THÔNG TIN TÀI LIỆU
danghoa949@gmail.com -1 111Equation Chapter Section Chuyên đề 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Để góp phần tìm hiểu nhiều vấn đề chứng minh bất đẳng thức chương trình Tốn THPT , xin nêu số phương pháp giải tốn mang tính minh họa I.-Phương pháp phản chứng -Phương pháp phản chứng sử dụng nhiều tốn Logic, tốn đại số hình hình,về gồm bước: Tuy nhiên trng dạng P � Q ta vận dụng : P � Q - đúng, hay : B � P - -Sau xin giới thiệu vài toán liên quan abc abc � 3 1- Bài toán 1: Cho a �0 , b �0 , c �0 , : -Giải abc a2 b2 c2 3 +Giả sử , : +Ta có: ( dạng B � P 2 2 �a b c � a b c � � � � � (a b c) 3(a b c ) � 3( a b c ) ( a b c) � 3a 3b 3c a b c 2ab 2bc 2ca � 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca � (a b) (b c) (c a ) (*) 2 -Do (a b) , (b c) , (c a) �0 , nên (*) xảy abc a b2 c2 3 hay : xảy abc abc � 3 Vậy: 2 ( a b ) ( b c ) ( c a ) 0 2-Bài toán : Chứng minh rằng, a b c �ab bc ca (1) : -Giải (1) danghoa949@gmail.com -2 a b c ab bc ca +Giả sử : +Ta có : 2 (a b c )2 (ab bc ca) � a b c ab bc ca a b c ab bc ca 2 2 2 � a b ab b c bc c a 2ca � � 4� � a b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ab � � � 2 � � a b (b c) (c a) � �a b (b c)2 (c a) �� �� � (a b)2 (b c) (c a)2 (i) � (*) (a b)2 (b c)2 (c a) (ii) -Từ đẳng thức (*) dể thấy : 2 Từ (i) : (a b) (b c) (c a) (mâu thuẫn với giả thiết) 2 Từ (ii) : (a b) (b c) (c a ) � ab bc ca � abc0 � (a b) (b c ) (c a ) ( mâu thuẫn với giả thiết) a b2 c ab bc ca Vậy : a b c �ab bc ca Hay : II.-Phương pháp qui nạp -Phương pháp qui nạp dùng nhiều tốn dãy số, cấp số Thơng thường có bước : Kiểm tra mệnh đề với P(n0) , Giả sử mệnh đề với P(k),Chứng minh mệnh đề bước P(k+1) Kết luận : Vậy mệnh đề với k -Xin giới thiệu vài toán dạng n 1 n 1-Bài toán 1: Chứng minh : n (n 1) với n ≥ (1) -Giải 31 +Khi n = : (1) � (3 1) � 81 64 -bất đẳng thức n = k 1 k +Giả sử (1) với n = k , : k (k 1) (2) +Ta chứng minh (1) với n = k+1, : (k 1)( k 1) 1 (k 1) 1 k 2 k 1 hay : (k 1) (k 2) k 1 (3) danghoa949@gmail.com -3 k Thật : Từ (2): �k k 1 k 1 (k 1) k k 2 (k 1) k k ( k 1) (k 1) k k 1 k k 1 � (k 1) k 2 � (k 1) k 2 � (k 1) k 2 � (k 1) k 2 (k 1) 2( k 1) k k 1 k 1 � (k 1) � � � � k � k 1 �k 2k � � � � k � k 1 1� � �k � (k 2) k 1 k� � (3) n 1 n Vậy : n (n 1) với n ≥ 2-Bài toán 2: Chứng minh với n nguyên dương ta ln có: 2n 1 2n 2n (1) -Giải 1 2.1 - bất đẳng thức n = +Khi n = : 2k 1 (2) k k +Giả sử (1) dúng n = k , : (1) � +Ta chứng minh (1) n = k +1, : 2( k 1) 1) 2(k 1) 2(k 1) 1 2k 1 (3) k 2 k hay : 2k 1 2k 2k Thật , từ (2) : � 2k 2k 1 2k 2k 2k 2(k 1) 2k 2(k 1) 4(k 2k 1) 2 2 Do : 4(k 2k 1) 4k 8k 4k k (k 4) 4k 7k (2k 1)(2k 3) 2k Nên : 4(k 2k 1) 2k 1 (2k 1)(2k 3) 2k (3) danghoa949@gmail.com -4 2k 1 2k 2k Hay : 2n 1 2n 2n - với n nguyên dương Vậy : 3-Bài toán : Cho 4(n 1) (n N , n 2) Chứng minh rằng: tan n n tan -Giải 4(2 1) (1) trở thành: +Khi n = , với tan tan tan 2 tan tan tan tan tan � tan � tan 0 -Do Nên tan hay tan 2 tan -bất đẳng thức n = (2) +Giả sử (1) n =k ( k >2) , : tan k k tan +Ta chứng minh (1) : n = k+1 (k>2), : (3) 4k tan( k 1) (k 1) tan Với tan k tan tan(k 1) tan tan k , Thật vậy: Do tan k k tan � k � tan k - mặt khác : � tan tank tan k tan k tan tan ( k 1) tan tan tan k tan tank Nên : � tan(k 1) (k 1) tan (3) 4(n 1) Vậy: tan(n ) n tan ,với tan( k 1) III.-Phương pháp dùng BĐT Cauchy danghoa949@gmail.com -5 -Bất đẳng thức Cauchy –trong chương trình THPT , bao gồm số dạng sau: ab � ab - dấu = xảy a = b a bc a, b, c �0 : � a.b.c - dấu = xảy a = b = c a1 a2 an n a1 , a2 , , an �0 : � a1.a2 an n a, b �0 : - dấu = xảy a1 = a2 =………= an -Xin giới thiệu vài toán dạng 1-Bài toán 1: 2 Cho a,b,c số dương a b c a b c 3 � 2 2 Chứng minh : b c c a a b (1) -Giải a2 b2 c2 3 � � (a b2 c ) 2 2 2 a (1 a ) b(1 b ) c(1 c ) +Do a b c nên (1) 2 +Do a>0 , b>0, c>0 a b c ,nên < a,b,c < Gọi x �(0;1) , ta chứng minh : x �(0;1) ta ln có : 3 � x(1 x ) 3 � � x(1 x ) � � x (1 x ) � 2 27 3 Khi đó: x(1 x ) (*) Đề chứng minh (*), áp dụng BĐT Cauchy cho số : 2x2 , (1- x)2, (1- x2)2 , : �2 x x x � x (1 x )(1 x ) �� � x (1 x )(1 x )2 � � 27 � � 27 2 2 a2 b2 c2 3 � (a b c ) 2 2 Từ : a(1 a ) b(1 b ) c(1 c ) a2 b2 c2 3 � 2 2 2 b c a c a b Hay : danghoa949@gmail.com -6 2-Bài toán 2: Cho a,b,c > a + b + c =1 ab bc ca � Chứng minh : -Giải +Áp dụng lần BĐT Chauchy cho số, được: ab ab (a b) � 3 2 bc bc (b c ) � 3 2 ca ca (c a) � 3 Cộng vế tương ứng, được: � Vậy : 2( a b c) (a b c) 2 a b b c c a �1 a b b c c a �2 ab bc ca � 3-Bài toán 3: Cho số a,b,c > 3 2 Chứng minh : a b c �a bc b ca c ba (1) -Giải +Áp dụng lần BĐT Cauchy cho số ,ta được: a abc �2 a 4bc 2a bc b3 abc �2 b ac 2b ac c3 abc �2 c ab 2c ab Cộng vế tương ứng, được: a b3 c3 3abc �2( a bc b ca c ab ) ,do a b c �3abc 3 3 3 Nên: 2(a b c ) �a b c 3abc �2(a bc b ca c ab ) 3 2 Vậy : a b c �a bc b ca c ba danghoa949@gmail.com -7 IV.-Phương pháp dùng tam thức bậc hai -Tính chất tam thức bậc hai : f(x) = ax2 + bx + c ,được ứng dụng rộng rãi toán bất đẳng thức; ta xem xét vài trường hợp a)- Vận dụng tính chất : b �a.c �f ( x) �0 � a 0, �0 � b)-Vận dụng tính chất : �f ( x) �0 � a 0, �0 c)-Vận dụng tính chất : f(x) có nghiệm x1 < x2 c : a.f(c) < -Sau xin giới thiệu vài toán dạng a , a , a ,b ,b ,b 1-Bài toán 1: Cho số 3 ,sao cho : f ( x ) a12 a22 a32 x 2(a1b1 a2b2 a3b3 ) x (b12 b22 b32 ) �0 a b a b a b �a a a Chứng minh : 1 2 3 -Giải +Biến đổi tương đương (1), được: 2 2 b b b 2 (1) (2) f ( x) a1 x 2a1b1 x b12 a2 x 2a2b2 x b22 a3 x 2a3b3 x b32 a1 x b1 a2 x b2 a3 x b3 Cho thấy : x R : f ( x) 2 a1 x b1 a2 x b2 a3 x b3 � x -Đẳng thức xảy : b1 b2 b3 a1 a2 a3 -Để chứng minh (2) ta xét �0 Do f ( x) �0 nên ' �0 ' a1b1 a2b2 a3b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32 �0 a1b1 a2b2 a3b3 � a12 a22 a32 b12 b22 b32 a1b1 a2b2 a3b3 � a12 a22 a32 b12 b22 b32 � Vậy : 2 2-Bài toán 2: Cho x y (1) Chứng minh : x y �5 (2) Giải 2x y +Từ (1) cho ta: �5 x � 2x 3� ��5 � � +Thay