Giới hạn n (phần 2 )

Trường THPT Cổ Loa Thầy giáo:Trần Quốc Thép Chuyên đề 11a1: Dãy số có giới hạn vô cực và các bài toán tổng quát Dạng ∞/∞: Tính các giới hạn sau: 1) 4 2 4 2 sin 3 3 lim 2 1 n n n n n + + + − ; 2) 2 3 1 lim 4 3 7 n n n − − + 3) 3 2 2 2 1 lim 4 3 2 n n n n + + − + ; 4) 2 5+8+11+ .+(3n+2) lim 3n 6 1n+ − 5) 1 2 3 4 . 2 lim 1 n n − + − + − + Dạng ∞-∞ và các bài toán liên quan: Bài 1. Tính các giới hạn sau: 1) ( ) 2 lim 4 1 n n n n →∞ + + − ; 2) 2 lim( 4 3 )n n n− + + + 3) 2 2 2 2 lim 3 1 n n n n + − + + ;4) 1 lim 10 1 10 1n n+ − − 5) ( ) lim 10 1 10 1n n+ − − ; 6) 4 2 4 2 lim( 2 1)n n n n+ − + ;7) 2 2 4 1 lim 4 5 2 1 n n n n + − − + − + Bài 2: Tính các giới hạn sau: 1) ( ) 3 3 2 lim n n n+ − ;2) ( ) 3 3 lim 2 2 6n n n+ − + + ; 3) lim(2n + 3 3 1 8n− ); 4) ( ) 3 3 2 lim 1 1n n+ − + ; 5) ( ) 32 3 2 lim 4 1 2 2n n n+ + − Bài 3: Chứng minh 1) lim 0 4 n n = ; 2) 2 lim n n =+∞ ; 3) Nếu x >0 thì lim 0 (1 ) n n x = + ; Dạng tìm công thức tổng quát bằng sai phân u n = (u n - u n-1 )+(u n-1 - u n-2 )+(u n-2 - u n-3 )+…+(u 2 - u 1 )+ u 1 Bài 1: Cho dãy số (u n ) xác định bởi 1 1 2, 2 1, 2 n n u u u n n − = = + + ≥ , Tìm công thức số hạng tổng quát. Tính limu n Bài 2: Cho dãy số (u n ) xác định bởi 1 1 2, 2 , 2 n n n u u u n − = = + ≥ , Tìm công thức số hạng tổng quát. Tính limu n Bài 3: Tính tổng sau: 2 3 1 3 5 2 1 . 2 2 2 2 n n n S − = + + + + . Dạng dự đoán công thức, chứng minh bằng qui nạp: Bài 1: Cho dãy số (u n ) xác định bởi 1 1 1 1 , , 2 2 2 n n u u n u − = = ≥ − , Tìm công thức số hạng tổng quát. Tính limu n Bài 2: Cho dãy số (u n ) xác định bởi 1 1 11, 10 1 9 , 1 n n u u u n n + = = + − ≥ , Tìm công thức số hạng tổng quát. Tính limu n Bài tập dành cho đội tuyển Olimpic Dạng dùng phương trình đặc trưng: Bài 1: Cho dãy số (u n ) xác định bởi 1 1 3, 4 3 n n u u u + = = + , Tìm công thức số hạng tổng quát. Tính giới hạn của nó Bài 2: Chodãy số (u n ) xác định bởi 1 1 8, 2 4 n n u u u + = = + , Tìm công thức số hạng tổng quát. Tính giới hạn của nó Bài 3: Cho dãy số (u n ) xác định bởi 0 1 1 2 1, 3, 5 6 , 2 n n n u u u u u n − − = − = = − ≥ , Tìm công thức số hạng tổng quát. Tính giới hạn của nó Định lí Vâyơstrát: Dãy u n tăng và bị chặn trên thì có giới hạn Dãy u n giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn: Bài 1: Chứng minh dãy số (u n ) xác định bởi 1 1 3 0, 4 n n u u u − + = = , n ≥ 2, là dãy số tăng và bị chặn trên(HD: qui nạp). Tính limu n . Bài 2: Chứng minh dãy số (u n ) xác định bởi 1 1 2, 2, 1 n n u u u n + = = + ≥ , là dãy số tăng và bị chặn trên. Tính limu n . Bài 3: Chứng minh dãy số (u n ) xác định bởi 1 1 2 4 3, 3 n n u u u + + = = , n ≥ 1có giới hạn . Tính limu n . Bài 4. Chứng minh dãy số (u n ) xác định bởi 1 1 0, 4 3 n n u u u + = = + , n ≥ 1 có giới hạn . Tính limu n . Bài 5: Chứng minh dãy số 1 1 1 . 1! 2! ! n u n = + + + có giới hạn. (tăng và chặn trên bởi 3) Bài 6: Chứng minh dãy số (u n ) xác định bởi 1 1 1 1 4, ( ), 1 2 n n n u u u n u + = = + ≥ là dãy số giảm và bị chặn dưới. Tính limu n . Định lý giới hạn kẹp giữa: Nếu u n ≤ v n ≤ w n ∀n và lim u n = lim w n =a thì lim v n =a Bài 1: Cho dãy số u n = 2 2 2 2 1 1 1 1 . 1 2 3n n n n n + + + + + + + + . Chứng minh 2 2 1 n n n u n n n < < + + .Từ đó tính limu n Bài 2: Tính giới hạn của các dãy số: a) 2 2 2 2 2 2 2 2 . 1 2 3 2 n n n n n u n n n n n n n n = + + + + + + + + + + + b) 2 2 1 2 . 1 5.1 1 2 5.2 1 5. 1 n n u n n = + + + + + + . Chứng minh 2 2 1 n n n u n n n < < + + .Từ đó tính limu n Bài 2: Tính giới h n của các dãy số: a) 2 2 2 2 2 2 2 2 . 1 2 3 2 n n n n n u n n n n n. sin 3 3 lim 2 1 n n n n n + + + − ; 2) 2 3 1 lim 4 3 7 n n n − − + 3) 3 2 2 2 1 lim 4 3 2 n n n n + + − + ; 4) 2 5+8+11+ .+( 3n+ 2) lim 3n 6 1n+ − 5) 1 2