Đáp án môn TOÁN KHỐI A 2009

GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN KHỐI A KỲ THI TUYỂN SINH ĐH – CĐ NĂM 2009 I Phần chung cho tất thí sinh Câu I: (2,0đ) Cho hàm số: x 2 y (1) 2x  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ O Bài giải  3 TXÐ:  \    2 Sù biÕn thiên Tìm tiƯm cËn ®øng: lim  x  x 2 1 đồ thị hm số (1) cú tiệm cận ngang y  2x  2 3     víi x   hàm sè ln nghÞch biÕn   ;     ;   khơng có cùc trÞ 2    Tìm tiƯm cËn ngang: lim x   Tính y'  1  2x   Bảng biến thiên Đồ thị: bảng biến thiên phụ Vẽ đồ thị: x2  đồ thị hm số (1) cú tiệm cận đứng x  2x  y x -4 -3 -2 -1 -2 -4  1 Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm tiệm cận điểm I   ,  làm tâm đối xứng  2 Gäi A  a;0   Ox; B  0;b   Oy theo gi¶ thiÕt ta có: |a| |b| nh­ ng vỡ hm số nghịch biến nờn tiếp tuyến chØ có thĨ có d¹ng y kx  m víi k < nên a b 0 x y Ph­ ơng trỡnh đư ờng thẳng AB: a b  x2  2x   x  a x y   1  y  x  a tiÕp xúc víi (1)   a a  1   (2x  3)2  x   a 0 (lo¹i) 1   2x  1   (2x  3)  x   a  VËy ph­ ¬ng trình tiÕp tun cđa (1) y  x  Câu II: (2,0 đ)   sinx  cosx   sinx    sinx  Giải phương trình:  Tõ ph­ ¬ng trình Giải phương trình: 3x    5x  0  x    Bài giải    x   k2   1  sinx 0 7 sinx   §iỊu kiƯn :      x   k2 1  sinx 0 sinx 1     x   k2    sinx  cosx   sinx    sinx    cos x  sin x cos x   sinx  2sinx  2sin2 x   cosx  2sinxcosx   sin2 x  sinx +1   cos x   sin x  cos 2x  sin 2x 3 cos x  sin x  cos 2x  sin 2x 2 2      sin   x  sin   2x  6  3       x   2x  k2       x  2  2x  k2   k2   x  18    x    k2  lo¹i    2) 3x    5x  0 ÐỈt 3x  u  3x  u3  5x v 0   5x v  u 4  v  2u  3v 8     5u  3v 8 5   v   3v 8    3 Giải phư ơng trỡnh:  v   3v 8    135v  1104v  2880v  2496 0   v   135v  564v  624 0    v 4 Vì 135v  564v  624 0 u    5x 16  x  Câu III: (1,0 đ) VN /2 Tính tích phân I  (cos3 x  1)cos x dx Gi¶i /2 /2 I  cos5 x dx  cos x dx I1  I2 /2 /2 Tính I1  cos x dx  cos x.cos x dx 0 /2    sin2 x d(sin x)   /2   sin4 x  sin2 x  d(sin x)    sin5 x 2sin3 x  /2    sin x   0   1  15 /2 /2 Tính I2  cos2 x dx    cos 2x  dx 0 /2     sin 2x  4   15 Ta ®­ îc : I I1  I2  Câu IV: (1,0điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D ; AB = AD = 2a, CD = a, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài giải Hình thang ABCD Hình thang ABCD  D  900 A AB  AD 2a A D a AB tam giác vu«ng  B A  AB a  4a 5a  vu«ng DC : C2 a  a2 2a Tõ C kỴ CH AB CHB tam giác vuông CH 2a, CD a  HB a BC2 HC2  HB2 4a2 a2 5a2 BIC tam giác cân BC2 B 5a Kẻ K  CB : TÝnh K a 2 a 9a2  BJ2 B  J2 5a2   2 3a BJ  , BJ.C Ta có BJ.C K.BC  K  BC 3a a 3a K   a 5  SC  ,  SC    ABCD   S ABCD Gọi J trung điểm C  J   600 IK  BC  SK  BC  SKI 3a  S K.tan 600   AB  CD  AD   2a  a  2a 3a2 DiÖn tÝch ABCD  2 3a 3a3 3a3 15 V  3a 3  5 Câu V: (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có : (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)  5(y + z)3 Bài giải Đặt t y z, giả thiết suy yz   y  z Vì yz  x  xt  x  x  y  z  3yz   x  tx  t   2x  t  4t  2x  t 2t  2x t  y  z BĐT phải chứng minh 2x y  z    x  y   x  z   2x  y  z    x  y   x  z   y  z  5  y  z    2x  y  z    x  y   x  z  2x 5  x  z  3   2x  y  z   6x  x  x  y  z   yz  5  y  z   x  xt  3   2x  t   6x  x  xt   5t    2t 2x  3xt  2t 0   Vì t 0  2x  3xt  2t 0 t t 3t 2 Vì  x   2x  3xt   2t 2 2 2  2x  3xt  2t 0  ®pcm  DÊu " " x¶y  x y z  Phần riêng (3,0) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng: : x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn ú Bi gii Phầnưriờngưcâuư6aư(1) I l giao AC v BD nên M' ®èi­xøng­víi­M­quaIthì M'  CD xM  xM'  xM'    xI  6  2   xM' 11     y  yM  yM' 2   yM'  yM'  I   2 ' MỈt khác: ME IE nên:   EM' IE 0  (11  uE )(xE  1)  (1  yE )(yE  5) 0  xE2 12xE  11  yE2  4yE  0  xE2  yE2  12xE  4yE  0 (1) Mà E :x + y - =0  xE  yE  0 (2) Tõ­(1) vµ(2) ta cã  xE2  yE2  12xE  4yE  0   xE 5  yE  79  y  E   169  79  18    E ; 169 18 18   x   E 18    29  61 ' ME ; vectơ ph­ ¬ngcđa AB  18 18    hay uAB (29; 61)  nAB (61;  29)  Ph­ ¬ng trình ®­ êng AB : 61(x  1)  29(y  5) 0  61x  29y  84 0 2 6a2 Ph­ ¬ng trình (C)   x     y   2  T©m    ;  ; bán kính R Kẻ H ( ) H trung điểm AB Với H d   /     4m m2 Đư ờng thẳng ( ) c ¾t (C) H  R |  4m |    14m2  8m   1 m   30 30 m 14 14 Đặt H x §K :  x   Trong  vu«ng HA ta cã : HA A  H2 2  x  HA   x SAB  H.AB  x  x 2 p dụng BĐT c ôsi ta có: 2  SAB  x  x  x  x  max S AB   x2   x2   1 1 x 2  x  x 1  tho¶ m·n  2  m 0  tho¶ m·n  1  15m  8m 0   m  1 m  tho¶ m·n   15 |  4m | Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = |z1|2 + |z2|2 Bài giải PT : z  2z  10 0  ' 1  10  z1   3i  | z1 |  10 z  1 3i  | z |  10  A | z1 |2  | z |2 10 10 20 Phầnưriờngưcâuư6aư(1) I l giao cđa AC BD nên M' ®èi­xøng­víi­M­quaIthì M'  CD xM  xM'  xM'    xI  6  2   xM' 11     y  yM  yM' 2   yM'  yM'  I   2 ' MỈt khác: ME IE nên:   EM' IE 0  (11  uE )(xE  1)  (1  yE )(y E  5) 0  xE2 12xE  11  yE2  4yE  0  xE2  yE2  12xE  4yE  0 (1) Mà E :x + y - =0  xE  yE  0 (2) Tõ­(1) vµ(2) ta cã  xE2  yE2  12xE  4yE  0   xE 5  yE  79  y  E   169  79  18    E ; 169 18 18   x   E 18    29  61  '  ME  ; vectơ phư ơngcủa AB 18 18    hay uAB (29; 61)  nAB (61; 29) Phư ơng trỡnh đư ờng AB : 61(x  1)  29(y  5) 0  61x  29y  84 0 2 Ph­ ¬ng trình (C)   x     y   2  T©m    ;   ; b¸n kÝnh R  KỴ H  (  )  H trung điểm AB Với H d /    H   4m  m2   2m  2m  m2 Đư ờng thẳng ( ) c (C) H  R |  4m |      4m    m2 1 m  14m2  8m     30 30 m 14 14 Đặt H x ĐK :  x      Trong  vu«ng HA ta cã : HA A  H2 2  x  HA   x SAB  H.AB  x x 2 p dụng BĐT c ôsi ta cã: 2  x  x  x  x  x2   x2   1  SAB 1  max S AB 1 x 2  x  x 1  tho¶ m·n   |  4m | 1 m 1  |  4m |   m2  m 0  tho¶ m·n   15m  8m 0    m 15  tho¶ m·n  Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = |z1|2 + |z2|2 Bài giải PT : z  2z  10 0  ' 1  10  z1   3i  | z1 |  10 z  1 3i  | z |  10  A | z1 |2  | z |2  10  10 20 B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x + y2 + 4x + 4y + = đường thẳng : x + my – 2m + = 0, với m tham số thực Gọi  tâm đường tròn (C) Tìm m để  cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = hai đường thẳng 1 : x 1 y z  x  y  z 1   , 2 :   1 2 Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Bài giải 2 Ph­ ¬ng trình (C)   x     y   2  T©m    ; ; bán kính R Kẻ H ( ) H trung điểm AB Víi H d   /    4m m2 Đư ờng thẳng (  ) c ¾t (C) H  R |  4m |    14m2  8m   1 m  30 30 m 14 14 Đặt H x §K :  x   Trong  vu«ng HA ta cã : HA A  H2 2  x  HA   x SAB  H.AB  x x 2 p dụng BĐT c ôsi ta cã: 2  SAB  x  x  x  x  max S AB   x2   x2   1 1 x 2  x  x 1  tho¶ m·n  2  m 0  tho¶ m·n  1  15m  8m 0   m  1 m  tho¶ m·n   15 |  4m | 6b.2 Gọi A điểm tr ê n B điểm tr ê n m ặt ph¼ng (P)  x   t  1 :  y t  z   6t   x 1  2t '    :  y 3  t ' ®i qua A  ; ;  1 vµ u2  ; 1;   z   2t '  M  1  M    t ; t ;   6t   2  AM,u2   14  8t    14t  20     t     d  M,      u 2 d  M, (P)     t  2t  18  12t  12  (  2)2  22 Vì d  M,   d  M, (P)  11t  20   14  8t   11t  20  MA MB  nª n :   14t  20     t  2   11t  20   14  8t    14t  20     t   t 1  35t  88t  53 0    t  53 35  Víi t 1  M1  , 1,   V íi t  53  18 53   M2  , ,  35  35 35 35  Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: log2 x  y 1  log2 (xy)  2 3 x  xy  y 81    x, y    Bài giải ®K :x,y  log2 (x  y ) log2 (2xy) HÖ   x  xy  y 34 3  x  y 2xy    x  xy  y 4  (x  y)2 0  2  x  xy  y 4  x y   x  y 2  x  xy  y 4 ... mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài giải Hình thang ABCD Hình thang ABCD  D  900 A AB  AD  2a  ? ?A D ? ?a AB tam giác vuông B A  AB ? ?a  4a  5a  vu«ng DC... ? ?a  a2  2a Từ C kẻ CH AB CHB tam giác vuông CH 2a, CD a HB a BC2 HC2  HB2  4a2  a2  5a2   BIC tam giác cân BC2 B 5a   KỴ K  CB : TÝnh K a 2 a 9a2  BJ2 B  J2  5a2 ...  15 Ta đư ợc : I I1 I2  Câu IV: (1,0điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D ; AB = AD = 2a, CD = a, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt