + 1. Thế vào (8 2 ) , ta có : x 2 + (-3x + 1) 2 = a hay 10x 2 6x + 1 a = 0 (8 3 ) Từ (8 1 ) nếu tồn tại x thì cũng tồn tại y, do đó chỉ cần tìm điều kiện để (8 3 ) có nghiệm ' = 9 10(1 a) 0 a 10 1 Vậy với a 10 1 thì hệ đã cho có nghiệm. Bài 2. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có 3 nghiệm phân biệt x 3 (m + 1)x 2 + (m 2 + m 3)x m 2 + 3 = 0. Giải 6 Ta có : x 3 (m + 1)x 2 + (m 2 + m 3)x m 2 + 3 = (x 1)(x 2 mx + m 2 3) Pt trở thành (x 1)(x 2 mx + m 2 3) = 0 . Để Pt có 3 nghiệm phân biệt thì Pt (x 2 mx + m 2 3) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khấc 1. Tìm đợc 2 1 < m ; -1 < m < 2. Bài tập về nhà. Bài 1. Tìm giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm: (m 3)x 4 2mx 2 + 6m = 0. Bài 2. Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm: a) = = 04 2 yx myx b) =+ = myx yx 22 2 72 Bài 3. a. Chứng minh rằng hệ sau có nghiệm. b. Tìm m để hệ có nghiệm. =+ =+ .1 2 22 2 yx m y mx II. Vấn đề 2. Quan hệ giữa các nghiệm trong 1 ph ơng trình bậc hai và giữa hai ph - ơng trình bậc hai. 1. Quan hệ giữa hai nghiệm trong 1 ph ơng trình bậc hai . (sử dụng định lí Viét và ứng dụng của nó) a. Ví dụ 1. Cho Pt: x 2 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (9) +) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình (9) theo m ? +) Tìm m sao cho T = 10x 1 x 2 + x 1 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất; tìm giá trị nhỏ nhất đó ? Giải: +) Tính ' ta có : ' = (m + 1) 2 2m 10 = 0 = m 2 9. ' 0 3 m hay m 3 hoặc m 3. m < 3 hoặc m > 3 Pt (9) có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = m + 1 - 9 2 m , x 2 = m + 1 + 9 2 m Với m = -3 => x = -2 , m =3 => x = 4 .Với -3 3 << m Pt (9) vô nghiệm. +). Ta có : T = (x 1 + x 2 ) 2 + 8x 1 x 2 . Với m 3 ta có : T = 4(m + 1) 2 + 8(2m +10) = 4(m +3) 2 + 48. Ta luôn có: T 48. Dấu = ,, xãy ra khi m = -3. Vậy T nhỏ nhất là 48 b. Ví dụ 2. Cho phơng trình. (m 1)x 2 2(m 4)x + m 5 = 0 (m 1) (10) Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 , x 2 không phụ thuộc vào m. Giải : 7 -Phơmg trình có nghiệm với ' = (m 4) 2 - 2(m 1)(m 5) 0 Hay : m 2 8m + 16 m 2 + 6m 5 0 m 2 11 . -Ta có: S = x 1 + x 2 = ; 1 4 m m P = x 1 x 2 = 1 5 m m rút m theo x 1 , x 2 thế vào S ta đợc hệ thức: 3x 1 x 2 4(x 1 + x 2 ) + 1 = 0. đây là hệ thức độc lập với m giữa x 1 , x 2 của phơng trình với m 2 11 . *Nhận xét: Để giải bài toán này trớc hết cần tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm. Sau đó tính S và P, nếu S và P không chứa tham số thì ta có ngay hệ thức phải tìm , nếu S và P có chứa tham số thì ta tìm cách khử tham số từ S và P rồi suy ra hệ thức phải tìm. c. Ví dụ 3. Cho Pt: x 2 + 5x + 2 = 0. Có 2 nghiệm x 1 ; x 2 . Không giải Pt; hãy tính x 1 2 + x 2 2 ; x 1 3 + x 2 3 ; x 1 2 x 2 3 + x 1 3 x 2 2 . Giải. Ta có : x 1 + x 2 = -5 ; x 1 x 2 = 2. Nên x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2 x 1 x 2 = (-5) 2 2.2 = 21. . x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 - 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = (-5) 3 2.2.