tai lieu cua mt

Tài li u luy n Thi i H c ệ ệ Đạ ọ GV: Nguy n Minh Tri t ễ ế CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Y = F(X) Dạng 1: Tìm cực trò của hàm số y = f(x) + MXĐ D + Tìm y’ ,Cho y’ = 0 ⇒ cực trò (x,y) + Bảng biến thiên X -∞ +∞ Y’ Y Từ bảng biến thiên ta có thể kết luận cực trò của hàm số.  Chú y ù :Để tính giá trò cưïc trò y 0 + Đối với các hàm đa thức y=f(x): bậc 3 , bậc 4 f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d f (x) = ax 4 + bx 2 + c Lấy y chia cho y’ y 0 = f(x 0 ) = R(x 0 ) + Đối với các hàm hữu tỷ: v u y = • dcx bax y + + = (hàm nhất biến) 2 )( ' dcx dc ba y + =⇒ • )( 2 nmx r qpx nmx cbxax y + ++= + ++ = ( ) 2 2 ' nmx nm cb anxamx y + ++ =⇒ Tính giá trò cực trò y 0 = ' ' v u v u =  Chú ý : Cho hàm số y = f(x) V n đ 3 : C c trấ ề ự ị y y’ pxR(x) R(x) là phần dư của y chia y’ Tài li u luy n Thi i H c ệ ệ Đạ ọ GV: Nguy n Minh Tri t ễ ế 1. x 0 là cực tiểu ⇔    > = 0)(" 0)(' 0 0 xf xf 2. x 0 là cực tiểu ⇔    > = 0)(" 0)(' 0 0 xf xf Ví dụ: Tìm cực trò các hàm số sau: a) y = x 3 – 3x 2 + 3x – 4 b) 2 )1( 2 − − = x x y c) 3 4 2 4 +−= x x y d) 12 2 ++= xxy e) 532 2 −−= xxy Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = (m+2)x 3 + 3x 2 + mx – 5 có cực đại và cực tiểu. Dạng 2: Tính tăng (giảm) của hàm số y = f(x) ∀ x ∈ℜ  Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) ∀x∈ℜ ⇔ y’ ≥ 0 ∀x∈ℜ  Hàm số y = f(x) nghòch biến (giảm) ∀ x∈ℜ ⇔ y’ ≤ 0 ∀x∈ℜ Ví dụ: Tìm các khoảng tăng, giảm của các hàm số sau: a) y = x 3 – 3x + 9x – 2 b) x x x x y 3 24 2 3 4 −−+= c) 2ln −−= xxy d) y = x – e x Ví dụ: Đònh m để hàm số: a) 22 3 2 3 −+−= mxx x y tăng trên miền xác đònh b) 1 )2( 2 − +−+ = x mxmx y giảm trên từng khoảng xác đònh của nó c) 1 32)1( − +−− = mx mxm y tăng trên từng khoảng xác đònh của nó. Dạng 3: Tính tăng (giảm) của hàm số y = f(x) ∀ x ∈ D D = (-∞ ; α) D = (α ; β ) D = (β ; +∞).  Tính tăng (giảm) của hàm số y = f(x) ∀x∈(-∞ ; α )  TH 1 : Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) ∀x∈ℜ ⇔ y’ ≥ 0 ∀x∈ℜ  TH 2 : y = f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt (x 1 ≠ x 2 ) X -∞ (-∞ ; α ) x 1 x 2 +∞ f(x) +a 0 -a 0 +a V n đ 3 : C c trấ ề ự ị x 0 x 0 Tài li u luy n Thi i H c ệ ệ Đạ ọ GV: Nguy n Minh Tri t ễ ế ⇒ a<x 1 <x 2 Các trường hợp (α ; β ); (β ; +∞).giải tương tự. Ví dụ: Đònh m để hàm số: 1 )2( 2 − +−+ = x mxmx y tăng trong khoảng ( - ∞ ; -2 ) Ví dụ: Cho hàm số y = ax axax − ++−+ 1)1(2 2 . Tìm a để hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; +∞) Dạng 4: Sử dụng tính tăng (giảm) của hàm số chứng minh bất đẳng thức: + Muốn chứng minh: f(x) > g(x) với x ∈ D, ta coi hàm số: h(x) = f(x) – g(x) - Tính h’(x) = f ’(x) – g ‘(x) - Chứng minh h ‘(x) > 0 , x ∈ D. Vậy h(x) là hàm số tăng. - Ta dùng tính chất ∀ x 1 ,x 2 ∈ D : x 1 < x 2 ⇔ h(x 1 ) < h(x 2 ) Ví dụ: Chứng minh các bất đẳng thức: a) e