DE THI MON TOAN KHOI A,B,D 2009 CO da

ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Mơn thi : TỐN PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm)Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2 Với giá trị m, phương trình x x − = m có nghiệm thực phân biệt? Câu II (2 điểm) Giải phương trình sin x + cos x sin 2x + cos 3x = 2(cos 4x + sin x)  xy + x + = 7y (x, y ∈ ¡ ) Giải hệ phương trình  2  x y + xy + = 13y 3 + ln x dx (x + 1) Câu III (1 điểm)Tính tích phân I = ∫ Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) · 600; tam giác ABC vng C BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Câu V (1 điểm) Cho số thực x, y thay đổi thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức :A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 2) + y = hai đường thẳng ∆1 : x – y = 0, ∆2 : x – 7y = Xác định toạ độ tâm K tính bán kính đường trịn (C 1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với đường thẳng ∆1, ∆2 tâm K thuộc đường tròn (C) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Câu VII.a (1 điểm) Tìm số phức z thoả mãn : z − (2 + i) = 10 z.z = 25 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(-1;4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x – y – = Xác định toạ độ điểm B C , biết diện tích tam giác ABC 18 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ Câu VII.b (1 điểm) x2 −1 Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y = điểm phân x biệt A, B cho AB = Hết BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I y = 2x4 – 4x2 TXĐ : D = R y’ = 8x3 – 8x; y’ = ⇔ x = ∨ x = ±1; xlim = +∞ →±∞ x −∞ −1 +∞ y' − + − + y +∞ +∞ −2 CĐ −2 CT CT y đồng biến (-1; 0); (1; +∞) y nghịch biến (-∞; -1); (0; 1) y đạt cực đại x = y đạt cực tiểu -2 x = ±1 Giao điểm đồ thị với trục tung (0; 0) Giao điểm đồ thị với trục hoành (0; 0); (± ;0) x2x2 – 2 = m ⇔ 2x2x2 – 2 = 2m (*) (*) phương trình hoành độ giao điểm (C’) : y = 2x2x2 – 2 (d): y = 2m Ta có (C’) ≡ (C); x ≤ - hay x ≥ (C’) đđối xứng với (C) qua trục hoành - < x < Theo đồ thị ta thấy ycbt ⇔ < 2m < ⇔ < m < Câu II { − y = hệ vô nghiệm x  x + y + y =  y ≠ hệ ⇔  x  x + + = 13 y y   −1 x −2 y (C’) − PT:sinx+cosxsin2x+ cos 3x = 2(cos 4x + s i n x) 3sin x − sin 3x ⇔ sin x + sin 3x + cos 3x = cos 4x + 2 ⇔ sin 3x + cos 3x = cos 4x ⇔ sin 3x + cos 3x = cos 4x 2 π π ⇔ sin sin 3x + cos cos 3x = cos 4x 6 π  ⇔ cos 4x = cos  3x − ÷ 6  π π    4x = − + 3x + k2π  x = − + k2 π ⇔ ⇔  4x = π − 3x + k2π  x = π + k 2π   42   xy + x + = 7y x y + xy + = 13y (C) y −1 x x x 2 2 ; b = ⇒ a = x + + ⇒ x + = a − 2b y y y y y a+b=7 a+b=7 Ta có hệ a − b = 13 ⇔ a + a − 20 = Đặt a = x + { { 1   x + y =  x + y = −5   a=4 a = −5 ⇔ b = hay b = 12 Vậy  x hay  x  =3  = 12  y y  x =  x=3 x − 