(-5) = -95. . x 1 2 x 2 3 + x 1 3 x 2 2 = x 1 2 x 2 2 (x 1 2 + x 2 2 ) = -20. Bài tập áp dụng Bài 1. Hãy xác định vị trí của m sao cho Pt: x 2 + (m 2)x + m + 5 = 0 có 2 nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn hệ thức x 1 2 + x 2 2 = 10. Giải - Điều kiện để phơng trình có nghiệm: = (m 2) 2 4(m + 5) 0 m 2 8m 16 0 m 244 hoặc m 4 + 4 2 . Ta có: x 1 2 + x 2 2 = 10 => (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 10 = 0 => (m 2) 2 2(m + 5) 10 = 0. Phơng trình với ẩn m có nghiệm m 1 = -2, m 2 = 8. Với m = 8 , < 0 nên giá trị này bị loại. Với m = -2. > 0 nên m 1 = -2 là giá trị cần tìm. Bài 2. Tìm các hệ số p và q của phơng trình x 2 + px + q = 0 sao cho 2 nghiệm x 1 , x 2 của phơng trình thoả mãn hệ thức: = = .35 5 3 2 3 1 21 xx xx Giải. Điều kiện : = p 2 4q 0 khi đó: x 1 + x 2 = -p ; x 1 x 2 = q. 8 Do đó ta có = = .35 5 3 2 3 1 21 xx xx = = .7 254 2 2 qp qp giải hệ này tìm đợc p = 1 ; q = -6 và p = -1 ; q = 6 cả 2 cặp giá trị này đều thoả mãn. Bài 3. Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình 2x 2 + 2(m + 1)x + m 2 + 4m + 3 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 2121 22 xxxx . Giải Pt có nghiệm với 0 hay (m + 1) 2 2(m 2 + 4m + 3) 0 => (m + 1)(m + 5) 0 -5 m 1 (*) -Khi đó : x 1 + x 2 = -m 1 ; x 1 x 2 = 2 34 2 ++ mm do đó A = 2 34 2 ++ mm A = 2 )7)(1( ++ mm với đều kiện (*) thì (m +1)(m +7) 0 => A = 2 9 2 )4(9 2 78 22 + = = mmm . Vậy A đạt gái trị lớn nhất là 2 9 khi m = -4. (Thoả mãn) Bài tập về nhà. Bài 1, Cho Pt: x 2 6x +1 = 0. Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của Pt. Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức: 1) x 1 2 + x 2 2 ; 2) 1 x 221 xxx + ; 3) )1()1( )( 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 2 2 2 1 + +++ xxxx xxxxxx Bài 2. Cho Pt: x 2 2mx + 2m 1 = 0. a) Chứng minh rằng Pt luôn có nghiệm với mọi m ? b) A = 2(x 1 2 + x 2 2 ) 5x 1 x 2 . b 1 ) Tính giá trị của A theo m ? b 2 ) Tìm m biết A = 27 ? b 3 ) Tìm m sao cho nghiệm này gấp 2 lần nghiệm kia ? c) Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào tham số m ? Bài 3. Tìm giá trị của tham số m để phơng trình x 2 mx + m + 1 = 0 có nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn : x 1 x 2 2(x 1 + x 2 ) 19 = 0. Bài 4. Cho phơng trình bậc hai (k + 1)x 2 2(k + 2)x + k 3 = 0. Xác định k để (4x 1 + 1)(4x 2 + 1) = 18 Bài 5. Gọi x 1 ; x 2 là nghiệm của phơng trình (k 1)x 2 2kx + k 4 = 0. Không giải phơng trình , hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x 1 , x 2 không phụ thuộc vào k. Bài 6. Cho phơng trình x 2 2(m 1)x + m 3 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m ? b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m ? c) Xác định m sao cho Pt có 2 nghiệm là hai số đối nhau ? Bài 7. Gọi x 1 ; x 2 là các nghiệm của phơng trình: x 2 (2m 3)x + 1 m = 0. Tìm giá trị của m để A = x 1 2 + x 2 2 + 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) đạt giá trị lớn nhất. 2.Lập ph ơng trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó . 9 Nếu có 2 số u ,v có : u + v = S ; uv = P thì u và v là nghiệm của phơng trình: X 2 SX + P = 0. Chú ý : Chỉ tìm đợc nghiệm của phơng trình trên với điều kiện : S 2 4P 0. a. Ví dụ 1: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là các cặp số sau *) 3 và 1 - 3 ; *) 3 + 2 và 23 1 + Giải *) Ta có : s = 3 + (1 - 3 ) = 1 ; p = 3 (1 - 3 ) = 3 - 3. Vậy Pt cần lập là : x 2 x + 3 - 3 = 0. b. Ví dụ 2. Lập phơng trình bậc hai có các hệ số là số nguyên và có một nghiệm là; 32 32 + Giải: Phơng trình cần lập có dạng : x 2 + ax + b = 0 ( a ,b Z ) Giả sử x 1 = 562 1 )32( 32 32 2 = = + khi đó ta có: (2 5 - 5) 2 + (2a 20) 6 = 0 (49 5a + b) + (2a 20) 6 = 0. Nếu 2a 20 0 ta có: 6 = 202 )549( + a ba là số hữu tỉ - vô lí! Vậy 2a 20 = 0 => a = 10 khi đó b = 1. Vậy Pt cần lập là: x 2 + 10x + 1 = 0. Bài tập áp dụng. Bài 1. Cho x = 21217 + ; y = 21217 a. Lập phơng trình bậc 2 có nghiệm là hai số x; y nói trên? b. Tính A = x 4 + y 4 . Giải: a. Ta có : x = 21217 + = (3 + 2 2 ) y = 21217 = (3 - 2 2 ). Do x.y = (3 + 2 2 )(3 - 2 2 ) = 1 x + y = 3 + 2 2 + 3 - 2 2 = 6 nên x, y là 2 nghiệm của phơng trình: b. Theo Pt trên ta có: x 2 = 6x + 1 x 2 + y 2 = 6(x + y) 2 x 3 = 6x 2 x x 4 = 6x 3 x 2 Tơng tự : y 4 = 6y 3 y 2 Vậy A = x 4 + y 4 = 6(x 3 + y 3 ) (x 2 + y 2 ) mà x 2 + y 2 = 6(x + y) 2 = 34 x 3 + y 3 = 6(x 2 +y 2 ) (x + y) = 6.34 6 = 198 A = x 4 + y 4 = 6(x 3 + y 3 ) (x 2 + y 2 ) = 6.198 34 = 1154. Chú ý : -Tơng tự có thể tính x 5 + y 5 ; x 6 + y 6 . -Với câu hỏi b), còn có thể khai triển A = x 4 + y 4 theo tam giác Pascan. Bài 2. a. Tìm phần nguyên của ( 3 + 2 2 ) 7 Giải Đặt x = 3 + 2 2 , y = 3 - 2 2 ta có x + y = 6 và xy = 1 x , y là nghiệm của Pt x 2 6x + 1 = 0. Mặt khác: x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy = 36 2 = 34 x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 + y 2 xy) = 6(34 - 1) = 198 10 [...]... ***) Xác định a để Pt có cả 2 nghiệm âm ? Tìm điều kiện để 2 Pt trên có ít nhất 1 nghiệm chung Giải 9 9 *) 0 9 8a 0 a Với a thì (1) có nghiệm 8 **) Xét tổng các nghiệm : S = - 3 2 8 < 0 Pt có ít nhất 1 nghiệm không âm ***) Để Pt có 2 nghiệm âm thì 0 ; S < 0 ; P > 0 nên ta cần 13 9 a 8 3 9 9 < 0 0 < a 8 Vậy với 0 < a 8 Pt (1) có 2 nghiệm âm 2 a 2 > 0 Ví dụ * Xét giá trị của m để... 40 = m 14 Giải + Pt trên trở thành: (x + 2x)(x + 2x 8) = m Đặt x2 + 2x + 1 = y Pt trên tơng đơng (y 1)(y 9) = m y2 10y + (9 m) = 0 Để Pt ban đầu có 4 nghiệm thì Pt ẩn y phải có 2 nghiệm dơng phân biệt 2 2 '> 0 25 (9 m) > 0 P > 0 9 m 16 < m < 9 S > 0 10 > 0 Vậy với 16 < m < 9 thì Pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt Bài tập về nhà Bài 1 Tìm m để phơng trình x2 + mx + 2m 4 = 0 có ít nhất... - Điều kiện để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt là: Pt 2x2 6x + 1 m = x + 1 có 2 nghiệm phân biệt 2x2 7x m = 0 > 0 m < - 49 8 -Toạ độ của giao điểm là: 7+ xA = Điểm A : y = 11 + A 49 8m 4 Điểm B : 49 8m 4 7 xB = y = 11 B 49 8m 4 49 8m 4 b) Trung điểm I của đoạn AB nói trên có hoành độ là xI = :yI = y A + y B 11 = 2 4 x A + xB 7 = 2 4 , tung độ là Bài tập về nhà Bài... làm với nhiều cách diễn đạt đề bài khác nhau Qua thực tế bài kiểm tra cuối học kì II của học sinh năm học 2001 2002 có tiến bộ rõ rệt so với năm học trớc Lớp 9A (2000 2001) Lớp 9A (2001 2002) Sĩ số 40 42 Giỏi 8 12 Khá 22 21 Trung bình 10 9 D.Bài học kinh nghiệm Vì điều kiện thời gian luyện tập ở lớp rất hạn chế cũng nh mức độ nắm kiến thức của học sinh nên việc đa ra đồng loạt các vấn đề nêu trên... trình bậc hai x2 + mx + 1 = 0 và x2 + x + m = 0 có ít nhất một nghiệm chung Bài 2 Với giá trị nào của k thì hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung? tìm nghiệm chung đó 2x2 + (3k + 1)x 9 = 0 6x2 + (7k 1)x 19 = 0 Bài 3 Chứng minh rằng nếu a + b 2 thì trong hai phơng trình x2 + 2ax + b = 0 và ax2 + bx + a = 0 phải có ít nhất 1 phơng trình có nghiệm Bài 4 Cho các phơng trình: ax2 + bx + c = 0 và... nghĩa hình học 1 Đồ thị của hàm số bậc hai 2 Quan hệ giữa đồ thị của hàm số bậc hai (P) và đờng thẳng (d) C Kết quả thực nghiệm D Bài học kinh nghiệm E Lời kết 21 Trang 1 2 2 3 4 4 6 7 7 9 11 12 12 14 14 14 17 18 18 19 22 ... giỏi, giúp các em học sinh khá giỏi nắm đợc kĩ năng cơ bản để từ đó giải quyết đợc những bài toán khó hơn và đáp ứng cả yêu cầu cơ bản và nâng cao trong các kì thi tốt nghiệp THCS và thi tuyển vào THPT 19 2 So với cách truyền đạt khi cha áp dụng kinh nghiệm này Qua sự cố gắng nỗ lực trong giảng dạy và áp dụng kinh nghiệm này một cách kiên trì, bền bỉ, đã hình thành ở học sinh khả năng nắm kiến thức chắc... trục 0y Giải 2 a) Điều kiện cần thoả mãn là Pt: x 3x + 2 = a có 2 nghiệm phân biệt x2 O 3x + 2 a = 0 có 2 nghiệm phân biệt = 4a + 1 > 0 a > 18 1 4 b) Nếu 1 4 < a 4.2 + 1 = 9 Pt có 2 nghiệm phân biệt Do x1.x2 = 2 a < 0 nên 2 nghiệm trái dấu, nên giao điểm nằm về 2 phía đối với trục 0y Bài 2 Cho hàm số ; y = 2x2 6x + 1 m (P) và đờng thẳng y = x + 1 (d) a Tìm điều kiện của...x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2 x2y2 = 342 2 = 1154 x7 + y7 = (x3 + y3)(x4 + y4) x3y3(x + y) = 198 .1154 1.6 = 228486 Do y = 3 - 2 2 < 1 nên 0 < y7 < 1 [ x 7 ] = [ x 7 + y 7 ] 1 = 228486 1 = 228485 Vậy ta có : [3 + 2 2 ]7 = 228485 Chú ý: - Có thể tính x7 + y7 theo cách tính tơng tự nh bài tập . tơng đơng (y 1)(y 9) = m y 2 10y + (9 m) = 0. Để Pt ban đầu có 4 nghiệm thì Pt ẩn y phải có 2 nghiệm dơng phân biệt 91 6 010 9 0 )9( 25 0 0 0' <<. > 0 m < - 8 49 . -Toạ độ của giao điểm là: Điểm A : + = + = 4 8 491 1 4 8 497 m y m x A A Điểm B : = = 4 8 491 1 4 8 497 m y m x B B b).