x > 1 + x , ∀ x > 0 c) (x+1)lnx > 2x – 2 , ∀ x > 1 b) x > ln(1+x) , ∀ x > 0 d) Cho x > 0, x ≠ 1 . Chứng minh: x x x 1 1 ln < − BÀI TẬP 1) Tìm tham s m đ hàm s :ố ể ố a) y = x 3 -3mx 2 +4mx-1 ln đ ng bi nồ ế b) y = -x 3 +2x 2 -mx+m 2 +4 ln ngh ch bi nị ế c) 2 1 1 x mx y x − − = − gi m trên t ng kho ng xác đ nhả ừ ả ị d) 2 2 2 3 2 x mx m y x m − + = − t ng trên t ng kho ng xác đ nhă ừ ả ị e) 4mx y x m − = − gi m trên t ng kho ng xác đ nhả ừ ả ị f) 2 1x m y x m − + = − t ng trên t ng kho ng xác đ nh.ă ừ ả ị 2) Tìm m đ hàm s :ể ố a) y = x 3 -(m+1)x 2 -(2m 2 -3m+2)x +2m(2m-1) t ng ă [ ) 2,+∞ b) y =-x 3 +mx 2 -m t ng trên (1,2) ă c) 3 1 ( 1) ( 3) 4 3 y x m m x= − + − + + + − t ng trên (0,3)ă d) 2 2 2 3 2 x mx m y m x − + = − gi m trên ả ( ) 1,+∞ 3) Ch ng minh các b t đ ng th c:ứ ấ ẳ ứ V n đ 3 : C c trấ ề ự ị Tài li u luy n Thi i H c ệ ệ Đạ ọ GV: Nguy n Minh Tri t ễ ế a) ln(1+x)< x 0x∀ > b) 2 x osx > 1- , 0 2 c x∀ > c) 3 x sinx>2x- , 0 6 x∀ > d) sin 2 2 , 0x x x< ∀ > e) sinx+tgx>2x(0<x< ) 2 π 4) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+ 5 x 3 + . 5) Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = f(x) = x 3 -3x 2 +1. b) y = f(x) = 2x 2 -x 4 . c) y = f(x) = 2x 3x + − . d) y = f(x) = x1 4x4x 2 − +− . e) y = f(x) = x+2sinx trên (-π ; π). f) y = f(x) = xlnx. g) y = f(x) = )5x(x 3 2 − . h) y= f(x) = x 3 −3x 2 . i) 1x 3x3x f(x) y 2 − +− == . j) y= f(x) = x 4 −2x 2 . k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π]. 6) Cho hàm số y = f(x) = x 3 -3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1. Đònh m để hàm số : a) Luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó. Kq:1 ≤ m ≤ 0 b) Nghòch biến trên khoảng (-1;0). Kq: m ≤ 3 4 − c) Đồng biến trên khoảng (2;+∞ ). Kq: m ≤ 3 1 7) Đònh m∈Z để hàm số y = f(x) = mx 1mx − − đồng biến trên các khoảng xác đònh của nó. Kq: m = 0 8) Đònh m để hàm số y = f(x) = 2x 2x6mx 2 + −+ nghòch biến trên nửa khoảng [1;+∞). Kq: m ≤ 5 14 − 9) Chứng minh rằng : x1e x +> , ∀x > 0. 10) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh (trên từng khoảng xác đònh) của nó : a) y = x 3 −3x 2 +3x+2. b) 1x 1xx y 2 − −− = . c) 1x2 1x y + − = . 11) Tìm m để hàm số ( ) ( ) x7mx1m 3 x y 2 3 −−−−= : a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó. b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞) V n đ 3 : C c trấ ề ự ị Tài li u luy n Thi i H c ệ ệ Đạ ọ GV: Nguy n Minh Tri t ễ ế 12) Tìm m để hàm số : mx 2mmx2x y 2 − ++− = luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh của nó. 13) Tìm m để hàm số : mx 1mx)m1(x2 y 2 − ++−+ = luôn đồng biến trên khoảng (1;+∞). Kq: 223m −≤ 14) Tìm m để hàm số y = x 2 .(m-x)-m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m≥3 15) Chứng minh rằng : a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx >1- 2 x 2 , với x > 0 . V n đ 3 : C c trấ ề ự ị