4x + = x + 5x + 12 = ⇔ x = 3y hay x = 12y (VN) ⇔  y = hay y =   Câu III : 3 3 + ln x dx ln x I=∫ dx = 3∫ +∫ dx 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1) 1 { { { { dx −3 I1 = 3∫ = (x + 1) (x + 1) { = ln x dx (x + 1) I2 = ∫ Đặt u = lnx ⇒ du = dv = dx x dx −1 Chọn v = (x + 1) x +1 3 3 ln x dx ln dx dx ln 3 I2 = − +∫ =− +∫ −∫ =− + ln x + 1 x(x + 1) x x +1 Vậy : I = (1 + ln 3) − ln Câu IV a BH a 3a a = ⇒ BN = = BH= , ; B'H = BN 2 goïi CA= x, BA=2x, BC = x CA2 BA2 + BC = BN + C H M 2 9a  3a  x ⇔ 3x + x =  ÷ + ⇔ x2 = 52   a = 2  a 9a a 9a 3÷ = = 12 52 208  Ta có: B ' H = BB ' V= 11  x 3 N B Câu V :  (x + y) + 4xy ≥ ⇒ (x + y)3 + (x + y) − ≥ ⇒ x + y ≥  (x + y) − 4xy ≥  A (x + y) ≥ dấu “=” xảy : x = y = 2 2 2 (x + y ) Ta có : x y ≤ 4 2 A = ( x + y + x y ) − 2(x + y ) + = (x + y ) − x y  − 2(x + y ) +   ⇒ x + y2 ≥  (x + y )  2 ≥  (x + y ) −  − 2(x + y ) +   = (x + y ) − 2(x + y ) + Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥ f (t) = t − 2t + 1, t ≥ f '(t) = t − > ∀ t ≥ 2 ⇒ f (t) ≥ f ( ) = 16 x = y = Vậy : A = 16 Câu VIa x−y x − 7y =± Phương trình phân giác (∆1, ∆2) : ⇔ 5(x − y) = ± (x − 7y)  y = −2x :d1 5(x − y) = x − 7y ⇔ ⇔ y = x : d2 5(x − y) = − x + 7y   Phương trình hồnh độ giao điểm d1 (C) : (x – 2)2 + (– 2x)2 = 25x2 – 20x + 16 = (vơ nghiệm) x Phương trình hồnh độ giao điểm d2 (C) : (x – 2) +  ÷ = 2 8 4 ⇔ 25x − 80x + 64 = ⇔ x = Vậy K  ; ÷ 5 5 2 R = d (K, ∆1) = uuu r uuu r TH1 : (P) // CD Ta có : AB = (−3; −1; 2), CD = (−2; 4;0) r r ⇒ (P) có PVT n = ( −8; −4; −14) hay n = (4;2;7) (P) :4(x − 1) + 2(y − 2) + 7(z − 1) = ⇔ 4x + 2y + 7z − 15 = TH2 : (P) qua I (1;1;1) trung điểm CD uuu r uu r Ta có AB = ( −3; −1;2), AI = (0; −1;0) r ⇒ (P) có PVT n = (2;0;3) (P) :2(x − 1) + 3(z − 1) = ⇔ 2x + 3z − = 2 Câu VIb AH = −1 − − = 36 36 AH.BC = 18 ⇔ BC = = =4 AH Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = x − y = 7 1 H: ⇒ H ;− ÷ 2 2 x + y = B(m;m – 4) 2 BC2 7  1  ⇒ HB = = = m − ÷ + m − + ÷ 2  2  S= 11  m= +2=  7  2 ⇔ m − ÷ = ⇔ 2  m = − =   2  11  3 5  5  11  Vậy B1  ; ÷ ∧ C1  ; − ÷ hay B2  ; − ÷∧ C  ; ÷  2 2 2 2 2  2 uuu r r AB = (4; −1;2); n P = (1; −2;2) Pt mặt phẳng (Q) qua A // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = ⇔ x – 2y + 2z + = Gọi ∆ đường thẳng qua A Gọi H hình chiếu B xuống mặt phẳng (Q) Ta có : d(B, ∆) ≥ BH; d (B, ∆) đạt ⇔ ∆ qua A H x = + t  Pt tham số BH:  y = −1 − 2t z = + 2t  2 Tọa độ H = BH ∩ (Q) thỏa hệ phương trình :  x = + t, y = −1 − 2t, z = + 2t 10  11  ⇒ H− ; ; ÷ ⇒t=−   9 9  x − 2y + 2z + = uu uuu r r ∆ qua A (-3; 0;1) có VTCP a ∆ = AH = ( 26;11; −2 ) x + y − z −1 = = Pt (∆) : 26 11 −2 Câu VII.a Đặt z = x + yi với x, y ∈ R z – – i = x – + (y – 1)i z – (2 + i)= 10 z.z = 25 4x + 2y = 20 (x − 2) + (y − 1) = 10 ⇔  x + y2 = 25 ⇔ x + y = 25  y = 10 − 2x x=3 x =5 ⇔ x − 8x + 15 = ⇔ y = hay y = { { { { Vậy z = + 4i hay z = Câu VII.b Pt hoành độ giao điểm đồ thị đường thẳng : − x + m = x2 − x ⇔ 2x2 – mx – = (*) (vì x = khơng nghiệm (*)) Vì a.c < nên pt ln có nghiệm phân biệt ≠ Do đồ thị đường thẳng ln có giao điểm phân biệt A, B AB = ⇔ (xB – xA)2 + [(-xB + m) – (-xA + m)]2 = 16 ⇔ 2(xB – xA)2 = 16  m2 +  = ⇔ m = 24 ⇔ m = ±2 ⇔ (xB – xA) = ⇔  ÷   Hết ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Mơn thi : TỐN PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị (Cm), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình cos5x − 2sin 3x cos 2x − sin x =  x(x + y + 1) − =  Giải hệ phương trình (x + y) − + = (x, y ∈ R)   x2 dx Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x e −1 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Câu V (1,0 điểm).Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x – 2y – = 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z – (3 – 4i)= B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = Gọi I tâm (C) Xác định tọa · độ điểm M thuộc (C) cho IMO = 300 x+2 y−2 z = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: mặt phẳng (P): x + 2y – 3z 1 −1 + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng ∆ Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số y = x2 + x − hai điểm phân x biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung ]BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I m = 0, y = x4 – 2x2 TXĐ : D = R y’ = 4x – 4x; y’ = ⇔ x = ∨ x = ±1; xlim = +∞ →±∞ x −∞ −1 +∞ y' − + − + y +∞ +∞ y −1 CĐ −1 CT CT y đồng biến (-1; 0); (1; +∞) y nghịch biến (-∞; -1); (0; 1) y đạt cực đại x = −1 y đạt cực tiểu -1 x = ±1 x −1 Giao điểm đồ thị với trục tung (0; 0) Giao điểm đồ thị với trục hoành (0; 0); (± ;0) Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = -1 x4 – (3m + 2)x2 + 3m = -1 ⇔ x4 – (3m + 2)x2 + 3m + = ⇔ x = ±1 hay x2 = 3m + (*) Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 <  0 < 3m + < − < m < ⇔ ⇔  3m + ≠ m ≠  Câu II 1) Phương trình tương đương : cos5x − (sin 5x + sin x) − sin x = ⇔ cos5x − sin 5x = 2sin x π  ⇔ cos5x − sin 5x = sin x ⇔ sin  − 5x ÷ = sin x 3  2 π π ⇔ − 5x = x + k2 π hay − 5x = π − x + k2 π 3 π π 2π − k2 π ⇔ 6x = − k2π hay 4x = − π − k2 π = − 3 π π π π ⇔ x = − k hay x = − − k (k ∈ Z) 18 2) Hệ phương trình tương đương :  x(x + y + 1) =  x(x + y) + x =  ĐK : x ≠  ⇔ 2 2  x (x + y) + x =  (x + y) + = x  Đặt t=x(x + y) Hệ trở thành: t+x =3  t+x =3   t + x =  t =1  x =1 ⇔ ⇔ ⇔ ∨  2  t + x =  (t + x) − 2tx =  tx = x=2 t =2     x(x + y) =  x(x + y) =  y =1 y=− ∨ ⇔ ∨ Vậy  x=2  x =1  x =1 x=2  3 3 − ex + ex ex I=∫ dx = − ∫ dx + ∫ x dx = −2 + ln e x − Câu III : x e −1 e −1 1 = −2 + ln(e3 − 1) − ln(e − 1) = −2 + ln(e + e + 1) Câu IV C/ 2 2 AC = 9a − 4a = 5a ⇒ AC = a BC = 5a − a = 4a ⇒ BC = 2a M H hình chiếu I xuống mặt ABC Ta có IH ⊥ AC IA/ A/ M IH 4a / = = ⇒ = ⇒ IH = I / IC AC AA 3 B 11 4a 4a C VIABC = S ABC IH = 2a × a × = (đvtt) 32 Tam giác A’BC vuông B H Neân SA’BC= a 52a = a 2 / 2 Xét tam giác A’BC IBC, Đáy IC = A C ⇒ S IBC = S A/ BC = a 3 3 3V 4a 2a 2a = = Vaäy d(A,IBC) = IABC = S IBC 2a 5 2 2 Câu V S = (4x + 3y)(4y + 3x) + 25xy = 16x y + 12(x3 + y3) + 34xy = 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy = 16x2y2 – 2xy + 12 Đặt t = x.y, x, y ≥ x + y = nên ≤ t ≤ ¼ Khi S = 16t2 – 2t + 12 S’ = 32t – ; S’ = ⇔ t = 16 25 191 S(0) = 12; S(¼) = ;S( )= Vì S liên tục [0; ¼ ] nên : 16 16 25 Max S = x = y = 2   2+ 2− x = x = 191   4 Min S =  hay  2− 2+ 16 y = y =     4 PHẦN RIÊNG Câu VI.a 1) Gọi đường cao AH : 6x – y – = đường trung tuyến AD : 7x – 2y – = A = AH ∩ AD ⇒ A (1;2) M trung điểm AB ⇒ B (3; -2) BC qua B vng góc với AH ⇒ BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = ⇔ x + 6y + = D = BC ∩ AD ⇒ D (0 ; − ) A A D trung điểm BC ⇒ C (-uuu - 1) 3;r AC qua A (1; 2) có VTCP AC = (−4; −3) nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = ⇔ 3x – 4y + = x = − t uuu r  2) AB qua A có VTCP AB = (−1;1; 2) nên có phương trình :  y = + t (t ∈ ¡ )  z = 2t  D ∈ AB ⇔ D (2 – t; + t; 2t) uuu r uuu r r CD = (1 − t; t ; 2t) Vì C ∉ (P) nên : CD //(P) ⇔ CD ⊥ n ( P) 5  ⇔ 1(1 − t) + 1.t + 1.2t = ⇔ t = − Vậy : D  ; ; − 1÷ 2  2 Câu VI.b (x – 1) + y = Tâm I (1; 0); R = · · Ta có IMO = 300, ∆OIM cân I ⇒ MOI = 300 ⇒ OM có hệ số góc k = ± tg30 = ± x x2 =0 +k=± ⇒ pt OM : y=± vào pt (C) ⇒ x − 2x + 3 3 3 ⇔ x= (loại) hay x = Vậy M  ; ± ÷  2 Cách khác: Ta giải hình học phẳng · · OI=1, IOM = IMO = 300 , đối xứng ta có điểm đáp án đối xứng với Ox H hình chiếu M xuống OX Tam giác OM H nửa tam giác OI=1 => OH 3 Vaäy M  , 2 3 3 = ⇒ OM = , HM = = 3 3 3 3 ÷, M  , − ÷   2 O M1 I H M2 Gọi A = ∆ ∩ (P) ⇒ A(-3;1;1) uuu r uu r a ∆ = (1;1; −1) ; n ( P) = (1;2; −3) uu r uu uuu r r a d = a ∆ , n ( P)  = ( −1;2;1) nên pt d : d đđi qua A có VTCP   x + y −1 z −1 = = −1 Câu VII.a Gọi z = x + yi Ta có z – (3 – 4i) = x – + (y + 4)i Vậy z – (3 – 4i) = ⇔ (x − 3) + (y + 4) = ⇔ (x – 3)2 + (y + 4)2 = Do đđó tập hợp biểu diễn số phức z mp Oxy đường tròn tâm I (3; -4) bán kính R = x2 + x − Câu VII.b pt hoành độ giao điểm : (1) = −2x + m x ⇔ x2 + x – = x(– 2x + m) (vì x = không nghiệm (1)) ⇔ 3x2 + (1 – m)x – = phương trình có a.c < với m nên có nghiệm phân biệt với m Ycbt ⇔ S = x1 + x2 = − b = ⇔ m – = ⇔ m = a SĐT:0977467739 Hết BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THÚC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn thi: TỐN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm): Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x+2 2x + ( 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ O Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình ( − 2sin x ) cos x ( + 2sin x ) ( − s inx ) = Giải phương trình 3x − + − 5x − = ( x∈R) Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = π ∫ ( cos x − 1) cos x.dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có: ( x + y) + ( x + z) + 3( x + y) ( x + z) ( y + z) ≤ 5( y + z ) 3 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ :x + y − = Viết phương trình đường thẳng AB Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( S) : x ( P ) : 2x − 2y − z − = mặt cầu + y + z − 2x − 4y − 6z − 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo đường 2 trịn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = tính giá trị biểu thức A = |z1|3 + |z2|3 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : x + y + 4x + 4y + = đường thẳng ∆ : x + my − 2m + = , với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − 2y + 2z − = hai đường thẳng x +1 y z + x −1 y − z +1 = = ; ∆2 : = = Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 cho 1 −2 khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ khoăng cách từ M đến mặt phẳng (P) ∆1 : Câu VII.b (1,0 điểm) ( ) log x + y = + log ( xy )  Giải hệ phương trình  2 3x − xy + y = 81  ( x, y ∈ R ) -Hết - ĐÁP ÁN ĐỀ THI MƠN TỐN KHỐI A NĂM 2009 Câu I Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số + Tập xác định:với x ≠ − + y’ = −1 ( 2x + 3) < 0, ∀ x ≠ − 3 + Tiệm cận Vì lim x →∞ x+2 1 = nên tiệm cận ngang : y = 2x + 2 x+2 x+2 lim + = +∞; lim − = −∞ nên tiệm cận đứng : x = - Vì   2x +   2x + x →−  ÷ x →−  ÷  2  2 Bảng biến thiên:  2 Vẽ đồ thị: đồ thị cắt Oy  0; ÷ cắt Ox (-2; 0)  3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ O Ta có y ' = −1 ) là: nên phương trình tiếp tuyến x = x (với x ≠ − (2x + 3) y - f( x ) = f’( x )(x - x ) 2x + 8x + −x y= + (2x + 3) (2x + 3) Do tiếp tuyến cắt Ox A( 2x + 8x + ;0) cắt Oy B(0; 2x + 8x + ) (2x + 3) Tam giác OAB cân O ⇔ OA = OB (với OA > 0) ⇔ x A = y B ⇔ 2x + 8x + = 2x + 8x + (2x + 3)  x = −1(L) ⇔ (2x + 3) = ⇔ 2x + = ±1 ⇔   x = −2 (TM) Với x = −2 ta có tiếp tuyến y = x Câu II 1.Giải phương trình : Giải : ( − 2sin x ) cos x ( + 2sin x ) ( − s inx ) = π −5π    x ≠ − + k2π; x ≠ + k2π s inx ≠ −  2⇔ ĐKXĐ:  s inx ≠  x ≠ π + 2lπ    Phương trình ⇔ cosx - 2sinxcosx = ⇔ cosx – sin2x = (1 – sinx + 2sinx – 2sin2x) 3+ sinx - sin2x ⇔ − sinx + cosx = sin2x + = sin2x + (1 – 2sin x) cos2x ⇔ - sin x + cos x = sin 2x + cos 2x 2 2 ⇔ sin x.cos 5π 5π π π + cos x.sin = sin 2x.cos + cos 2x.sin 6 3 5π  π   ⇔ sin  x + ÷ = sin  2x + ÷  3   5π π   x + = 2x + + m2π ⇔  x + 5π = π − 2x − π + n2π   π π    − x = − + m2π  x = − m2π ⇔ ⇔ 3x = − π + n2π  x = − π + n 2π   18   Kết hợp với đkxđ ta có họ nghiệm pt là: x= − π 2π +n ( n ∈ Z) 18 Giải phương trình : 3x − + − 5x − = Đkxđ: − 5x ≥ ⇔ x ≤ (*) ( x∈R) − 2u   u = 3x −   u = 3x − 2u + 3v = v = (v ≥ 0) ⇒  ⇒ ⇒ Đặt   v = − 5x 5u + 3v = 5u + 3v =  v = − 5x    ⇒ 15u + 64 − 32u + 4u − 24 = ⇔ 15u + 4u − 32u + 40 = ⇔ (u + 2)(15u − 26u + 20) =  u = −2 ⇔ 2 15u − 26u + 20 = vô n ∆ ' = 13 − 15.20 < ⇔ u = −2 ⇒ x = −2 (tm) Vậy phương trình có tập nghiệm S={-2} π ( ) Câu III.Tính tích phân I = cos3 x − cos x.dx Ta có: ∫ π π 0 I = cos5 x.dx − cos x.dx ∫ ∫ π 1 π  Ta có: I2 = cos x.dx = (1 + cos2x).dx =  x + sin 2x ÷ = ∫ 2 0 2∫ 0 π π π π 0 Mặt khác xét I1 = cos5 x.dx = cos x.cosx.dx ∫ ∫ π π 1  2sin x + sin x ÷ = = ∫ (1 − sin x) d(sin x) =  sin x − 5  15 2 Vậy I = I1 – I2 = π − 15 Câu IV.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giải: Vì (SBI)và (SCI)vng góc với (ABCD) nên SI ⊥ (ABCD) Ta có IB = a 5; BC = a 5; IC = a 2; Hạ IH ⊥ BC tính IH = 3a ; Trong tam giác vng SIH có SI = IH tan 600 = 3a 15 SABCD = SAECD + SEBC = 2a + a = 3a (E trung điểm AB) 1 3a 15 3a 15 V = SABCDSI = 3a = 3 5 Câu V.Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có: 3 ( x + y ) + ( x + z ) + ( x + y ) ( x + z ) ( y + z ) ≤ ( y + z ) Giải: Từ giả thiết ta có: x2 + xy + xz = 3yz ⇔ (x + y)(x + z) = 4yz Đặt a = x + y b = x + z Ta có: (a – b)2 = (y – z)2 ab = 4yz Mặt khác a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b)2 2 ≤ 2(a + b ) ( a − b ) + ab    = 2  (a − b) + 2ab  ( a − b ) + ab     =  (y − z) + 2yz  ( y − z ) + 4yz     =  (y + z) + 4yz  ( y + z )   2 ≤ 4(y + z) ( y + z ) = 2(y + z) (1) Ta lại có: 3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z) ≤ 3(y + z)2 (y + z) = 3(y + z)3 (2) Cộng vế (1) (2) ta có điều phải chứng minh Câu VI a 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ :x + y − = Viết phương trình đường thẳng AB Giải: Gọi N điểm đối xứng với M qua I, F điểm đối xứng vơi E qua I Ta có N ∈ DC , F ∈ AB, IE ⊥ NE Tính N = (11; 1) Giả sử E = (x; y), ta có: uuu r uu r IE = (x – 6; y – 2); NE = (x – 11; y + 1) r uu uuu r 2 IE NE = x – 17x + 66 + y – y – = (1) E ∈ ∆ ⇒x + y – = (2) Giải hệ (1), (2) tìm x1 = 7; x2 = Tương ứng có y1 = 2; y2 = 1 ⇒ E1 = (7; 2); E2 = (6; 1) Suy F1 = (5; 6), F2 = (6; 5) Từ ta có phương trình đường thẳng AB x – 4y + 19 = y = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( S) : x ( P ) : 2x − 2y − z − = mặt cầu + y + z − 2x − 4y − 6z − 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác 2 định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn Giải: Mặt cầu có tâm I(1;2;3) bán kính R=5 Khoảng cách từ tâm I đến mp (P) d(I;(P)) = 2.1 − 2.2 − − 4 + +1 =3 Vì d(I;(P))