ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN : TỐN Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu a Chứng minh rằng: 1 1 1 65 40 2004 b Cho A = 2009 Chøng minh r»ng ba sè : 2A - ; 2A ; 2A + số phơng Câu Cho f(x) hàm số xác định với x 0 thỏa mãn: a f (1)= 1; x b f ( ) = f(x) với x 0; x2 c f (x1+x2) = f(x1) + f(x2) với x1, x2 0 x1 + x2 0 5 Chứng minh : f 7 Câu a Cho Chøng minh rằng: ( abc mẫu số khác không) b Tỡm mt s cú ba ch s biết số bội 18 chữ số tỉ lệ với 1:2:3 Câu Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC Câu Cho tam giác ABC, I giao điểm tia phân giác góc B góc C, M trung điểm BC Biết góc BIM = 90 BI = IM a Tính góc BAC; b Vẽ IH AC Chứng minh BA = IH Lưu ý: Giám thị coi thi không giải thích thêm ! HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009 MÔN : TOÁN A Hướng dẫn chung - Hướng dẫn chấm trình bày tóm tắt lời giải theo cách, thí sinh làm theo cách khác đúng, giám khảo thống biểu điểm hướng dẫn điểm - Với ý đáp án cho từ 0,5 điểm trở lên, cần thiết giám khảo thống để chia nhỏ thang điểm - Thí sinh làm đến đâu, giám khảo vận dụng cho điểm đến - Điểm tồn tổng điểm thành phần, khơng làm tròn B Đáp án biểu điểm Bài Hướng dẫn giải 1a Thang điểm 0.5 Đặt Xét tương tự ta có Tính VT BDT, ta có: Ta có: Phần lớn hơn, làm tương tự Xét 1b Ta cã 2A chia hÕt cho nhng 2A kh«ng chia hÕt 2A không số phơng 2A - = ( 2A - 3) + 2A - chia cho d 2A - không số phơng Giả sử 2A + = k2 , k số nguyên lẻ 2A = k2 - = (k 1)(k + 1) (Vì k - k + hai số chẵn liên tiếp nên (k - 1)(k + 1) chia hÕt cho 4) V« lý VËy 2A + không số phơng Vậy số 2A - 1, 2A, 2A + không số chÝnh ph¬ng Theo a); c) : f(2) = f(1+1)= f(1)+f(1) = f(3) = f(2+1)= f(2)+f(1) = 2+1 = f(5) = f(3+2)= f(3)+f(2) = 3+2 = f(7) = f(5+2)= f(5)+f(2) = 5+2 = Theo b) cách phân tích f(7) ta có : f( ) = 1 f(7) = = 7 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Từ áp dụng c) ta được: 1 1 1 f( ) = f( ) = f( )+f( ) = + 77 2 f( ) = f( ) = f( )+f( ) = 77 3 f( ) = f( ) = f( )+f( ) = 77 3a = 7 + = 7 + = 7 0.5 0.5 0.5 Tõ gi¶ thiÕt suy ra: 0.5 = (1) 0.5 (2) = = Tõ (1), (2), (3) suy ra: 9a 9b 9c x y z 2x y z 4x y z a b c x y z 2x y z 4x y z 3b 4x y z 9c (3) 2x y z 4x y z 9b 9c 0.5 0.5 Số x cần tìm chia hết cho 18= 2; mà (9;2) = nên x chia hết cho 0.5 x chia hết cho Gọi chữ số x a; b; c a b c a b c 0.5 Theo giả thiết: (1) Vì x chia hết a+b+c 9 , mà a+b+c 27, a+b+c nhận ba giá trị : 9; 18 ; 27 Kết hợp với (1) ta có a+b+c = 18 0.5 Do a= 3; b= 2.3 = 6, c= 3.3 = 0.5 Vì x phải chia hết x = 396 936 E F I A B H C M D Đờng thẳng AB cắt EI F ABM = DCM v×: AM = DM (gt), MB = MC (gt), AMB = DMC (®®) => BAM = CDM =>FB // ID => ID AC Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) Tõ (1) vµ (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF vµ (2) (3) E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (®®), BAH = ACB ( cïng phơ ABC) => EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => AFE = CAB =>AE = BC A H k B K I l j M a C Theo ra: BI= IM, lấy K trung điểm BI Ta có KIM 1.5 vng cân, IMK = 450, KM đường TB BIC, KM// IC CIM = IMK = 450 Suy BIC = 1350, B1+C1= 450, B+ C = 900 b Vậy BAC =900 Gọi E giao điểm BI AC Ta có BIC = 1350 nên CIE = 450 Do CIE = CIM (g.c.g) nên IE = IM Do BK = KI= IE Từ dễ dàng chứng minh BA = IH 1.5 Tổng điểm 20 ... 1 1 f( ) = f( ) = f( )+f( ) = + 7 7 2 f( ) = f( ) = f( )+f( ) = 7 7 3 f( ) = f( ) = f( )+f( ) = 7 7 3a = 7 + = 7 + = 7 0.5 0.5 0.5 Tõ gi¶ thiÕt suy ra: 0.5 = (1) 0.5 (2) = = Tõ (1), (2),... f (7) = f(5+2)= f(5)+f(2) = 5+2 = Theo b) cách phân tích f (7) ta có : f( ) = 1 f (7) = = 7 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Từ áp dụng c) ta được: 1 1 1 f( ) = f( ) = f( )+f( ) = + 7 7...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009 MƠN : TỐN A Hướng dẫn chung - Hướng dẫn chấm trình bày tóm tắt lời giải theo cách,