Hệ phương trình và ứng dụng trong chương trình THPT

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: a Những nội dung luận văn thực hướng dẫn trực tiếp TS Lê Hải Trung b Mọi tham khảo dùng luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian, địa điểm cơng bố c Mọi chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo hay gian trá tơi xin chịu hồn toàn trách nhiệm Tác giả luận văn Nguyễn Tiến Cường MỤC LỤC QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hệ phương trình dạng tốn quen thuộc học sinh từ bậc Trung học sở, đồng thời chiếm vị trí quan trọng đặc biệt chương trình Tốn khối THPT lẽ ngồi việc phát huy tính tư duy, suy luận logic dạng tốn có mặt hầu hết kỳ thi đại học, cao đẳng kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic Nét quyến rũ hệ phương trình nằm tính đặc thù dạng phương pháp tìm nghiệm tương ứng cho dạng Với mong muốn hiểu kĩ dạng phương pháp giải hệ phương trình gợi ý giáo viên hướng dẫn – TS Lê Hải Trung nên tơi lựa chọn đề tài: «Hệ phương trình ứng dụng chương trình THPT » cho luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nghiên cứu dạng tốn hệ phương trình chương trình THPT phương pháp giải đồng thời sáng tạo số hệ phương trình Ngồi tác giả cố gắng nghiên cứu ứng dụng phần mềm Maple để giải hệ phương trình giải gần số hệ phương trình phức tạp Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn tác giả có sử dụng kiến thức liên quan đến lĩnh vực sau đây: Giải tích, Đại số tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu * Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu dạng hệ phương trình phương pháp giải * Phạm vi nghiên cứu: Các dạng hệ phương trình chương trình Tốn thuộc khối THPT, toán kỳ thi đại học, cao đẳng, học sinh giỏi quốc gia Olympic Đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên giáo viên giảng dạy mơn tốn khối Trung học Phổ Thông Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm: Phần mở đầu Chương Một số dạng toán hệ phương trình 1.1 Các dạng tốn hệ phương trình 1.2 Hệ phương trình chứa thức 1.3 Hệ phương trình chứa giá trị tuyệt đối 1.4 Hệ phương trình lượng giác 1.5 Hệ phương trình chứa hàm số mũ 1.6 Hệ phương trình chứa hàm logarit 1.7 Hệ phương trình khơng mẫu mực 1.8 Một số tốn hệ phương trình 1.9 Hệ phương trình số đề thi Olimpic, học sinh giỏi Chương Sử dụng phần mềm Maple tìm nghiệm hệ phương trình 2.1 Tổng quan phần mềm Maple 2.2 Hướng dẫn sử dụng phần mềm Maple giải hệ phương trình 2.3 Ứng dụng Maple để giải số hệ phương trình 2.4 Ứng dụng phần mềm Maple giảng dạy chuyên đề hệ phương trình khối THPT Phần kết luận Tài liệu tham khảo Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ (bản sao) CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nội dung chương nhằm giới thiệu số dạng hệ phương trình phương pháp để giải toán đồng thời đưa ví dụ điển hình cho dạng hệ phương trình Giúp ta có nhìn khái quát hệ phương trình tìm hiểu cách sáng tạo hệ phương trình Các kiến thức tham khảo tài liệu [1], [2], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11] 1.1 CÁC DẠNG TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Định nghĩa 1.1 Biểu thức có dạng:  a1 x + b1 y = c1 ,   a2 x + b2 y = c2 , (1.1) , bi , ci ∈ ¡ (i = 1; 2) ; x, y nghiệm cần phải tìm, gọi hệ phương trình tuyến tính bậc Trong hệ (1.1) ta đưa vào điều kiện: a12 + b12 ≠ 0; a2 + b2 ≠ Định nghĩa 1.2 Một ( x* , y* ) gọi nghiệm hệ (1.1) ta thay vào vế phải ta nhận đẳng thức tương ứng Rõ ràng hệ (1.1) có nghiệm, vơ nghiệm có vơ số nghiệm Ta kí hiệu: D= a1 a2 b1 c Dx = , b2 c2 b1 a Dy = , b2 a2 b1 b2 (1.2) Định lý 1.1 1Nếu D ≠ hệ (1.1) có nghiệm xác định bằng: x= Dx ; D y= Dy D Định lý 1.1 tham khảo tài liệu [7, tr 115] Ví dụ 1.1 Giải hệ phương trình:  x + y = 1,   x + y = (1.3) Lời giải Sử dụng công thức (1.2) ta được: D= 3 = 2.5 − 1.3 = , Dx = = 1.5 − 4.3 = −7 , D y = = 2.5 − 1.3 = 5 Như từ định lý 1.1 ta có: x= D D x −7 = = , y = y = =1 D D Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1; −1) Định lý 1.2 Nếu D = Dx ≠ D y ≠ hệ (1.1) vơ nghiệm Ví dụ 1.2 Giải hệ phương trình:  x + y = 3,  6 x + y = (1.4) Lời giải Sử dụng công thức (1.2) ta được: D= 6 = 4.9 − 6.6 = , Dx = = 3.9 − 8.6 = −21 ≠ , 9 Dy = = 3.6 − 8.4 = 14 ≠ Vậy, theo kết định lý 1.2 ta nhận hệ phương trình vô nghiệm Định lý 1.3 2Nếu D = Dx = Dy = hệ có vơ số nghiệm Ví dụ 1.3 Giải hệ phương trình:  x + y = 4,  6 x + y = Lời giải Sử dụng công thức (1.2) ta được: Định lý 1.2 1.3 tham khảo tài liệu [9, tr 97] (1.5) D= 6 4 = 4.9 − 6.6 = , Dx = = 4.9 − 6.6 = , Dy = = 4.6 − 6.4 = 9 6 Vậy, theo kết định lý 1.2 ta nhận hệ phương trình có vơ số nghiệm Ta xác định số nghiệm cụ thể hệ (1.5) sau: x = 1, y = x = 0, y = x = 2, y = − Nhận xét 1.1 Trong thực tế cho thấy ta thường gặp hệ phương trình khơng có dạng (1.1) mà có dạng phức tạp dạng Ta đưa hệ dạng (1.1) cách sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để tìm nghiệm hệ cho Nội dung cốt lõi phương pháp bao gồm bước sau đây: + Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) + Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện cho ẩn phụ + Bước 3: Đưa hệ dạng (1.1), giải hệ tìm ẩn phụ, đối chiếu điều kiện, chọn nghiệm + Bước 4: Quay tìm nghiệm hệ ban đầu Ví dụ 1.4 Giải hệ phương trình  x+3 −    +  x + = 100, y−2 = 308 y−2 (1.6) 1 Lời giải Điều kiện : x ≠ −3, y ≠ Đặt: x + = u; y − = v , ta chuyển hệ cho 5u − 9v = 300, 3u + 7v = 308 dạng:  Giải hệ nhận cho ta u = 56; v = 20 , Từ ta thu được: x = − 163 49 ,y= 56 20  Vậy hệ (1.7) có nghiệm: ( x; y ) =  − 163 49  ; ÷  56 20  Định nghĩa 1.3 Biểu thức có dạng:  Ax + By + C = 0,  2 ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0, (1.7) A, B, C , a, b, c, d , f ∈ ¡ ; x, y nghiệm cần phải tìm, gọi hệ phương trình tuyến tính gồm phương trình bậc phương trình bậc hai Trong (1.7) ta đưa vào điều kiện: A2 + B ≠ 0; a + c ≠ Định nghĩa 1.4 Một ( x* , y* ) gọi nghiệm hệ (1.7) ta thay vào vế phải ta nhận đẳng thức tương ứng Các phương pháp giải: - Phương pháp thế: Từ phương trình rút ẩn vào phương trình lại - Phương pháp đặt ẩn phụ: + Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) + Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện cho ẩn phụ + Bước 3: Giải hệ tìm ẩn phụ, đối chiếu điều kiện, chọn nghiệm + Bước 4: Quay tìm nghiệm hệ ban đầu Ví dụ 1.5 Giải hệ phương trình: ( x + y + 1) ( x + y + ) = 0,   xy + y + y + = Lời giải Ta sử dụng phương pháp để giải hệ phương trình sau:   x + y + = 0, ( x + y + 1) ( x + y + ) = 0,  ⇔  x + y + =   xy + y + y + =   xy + y + y + =   x + y + = 0,    xy + y + y + = ⇔ x + y + = 0,     xy + y + y + =  x = −1 − y, Hệ (1.8) tương đương với:   xy + y + y + = 0, (1.8) ( 1.9 ) phương trình thứ vào phương trình thứ hai ta phương trình:  y = + ⇒ x = −3 − 2, y2 − y −1 = ⇒   y = − ⇒ x = −3 + 2 Tương tự giải (1.9) ta được:   x = −3 + 5,   1−   y =    x = −3 − 5,   1+   y =  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm:   1−   +   ( x; y ) = (−3 − 2;1 + 2), ( −3 + 2;1 − 2),  −3 + 5; , − − 5; ÷  ÷  ÷ ÷     Định nghĩa 1.5 Biểu thức có dạng:  a1 x + b1 xy + c1 y = d1 ,  2  a2 x + b2 xy + c2 y = d , (1.10) , bi , ci ∈ ¡ , i = 1; ; x, y nghiệm cần phải tìm, gọi hệ phương trình tổng quát bậc hai Trong (1.10) ta đưa vào điều kiện: a12 + c12 ≠ 0, a2 + c2 ≠ 85 3 1 + x y = 19 x ,  2  y + xy = −6 x (2.6) Lời giải       Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) =  ; −2 ÷,  − ;3 ÷     Ví dụ 2.12 (Canadian Mathematical Olympiad Repechage 2011)  xy + x + y = 3, Giải hệ phươn trình:  2  x + y + x + y = 12 Lời giải Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) = { ( 3;0 ) , ( 0;3) , ( −3; −3)} Ví dụ 2.13 (Đề thi thức Olympic 30/4/2012) Giải hệ:  x − y = 9,  2  x + y − x + y = (2.7) Lời giải Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) = { ( 1; −2 ) , ( 2; −1) } 86 Ví dụ 2.14 (HSG Quốc gia – 2014, bảng B)  x + xy = −49, Giải hệ phương trình:  2  x − xy + y = y − 17 x (2.8) Lời giải Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) = { ( −1; ) , ( −1; −4 ) } Ví dụ 2.15 (Czech And Slovakia Mathematical Olympiad 2008)  x + y = y , Giải hệ phương trình:   y + x = x (2.9) Lời giải Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) = { ( 0;0 ) }  2sin x = sin y,  cos x + cos y = Ví dụ 2.16 Giải hệ phương trình:  (2.10) Lời giải Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) = { ( 0; π ) } 87 sin x = − tgy, Ví dụ 2.17 Giải hệ phương trình:  tg y = − s inx (2.11) Lời giải  π   π   π   Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) =  0; ÷,  π ; ÷,  ;0 ÷ 4        , s inx + cos y = Ví dụ 2.18 Giải hệ phương trình:  x − y = − π  (2.12) Lời giải  π π π         Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) =  ; ÷,  0; ÷ 4   s inx = 2,  Ví dụ 2.19 Giải hệ phương trình:  sin y 3( x + y ) = 2π  Lời giải (2.13) 88  π π    Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) =  ; ÷   32 x + + 22 y + = 17, Ví dụ 2.20 Giải hệ phương trình:  x +1 y  2.3 + 3.2 = (2.14) Lời giải Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) = ( −1;1)  x = y3 + y2 ,  Ví dụ 2.21 Giải hệ phương trình:  y = 3z + z ,  z = 3x3 + x  Lời giải Ta sử dụng phần mềm Maple sau: (2.16) 89   1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) = (0;0;0),  ; ; ÷, (−1; −1; −1)   3 3  Nhận xét 2.1 Như vậy, hệ phương trình từ dễ đến phức tạp ta sử dụng cú pháp “solve” dễ dàng tìm nghiệm 2.4 ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG GIẢNG DẠY CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHỐI THPT A Hiệu ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy Hiện chứng kiến phát triển vũ bão công nghệ thông tin truyền thông (ITC) Các nhà khoa học khẳng định: chưa có ngành khoa học công nghệ lại phát triển nhanh chóng, sâu rộng có nhiều ứng dụng tin học Sự đời Internet, mở kỷ ngun thơng tin Trong khung cảnh đó, đào tạo giáo dục coi mảnh đất màu mỡ ứng dụng tin học phát triển Với mục tiêu nâng cao chất lượng đào tạo, đổi phương pháp dạy học biện pháp khả thi biết kết hợp phương pháp dạy học 90 truyền thống có sử dụng cơng nghệ thơng tin nói chung, phần mềm dạy học nói riêng cơng cụ đắc lực Từ hình thức đơn giản ban đầu, việc ứng dụng công nghệ thông tin giáo dục ngày khẳng định tính ưu việt vượt trội so với phương tiện, đồ dùng dạy học truyền thống cơng nghệ thông tin không công cụ hỗ trợ dạy học mà tác nhân góp phần tạo cách mạng giáo dục Phần mềm dạy học tạo môi trường thuận lợi để tổ chức hoạt động học tập hướng vào việc lĩnh hội tri thức, khuyến khích học sinh tìm tòi, luyện tập kỹ cần thiết lực sử dụng thông tin để giải vấn đề, góp phần phát triển tính sáng tạo, khả tư độc lập, phương pháp học tập cách thức làm việc hợp tác việc sử lý thơng tin phần thực nhờ máy tính công nghệ thông tin trở thành phận học Công nghệ thông tin coi công cụ tự nhiên để diễn tả mơ hình tốn học, đồ thị, biểu đồ, hình vẽ trình chuyển động đối tượng tốn học theo quy luật Vì đối tượng, quan hệ tốn học khơng trừu tượng, xa lạ khó nắm bắt số đông học sinh Điều giúp học sinh tiếp thu tốt nội dung khó, có tính trừu tượng cao tốn học Ứng dụng cơng nghệ thơng tin dạy học toán vấn đề đổi hệ thống phương pháp dạy học mơn tốn Tỷ lệ lưu trữ thơng tin trí nhớ người học thơng qua hệ thống kênh thông tin khác chuyên gia tổng kết sau: + Xét việc hỗ trợ học sinh tìm hiểu sâu nội dung kiến thức : 91 Trong hoạt động toán học, có việc gồm hàng loạt thao tác tính tốn, vẽ hình chúng thường chiếm nhiều thời gian học tập học sinh kết khơng xác + Xét việc rèn luyện kỹ năng, củng cố, ôn tập kiến thức cũ, rèn luyện, phát triển tư toán học Ngày phần mềm trở nên phong phú, đa dạng, có nhiều phần mềm khai thác để rèn luyện kỹ thực hành cho học sinh Chẳng hạn với phần mềm Maple, học sinh rèn luyện kỹ khảo sát hàm số, tính diện tích miền phẳng, xác định góc tiếp tuyến điểm đồ thị với trục hoành, rèn luyện kỹ dựng hình Phần mềm Maple giúp học sinh rèn luyện việc dụng hình, xác định thiết diện, tìm nghiệm phương trình, hệ phương trình Như việc luyện tập tự kiểm tra đánh giá học sinh khơng bị hạn chế mặt thời gian nội dung phương pháp kiểm tra thông thường B Kết nhận sử dụng dụng phần mền Maple vào giảng dạy Ví dụ 2.22 Giải hệ phương trình:  x − y = 35,  2  x + y = x − y (2.17) Nhận xét 2.2 Trong lời giải chương I điều quan trọng nhân hai vế phương trình thứ hai với (– 3) cộng với phương trình thứ Bí mật nằm “phương pháp giải định” (hay gọi phương pháp hệ số bất định) Việc làm học sinh dễ bị nhầm lẫn dẫn đến tìm sai nghiệm hệ phương trình Vì vậy, việc sử dụng phần mềm Maple giúp giải vấn đề cách kiểm tra xác nghiệm hệ phương trình Thao tác tìm nghiệm hệ phương trình dựa vào phần mềm Maple sau: 92 Như ta tìm nghiệm thực hệ (2.17) là: ( x; y ) = (3; −2), (2; −3) Ví dụ 2.23 (HSG Quốc gia – 2010) Giải hệ phương trình:  x − y = 240,  3 2  x − y = 3( x − y ) − 4( x − y ) (2.18) Nhận xét 2.3 Do x, y tách biệt ta hi vọng đưa hai phương trình hệ dạng ( x + a)4 = ( y + b) Muốn ta lấy phương trình thứ hai nhân với α cộng phương trình thứ Ta có được: x + α ( x − x + x) = y + 240 + α (2 y − 12 y + 32) Cần chọn α cho: ( x + a)4 = ( y + b)4 Đây phương pháp hệ số bất định nói Như vậy, ta cần phân tích ( x + a)4 = ( y + b) , Maple ta dùng lệnh “expand” 93 Như đồng hệ số ta có được: α = −8,   a = −2, b = −4  Lấy phương trình thứ hai nhân với (- 8) cộng phương trình thứ ta có x + 16 − 8( x − x + x ) = y + 256 − 8(2 y − 12 y + 32 y ) Sử dụng lệnh “factor” để phân tích biểu thức dạng nhân tử: 94 Như ta có:  x − = y − 4,  x = y − 2, ( x − 2) = ( y − 4) ⇔  ⇔  x − = − y  x = − y Đến toán trở nên dễ dàng Nếu x = y − thay vào phương trình thứ hệ (2.18) ta 95 Như ta có: y − 24 y + 32 y + 224 = ⇔ y = −2 ⇒ x = −4 Nếu x = − y thay vào phương trình thứ hệ (2.18) ta được: 96 Như ta có: y − y + 36 y − 44 = ⇔ y = ⇒ x = Vậy hệ ban đầu cho có nghiệm ( x; y ) = { (−4; −2), (4; 2)} Nhận xét 2.4 Như vậy, để tránh khỏi sai sót kiểm tra bước giải tốn cách xác phần mềm Maple giúp ta thực điều Nó khơng giúp học sinh dễ dàng nắm bước phân tích tốn mà giúp học sinh kiểm tra nghiệm toán 97 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu “ Hệ phương trình ứng dụng chương trình THPT”, luận văn hồn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết sau: Tổng quan đầy đủ hệ phương trình, cấu trúc tập nghiệm phương pháp giải tương ứng Luận văn trình bày số ví dụ cụ thể cho dạng hệ phương trình, đưa kinh nghiệm lựa chọn phương pháp giải phân tích tốn hệ phương trình Từ cho ta nhìn khái qt hệ phương trình, tìm hiểu cách sáng tạo hệ phương trình Trình bày tổng quan phần mền Maple hướng dẫn sử dụng phần mềm maple với việc tìm nghiệm hệ phương trình Luận văn trình bày số tốn ứng dụng phần mềm maple để tìm nghiệm hệ phương trình Với khảo sát được, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân để ứng dụng giảng dạy toán THPT hy vọng nguồn tài liệu hữu ích cho quan tâm hệ phương trình ứng dụng phần mềm Maple Trong trình làm luận văn có nhiều cố gắng, song điều kiện khách quan lực hạn chế thân nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý chân thành quý thầy cô bạn đọc để tiếp tục tìm hiểu nghiên cứu phát triển luận văn sau Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ts Lê Hải Trung, người thầy giúp đỡ em tận tình trình hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy dạy em trình học Cao học Đại học Đà Nẵng 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Tài Chung (2013), Sáng tạo giải phương trình - hệ phương trình - bất phương trình, NXB Tổng hợp Tp Hồ Chí Minh [2] Hà Văn Chương (2012), Hệ phương trình - hệ bất phương trình không mẫu mực, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học Kĩ thật [4] Phạm Huy Điển – Đinh Thế Lục – Tạ Duy Phương (1998), Hướng dẫn thực hành tính tốn chương trình Maple V, NXB Giáo dục [5] Lê Hồng Đức – Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc (2009), Phương pháp giải tốn hệ vơ tỉ-hệ chứa dấu giá trị tuyệt đối, NXB Đại học sư phạm [6] Lê Hồng Đức – Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc (2009), Phương trình – bất phương trình hệ lượng giác, NXB Đại học sư phạm [7] Lê Hồng Đức – Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc (2009), Phương pháp giải tốn hệ vơ tỉ-hệ chứa dấu giá trị tuyệt đối, NXB Đại học sư phạm [8] Nguyễn Văn Mậu – Nguyên Văn Tiến (2010), Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, NXB Giáo dục [9] Nguyễn Văn Mậu – Đặng Huy Ruận – Nguyễn Thủy Thanh – Nguyễn Minh Tuấn (2004), Đại số tuyến tính hình giải tích, NXB Giáo dục Hà Nội [10] Trần Phương – Lê Hồng Đức (2004), Đại số sơ cấp, NXB Hà Nội [11] Nguyễn Đình Trí – Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh (2007), Toán học cao cấp, NXB Giáo dục [12] Vũ Dương Thụy – Nguyễn Văn Nho (2006), 40 năm Olympic toán học quốc tế, NXB Giáo dục TIẾNG ANH 99 [13] D Bernstein (1997), The number of roots of a systemof equation, Functional Analysis and it Applications [14] Leone Burton and Barbara Jaworski (1995), Technology in mathematies Teaching and Learning, A bridge betwên teaching and learning, Chartwell Bratt, England [15] D Eisenbud and J Harris (2000), The geometry of Schemes, Graduate Texts in Mathematics, Springer – Verlag, New York [16] J Mcdonald (2002), Fractional power series solutions for system of equation, Discrete and Computational Geometry [17] Sue Johnston Wilder – David Pimm (1995), The free NCET leaflet Mathematics and IT – Apupil’s entitlememt ... Các dạng tốn hệ phương trình 1.2 Hệ phương trình chứa thức 1.3 Hệ phương trình chứa giá trị tuyệt đối 1.4 Hệ phương trình lượng giác 1.5 Hệ phương trình chứa hàm số mũ 1.6 Hệ phương trình chứa... chọn đề tài: Hệ phương trình ứng dụng chương trình THPT » cho luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nghiên cứu dạng tốn hệ phương trình chương trình THPT phương pháp giải... 2.2 Hướng dẫn sử dụng phần mềm Maple giải hệ phương trình 2.3 Ứng dụng Maple để giải số hệ phương trình 2.4 Ứng dụng phần mềm Maple giảng dạy chuyên đề hệ phương trình khối THPT Phần kết luận