Tổng hợp kiến thức toán 5

https://www.facebook.com/giasuhanoi24h.edu.vn cập nhật liên tục kiến thức, kinh nghiệm giáo dục cấp … TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN LỚP ƠN THI LÊN LỚP I SỐ TỰ NHIÊN, DÃY SỐ Số tự nhiên * Các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, số tự nhiên Số số tự nhiên bé Khơng có số tự nhiên lớn * Có 10 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, để ghi số hệ thập phân Trong hệ thập phân, 10 đ ơn vị hàng b ằng đ ơn v ị c hàng cao h ơn (liền trước nó) Kí hiệu ´ abcd để số tự nhiên có ch ữ s ố gồm a, b, c, d Trong đó: a hàng nghìn, b hàng trăm, c hàng ch ục, d hàng đ ơn v ị ≤ a ≤ ; ≤ b ; c ; d ≤ ´ - abcd = ´ a000 + ´ b00 + ´ c0 + d = 1000×a + 100×b + 10×c + d Ví dụ: 2345 = 2000 + 300 + 40 + = ×1000 + × 100 + 4×10 + * Các số tự nhiên có chữ số tận là: 0, 2, 4, 6, số tự nhiên chẵn * Các số tự nhiên có chữ số tận là: 1, 3, 5, 7, số tự nhiên lẻ * Các phép tính số tự nhiên: - Phép cộng phép nhân số tự nhiên có tính ch ất giao hoán, k ết h ợp - Quan hệ phép tính: (a + b) × c = a × c + b × c a + (b ˗ c) = (a + b) ˗ c = (a ˗ c) + b (a ˗ b) × c = a × c ˗ b × c a : (b × c) = (a : b) : c = (a : c) : b (a + b) : c = a : c + b : c a: (b : c) = (a : b) × c (a ˗ b) : c = a : c ˗ b : c (a × b) : c = (a : c) × b = a × (b : c) a ˗ (b + c) = (a ˗ b) ˗ c = (a ˗ c) ˗ b Dãy số * Số số hạng dãy số tư nhiên: Nếu dãy số tự nhiên a1, a2, a3, an có hai số hạng liên tiếp (hoặc kém) k an  a1 1 k đơn vị số số hạng dãy là: (Bài toán trồng với kho ảng cách đ ều đường thẳng tr ồng đầu đường thẳng.) Nhận xét: - Số số hạng dãy số tự nhiên liên ti ếp a 1, a2, a3, an (an – a1) + Ví dụ: Số số hạng dãy số 1, 2, 3, 4, .100 (100 - 1) + = 100 a n  a1 1 - Số số hạng dãy số tự nhiên chẵn (ho ặc l ẻ) liên ti ếp a 1, a2, a3, an (vì hai số tự nhiên chẵn (hoặc lẻ) liên ti ếp h ơn đơn vị) 100    50 Ví dụ: Số số hạng dãy sổ: 2, 4, 6, 8, 100 Ghi nhớ: Đối với số tự nhiên đ ược viết h ệ th ập phân, ta có: T đ ến có số (các số có ch ữ s ố) Từ 10 đến 99 có 90 số (các số có chữ số) Từ 100 đến 999 có 900 số (các số có chữ số) Từ 1000 đến 9999 có 9000 số (các số có ch ữ s ố) * Tổng dãy số: Nếu dãy số a1, a2, a3, an có số hạng liên ti ếp h ơn (hoặc kém) k đ ơn v ị thì: an  a1 1 k - Số số hạng dãy là: an + a1 × số số hạng dãy - Tổng S = a + a1 + a2 + a3 + + an = Ví dụ: Tính tổng S = 102 + 105 + 108 +111 + + 399 Bài giải: 399 + 102   100 Số số hạng tổng là: S 399 + 102 ×100 = 25050 Một số ví dụ minh họa: Vi dụ 1: Viết thêm hai số hạng dãy s ố sau: a) 1, 2, 3, 5, 8, 13, c) 1, 4, 9, 16, 25, 36, b) 1, 2, 3, 6, 12, 24, d) 2, 12, 30, 56, 90,… Bài giải: a) 1,2, 3, 5, 8, 13, c) 1, 4, 9, 16, 25, 36, Ta nhận thấy: = + Ta nhận thấy: = × 5=2+3 = ×2 8=3+5 9=3× 13 = + 16 = × 25 = × 36 = × Vậy, hai số dãy số là: Vậy, hai số dãy s ố là: + 13=21 × = 49 13 + 21 = × = 64 b) 1,2, 3, 6, 12, 24, d) 2, 12, 30, 56, 90, Ta nhận thấy: = 1+2 Ta nhận thấy: = × = 1+2+ 12 = × 12 = 1+2+3+6 30 = × 24=1+2+3+6+12 56 = × 90 = × Vậy, hai số dãy số là: Vậy, hai số dãy s ố là: 1+2 + + + 12 + 24 = 48 11 × 12 = 132 1+2 + + + 12 + 24 + 48 = 96 13 × 14 = 182 Ví dụ 2: Cho dãy số 1, 7, 13, 19, 25, 31, Hãy cho biết số 250; 363; 2011 có thu ộc dãy s ố cho hay khơng Bài giải Phân tích số hạng dãy số: 1=0 × 3+1 19=6 × + 7=2×3+1 25=8 × + 1 = ×3 + 31=1 × + Trong dãy số trên, m ỗi số hạng dãy s ố đ ều s ố chia cho d có th ương số chẵn Xét số cho, ta có: - Số 250 = 83 × + Số 250 chia cho dư nh ưng th ương m ột s ố l ẻ nên không thuộc dãy số - Số 363 = 121 × Số 363 chia hết không thu ộc dãy s ố cho - Số 2011 = 670 × + Số 2011 chia cho d có th ương m ột s ố ch ẵn nên thuộc dãy số cho Ví du 3: Cho dãy số tự nhiên: 19, 28, 37, 46, a) Tìm số thứ 1997 dãy s ố b) Số 19971998, 19981999 có mặt dãy s ố khơng? Vì sao? (Thi học sinh giỏi toán lớp quận Hai Bà Trưng - Hà N ội năm h ọc 1997 - 1998) Bài giải Xét dãy số 19, 28, 37, 46, d ạng a 1, a2, a3, ak, … an Nhận xét: Số hạng thứ a1: 19 = × + Số hạng thứ hai a2: 28 = × + Số hạng thứ ba a3: 37 = × + S ố h ng th ứ t a : 46 = × + ………………… .…………… ………………… .…………… S ố h ng th ứ n a n : a n = (n+1) × + a) V ậ y, s ố h ng th ứ 1997 c ủ a dãy s ố là: (1997 + 1) × + = 17983 b) Các số hạng dãy s ố cho chia cho d - Số 19971998 có tổng chữ số b ằng 53 nên chia cho dư Vậy số 19971998 không thuộc dãy số - Số 19981999 có tổng chữ số b ằng 55 nên s ố 19981999 chia cho d V ậy s ố 19981999 thuộc dãy số Ví du 4: Cho A = × × × × × 9 ( A l tích 99 số tự nhiên từ đến 99) Hỏi A có chữ số tận ch ữ s ố 0? Bài giải Tích A có 99 số hạng có 49 s ố ch ẵn 50 s ố l ẻ Trong tích A có th ừa s ố chia h ết cho là: 5, 10, 15, 20, 25, 95 95    19 Xét dãy số: 5, 10, 15, 20, 25, 95 Ta có, số số hạng dãy số là: (số) Ta thấy 19 số hạng dãy số phân tích thành tích hay hai th ừa s ố v ới s ố khác Ví d ụ: = × 1; 10 = × 2; 15 = × 5; 20 = × 5; 25 = × 5; Vậy tích A phân tích thành m ột tích mà có 22 th ừa s ố (vì 25 = × 5; 50 = × × 5; 75 = × × 5) Một thừa số nhân với số chẵn cho m ột s ố tròn ch ục (có t ận 0) Vậy, A có 22 chữ số tận ch ữ số Ví dụ 5: Tồn hay không 71 số s ố tự nhiên t đến 100 cho tổng chúng tổng số l ại (Trích đề thi vào lớp trường Marie Curie năm 2012 - câu thưởng điểm) Bài giải Xét dãy số: 1, 2, 3, 4, 5, 100 Tổng dãy số là: (100 + 1) : × 100 = 5050 Nửa tổng dãy số là: 5050 : = 2525 Xét S = + + + + + +71 Ta có: S = (71 + 1) : × 71 = 2556 Ta thấy: 2556 > 2525 Nếu ta thay số hạng t S b ằng s ố t 72 đ ến 100 đ ều đ ược tổng lớn 2556 Do S = 2556 > 2525 nên không t ồn t ại 71 s ố có tổng 29 số lại s ố tự nhiên từ đến 100 II PHÉP CHIA HẾT, CHIA CÒN D Ư, D ẤU HI ỆU CHIA H ẾT Phép chia hết Cho số tự nhiên a b, n ếu có s ố t ự nhiên q cho a = b × p (ho ặc a : b = p) a chia hết cho b Trong đó: a s ố b ị chia, b s ố chia, q th ương Tính chất: Nếu có số tự nhiên a, b, c cho: - a chia hết cho b b chia h ết cho c a chia h ết cho c - a chia hết cho b c chia h ết cho b (a + c) chia h ết cho b - a chia hết cho b (a + c) chia h ết cho b c chia h ết cho b * Dấu hiệu chia hết cho : Chữ số tận sổ chẵn (Các số chẵn là: 0; 2; 4; 6; 8) * Dấu hiệu chia hết cho 5: Chữ số tận Ví dụ 120; 325; 12345; * Dấu hiệu chia hết cho 3: Tổng chữ số chia hết cho Ví dụ: 12345 chia hết cho 1+2 + + + = 15, mà 15 chia h ết cho * Dấu hiêu chia hết cho 9: Tổng chừ sổ chia hết cho Ví dự 1368 chia hết cho 1+3 + + = 18, mà 18 chia hết cho * Dấu hiệu chia hết cho 25 : chữ số tận chia hết cho 25 ´ Xét số tự nhiên N = abcde ´ = abc Vì 100 chia hết cho 25 nên Do có: N = ´ abcde ´ ×100 + de ´ abc ×100 chia hết cho 25 chia hết cho 25 ´ de chia hết cho 25 Như với số tự nhiên N chia hết cho ho ặc 25 hai ch ữ s ố t ận c s ố chia hết cho 25 Ví dụ: 123456 chia hết cho 56 chia h ết cho 82375 chia hết cho 25 75 chia h ết cho 25 Một số ý: * Số vừa chia hết cho vừa chia h ết cho ph ải có s ố t ận Ví dụ: 10, 20, 30, 40, * Số vừa chia hết cho vừa chia h ết cho ph ải có s ố t ận ch ẵn t chữ sổ chia hết cho Ví dụ: 12, 18, 24, 126, 123456, * Số vừa chia hết cho vừa chia h ết cho ph ải có s ố t ận t ch ữ số chia hết cho Ví dụ: 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, * Số chia hết cho s ẽ chia h ết cho nh ưng s ố chia h ết cho ch ưa ch ắc chia hết cho Ví dụ: Số 27 chia hết cho chia hết cho Số 21 chia hết hco khơng chia hết cho Phép chia có dư Cho hai số tự nhiên a b, có số tự nhiên q r cho a = b × p + r, đó: ≤ r < b ta nói a khơng chia hết cho b, hay a chia cho b thương q dư r Ví dụ: 17 chia cho dư Ta viết: 17 = 5×3+2 Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 6: Cho ´ ab số tự nhiên có chữ số, bi ết ab chia h ết cho 9, chia cho dư Tìm chữ số a; b Bài giải Vì ´ ab chia cho dư nên b = ho ặc b = Vì ´ ab chia hết (a + b) chia h ết cho 9, mà ´ ab số tự nhiên có hai ch ữ số nên ≤ (a + b) ≤ 18 Suy ra: ho ặc (a + b) = 9, ho ặc (a + b) = 18 * Xét trường hợp b = - Nếu (a + b) = a = (thỏa mãn) Suy s ố cần tìm ´ ab = 63 ´ ab =18 - Nếu (a + b) = 18 a = 15 (lo ại ≤ a ≤ 9) * Xét trường hợp b = + Nếu (a + b) = a = (th ỏa mãn) Suy s ố c ần tìm + Nếu (a + b) = 18 a = 10 (lo ại ≤ a ≤ 9) Ví dụ 7: Cho số tự nhiên có chữ số dạng: ´ 83ab Tìm a b để số chia h ết cho 2, chia hết cho chia h ết cho Bài giải Ta có: Số chia hết cho có chữ số tận số chẵn (1) Số chia hết cho có tổng ch ữ s ố chia h ết cho (2) Số chia hết cho có chữ s ố tận ho ặc (3) Từ điều kiện (1) (3) ta b = Suy ra, số cần tìm có dạng: ´ 83a0 Từ điều kiện (2) ta có: (8 + + a + 0) chia hết cho 10 H ỏi n ế u c ả hai vòi ch ảy b ể s ẽ đ ầy sau m gi ờ? Bài 54: S ố hoc sinh gi ỏi c kh ối l ớp b ằng t s ố hoc sinh c kh ối, s ố h ọc sinh b ằng t s ố h ọc sinh c kh ối, l ại s ố h ọc sinh trung bình Bi ết r ằ ng kh ối l ớp ch ỉ phân làm lo ại h ọc sinh trung bình, khá, gi ỏi s ố h ọc sinh trung bình nhi ều h ơn s ố h ọc sinh 20 em Tính: a) S ố h ọc sinh c kh ối l ớp 5? b) S ố h ọc sinh trung bình, khá, gi ỏi c kh ối Bài 55: T ỉ s ố h ọc sinh nam h ọc sinh n ữ c m ột tr ường Nế u tr ường có 50 h ọc sinh nam chuy ển t tr ường khác đ ến s ố h ọc sinh nam b ằng s ố h ọc sinh n ữ Tính s ố