Đề thi 9 -đáp án

UBND HUYỆN NA HANG PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9-CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Câu 1 (4 điểm). Rút gọn các biểu thức sau: a. A = 6 3 2 2 . 3 2 2. 6 3 2 2+ + + − + . b. B = ( ) ( ) 2 2 2008 2014 . 2008 4016 3 .2009 2005.2007.2010.2011 − + − Câu 2 (4 điểm). a. Giải phương trình sau: 12 2 ++ xx + 484 2 +− xx = 5 b. Giải bất phương trình sau: 10342 ≤++− xx Câu 3 (3 điểm). Cho hàm số: y = mx - 3x + m + 1. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1 (đơn vị diện tích). Câu 4 (2 điểm). Chứng minh bất đẳng thức: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + + . Câu 5 (3 điểm). Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho BN = BM. Chứng minh hai đường thẳng AM và CN vuông góc với nhau. Câu 6 (4 điểm). Cho tam giác ABC có ∠ · 0 ABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c là hai độ dài cho trước). Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất đó. Đề này có 01 trang, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. §Ò chÝnh thøc ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN Câu Ý Nội dung Điểm Tổng điểm 1 a A = 223 + .       +−++ 2236.2236 2 2 3 2 2. ( 6) ( 3 2 2) 3 2 2. 6 (3 2 2)= + − + = + − + A = 2 (3 2 2)(3 2 2) 9 (2 2) 1+ − = − = 0,5 0,5 1,0 4,0 b B = ( ) ( ) 2 2 2008 2014 . 2008 4016 3 .2009 2005.2007.2010.2011 − + − . Đặt x = 2008, khi đó B = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x x 6 x 2x 3 x 1 x 3 x 1 x 2 x 3 − − + − + − − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 x 2 x 3 + − + − + − − + + = x + 1 = 2009 0,5 0,5 1,0 2 a 5121 =−++⇔ xx . Ta xét các trường hợp sau: * 1 −< x thì phương trình có dạng: 3 4 5221 −=⇔=+−−− xxx * 11 <≤− x thì phương trình có dạng: 25221 −=⇔=+−+ xxx (loại) * 1 ≥ x thì phương trình có dạng: 25221 =⇔=−++ xxx Vậy nghiệm của phương trình là: 3 4 −= x ; 2 = x 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 b Ta xét các trường hợp sau: * 3 −< x thì phương trình có dạng: 310342 −≥⇔≤−−+− xxx (loại) * 23 <≤− x thì phương trình có dạng 310342 −≥⇔≤+++− xxx * 2 ≥ x thì phương trình có dạng 3 11 10342 ≤⇔≤++− xxx Vậy nghiệm của bất phương trình là: 3 11 3 ≤≤− x 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 D A H C B M 3 Ta có: Đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi m – 3 0 3m ≠ ⇔ ≠ S ∆ ABO = = OBOA. 2 1 1 1 1 1 2 3 m m m + + = − 2 ( 1) 2 3m m⇔ + = − Nếu m> 3 ⇔ m 2 +2m +1 = 2m -6 ⇔ m 2 = -7 ( loại) Nếu m < 3 ⇔ m 2 +2m +1 = 6 – 2m ⇔ m 2 + 4m – 5 =0 ⇔ (m – 1)(m + +5) = 0 ⇔ m = 1; m = -5 0,5 1,0 1,0 0,5 3,0 4 Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có: a 2 + b 2 +c 2 + d 2 +2 2 2 2 2 ( )( )a b c d+ + ≥ a 2 +2ac + c 2 + b 2 + 2bd + d 2 ⇔ 2 2 2 2 ( )( )a b c d+ + ≥ ac + bd (1) Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m Nếu ac + bd ≥ 0 (1) ⇔ ( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ a 2 c 2 + b 2 d 2 +2acbd ⇔ a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 ≥ a 2 c 2 + b 2 d 2 +2acbd ⇔ a 2 d 2 + b 2 c 2 – 2abcd ≥ 0 ⇔ (ad – bc) 2 ≥ 0 ( luôn đúng) Dấu “=” xẩy ra ⇔ ad = bc ⇔ a c b d = 1,0 1,0 2,0 5 Hình vẽ chính xác Gọi H là giao của AM và CN Xét AMB∆ và ∆ CNB là hai tam giác vuông có: AB = CB (cạnh hình vuông) BM = BN (gt) ⇒ AMB∆ = ∆ CNB (c-g-c) BCNBAM ∠=∠ (1) N Xét trong AMB∆ và ∆ CMH có: CMHAMB ∠=∠ (đối đỉnh), kết hợp với (1) ⇒ 0 90 =∠=∠ ABMCHM hay 0 90 =∠ ACH hay đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng CN tại H. 1,0 1,0 1,0 3,0 6 Hình vẽ Ta đặt AM = x (0 < x < c) . Ta có: MN AM ax = MN = BC AB c ⇔ ( ) 0 c - x 3 MQ = BM.sin60 = 2 . Suy ra diện tích của MNPQ là: 0,5 0,5 0,5 4,0 A B C M N P Q 0 60 x A BA OA xOA yO A ( ) ( ) ax c - x 3 a 3 S = = x c - x 2c 2c + Ta có bất đẳng thức: 2 a + b a + b ab ab (a > 0, b > 0) 2 2   ≥ ⇔ ≤  ÷   Áp dụng, ta có: 2 2 x + c - x c x(c - x) = 2 4   ≤  ÷   . Dấu đẳng thức xảy ra khi: c x = c - x x = 2 ⇔ . Khi đó diện tích của hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Suy ra: . 2 a 3 c ac 3 S = 2c 4 8 ≤ . Vậy: max ac 3 S = 8 khi c x = 2 hay M là trung điểm của cạnh AB 0,5 0,5 0,5 1,0 . đó. Đề này có 01 trang, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. §Ò chÝnh thøc ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-20 09 MÔN TOÁN. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9- CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-20 09 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Câu 1 (4