boi duong HSG 9

GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS A Hải Đờng Tuần: Ngày sọan: /2/09 Ngày dạy: /2/09 Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi Môn : Toán lớp 9 I. Mục tiêu - Giúp học sinh hệ thống lại đợc những kiến thức đã học. - Phát triển t duy cho học sinh. II. Tiến trình lên lớp A. ổn định. B. Kiểm tra C. Bài tập Câu 1 : a) Tính A = 322 1 322 1 + ++ b) So sánh : 2008 2009 2009 2008 + và 2008 2009+ Câu 2 : a) Giải phơng trình : x 2 + x + 12 1 + x = 36 b) Tìm các số nguyên x , y sao cho : y= 54 2 ++ xx Câu 3 : a) Biết a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh phơng trình : x 2 + ( a - b - c )x + bc = 0 vô nghiệm b) Cho M = x 2 + y 2 + 2z 2 + t 2 ; với x , y , z , t là số tự nhiên . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tơng ứng của x,y,z,t biết rằng: =++ =+ 10143 21 222 222 zyx tyx Câu 4 : 1 GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS A Hải Đờng Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý . Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính AC và vẽ đờng tròn tâm K đờng kính BC . MN là tiếp chung ngoài của hai đờng tròn (M )(),( KNI ) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn . a) Chứng minh các đờng thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D . b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất . Câu 5 : Chứng minh rằng nếu ba + > 2 thì phơng trình sau có nghiệm 2ax 2 + bx +1 - a = 0 Hớng dẫn trả lời Câu 1 : Giáo viên vừa hớng dẫn vừa yêu cầu học sinh làm theo giáo viên. a) A = 3242 2 3242 2 + ++ ( Nhân tử và mẫu với 2 ) = 33 2 33 2 )13(2 2 )13(2 2 + + = + ++ = 2 39 )3333(2 = ++ b)Hỏi: Em nào làm đợc bài này? Ta có 2008 2009 2009 2008 + = 2009 1 2008 1 2009 2008 + + = = 2009 1 2008 1 2009 2009 2008 2008 + + = = ( 2008 2009+ )+ 1 1 ( ) 2008 2009 Ta thấy 1 1 2008 2009 2008 2009 < > Do đó 1 1 2008 2009 >0 ; 2 GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS A Hải Đờng suy ra ( 2008 2009+ )+ 1 1 ( ) 2008 2009 > 2008 2009+ Vậy 2008 2009 2009 2008 + > 2008 2009+ Câu 2 : a) Gợi ý: Dùng phơng pháp đặt ẩn phụ để làm. x 2 + x + 12 1 + x = 36 x(x+1)+ 12 1 + x = 36 KX : x 1 Đặt 1+x = t 0 ; phơng trình trở thành : ( t 2 - 1 )t 2 + 12t = 36 t 4 - ( t - 6 ) 2 = 0 ; suy ra (t 2 - t + 6)(t 2 + t - 6) = 0 Phơng trình t 2 - t + 6 = 0 vô nghiệm Phơng trình t 2 + t - 6 = 0 có nghiệm là t 1 = -3< 0 (loại) t 2 = 2 > 0 Với t = 2 thì 1 + x =2 ; từ đó tìm đợc nghiệm của phơng trình là : x = 3 b) x 2 + 4x + 5 = (x+2) 2 +1 > 0 với mọi x , nên y xác định với mọi x ; từ đó ta cũng có y > 0 . Bình phơng 2 vế y= 54 2 ++ xx ta đợc : y 2 = (x+2) 2 +1 (y + x + 2)(y - x - 2 ) = 1 Vì x,y là số nguyên nên (y + x + 2) và (y - x - 2 ) cũng nhận giá trị nguyên . Ta thấy tổng và tích của 2 biểu thức này là dơng nên ta có : = =++ 12 12 xy xy ; từ đó ta tìm đợc (x=-2;y=1) Câu 3 : 3 GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS A Hải Đờng a) (1đ) = (a-b-c) 2 - 4bc = a 2 + b 2 +c 2 - 2ab - 2ac + 2bc - 4bc = a 2 + b 2 +c 2 - 2ab - 2ac - 2bc = = a 2 - a(b+c) + b 2 - b(a+c) + c 2 - c(a+b) Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên : 0 <a<(b+c) ; suy ra a 2 < a(b+c) ; do đó a 2 - a(b+c) < 0 0 <b<(a+c) ; suy ra b 2 < b(a+c) ; do đó b 2 - b(a+c) < 0 0 <c<(a+b) ; suy ra c 2 < c(a+b) ; do đó c 2 - c(a+b) < 0 Từ đó suy ra < 0 . Vậy phơng trình vô nghiệm . b) Từ hệ =++ =+ (**)10143 *)(21 222 222 zyx tyx ; cộng vế với vế ta đợc : 2(x 2 + y 2 + 2z 2 + t 2 ) - t 2 = 122 ; suy ra M= 2 61 2 122 22 tt += + ; do đó Min M = 61 khi t = 0 Với t = 0 từ (*) suy ra x 2 - y 2 = 21 hay (x-y)(x+y)= 21 Có 2 trờng hợp xảy ra : + = = =+ = 10 11 21 1 y x yx yx (loại vì không thoả mãn (**) ) + = = =+ = 2 5 7 3 y x yx yx , thay vào (**) ta tìm đợc z=4 Vậy Min M=61 khi x=5,y=2,z=4,t=0 Câu 4 : 4 Q I m CB = 3 cm Distance A to C B = 0 cm m AC = 5 cm O N M KC B x A D GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS A Hải Đờng a) Gọi D là giao điểm của AM và BN Q là giao điểm của MN và Cx . Theo tính chất của tiếp tuyến ta có QM=QC=QN ; Từ đó suy ra MCN vuông . Tứ giác DMCN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật ; Mà Q là trung điểm của MN , suy ra Q là trung điểm của DC . Vậy AM,BN,Cx đồng quy tại D. b) Gọi O là trung điểm của AB , Suy ra DO= 2 AB =a S DMCN =DM.DN= === DCAB DC DBDA DC DB DC DA DC . 4422 222 2333 a a a a DC AB DC === ; Từ đó ta có S DMCN lớn nhất bằng 2 2 a khi DC=a ; lúc đó C O . Câu 5 : Giả sử phơng trình vô nghiệm , ta có : = b 2 - 8a(1-a) < 0 (1) , do đó 0 < b 2 < 8a(1-a) hay a(1-a) > 0 Từ đó ta có 0 <a < 1 , suy ra a = a . Từ (1) , ta lại có b < 2 )1(2 aa , vậy =+<+ )1(22 aaaba = 1)12(1)1()1(222 2 +=++ aaaaaa (2) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki , ta có : ( [ ] )1()12()1.1.2()12 22 aaaaaa +++=+ = 3 (3) Kết hợp (2) với (3) , ta có : ba + < 3 -1 = 2 ; trái với giả thiết . Vậy phơng trình có nghiệm . Hỏi: Trong bài học hôm nay các em đã dùng những đơn vị kiến thức nào? 5 GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS A Hải Đờng Học sinh trả lời: D. Bài tập về nhà. Bài 1. Rút gọn biểu thức A = 24923013 +++ Bài 2. Chứng minh rằng với x > 0, x 1, biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: 1 . 11 2 + + + + ++ x xxxxx xx xx xx xx . Bài 3. Giải phơng trình: (2x + 1) 2 (x + 1)x = 105 III. Lu ý khi sử dụng giáo án. - Những bài khó cho học sinh trao đổi theo nhóm để tìm ra lời giải cho bài toán đó. - Những dạng mới cho học sinh ghi kiến thức áp dụng cho dạng đó 6 GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCS A H¶i §êng Tn: Ngµy säan: /2/09 Ngµy d¹y: /2/09 §Ị tỉng hỵp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp 9 I. Mơc tiªu - Gióp häc sinh hƯ thèng l¹i ®ỵc nh÷ng kiÕn thøc ®· häc. - Ph¸t triĨn t duy cho häc sinh. - KiĨm tra sù vËn dơng cđa häc sinh - RÌn mét sè d¹ng to¸n khã II. TiÕn tr×nh lªn líp A. ỉn ®Þnh. B. KiĨm tra C. Bµi tËp Bài 1 Cho hai số nguyên dương a và b ( ) a b≥ đều không chia hết cho 5 . Chứng minh rằng a 4 – b 4 M 5. Bài 2 : a) Rút gọn : ( ) 2 1 : 1 1x x x − − − − b) Tính : ( ) ( ) 4 15 . 10 6 . 4 15+ − − Bài 3 : Cho a > 2 ; b > 2 . Chứng minh rằng : ab > a + b Bài 4 : Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức sau : A = 2 1 2 1x x x x + − + − − Bài 5 : 7 GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCS A H¶i §êng Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn . Chứng minh rằng : 4 S ABC ≤ AM.BC + BM.CA + CM.AB ---*--- HƯỚNG DẪN Bài 1 : Gi¸o viªn: C¸c em mn lµm ®ỵc bµi to¸n nµy chóng ta ph¶i vËn dơng tÝnh chÊt chia hÕt mµ c¸c em ®· häc ë líp 6. Hái: Em nµo lµm ®ỵc bµi nµy? Häc sinh: Suy nghÜ lµm. Ta có bài toán phụ sau : ; 5n n / ∈Ζ M Chứng minh rằng : n 4 – 1 M 5 Do : n 4 – 1 = ( n 2 – 1 ).( n 2 + 1 ) n / M 5 ⇒ n chia 5 dư ± 1 hoặc ± 2 • Nếu n chia 5 dư ± 1 ⇒ n 2 chia 5 dư 1 ⇒ n 2 – 1 M 5 Do đó : n 4 – 1 M 5 • Nếu n chia 5 dư ± 2 ⇒ n 2 chia 5 dư 4 ⇒ n 2 + 1 M 5 Do đó : n 4 – 1 M 5 Áp dụng cho bài toán trên : Do : a 4 – 1 M 5 và b 4 – 1 M 5 Hái: Em h·y cho biÕt b¹n ®· dïng nh÷ng kiÕn thøc nµo ®Ĩ lµm bµi tËp trªn? Bài 2 : Gi¸o viªn gäi hai em lªn b¶ng lµm. Häc sinh lªn b¶ng lµm. a) Rút gọn : ( ) 2 1 : 1 1x x x − − − − ( ) ( ) ( ) ≠ ≥ = − − − − = − − − − 2 : 2; 1 2 1 : 1 1 1 1 : 1 1 ĐK x x x x x x x 8 GV: Nguyễn Quốc Việt -TRờng THCS A Hải Đờng ( ) = > > = = < < > > = = < < 1 1 : 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 x x Neỏu x Neỏu x Neỏu x Neỏu x Neỏu x Neỏu x Neỏu x Neỏu x b) Tớnh : ( ) ( ) 4 15 10 6 4 15+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = + = + = + = + = + = + = = 2 2 2 2 4 15 . 5 3 . 2. 4 15 4 15 . 5 3 . 2. 4 15 4 15 . 5 3 . 8 2 15 4 15 . 5 3 . 5 3 4 15 . 5 3 . 5 3 4 15 . 5 3 4 15 . 8 2 15 4 15 . 4 15 .2 4 15 .2 2 Baứi 3 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ; 0 . 2. 1 2 ; 0 . 2. 2 1 2 : . . 2. 2. 2 . 2. . Do a b neõn a b b vaứ b a neõn a b a Tửứ vaứ Ta ủửụùc a b a b a b a b a b a b a b ẹPCM > > > > > > + > + > + > + Baứi 4 : Giáo viên hớng dẫn Các em dùng bất đẳng thức sau để làm bài này. a b a b+ + 9 A' F E M CB A • GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCS A H¶i §êng ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 : 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 A x x x x ĐK x A x x x x A x x A x x Ápdụngbất đẳngthức a b a b tacó A x x x x = + − + − − ≥ = − + − + + − − − + = − + + − − = − + + − − + ≥ + = − + + − − ≥ − + + − − = = ( ) ( ) 1 1 1 1 0 2 1 2 1 2 1 2 x x A x x Vậy Mim A khi x  − + − − ≥  = ⇔ ⇔ ≤ ≤  ≥   = ≤ ≤ Bài 5 : Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng : 4.S ABC ≤ AM . BC + BM . CA + CM . AB Kéo dài AM cắt cạnh BC tại A’ Vẽ BE ⊥ AM tại E ( E ∈ AM ) CF ⊥ AM tại F ( F ∈ AM ) Ta có : BE. AM ≤ BA’. AM (1) CF. AM ≤ CA’. AM (2) 10 [...]... − 1)  (a + 1).( a − 1)    = (a + a + 1).(a + 1).( a − 1) a + a + 1 = (a + 1).( a − 1) 2 a −1 b/ Ta có: ( a = 19 − 8 3 = 4− 3 19 − 8 P= 9 ( 24 − = ) 2 1 ( 4 − 3 ) + = 19 − 3 +4 − 3 + =24 − 3 8 1 9 4− 3 − 1 3− 3 1 (4 − 3) − 3 )( 3 + 3 ) 72 + 24 3 − 27 3 − 27 45 − 3 3 15 − = = = 2 3+ 2 9 3 6 6 2 3 Bài 2: Gi¸o viªn: H·y dïng gi¶ thiÕt ®Ĩ lµm bµi nµy Cho a + b + c = 1 và 1 1 1 + + = 0 Chứng minh rằng:... /2/ 09 /2/ 09 §Ị tỉng hỵp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp 9 I Mơc tiªu 29 GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCSA H¶i §êng - Gióp häc sinh hƯ thèng l¹i ®ỵc nh÷ng kiÕn thøc ®· häc - Cho häc sinh lµm mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n ®Ĩ rÌn kÜ n¨ng II TiÕn tr×nh lªn líp A ỉn ®Þnh D KiĨm tra E Bµi tËp Bài 1   a   1 2 a :   P = 1 +    a −1 − a a + a − a −1  a +1     Cho biểu thức: a Rút gọn P b Cho a = 19. .. tr×nh x2 - 3ax - a = 0 cã hai nghiƯm ph©n biƯt lµ x1 vµ x2 nªn ta cã : 9a2 + 4a > 0 (1) ; x12 - 3ax1 - a = x22 - 3ax2 - a = 0 ; x1 + x2 = 3a => x12 = 3ax1 + a ; x22 = 3ax2 + a (2) 3ax 2 + x12 + 3a a2 a2 9a 2 + 4a + + Khi ®ã: A = = 9a 2 + 4a 2 a2 3ax1 + x 2 + 3a a2 Theo (1) th× 9a2 + 4a > 0 nªn ¸p dơng B§T C«si, ta ®ỵc A ≥ 2 A = 2 9a2 + 4a = a2 a = -1/2 DƠ kiĨm tra thÊy víi a = -1/2 th× x1 = -1... gi¸c vu«ng OBK ta cã OK2 = OB2 + BK2 = 8a2 V× vËy OK2 + CK2 = 8a2 + a2 = 9a2 MỈt kh¸c OC2 = 9a2 nh vËy, OC2 = OK2 +KC2 Theo ®Þnh lÝ Pitago ®¶o th× ∆OKC vu«ng t¹i K hay OKC = 90 o V× CBK= ABO vµ BCK = BAO, h¬n n÷a c¸c gãc nµy nhän, nªn K thc phÇn mỈt ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®êng th¼ng song song AB vµ CD.Tõ ®ã BKC = BKO + OKC = 45o + 90 o = 135o V× BKC = AOB suy ra AOB = 135o Hái: H·y nªu nh÷ng kiÕn thøc... häc sinh ghi kiÕn thøc ¸p dơng cho d¹ng ®ã ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Tn: Ngµy säan: Ngµy d¹y: /2/ 09 /2/ 09 §Ị tỉng hỵp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp 9 17 GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCSA H¶i §êng I Mơc tiªu - Gióp häc sinh hƯ thèng l¹i ®ỵc nh÷ng kiÕn thøc ®· häc - Ph¸t triĨn t duy cho häc sinh - «n l¹i mét sè kiÕn thøc vỊ... ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Tn: 12 GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCSA H¶i §êng Ngµy säan: Ngµy d¹y: /2/ 09 /2/ 09 §Ị tỉng hỵp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp 9 I Mơc tiªu - Gióp häc sinh hƯ thèng l¹i ®ỵc nh÷ng kiÕn thøc ®· häc - Ph¸t triĨn t duy cho häc sinh - KiĨm tra sù vËn dơng cđa häc sinh - RÌn mét sè d¹ng to¸n khã II TiÕn... c¸ nh©n ®Ĩ lµm c¸c bµi tËp trong bi häc ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Tn: Ngµy säan: Ngµy d¹y: /2/ 09 /2/ 09 §Ị tỉng hỵp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp 9 I Mơc tiªu 22 GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCSA H¶i §êng - Gióp häc sinh hƯ thèng l¹i ®ỵc nh÷ng kiÕn thøc ®· häc - Ph¸t triĨn t duy cho häc sinh - Gi¸o viªn ®a mét sè c«ng thøc... b) 1004 III Lu ý khi sư dơng gi¸o ¸n ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 34 GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCSA H¶i §êng Tn: Ngµy säan: /2/ 09 Ngµy d¹y: /2/ 09 §Ị tỉng hỵp kiÕn thøc häc sinh giái M«n : To¸n líp 9 I Mơc tiªu - Gióp häc sinh hƯ thèng l¹i ®ỵc nh÷ng kiÕn thøc ®· häc - ¤n l¹i kiÕn thøc vỊ ph¬ng tr×nh, chøng minh ®¼ng thøc, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa biĨu... (*) VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiƯm: x = 5 + 37 2 vµ x = 5 − 37 2 Bµi 2 Gi¸o viªn híng dÉn: BiÕn ®ỉi ®a ph¬ng tr×nh vỊ d¹ng tÝch 1 Gi¶ sư cã x, y tho¶ m·n x +5 + x − + x2 = y +5 + 2 2 y − 1 + y2 19 GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCSA H¶i §êng => x ≥ 1; y ≥ 1 - NÕu x=1=y th× x = y (®pcm !) - NÕu x, y kh«ng ®ång thêi = 1 th× b»ng c¸ch nh©n víi BT liªn hỵp, ®ỵc: x 2 +5 ( + x 2 +5 (x2- y2)/( x − 1... minh rằng MA.NC = MB.ND 30 GV: Ngun Qc ViƯt -TRêng THCSA H¶i §êng Híng ®Én tr¶ lêi Bài 1 Cho biểu thức:   a   1 2 a :   P = 1 +    a −1 − a a + a − a −1  a +1    a Rút gọn P b Cho a = 19 −8 3 Tính P Gi¸o viªn: h·y nªu ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh cđa biĨu thøc? Häc sinh tr¶ lêi ĐK: a ≥ 0, a ≠ 1 Gi¸o viªn: Em nµo lµm ®-ỵc bµi bµi nµy? Häc sinh lªn b¶ng lµm a/ Ta có: a a + a − a − 1 = a (a + 1) . + ++ = 2 39 )3333(2 = ++ b)Hỏi: Em nào làm đợc bài này? Ta có 2008 20 09 20 09 2008 + = 20 09 1 2008 1 20 09 2008 + + = = 20 09 1 2008 1 20 09 20 09 2008 2008. -TRờng THCS A Hải Đờng suy ra ( 2008 20 09+ )+ 1 1 ( ) 2008 20 09 > 2008 20 09+ Vậy 2008 20 09 20 09 2008 + > 2008 20 09+ Câu 2 : a) Gợi ý: Dùng phơng pháp