vào (2), : danghoa949@gmail.com -8 � x 25 20 x x 15 �0 2 � x x �0 � ( x 1) �0 (2 ') Bất dẳng thức (2’) , suy (2) 3-Bài toán 3: Cho b > n số thực dương a1,a2,… an , cho: n n c1 �ak c2 �ak n n 1 với k = 1,2,3,….,n Đặt a ak b c2 (a b)2 � c 4ab Chứng minh : Giải +Xét tam thức f ( x) x ( a b) x a.b , ln có nghiệm : x1 a x2 b a �ak �b +Do f ( a ) a (a b)ak ab �0 k k , ta có : � ak2 ab �(a b)ak (*) Cho k = 1,2,… ,n cộng vế đẳng thức tương tự với (*) , được: n �a n k n.ab �(a b)�ak n Áp dụng BĐT Cauchy cho số n �a k �a k n.ab , lại được: n n.ab �2 ( �ak2 ).nab �n � � ۣ nab �ak � �1 � n (a b)�ak n �n � � � 4� ak � nab (a b) � ak � � � �1 � �1 � n n�ak2 (a b) 4ab �n � a �k � � �1 � c2 (a b) � c 4ab Vậy : c2 c1 ( a b) 4ab danghoa949@gmail.com -9 V.-Phương pháp giải tích -Một số bất đẳng thức chứng minh dựa theo tính chất giải tích sau: +Với điểm A,B,C , ln có: AB BC AC r r r r r r a �b �a b +Với vecto a , b , ln có : , Khi thay biểu thức tọa a1 �b1 độ: a2 �b2 � a12 a22 b12 b22 -Vận dụng tính chất ta xét số toán sau: 1-Bài toán 1: Cho x, y �R Chứng minh : x xy y x xz z � y yz z Giải Biến đổi tương đương (1) , được: 2 2 � y � �y � � z � �z � x x � y yz z � � � � � � � � � � � � � 2� �2 � � 2� �2 � (1’) 2 r � y y 3� r � y � �y � a� x � � � �x ; � �� a � 2� � � � � � � � -Đặt 2 r � z z 3� r � z � �z � b� ( x ); x � � � � �� b � �2 � � 2 � � � � � � r r �y z ( y z ) � r r 2 � � ab � ; � a b ( y z ) 3( y z ) � � � �2 � � � Ta : -Do tính chất r r r r a b �a b y yz z ,ta suy : 2 � y � �y � � z � �z � 2 x � y yz z � � � �x � � � � � � � � 2� � �2 � � 2� �2 � Hay : (1’) x xy y x xz z � y yz z 2-Bài toán 2: Cho a,b,c,d số thỏa mãn: � a b 2(a b) (*) � �2 c d 36 12(c d ) (**) � (1) Chứng minh : danghoa949@gmail.com -10 1 � a c b d � 1 2 (1) Giải 2 -Từ (*): Gọi M(a;b) thỏa mãn : a b 2b 2c M( C1) có phương trình 2 x 1 y 1 , có tâm I1(1;1) R1 =1 2 -Từ (**): Gọi N(c;d) thỏa mãn : c d 12c 12d 36 N( C2) có phương trình : x 6 y 36 , có tâm I2(6;6) R2 =36 -Khi bất đẳng thức (1) tương đương: �MN �5 (1’) Cho biết đường thảng I1I2 cắt (C1) M1, M2 cắt (C2) N1,N2 Xác định độ dài sau: OM , OM ON1 6( 1), ON 6( 1) M N1 ON1 OM 6( 1) ( 1) Và M N ON OM 6( 1) ( 1) MN a c bd Khi M1N2 độ dài lớn MN, M2N1 độ dài lớn MN, nên: M N1 �MN �M N 16 14 N2 12 10 I2 N1 M2 I1 M1 -5 10 15 20 25 danghoa949@gmail.com -11 � a c b d �5 Tù ta có : � 1 � a c b d � 2 1 � a c b d � 1 2 Vậy : Xin cảm ơn q Thầy , Cơ em học sinh quan tâm tìm hiểu chuyên đề danghoa949@gmail.com ... (k 1) tan Với tan k tan tan(k 1) tan tan k , Thật vậy: Do tan k k tan � k � tan k - mặt khác : � tan tank tan k tan k tan tan (... 1) tan tan tan k tan tank Nên : � tan(k 1) (k 1) tan (3) 4( n 1) Vậy: tan(n ) n tan ,với tan( k 1) III.-Phương pháp dùng BĐT Cauchy danghoa 949 @gmail.com... toán : Cho 4( n 1) (n N , n 2) Chứng minh rằng: tan n n tan -Giải 4( 2 1) (1) trở thành: +Khi n = , với tan tan tan 2 tan tan tan tan tan
Ngày đăng: 22/05/2019, 10:12
Xem thêm: