SKNN

Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Nhân dân ta có truyền thống hiếu học, có ý chí học tập vươn lên. Tinh thần tất cả vì tương lai con em, sẵn sàng chịu khó, chịu khổ nuôi con học tập nên người, đã trở thành truyền thống, tập quán của dân tộc. Tinh thần đó đã tạo nên những nguồn lực nhất định mà toàn xã hội đã và đang giải quyết những mâu thuẫn giữa quy mô và điều kiện phát triển giáo dục. Đặc biệt trong giai đoạn phát triển khoa học công nghệ hiện nay, trình độ tri thức của con người từng bước được cải thiện và phát triển rõ rệt. Đáp ứng nhu cầu học tập của mọi người dân bằng mọi nguồn lực là phù hợp với nguyện vọng, với truyền thống hiếu học của nhân dân. Vì thế trong dạy học người giáo viên cần tạo cho học sinh phát triển năng lực trí tuệ, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập, biết nhận biết vấn đề ở từng góc độ khác nhau,tìm tòi những cái cũ trong cái mới, cái mới trong cái cũ để từng bước hình thành kiến thức mới. Để phát huy tính tực của học sinh, người giáo viên phải đặt học sinh vào những tình huống có vấn đề tạo cho các em những thách thức trước những vấn đề mới. Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải bài toán. Từ thực tế giảng dạy, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian, giúp các em cảm thấy thoải mái tiếp thu và chủ động giải quyết các bài toán hình học không gian.Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn được cùng chia sẻ cùng đồng nghiệp, đồng môn ; để góp phần cùng cộng đồng trách nhiệm, chung sức để tìm ra biện pháp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán tại các trường vùng sâu, vùng xa như trường THPT Thanh Bình. II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 1. Thuận lợi Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chưng trình lớp 11, làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng và khoảng cách giữa một số đối tượng trong hình học không gian. Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu. Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình học lớp 12, một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian. 2. Khó khăn Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết bài toán mà các em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính xác, dôi lúc không phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là phần cần chứng minh. Do đó kết quả không như mong đợi. Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12. Do chưa tìm ra được phương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng thú trong học tập.Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm cao của cả thầy và trò. 1 Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam 3. Số liệu thống kê. Qua thống kê sơ bộ điểm môn toán của 2 lớp; 1 12A ; 10 12A năm học 2007 - 2008, lớp 3 12A ; 8 12A , năm học 2008 - 2009, cụ thể là kết qủa 2 bài kiểm tra như sau : + Bài kiểm tra một tiết (2007 - 2008 ), trong 92 bài kiểm tra có : • 5 bài diểm 8 tỷ lệ 5,4 % • 14 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 15,2 % • 27 bài điểm 5 tỷ lệ 29,4 % • 46 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 50,0 % + Bài kiểm tra một tiết (2008 - 2009 ), trong 90 bài kiểm tra có : • 7 bài diểm 8 tỷ lệ 7,8 % • 19 bài điểm 6, 7 tỷ lệ 21,1 % • 26 bài điểm 5 tỷ lệ 28,9 % • 38 bài điểm dưới 5 tỷ lệ 42,2 % Trong các lớp tôi được nhà trường phân công giảng dạy có đến 60 % học sinh có kết quả môn toán cuối năm học 2006 - 2007 xếp loại trung bình yếu. Qua tìm hiểu, tôi cảm nhận được rằng trong số những em có học lực yếu cũng có những em có kỹ năng tính toán tương đối tốt nhưng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải toán còn qúa hạn chế . III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lý luận Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp toạ độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá và trừu tương hoá toán học trong nhiều lĩnh vực. Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm : • Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán • Bước 2 : Xây dựng thuật giải • Bước 3 : Thực hiện thuật giải • Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa là biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm, toạ độ vectơ và các công thức có liên quan vào giải toán. Để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ ta thực hiện theo các bước sau : • Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, chú ý đến vị trí của gốc O, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích • Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên. • Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất hình học tương ứng. Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng 2 Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam dẫn các em làm quen dần với việc giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ. Các dạng toán thường gặp : • Độ dài đoạn thẳng • Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng • Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng • Khoảng cách giữa hai đường thẳng • Góc giữa hai đường thẳng • Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng • Góc giữa hai mặt phẳng • Thể tích khối đa diện • Diện tích thiết diện • Chứng minh các quan hệ song song, vuông góc. 2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài Trong chương III - §1 sách giáo khoa (SGK) hình học 12 nâmg cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), NXBGD 2008, đã nêu định nghĩa và một số tính chất sau : Tọa độ của cá vectơ đơn vị : Năm 2008, tôi thực hiện chuyên đề : “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình” và đã nhận được nhiều góp ý của quý Thầy trong Hội đồng chuyên môn của Sở. Lần này, tôi cố gắng tìm hiểu sâu hơn về một nội dung :” Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian”làm sơ sở ôn tập cho học sinh lớp 12, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi vào cuối năm học a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian M z k j O x i 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho : );;( . zyxvkzjyixv =⇔++= );;( . zyxMkzjyixOM =++= Với : ),;( 321 aaaa = và );;( 321 bbbb = , ta có : • ),cos( . bababa = • 332211 . babababa ++= • 2 2 2 1 2 3 a a a a= + + r • 00. 332211 =++⇔=⇔⊥ bababababa Tích có hướng của hai vectơ • [ ba, ] );;( 122131132332 babababababa −−−= • ,a b a   ⊥   r r r ; ,a b b   ⊥   r r r • a cùng phương với ⇔ b [ ba, ] O= • , ,a b c r r r đồng phẳng , 0a b c   ⇔ =   r r r M 1 y ( ) 1;0;0i = r ( ) 0;1;0j = r ( ) 0;0;1k = r Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam Ta có : , , Ox Oy Oz vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể : Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ''''. DCBAABCD Với hình lập phương . Chọn hệ trục tọa độ sao cho : (0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a a a '(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )A a B a a C a a a a a Với hình hộp chữ nhật. Chọn hệ trục tọa độ sao cho : (0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)A B a C a b b '(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)A c B a c C a b c b Với hình hộp đáy là hình thoi ''''. DCBAABCD Chọn hệ trục tọa độ sao cho : - Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD - Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao SO h= Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông Khi đó :                 − 0;0; 2 2 ;0;0; 2 2 a C a A 2 2 0; ;0 ; 0; ;0 ; (0;0; ) 2 2 a a B D S h     −  ÷  ÷  ÷  ÷     Với hình chóp tam giác đều S.ABC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng h . Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0) Khi đó : ;0;0 ; ;0;0 2 2 a a A B     −  ÷  ÷     A B C D D’ C A’ B’ O O’ x y 4 B’ A D C B D’ A’ C’ y z x z B D C A O S x y z B H C A I S x y z Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam 3 3 0; ;0 ; S 0; ; 2 6 a a C h      ÷  ÷  ÷  ÷     Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD) ABCD là hình chữ nhật ;AB a AD b= = chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đó : ( ) ( ) ;0;0 ; ; ;0B a C a b ( ) 0; ;0 ; (0;0; )D b S h Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA ⊥ (ABCD) ABCD là hình thoi cạnh a chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0) Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ∆ ABC vuông tại A Tam giác ABC vuông tại A có ;AB a AC b= = đường cao bằng h . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đó : ( ) ( ) ;0;0 ; C 0; ;0B a b ( ) S 0;0;h Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ∆ ABC vuông tại B Tam giác ABC vuông tại B có ;BA a BC b= = đường cao bằng h . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0) Khi đó : ( ) ( ) ;0;0 ; C 0; ;0A a b 5 B D C A O S x y z B D C A O S x y z B C A S x y z z B C A S x y Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam ( ) S ;0;a h Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân tại S và ∆ ABC vuông tại C ∆ ABC vuông tại C ;CA a CB b= = chiều cao bằng h H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho C(0;0;0) Khi đó : ( ) ( ) ;0;0 ; B 0; ;0A a b ( ; ; ) 2 2 a b S h Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân tại S và ∆ ABC vuông tại A ∆ ABC vuông tại A ;AB a AC b= = chiều cao bằng h H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đó : ( ) ( ) ;0;0 ; C 0; ;0B a b (0; ; ) 2 a S h Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân tại S và ∆ ABC vuông cân tại C Tam giác ABC vuông cân tại C có CA CB a = = đường cao bằng h . H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0) Khi đó : ;0;0 ; A 0; ;0 2 2 a a C      ÷  ÷     6 B C A H S x y z B H C A H S x y z B C A S x y z Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam ( ) B 0; ;0 ; S 0;0; 2 a h   −  ÷   b. Bài tập áp dụng Bài toán 1. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi γβα , , lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh rằng : 1coscoscos 222 =++ γβα ( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : )0;0;0(O ; )0;0;(aA ; )0;;0( bB );0;0( cC ; )0 ; ; ( baAB −= ) ; 0 ; ( caAC −= Tìm vectơ pháp tuyến của : • Mặt phẳng (ABC) • Mặt phẳng (OBC) • Mặt phẳng (OCA) • Mặt phẳng (OAB) [ ] ) ; ; (, abacbcACABn == )0 ,0 ,1 ( = i vì : )(OBCOx ⊥ )0 ,1 ,0 ( = j vì : )(OCAOy ⊥ )1 ,0 ,0 ( = k vì : )(OABOz ⊥ Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng: ( ) )(),(coscos ABCOBC = α ( ) )(),(coscos ABCOBC = β ( ) )(),(coscos ABCOBC = γ 222222 . cos baaccb cb ++ = α 222222 . cos baaccb ac ++ = β 222222 . cos baaccb ba ++ = γ Kết luận 1coscoscos 222222 222222 222 = ++ ++ =++ baaccb baaccb γβα Bài toán 2. Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau : Cho hình lập phương ''''. DCBAABCD có cạnh bằng a. a.Chứng minh rằng đường chéo CA' vuông góc với mặt phẳng )''( DAB b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo CA' và mặt phẳng )''( DAB là trọng tâm của tam giác ''DAB . c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng )''( DAB và )'( BDC d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng )'( CDA và )''( AABB ( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) 7 x y z γ A B C C’ O Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : )0;0;0(AO ≡ ; );0;0(' aA )0;0;(aB ; );0;(' aaB )0;;( aaC ; );;(' aaaC )0;;0( aD ; );;0(' aaD a. Chứng minh : )''(' DABCA ⊥ Nếu )''(' '' '' DABCA ADCA ABCA ⊥⇒    ⊥ ⊥ Ta có :        = = −= );;0(' );0;(' );;(' aaAD aaAB aaaCA Vì    ⊥ ⊥ ⇔      =−+= =−+= '' '' 00'.' 00'.' 22 22 ADCA ABCA aaADCA aaABCA Nên )''(' DABmpCA ⊥ b. Chứng minh : G là trọng tâm của tam giác ''DAB Phương trình tham số của đường thẳng CA' )(:' Rt taz ty tx CA ∈      −= = = Phương trình tổng quát của mặt phẳng )''( DAB 0:)''( =−+ zyxDAB Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng )''( DAB [ ] );;(',' 222 1 aaaADABn −−== Gọi )''(' DABCAG ∩= Toạ độ giao điểm G của đường thẳng CA' và mặt phẳng )''( DAB là nghiệm của hệ :          = = = ⇔        =−+ −= = = 3 2 3 3 0 a z a y a x zyx taz ty tx       3 2 ; 3 ; 3 aaa G (1) 8 B’ A B C D D’ A’ C’ G  x y z Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam Mặt khác :          = ++ = = ++ = = ++ = 3 2 3 33 33 '' '' '' azzz z ayyy y axxx x DBA G DBA G DBA G (2) So sánh (1) và (2), kết luận Vậy giao điểm G của đường chéo CA' và mặt phẳng )''( DAB là trọng tâm của tam giác ''DAB c. Tính ( ) )'(),''( BDCDABd Phương trình tổng quát của mặt phẳng )'( BDC 0:)'( =−−+ azyxBDC Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng )'( BDC [ ] );;(',' 222 2 aaaDCBCn −== Ta có : 0:)''( =−+ zyxDAB 0:)'( =−−+ azyxBDC ⇒ )''( DAB // )'( BDC ⇒ ( ) ( ) 3 )''(,)'(),''( a DABBdBDCDABd == d. Tính ( ) )''(),'(cos AABBCDA ⇒⊥ )''( AABBOy Vec tơ pháp tuyến của )''( AABB là )0 ; 1 ; 0( = j Vectơ pháp tuyến của )'( CDA : [ ] )1;1;0();;0(,' 222 3 −=−== aaaDCDAn Vec tơ pháp tuyến của )''( AABB là )0 ; 1 ; 0( = j Vectơ pháp tuyến của )'( CDA : )1;1;0( 3 −= n ( ) 2 1 )''(),'(cos = AABBCDA ⇒ ( ) o AABBCDA 45)''(),'( = Bài toán 3. Cho hình lập phương ''''. DCBAABCD có cạnh bằng a. Chứng minh hai đường chéo ''DB và BA' của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ''DB và BA' Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : )0;0;0(AO ≡ ; );0;0(' aA ; )0;;0( aB ; );;0(' aaB )0;;( aaC ; );;(' aaaC )0;0;(aD ; );0;(' aaD Chứng minh ''DB và BA' chéo nhau, ta chứng minh ba vectơ ',';'' BBBADB không đồng phẳng. Cần chứng minh tích hỗn hợp của ba vectơ Ta có : )0;;('' aaDB −= );;0(' aaBA −= ; );0;0(' aBB = [ ] );;(','' 222 aaaBADB = [ ] 0'.','' 3 ≠= aBBBADB ⇒ ba vectơ ',';'' BBBADB không đồng phẳng. 9 A B C D D’ A’ B’ C’ x y z Vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Nguyễn Thanh Lam ',';'' BBBADB khác 0 hay ''DB và BA' chéo nhau. Tính ( ) BADBd ','' ( ) ]',''[ '.]',''[ ','' BADB BBBADB BADBd = ( ) 3 3 3 ','' 2 3 444 3 a a a aaa a BADBd == ++ = Bài toán 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết )0;0;2(A ; )0;1;0(B ; )22;0;0(S . Gọi M là trung điểm của SC . 1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM 2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : )0;0;0(O ; )0;0;2(A ; )0;1;0(B ; )22;0;0(S Ta có : )0;0;2( − C ; )0;1;0( − D ; )2;0;1( − M ( ) 22;0;2 −= SA ; ( ) 2;1;1 −−= BM 1a.Tính góc giữa SA và BM Gọi α là góc giữa SA và BM Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng. Ta có : ( ) 2 3 . ,coscos === BMSA BMSA BMSA α o 30 =⇒ α 1b. Tính khoảng cách giữa SA và BM Chứng minh SA và BM chéo nhau Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau )2;0;22(],[ −−= BMSA ; )0;1;2( −= AB 024].,[ ≠= ABBMSA 3 62 48 24 ],[ ].,[ ),( = + == ABSA ABBMSA BMSAd 2. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. Dễ dàng nhận thấy : )()( SCDABMMN ∩= AMNSABMSABMNS VVV . += Trong đó : SBSMSAV ABMS ].,[ 6 1 . = SNSMSAV AMNS ].,[ 6 1 . = ⇒ CDABMN //// N là trung điểm của SD Toạ độ trung điểm N       − 2; 2 1 ;0 )22;0;2( −= SA ; )2;0;1( −− SM )22;1;0( −= SB ; )2;0;1( −− SM )0;24;0(],[ =⇒ SMSA 3 22 6 24 ].,[ 6 1 . === SBSMSAV ABMS A C D S N M O 10 B x y z