Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Chuyên đề: hệ Thức vi ét Các kiến thức cần nhớ 1) Định lí Vi ét: Cho phơng trình ax2 + bx + c = (a0) Nếu phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thì: ìï b ïï x1 + x2 = ï a í c ïï ïï x1.x2 = a ỵ Lu ý: Khi ®ã ta còng cã: x - x = ± D a 2) ¸p dơng hƯ thøc Vi et để nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai: c - Nếu a + b + c = phơng tr×nh cã nghiƯm x1 = 1; x2 = a - Nếu a b + c = phơng tr×nh cã nghiƯm x1 = - 1; x2 = - c a 3) Tìm hai số biết tổng tÝch: Hai sè x; y cã: x + y = S; x.y = P hai số x; y nghiệm phơng trình: X2 SX + P = Điều kiện S2 4P.P Bài tập Dạng thứ nhất: Lập phơng trình biết hai nghiệm: Bài 1: a) x1=2; x2=5 b) x1=-5; x2=7 c) x1=-4P.; x2=-9 e) x1 = 3; d) x1=0,1; x2=0,2 g) x1 = ; j) x1 = 1l) n) x2 = 2; x1 = + 6; x1 = ; 2+ p) x1 = - 5; r) x1 = - 5; h) x1 = - 1; x2 = 1+ x2 = - x2 = 2- x2 = x2 = + x2 = + x2 = 3 x2 = - i) x1 = 1; x2 = - 0,9 3+ k) x1 = + 2; x2 = m) x1 = + 2; x2 = 3- 2 o) x1 = 10 - 72 ; q) x1 = + 11; s) x1 = 4; f) x1 = - 5; x2 = 10 + 72 x2 = - x2 = 1- 11 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định t) x1 = - ; u) x1 = - 1,9; x2 = + x2 = 5,1 Bµi 2: Giả sử x1; x2 hai nghiệm phơng trình: 2x2 - 7x - = Không giải phơng trình, hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm là: a) 3x1 3x2 d) g) j) x12 x22 vµ x1 + 1 x2 + vµ e) x2 + vµ x2 b) -2x1 vµ -2x2 x2 x1 x1 h) x1 vµ x2 + c) x1 f) x2 vµ x2 x1 + i) x1 x2 vµ x1 + x1 x1 + vµ x2 x2 + x2 x2 + vµ x1 x1 + Bài 3i 3: Giả sử x1; x2 hai nghiệm phơng trình: x2 + px - = Không giải phơng trình, hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm là: a) -x1 -x2 d) g) x1 vµ - x1 + x2 b) 4P.x1 vµ 4P.x2 x2 vµ j) x12 vµ x22 e) - x2 + x1 x2 x1 x1 h) k) vµ x2 - x1 + x2 c) x1 f) x2 vµ x2 x1 - vµ x2 + x1 i) x vµ x1 - x1 x1 - x2 x vµ vµ x2 - x2 x2 - x1 l) x12x2 vµ x1x22 Bµi 4P.: Gäi p; q hai nghiệm phơng trình 3x2 + 7x + = Không giải phơng trình HÃy lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên cã nghiƯm lµ: p q- vµ q p- Bài 5: Tơng tự: a) x2 + 4x + = Bµi 6: b) x2 - 5x - = c) 2x2 + 6x - = a) Chøng minh r»ng nÕu a1; a2 lµ hai nghiƯm phơng trình: x2 + px + = , b1; b2 hai nghiệm phơng trình: x2 + qx + = th×: ( a1 - b1) ( a2 - b2 ) ( a1 + b1) ( a2 + b2 ) = q2 - p2 b) Chøng minh r»ng nÕu tÝch mét nghiƯm cđa pt: x2 + ax + = víi mé nghiƯm nµo ®ã cña pt x2 + bx + = nghiệm pt thì: Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định 1 - - =2 ab a b 2 c) Cho pt x2 + px + q = Chøng minh r»ng nÕu 2p2 - 9q = th× pt có hai nghiệm nghiệm gấp đôi nghiệm Dạng thứ hai: Tìm tổng tích nghiệm: Bài 1: Cho phơng trình: x2 - 5x + = Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình không giải phơng trình hÃy tính: a) x12 + x22 b) x13 + x23 c) x1 - x2 e) x13 - x23 f) 1 + x1 x2 g) 1 + x12 x22 i) 1 + x1 - x2 - m) x12x2 + x1x22 j) n) x1 + x2 x1 x2 + + x2 + x1 k) x1 + 1 + x2 + x1 x2 d) x12 - x22 h) l) x1 - x1 1- x1 2x1 + + x2 - x2 1- x2 2x2 x2 x1 Bµi 2: T¬ng tù: 2x2 - 5x + = ; 3x2 + 4x - = ; - 3x2 + 2x + = Bài 3: Cho phơng tr×nh: - x2 - 4x + = Không giải phơng trình hÃy tính: a) Tổng bình phơng nghiệm b) Tổng nghịch đảo nghiệm c) Tổng lập phơng nghiệm d) Bình phơng tổng nghiệm e) Hiệu nghiệm f) Hiệu bình phơng nghiệm Bµi 4P.: Cho pt: x2 + 3x + = có hai nghiệm x1; x2 Không giải pt h·y tÝnh: A= 6x12 + 10x1x2 + 6x22 5x1x23 + 5x13x2 Dạng thứ ba: Tìm hai số biết tổng tích: Bài 1: a) Tìm hai số biết tỉng cđa chóng b»ng 27, tÝch cđa chóng b»ng 180 b) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 1, tÝch cđa chóng b»ng c) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 33 , tÝch cđa chóng b»ng 270 d) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 4P., tÝch cđa chóng b»ng 50 e) T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng , tích chúng -315 Bài Tìm hai sè u, v biÕt: a) u + v = 32; uv = 231 b) u + v = -8; uv = -105 c) u + v = 2; uv = d) u + v = 4P.2; uv = 4P.4P.1 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định e) u - v = 5; uv = 24P f) u + v = 14P.; uv = 4P.0 g) u + v = -7; uv = 12 h) u + v = -5; uv = -24P i) u + v = 4P.; uv = 19 j) u - v = 10; uv = 24P 2 k) u + v = 85; uv = 18 l) u - v = 3; uv = 180 m) u2 + v2 = 5; uv = -2 n) u2 + v2 = 25; uv = -12 Dạng thứ bốn: Tính giá trị tham số biết mối liên hệ nghiệm: Bài 1: Cho pt x2 - 6x + m = Tính giá trị m biết pt cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶: a) x12 + x22 = 36 b) 1 1 + = c) + = x1 x2 x12 x22 d) x1 - x2 = Bµi 2: Cho pt x2 - 8x + m = Tìm giá trị m để pt có hai nghiệm x 1; x2 thoả hệ thức sau: a) x12 + x22 = 50 b) x1 = 7x2 c) 2x1 + 3x2 = 26 d) x1 - x2 = Bµi 3: Cho pt x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = Tìm m để pt cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ x1 = 2x2 Khi tìm cụ thể hai nghiệm pt? Bài 4P.: a) Tìm k để pt: x2 + (k - 2)x + k - = cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ x12 + x22 = 10 b) Tìm m để pt: x2 - 2(m - 2)x - = cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ x12 + x22 = 18 c) Tìm k để pt: (k + 1)x2 - 2(k + 2)x + k - = cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 d) Tìm m để pt: 5x2 + mx - 28 = cã hai nghiÖm x1; x2 thoả 5x1 + 2x2 = Bài Gọi x1; x2 hai nghiệm khác pt: mx2 + (m - 1)x + 3(m - 1) = Chøng minh: 1 + =x1 x2 Dạng thứ năm: Các toán tổng hợp Bài 1: Cho pt: x2 - (2m + 3)x + m2 + 3m + = a) Giải pt m = b) Định m để pt có nghiệm Khi pt nghiệm nữa, tìm nghiệm đó? Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định c) CMR pt có hai nghiệm phân biệt với m d) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt Tìm m để x12 + x22 = e) Định m để pt cã nghiƯm nµy b»ng ba nghiƯm kia? Bµi 2: Cho pt x2 - 2(m - 1)x - m = a) CMR pt có nghiệm phân biệt x1; x2 víi mäi m 1 b) Víi m ≠ H·y lËp pt Èn y cã nghiƯm lµ: y1 = x1 + x vµ y2 = x2 + x c) Định m để pt có hai nghiƯm x1; x2 tho¶ x1 + 2x2 = Bµi 3: Cho pt x2 - 2(k + 3)x + 2k - = a) Gi¶i pt k = b) Tìm k để pt có nghiệm 3, pt nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy? c) Chứng minh pt có nghiƯm x1; x2 víi mäi k d) CMR gi÷a tổng tích nghiệm có liên hệ không phụ thuộc k? e) Tìm k để pt có hai nghiƯm x1; x2 tho¶ 1 + + =2 x1 x2 x1x2 f) Tìm k để tổng bình phơng nghiệm có giá trị nhỏ Bài 4P.: Cho pt (m - 1)x2 - 2mx + m + = a) CMR pt lu«n cã nghiƯm phân biệt m b) Xác định m ®Ĩ pt cã tÝch hai nghiƯm b»ng Tõ ®ã hÃy tính nghiệm pt c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm pt không phụ thuộc m? d) Tìm m để pt có hai nghiƯm x1; x2 tho¶ x1 x2 + x2 x1 + =0 Bµi 5: Cho pt x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = a) Gi¶i biện luận pt b) Tim giá trị m ®Ĩ pt cã mét nghiƯm b»ng m ®ã hÃy tìm nghiệm lại? c) Tìm m cho hai nghiƯm x1; x2 cđa pt tho¶ 10x1x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó? Bài 6: Cho pt x2 - 2mx + 2m - = a) Chøng minh r»ng pt lu«n cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định b) Đặt A = 2(x12 + x22) - 5x1x2 +) Chøng minh A = 8m2 - 18m + +) T×m m cho A = 27 c) Tìm m để pt có nghiệm hai nghiệm Khi hÃy tìm hai nghiệm ấy? Bài 7: Cho pt x2 - 2(m + 1)x + m - = a) b) c) d) Gi¶i pt m = -5 CMR pt lu«n cã nghiƯm x1; x2 với m Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu Tìm m để pt có hai nghiệm d¬ng e) CMR biĨu thøc A = x1(1- x2) + x2(1- x1) không phụ thuộc m f) Tính giá trị cđa biĨu thøc x1 - x2 Bµi 8: Cho pt x2 - 2(m + 2)x + m + = a) Giải pt m = - b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? c) Tìm m để pt có hai nghiệm ©m? d) Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm cđa pt Tìm m để x1(1- 2x2) + x2(1- 2x1) = m2 Bµi 9: Cho pt x2 - 2(m + 1)x + m2 - 4m - = (x lµ Èn) a) Giải biện luận pt b) Tìm m để pt nhận nghiệm Với giá trị m vừa tìm đợc hÃy tìm nghiệm lại pt c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu Bµi 10: Cho pt (m - 4)x2 - 2mx + m + = a) Tìm m để pt cã nghiƯm x = T×m nghiƯm b) Tìm m để pt có nghiệm c) Tính x12 + x22 theo m d) TÝnh x13 + x23 theo m e) Tìm tổng nghịch đảo nghiệm, tổng bỉnh phơng nghịch đảo nghiệm Bài 11: a) Pt x2 - 2px + = cã nghiÖm x1 = Tìm p tính nghiệm Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định b) Pt x2 + 5x + q = cã nghiệm Tìm q tính nghiệm c) BiÕt hiƯu hai nghiƯm cđa pt x2 - 7x + q = 11 Tìm q hai nghiệm d) Tìm q hai nghiệm pt x2 - qx + 50 = , biÕt pt có hai nghiệm nghiệm gấp đôi nghiệm e) Tìm giá trị m để pt x2 + 2(m + 2)x + 2m2 + = cã nghiệm x1 = hÃy tìm nghiệm lại f) Định giá trị k để pt x2 + k(k + 1)x + 5k + 20 = cã nghiƯm x = -5 T×m nghiƯm g) Cho pt: 5x2 + mx - 28 = Định m để pt có hai nghiệm thoả 5x1 + 2x2 = h) Tìm tất giá trị a ®Ĩ pt x2 + ax + a + = cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ m·n x12 + x22 = 10 Bµi 12: Cho pt (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - = a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để pt có nghiệm Tìm nghiệm c) Xác định m ®Ĩ pt cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ 1 + = ; x1 x2 1 + = 1; x1 x2 x12 + x22 = d) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 3(x1 + x2) = 5x1x2 Bµi 13: Cho pt x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = a) Tìm m để pt có nghiệm b) Cho P = 6x1x2 + x12 + x22 ( x1; x2 lµ hai nghiệm pt) Tìm m cho P đạt giá trị nhỏ nhất, tìm GTNN Bài 14P.: Tìm giá trị m; n để pt x2 - 2(m + 1)x + n + = cã hai nghiƯm x1 = 1; x2 = ? Bµi 15: Tìm giá rị m để pt x2 - mx + m + = cã nghiÖm x1; x2 thoả mÃn hai điều: a) x1x2 + 2(x1 + x2) - 19 = Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định b) x1; x2 âm Bài 16: Cho pt x2 - 2(m - 1)x + m - = a) CMR pt lu«n cã nghiƯm víi mäi m b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m c) Xác định m để pt có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dÊu Bµi 17: Cho pt x2 + mx + = a) Giải biện luận pt Từ hÃy cho biết với giá trị m pt có hai nghiệm? b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm dơng c) Với giá trị m pt nhạn nghiệm Tìm nghiệm lại Bài 18: Cho pt x2 + 8x + m + = a) Xác định m để pt có nghiệm b) Với giá trị m pt có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tính nghiệm trờng hợp nµy Bµi 19: Cho pt x2 - mx + m - = a) Chøng tá r»ng pt cã nghiƯm x 1; x2 víi mäi m TÝnh nghiƯm kÐp (nếu có) pt giá trị tơng ứng m b) Đặt A = x12 + x22 - 6x1x2 +) Chøng minh A = m2 - 8m + +) Tính giá trị m để A = +) Tìm A Bài 20: Cho pt (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = a) Định m để pt có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Định m để pt có hai nghiệm âm? dơng? trái dấu? Bài 21: Cho pt x2 - (2m - 3)x + m2 + 3m = a) CMR pt lu«n cã hai nghiƯm víi mäi m b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mÃn điều: +) x12 + x22 = +) x12x2 + x1x22 = - Bµi 22: Cho pt kx2 - 18x + = a) Với giá trị k pt có nghiệm? Tìm nghiệm đó? b) Với giá trị k pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x12x2 + x1x22 = Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Bài 23: Cho pt x2 - 10x - m + 20 = a) Gi¶i pt m = 4P.? b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng Bài 24P.: Cho pt x2 - 2(m + 2)x + m + = a) T×m giá trị m để pt có nghiệm b) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt tìm m ®Ĩ: x1(1- 2x2) + x2(1- 2x1) = m2 Bµi 25: Cho pt 2x2 - 6x + m = a) Với giá trị m pt có nghiệm b) Với giá trị m pt có nghiệm dơng x1 x2 + =3 c) Gọi x1; x2 hai nghiệm pt tìm m để x2 x1 Bµi 26: Cho pt x2 - 2(a + 1)x + 2(a + 5) = a) Gi¶i pt a = -2 b) Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm a để pt có hai nghiệm thoả x1 + 2x2 = d) Tìm a để pt có hai nghiệm dơng Bài 27: Cho pt (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - = a) Xác định m để pt có nghiệm b) Xác định m để pt có hai nghiệm tho¶ 1 + = x1 x2 c) Xác định m để pt có nghiệm hai nghiệm Bài 28: Xác định m để pt x2 - (5 + m)x - m + = có hai nghiệm thoả mÃn điều kiện sau: a) Nghiệm lớn nghiệm đơn vị b) Có hai nghiệm thoả 2x1 + 3x2 = 13 Bài 29: Tìm giá trị m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất: a) x2 - (2m - 1)x + m - = b) x2 + 2(m - 2)x - (2m - 7) = Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Bài 30: Cho pt x2 - 2(m + 1)x + m - = a) Giải pt m = b) Với giá trị m pt nhận x = nghiệm Tìm nghiệm lại c) Chứng minh pt có nghiệm với m d) Tìm m để pt cã nghiƯm tho¶ x12 + x22 = e) Tìm giá trị m để pt có hai nghiện dơng? hai nghiệm âm? Bài 31: Cho pt x2 - 2(m - 1)x + 2m - = a) CMR pt có hai nghiệm phân biệt với m b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm cđa pt T×m GTLN cđa Y = x12 + x22 c) T×m m để Y = 4P.; Y = Bài 32: Cho pt 5x2 + mx - 28 = a) CMR pt có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng c) Tìm m ®Ĩ pt cã hai nghiĐm tho¶: +) 1 + = x1 x2 +) x12 + x22 = d) Định m để pt có hai nghiệm thoả: 5x1 + 2x2 = Bµi 33: Cho pt 2x2 + (2m - 1)x + m - = a) CMR pt có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả 3x1 - 4x2 = 11 c) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng d) Tìm hệ thức liên hệ nghiƯm kh«ng phơ thc m Email: diepngoc0307@yahoo.com.vn 142 25 ... 16: Cho pt x2 - 2(m - 1)x + m - = a) CMR pt lu«n cã nghiệm với m b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m c) Xác định m để pt có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Bài 17: Cho pt... hai nghiệm Từ hÃy tính nghiệm pt c) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm pt không phụ thuộc m? d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 x2 + x2 x1 + =0 Bµi 5: Cho pt x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = a) Giải... 33: Cho pt 2x2 + (2m - 1)x + m - = a) CMR pt lu«n cã hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả 3x1 - 4x2 = 11 c) Tìm m để pt có hai nghiệm dơng d) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không