ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP10 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP10 Năm học : 2018-2019 Mơn thi: TỐN (không chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút Bài (1 điểm) Biết x y x y y x y) x y x 2 x Bài 2: (2 điểm) a) Giải phương trình y x y y Tính x y x y x 2x2 x x( x 7) 3 x x 3 x 1 y x 3 b) Giải hệ phương trình 2 x 1 y y y Bài 3: (2 điểm ) Cho phương trình x2 x 3m 11 0(1) a) Với giá trị m phương trình (1) có nghiệm kép ? Tìm nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 cho 2017 x1 2018x2 2019 Bài 4: (2 điểm) a) Đầu tháng năm 2018, vào vụ thu hoạch, giá dưa hấu bất ngờ giảm mạnh Nông dân A cho biết sợ dưa hỏng nên phải bán 30% số dưa hấu thu hoạch với giá 1500 đồng kilogam ( 1500d / kg ), sau nhờ phong trào “giải cứu dưa hấu” nên may mắn bán hết số dưa lại với giá 3500đ/1 kg; trừ tiền đầu tư lãi triệu đồng (khơng kể cơng chăm sóc tháng nhà) Cũng theo ông A, sào đầu tư (hạt giống, phân bón….) hết triệu đồng thu hoạch dưa hấu Hỏi ông A trồng sào dưa hấu b) Một khu đất hình chữ nhật ABCD ( AB CD) có chu vi 240 mét chia thành hai phần khu đất hình chữ nhật ABMN làm chuồng trại phần lại làm vườn thả để ni gà (M, N thuộc cạnh AD, BC) Theo quy hoạch trang trại ni 2400 gà, bình qn gà cần mét vng diện tích vườn thả diện tích vườn thả gấp lần diện tích chuồng trại Tính chu vi khu đất làm vườn thả Bài 5: (3 điểm) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T) tâm O, bán kính R, CAD 450 , AC vng góc với BD cắt BD I, AD BC Dựng CK vng góc với AD K AD , CK cắt BD H cắt (T) E E C a) Tính số đo góc COD Chứng minh điểm C, I, K, D thuộc đường tròn AC BD b) Chứng minh A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE Tính IK theo R c) IK cắt AB F Chứng minh O trực tâm tam giác AIK CK.CB CF.CD www.MATHVN.com ĐÁP ÁN Bài x y x y x y x y x x y y x y x y xy x y xy y yx x x y 2x y xy x y 2( x y ) 3( x y ) x y xy xy x y xy xy x y x y 1 x y xy xy x y xy x y 0 x y x 1 y x Vậy y Bài a) Giải phương trình 2x2 x Điều kiện: x 2x2 x 3 x x x 7 3 x x( x 7) 2x2 x 3 x x 7 x x (tm) 2x x 7 x 1 x ( ktm) 3 x 2x (2) x www.MATHVN.com y 5 x y x x x x (ktm) 2 2x x x x x 1 (tm) Vậy tập nghiệm phương trình S 0; 1 b) x 3 x 1 y x 3 (1) 2 x 1 y y y (2) x x 3 x 1 y x y 1 1 x 3 x 1 y +) Với x 3 thay vào phương trình ta có: 4 y y y (vô nghiệm VT 0;VP 0) +) Với x y thay vào phương trình (2) ta có: y y (3) y2 y y 2 y y y (4) (3) x y x; y 1;2 y 2 y y x x; y 3;4 2 y (tm) y 5y y 4y 4 Vậy nghiệm hệ phương trình : x; y 1;2 ; 3;4 Câu 3: a) Phương trình (1) có nghiệm kép 4(3m 11) 12m 44 m 15 b 2a 15 Vậy với m phương trình (1) có nghiệm kép, nghiệm kép x 15 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt m Gọi hai nghiệm phân biệt phương trình x1; x2 , theo định lý Vi-et ta có: (2) x1 x2 x1 x2 3m 11(3) Theo giả thiết ta lại có 2017 x1 2018x2 2019, kết hợp: Khi phương trình (1) trở thành x x có nghiệm kép x1 x2 www.MATHVN.com x1 x2 x x2 x 1 x1 x2 2017 x1 2018 x2 2019 x2 2017 1 x2 2018 x2 2019 x2 Thay vào (3) ta có: 2 3m 11 m (tm) 2 Thử lại : với m=3 ta có phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Vậy m thỏa mãn yêu cầu toán Bài 4: a) Gọi số sào dưa nhà ông A x (sào) (ĐK: x 0) Số dưa thu hoạch 2x (tấn) 2000x (kg) Số dưa bán với giá 1500d / kg 30%.2000 x 600 x (kg ) Số dưa bán với giá 3500 đ/1kg 2000x 600x 1400x (kg) Do số tiền thu bán hết 2x dưa là: 600x.1500 1400x.3500 5800000x (đồng) 5,8x (triệu đồng) Số tiền đầu tư cho x sào dưa 4x (triệu đồng) Do trừ tiền đầu tư lãi triệu đồng nên ta có phương trình: 5,8x x 1,8x x (tm) Vậy nhà ông A trồng sào dưa b) A M D B N C Để nuôi 2400 gà, cần 1m2 diện tích vườn thả diện tích vườn thả MNCD SMNCD 2400m2 SMNCD 800 m2 2400 800 3200 m2 Diện tích khu chuồng trại ABNM S ABNM Diện tích khu đất ABCD S ABCD Gọi chiều rộng AB chiều dài khu đất x(m) y(m) 0 x y Chu vi khu đất 240m nên ta có phương trình: 2( x y) 240 y 120 x (1) www.MATHVN.com Diện tích khu đất ABCD 3200m2 nên ta có phương trình xy 3200 Thay (1) vào (2) ta phương trình: x 120 x 3200 x 120 x 3200 x 40 x 80 (tm) x 40 y 80 (ktm) x 80 y 40 AB CD 40m S 2400 MD MNCD 60(m) CD 40 Chu vi khu vườn thả hình chữ nhật MNCD MD CD 60 40 200 (m) Vậy chu vi khu đất làm vườn thả 200m Bài F B C I O H K D E A a) Ta có COD 2.CAD (góc tâm góc nội tiếp chắn cung CD) COD 2.450 900 ( gt ) nên góc CID 900 Vì AC BD Vì CK AD ( gt ) nên góc CKD 900 CID CKD 900 www.MATHVN.com (2) Tứ giác CIKD có đỉnh I K nhìn cạnh CD góc 900 nên tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CD Vì AC BD ( gt ) nên AID vuông cân I IA ID (1) Ta có góc CBD =góc CAD 450 (hai góc nội tiếp chắn cung CD) Tam giác CIB vuông I có CBI CBD 450 nên tam giác CIB vuông cân I IB IC (2) Từ (1) (2) IA IC IB ID AC BD (Vì I thuộc đoạn AC I thuộc đoạn BD) b) Chứng minh A tâm…… ACK vuông K ICH ACK 900 CAK 900 450 450 Tam giác CIH vng I có ICH 450 (cmt) nên vng cân I IC IH (3) Từ (2) (3) IB IH I trung điểm BH , mà AI BH AC BD AI trung trực BH (4) CIH vuông cân I DHE IHC (đối đỉnh)= 450 Mặt khác HED CAD 450 (2 góc nội tiếp chắn cung CD) DHE HED 450 HDE vuông cân D Mà DK đường cao hạ từ đỉnh D HDE DK trung trực HE AK đường trung trực HE (5) Từ (4) (5) A giao điểm trung trực BH trung trực HE A tâm đường tròn ngoại tiếp BHE +) Tính IK theo R Ta có: IK đường trung bình BHE nên IK BE Ta có BCH BCI ICH 450 450 900 (do BCI CHI vuông cân) BOE 2.BCE 2.900 1800 (góc tâm góc nội tiếp chắn cung BE (T)) B, O, E thẳng hàng BE đường kính T BE 2R IK BE R c) Chứng minh O trực tâm AIK Vì IA ID, OA OD R nên OI trung trực AD OI AD OI AK (6) Tam giác CAK vng K có CAK 450 nên CAK vuông cân K KC KA Mặt khác OC OA R OK trung trực AC OK KA (7) Từ (6) (7) O giao điểm đường cao hạ từ I K AIK O trực tâm AIK +) Chứng minh CK.CB=CF.CD Ta có: BAC BEC (hai góc nội tiếp chắn cung BC (T)) Vì IK // BE (tính chất đường trung bình) BEC FKC (đồng vị) www.MATHVN.com BAC FKC Tứ giác AFCK có hai đỉnh A K nhìn FC góc nên AFCK tứ giác nội tiếp CFB 1800 CKA 900 (8) Vì ABCD tứ giác nội tiếp nên FBC CDK (cùng bù với góc ABC) (9) Từ (8) (9) FBC KDC ( g.g ) CF CB CK CB CF CD (đpcm) CK CD www.MATHVN.com