h ọc sinh n ữ c tr ường Bài 56: Ba l ớp 5A, 5B, 5C tr ồng đ ược 204 Bi ết t ỉ s ố s ố trông đ ược 17 c ủ a l ớp 5B so v ới l ớp 5A , t ỉ s ố s ố tr ồng đ ược c l ớp 5C so v ới 5B 16 H ỏi m ỗi l ớp tr ồng d ược cây? Bài 57: Cho phân s ố M      11  12  13  14   19 Hãy b ớt m ột s ố h ạng t s ố m ột s ố h ạng m ẫu s ố cho giá tr ị phân s ố không thay đ ổi III ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN, TỈ LỆ NGHỊCH Bài 58: M ột t ổ làm đ ường có 15 ng ười d ự đ ịnh làm xong đo ạn d ường ngày Nh ng sau làm đ ược ngày có ng ười đ ến thêm làm H ỏi t ổ s ẽ 85 làm xong đo ạn đ ường s ớm h ơn d ự đ ịnh ngày? Bi ết su ất làm vi ệc c ủ a m ỗi ng ười nh Bài 59: M ột t ổ cơng nhân có 15 ng ười d ự đ ịnh làm xong đo ạn đ ường 20 ngày, m ỗi ngày làm vi ệc gi Nh ưng sau u c ầu ph ải hồn thành g ấp nên có thêm ng ười đ ến làm m ỗi ngày làm vi ệc 10 gi H ỏi t ổ s ẽ làm xong đoạ n đ ường s ớm h ơn d ự đ ịnh ngày? Bi ết su ất m ỗi ng ười gi làm vi ệc nh Bài 60: M ột t ổ có 10 ng ười làm ngày xong đo ạn đ ường dài 1200m a) Nế u t ổ đ ược b ổ sung thêm ng ười ph ải làm đo ạn đ ường dài 1800m c ần ngày đ ể hoàn thành? b) Nế u t ổ có 12 ng ười s ẽ làm đ ược đo ạn đ ường dài mét sau ngày làm vi ệc? c) N ế u sau ngày t ổ ph ải làm xong đo ạn đ ường dài 3000m ph ải c ần có ng ười? Bài 61: M ột đ ơn v ị b ộ đ ội có 150 ng ười đem theo 1500kg g ạo d ự đ ịnh ăn đ ủ 12 ngày Nh ưng sau ngày, có 30 ng ười chuy ển sang đ ơn v ị khác mang theo 150kg g ạo H ỏi s ố g ạo l ại đ ơn v ị có th ể ăn thêm đ ược nhi ều nh ất ngày n ữa Bi ết m ỗi ng ười ừong m ột ngày ăn h ết s ố g ạo nh Bài 62: M ột t ổ th ợ có ng ười ngày làm đ ược 75 d ụng c ụ H ỏi n ếu t ổ có ng ười làm ngày s ẽ làm đ ược d ụng c ụ Bi ết su ất m ỗi ng ười nh Bài 63: Trong m ộ t phân x ưởng may, công nhân may 25 b ộ qu ần áo m ất gi H ỏi 12 công nhân may 48 b ộ qu ần áo m ất Bi ết su ất c m ỗi ng ười đ ề u nh (Đề thi tuyển sinh chuyên ngữ lớp quận Hoàn Kiếm - Hà Nội năm học 1993 - 1994) 86 Bài 64: Có 45 cơng nhân làm m ột công vi ệc H ọ s ẽ hồn thành cơng vi ệc 10 ngày Sau làm đ ược ngày, ng ười ta chuy ển b ớt 15 công nhân đ ể làm công vi ệc khác H ỏi công nhân l ại ph ải làm ti ếp ngày n ữ a m ới hồn thành cơng vi ệc đó? IV SỐ ĐO THỜI GIAN, TỐN CHUYỂN ĐỘNG Đ ỀU Bài 65: Quãng đ ường AB m ột đo ạn đ ường d ốc M ột ng ười xe máy t A đ ến B h ế t gi ờ, lúc v ề ng ười t B v ề A h ết 40 phút Tính v ận t ốc xe máy lúc v ề , bi ết t v ận t ốc xe máy lúc v ận t ốc xe máy lúc v ề 75km/gi Bài 66: Quãng đ ường AB g ồm m ột đo ạn lên d ốc AC m ột đo ạn xu ống d ốc CB M ột xe máy lên d ốc v ới v ận t ốc 25km/gi ờ, xu ống d ốc v ới v ận t ốc 40km/gi Th ời gian t A đ ến B v ề t B đ ến A h ết t ất c ả gi 18 phút Tính chi ều dài quãng đ ường AB Bài 67: M ột ng ười b ộ t A đ ến B r ồi t B tr v ề A Th ời gian c ả v ề m ất gi 41 phút Quãng đ ường t A đ ến B g ồm m ột đo ạn lên d ốc, m ột đo ạn xu ống d ốc, m ột đo ạn đ ường n ằm ngang H ỏi đo ạn đ ường n ằm ngang dài ki-lômét, bi ết v ận t ốc lên d ốc 4km/gi ờ, v ận t ốc xu ống d ốc 6km/gi ờ, v ận t ốc đoạ n đ ường n ằ m ngang 5km/gi đo ạn đ ường AB dài 9km? Bài 68: Quãng đ ường AB dài 30km Cùng m ột lúc xe ô tô t A qua B v ề c v ới v ậ n t ốc 65km/gi ờ, xe máy t B v ề c v ới v ận t ốc 50km/gi (B n ằm gi ữa A C) H ỏi sau xu ất phát xe tơ đu ổi k ịp xe máy? Bài 69: Lúc gi ờ, m ột xe t ải ch ạy t Hà N ội v ề Qu ảng Ninh v ới v ận t ốc 48km/gi Lúc 10 gi ờ, m ột xe ch ạy t Hà N ội v ề Qu ảng Ninh đ ường v ới xe t ả i vói v ận t ốc 72km/gi H ỏi sau xu ất phát xe tơ đu ổi k ịp xe t ả i n hai xe g ặp cách Hà N ội ki-lô-mét? Bài 70: Lúc gi m ột ng ười xe khách t A đ ến B đ ến B lúc gi 30 phút, v ậ n t ốc xe khách 40km/gi Lúc 12 gi 15 phút ng ười t ắc-xi t B v ề A v ới v ận t ốc 50km/gi H ỏi ng ười v ề đ ến A lúc m gi ờ? 87 Bài 71: Lúc gi ờ, m ột xe t ải t À đ ến B v ới v ận t ốc 40km/gi Sau xe t ải đ ượ c n ửa gi ờ, xe ô tô xu ất phát t B đ ến A v ới v ận t ốc 60km/gi Bi ết quãng đ ườ ng AB dài 170km, h ỏi hai xe g ặp lúc m gi ờ? Bài 72: A B ch y thi Bi ết r ằng sau xu ất phát đ ược 50 giây kho ảng cách gi ữ a A B 20m A v ề đích tr ước v ới thành tích phút 15 giây B v ề đích sau A giây Tính v ận t ốc c A B c ả đo ạn đ ường đua Bài 73: M ột ô tô t A đ ến B h ết 3,24 gi N ếu v ận t ốc c ô tô tăng thêm 10km m ỗi gi tơ ch ỉ h ết gi 42 phút Tính quãng đ ường AB Bài 74: Lúc gi 30 phút, m ột ng ười xe đ ạp t A đ ến B v ới v ận t ốc 15km/gi Sau đó, m ộ t ng ười xe máy xu ất phát t A đ ể đ ến B v ới v ậ n t ốc 36km/gi H ỏi ng ười xe máy ph ải kh ởi hành lúc đ ể đ ến B m ột lúc v ới ng ười xe đ ạp, bi ết r ằ ng quãng đ ường AB dài 54km (Trích đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học tỉnh Bắc Giang năm học 2002 - 2003) Bài 75: Ba xe ô tô kh ởi hành m ột lúc t A đ ến B, v ận t ốc c ô tô th ứ nh ất 30km/gi ờ, v ận t ốc c ô tô th ứ hai 45km/gi tô th ứ ba đ ến s ớm h ơn ô tô th ứ nhấ t 30 phút ch ậm h ơn tơ th ứ hai 40 phút Tính quãng đ ường AB v ận t ốc c ủ a tơ th ứ ba (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp trường Amsterdam năm học 1993 - 1994) Bài 76: M ột ô tô t A đ ến B N ửa quãng đ ường đ ầu ô tô v ới v ận t ốc 40km/gi H ỏi n ửa quãng đ ường sau ô tô ph ải v ới v ận t ốc đ ể c ả quãng đ ườ ng v ận t ốc trung bình 48km/gi (Trích đề thi học sinh giỏi lớp năm học 1979 - 1980) Bài 77: M ột ca nô ch ạy m ột khúc sông t b ến A đ ến b ến B Khi xi dòng m ấ t gi ờ, ng ược dòng m ất gi Tính chi ều dài khúc sông t A đ ến B, bi ết v ậ n t ốc c ca nơ xi dòng h ơn v ận t ốc c ca nơ ng ược dòng 6km/gi 88 Bài 78: Lúc gi 15 phút sáng, m ột ca nơ xi dòng t b ến A v ề b ến B ngh ỉ l ại gi tạ i B r ồi ng ược d ờng v ề đ ến A lúc gi 35 phút chi ều ngày Tính chi ều dài AB, bi ết r ằng th ời gian ca nơ xi dòng h ơn th ời gian ca nơ ng ược dòng 40 phút v ận t ốc dòng n ước 50m/phút Bài 79: M ột đoàn tàu h ỏa dài 200m ch ạy l ướt qua m ột ng ười xe máy ng ược chi ều h ế t giây Bi ết v ận t ốc c ng ười xe máy 36km/gi ờ, tính v ận t ốc c đoàn tàu h ỏa Bài 80: M ột ng ười xe máy v ới v ận t ốc 49km/gi nh ận th xe c l ướt qua m ộ t đồn tàu h ỏa ch ạy chi ều phút Bi ết r ằng v ận t ốc c tàu h ỏa 40km/gi ờ, tính chi ều dài đoàn tàu h ỏa? Bài 81: M ột đoàn tàu h ỏa qua m ột chi ếc c ầu dài 37lm m ất 47 giây V ới v ận t ốc đó, đồn tàu h ỏa ng ược qua ng ười b ộ có v ận t ốc 1m/giây giây Tính chi ều dài v ận t ốc đoàn tàu Bài 82: An dừ ng xe tr ước ch ắn đ ường theo dõi đoàn tàu h ỏa ch ạy ngang qua tr ước m ặ t h ết 12 giây Cũng v ới v ận t ốc đó, đồn tàu h ỏa ch ạy qua m ột c ầ u dài 980m h ết 82 giây Tính v ận t ốc chi ều dài đồn tàu (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp trường Marie Curie (Hà Nội) năm 1998) V HÌNH HỌC Bài 83: Cho hình bên (hình 16) Bi ết chu vi tam giác ABC 120cm, t chu vi c hai tam giác ABN ACM 180cm Tính chu vi tam giác AMN 89 Bài 84: Cho hình v ẽ bên Tam giác ABD có DA = DB Tam giác AEC có EA = EC O ểm gi ữa c ủ a c nh BC a) So sánh chu vi tam giác ADO v ới chu vi tam giác AOE b) So sánh chu vi tam giác ADE v ới đ ộ dài c ạnh BC c) T chu vi hai tam giác ABD AEC h ơn chu vi tam giác ABC bao nhiêu, bi ết BC = 45cm; DE = 20cm Bài 85: Tìm chu vi c m ột t ứ giác bi ết t l ần l ượt b ốn c ạnh li ền c ủ a t ứ giác là: 15cm, 18cm, 17cm, 16cm Đ ộ dài c ạnh l ớn nh ất, c ạnh bé nh ất c t ứ giác xen-ti-mét? Bài 86: M ột hình ch ữ nh ật có chu vi g ấp 3,6 l ần chi ều dài H ỏi chu vi g ấp m ấ y l ần chi ề u r ộng? Bài 87: Có m ột mi ếng bìa hình vng c ạnh 24cm Ng ười ta c mi ếng bìa d ọc 90 theo m ột cạ nh đ ược hai hình ch ữ nh ật mà chu vi hình b ằng chu vi hình Tìm đ ộ dài c ạnh c hai hình ch ữ nh ật c đ ược Bài 88: M ột hình ch ữ nh ật có chu vi g ấp l ần chi ều r ộng N ếu tăng chi ều dài thêm 3m, tăng chi ều r ộng thêm 9m đ ược m ột hình vng Tìm s ố đo c ạnh c hình ch ữ nh ật cho Bài 89: M ộ t hình ch ữ nh ật có chi ều dài g ấp l ần chi ều r ộng N ếu b ớt chi ều dài 3m b ớt chi ều r ộng 2m đ ược m ột hình ch ữ nh ật m ới có chi ều chu vi g ấp 10 l ần chi ề u r ộng Tính chu vi hình ch ữ nh ật ban đ ầu Bài 90: Cho tam giác ABC, D ểm gi ữa c ạnh BC, E ểm gi ữa c nh AC Hai đo ạn th ẳng AD BE c I Hãy so sánh di ện tích hai tam giác AIE BID Bài 91: Cho tam giác ABC có góc A vng, AB = 40cm, AC = 60cm E ểm c nh BC, D ểm c ạnh AB cho EDAC hình thang (ED song song v ới AC) AD = 10cm Hãy tính di ện tích tam giác BED Bài 92: Cho tam giác ABC có góc A vuông, c ạnh AB = 80cm, c ạnh AC = 60cm, canh BC = 100cm Trên c nh AB l ểm M, c ạnh AC l ểm N cho MNCB hình thang có chi ều cao 24m Hãy tính di ện tích hình tam giác AMN, di ện tích hình thang MNCB 91 Bài 93: Cho tam giác ABC, đ ường cao AH, AH l ểm D cho AD g ấp đôi DH Bi ế t BH = 4cm, BC = 12cm Hãy so sánh di ện tích hai tam giác BCD ABH Bài 94: Cho tam giác ABC, đ ường cao AH b ằng 48cm, c ạnh BC = lOOcm Trên AB l ểm E D cho AE = ED = DB Trên AC l ểm M N cho AM = MN = NC Hãy: a) Tính di ện tích tam giác ABC b) Tính di ện tích tam giác BNC, BNA c) So sánh di ện tích tam giác BND, DNE, ENA d) Tính di ện tích t ứ giác DEMN Bài 95: Tứ giác ABCD hình thang (AB song song v ới CD) Di ện tích tam giác AOD, DOC, COB, AOB theo th ứ t ự S 1, S 2, S 3, S Bài 96: Cho hình thang vng ABCD có góc A D vng V ẽ đ ường cao BH AC c ắ t BH t ại G Hãy so sánh di ện tích hai tam giác DHG GBC (Thi tuyển vào lớp trường Marie Curie (Hà Nội) năm học 1997 - 1998) Bài 97: Cho hình ch ữ nh ật ABCD Trên BC l ểm M cho BM = 2MC AM c DC kéo dài t ại N N ối B v ới N, n ối A v ới C, n ối D 92 v ới M Hãy: a) So sánh di ện tích tam giác AMC BMN b) So sánh di ện tích hai tam giác AMD ABM c) Tính di ện tích tam giác MCN theo di ện tích hình ch ữ nh ật ABCD n ếu AB = a, BC = b Bài 98: Cho tam giác ABC có c ạnh đáy BC = 10cm chi ều cao AH = 5cm G ọi M trung ểm c c ạnh BC, N trung ểm c c ạnh AB P trung ể m c c ạnh AC N ối M v ới N, N v ới P P v ới M Tính di ện tích tam giác MNP Bài 99: Cho tam giác ABC, M ểm gi ữa c BC N m ột ểm n ằ m đo ạn MC, p m ột ểm n ằm đo ạn AB cho di ện tích tam giác OAP b ằng di ện tích tam giác OMN v ới O giao ểm c AM NP Ch ứ ng minh di ện tích tam giác BPN b ằng di ện tích t ứ giác APNC Suy PN đ ường th ẳng chia tam giác ABC thành hai ph ần có di ện tích b ằng Bài 100: Cho hình ch ữ nh ật ABCD Trên c ạnh AB l hai ểm M N cho: AM = MN = NB Trên c ạnh DC l ểm p cho DP = CP ND c MP t ại O N ối P v ới A Bi ết di ện tích tam giác DOP l ớn h ơn di ện tích tam giác MON 3,5cm Hãy tính di ện tích hình ch ữ nh ật ABCD Bài 101: Cho hình thang ABCD có AB song song v ới CD di ện tích b ằng 40cm Kéo dài AB m ột đo ạn BM cho AB = BM, kéo dài BC m ột đo ạn CN cho BC = CN, kéo dài CD m ột đo ạn DP cho CD = DP, kéo dài DA m ột đo ạn AQ cho DA = AQ N ối M, N, P, Q 93 Tìm di ện tích t ứ giác MNPQ Bài 102: Cho hình v ẽ bên ABCD hình ch ữ nh ật, BC = 5cm Các đ ường tròn tâm D tâm C có bán kính r = DA c c ạnh CD t ại H G a) Bi ế t di ện tích hình ch ữ nh ật ABCD b ằng m ột n ửa di ện tích hình tròn tâm D bán kính r Hãy so sánh di ện tích hình hình b) Tính đ ộ dài đo ạn GH Bài 103: Cho hình v ẽ bên 94 Bi ế t ABCD hình vng có đ ộ dài đ ường chéo AC b ằng 16cm Hai đ ường chéo AC, BD vng góc v ới t ại ểm o OA = OB = OC = OD Đ ườ ng tròn tâm O có đ ộ dài đ ường kính b ằng đ ộ dài c ạnh AB c hình vng ABCD Tính di ện tích hĩnh vng ABCD di ện tích hình tròn tâm o Bài 104: Cho hình v ẽ bên Bi ế t ABCD hình vng có hai đ ường chéo AC, BD vng góc v ới t ại ểm O OA = OB = OC = OD Đ ườ ng tròn tâm O có đ ộ dài đ ường kính b ằng đ ộ dài c ạnh AB c hình vng ABCD Tính di ện tích hình vng ABCD bi ết di ện tích hình tròn S = 50,24cm Bài 105: Cho hình v ẽ bên Bi ế t ABCD hình vng có hai đ ường chéo AC, BD vng góc v ới t ại ểm o 95 OA = OB = OC = OD Đ ườ ng tròn tâm O có đ ộ dài đ ường kính b ằng đ ộ dài đ ường chéo AC c hình vng ABCD Tính di ện tích hình vng ABCD bi ết di ện tích hình tròn 25,12cm Bài 106: Cho hai hình vng ABCD MNPQ nh hình v ẽ Bi ết BD = 12cm Hãy tính di ện tích ph ần g ạch chéo, (hình 25) VI MỘT SỐ BÀI TẬP DÙNG PH ƯƠNG PHÁP SUY LU ẬN LOGIC, PH ƯƠNG PHÁP KHỬ, GIẢ THIẾT TẠM VÀ TÍNH NG ƯỢC TỪ D ƯỚI LÊN Bài 107: Trong m ộ t bu ổi h ọc n ữ công, ba b ạn Mai, Lan, Đào làm hoa Mai, Lan, Đào B ạn làm hoa Đào nói v ới Mai: “Th ế ch ủng ta khơng có làm lo ại hoa trùng v ới tên c c ả” H ỏi làm hoa nào? Bài 108: Ba b ạn Mai, H ương Lan m ặc ba chi ếc áo màu tr ắng, vàng, xanh cài ba n màu tr ắng, vàng, xanh Bi ết r ằng: a) Ch ỉ có b n Mai có màu áo màu n gi ống b) Màu áo màu n c H ương đ ều không ph ải màu tr ắng c) Lan cài n màu xanh Hãy xác đ ịnh xem b ạn m ặc áo màu cài n màu gì? (Trích đề thi học sinh giỏi tốn lớp Thành phố Cần Thơ năm học 1997 - 1998) 96 Bài 109: Trong m ộ t b ảng thi đ ấu c vua có đ ội: Th ắng L ợi, Vinh Quang, H ải D ươ ng, Anh Dũng Ng ười ta đ ưa d ự đoán: a) Đ ội Th ắ ng L ợi nhì, đ ội Vinh Quang nh ất b) Đ ội Vinh Quang nhì, đ ội Anh Dũng ba c) Đ ội H ải D ương nhì, đ ội Anh Dũng t Sau thi đ ấu, k ết qu ả m ỗi d ự đốn đ ều có m ột ý m ột ý sai Hãy xác đ ịnh th ứ t ự c m ỗi đ ội (Trích đề thi học sinh giỏi tốn lớp Thị xã Hải Dương năm học 1994 -1995) Bài 110: Ai xem ca nh ạc? M ộ t gia đình có năm ng ười: bà n ội, b ố, m ẹ hai b ạn Chi, B ảo M ột hơm gia đình đ ượ c t ặng vé m ời xem ca nh ạc Năm ý ki ến c năm ng ười nh sau: a) “Bà n ội m ẹ đi” ; ‘ b) “B ố m ẹ đi”; c) “B ố bà n ội đi”; d) “Bà n ội Chi đi”; e) “B ố B ảo đi” Sau cùng, m ọi ng ười theo ý ki ến c bà n ội nh v ậy ý ki ến c m ọi ng ười khác đ ều có m ột ph ần Bà n ội nói câu nào? Bài 111: Bạ n Nam mua bút bi bút m ực h ết 27000 đ ồng B ạn S ơn mua bút bi bút m ực h ết 23000 đ ồng H ỏi giá ti ền m ột chi ếc bút m ỗi lo ại bao nhiêu? Bài 112: S ố ti ền ph ải tr ả mua 1kg táo 1kg lê 45000 đ ồng, s ố ti ền ph ải tr ả 97 mua 1kg lê 1kg cam 55000 đ ồng, n ếu mua 1kg cam 1kg táo ph ải tr ả 50000 đ ồng Tính giá ti ền 1kg c m ỗi lo ại qu ả Bài 113: M ột l ớp h ọc, n ếu x ếp h ọc sinh ng ồi vào m ột b ộ bàn gh ế th ừa em N ế u x ếp h ọc sinh ng ồi vào m ột b ộ b ản gh ế th ừa b ộ bàn gh ế H ỏi l ớp h ọc có b ộ bàn gh ế, h ọc sinh? Bài 114: Có 536kg g ạo đóng hai lo ại bao: m ột lo ại 25kg m ỗi bao, m ột lo ại 48kg m ỗi bao T s ố bao 15 H ỏi m ỗi lo ại có bao? Bài 115: Bài tốn c ổ Vừa gà vừa chó Bỏ lại cho tròn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn H ỏi có gà? Bao nhiêu chó? Bài 116: Bài toán c ổ Trăm trâu trăm cỏ Trâu đứng ăn năm, Trâu nằm ăn ba Lụ khụ trâu già, Ba bỏ H ỏi có trâu đ ứng, trâu n ằm, trâu già? 98 Bài 117 : M ộ t ng ười bán tr ứng, ngày th ứ nhât bán s ố tr ứng qu ả, ngày th ứ 10 hai bán 17 s ố tr ứng l ại, ngày th ứ ba bán đ ược 28 qu ả v ừa h ết s ố tr ứng Tính t s ố tr ứng ban đ ầu Bài 118: M ột ng ười bán cam, l ần th ứ nh ất ng ười bán s ố cam qu ả L ần 1 th ứ hai ng ười bán s ố cam l ại qu ả L ần th ứ ba ng ười bán s ố cam l ại qu ả L ần th ứ t bán 10 qu ả v ừa h ết s ố cam H ỏi s ố cam lúc đ ầu có qu ả? 99 ... = 50 50 Nửa tổng dãy số là: 50 50 : = 252 5 Xét S = + + + + + +71 Ta có: S = (71 + 1) : × 71 = 255 6 Ta thấy: 255 6 > 252 5 Nếu ta thay số hạng t S b ằng s ố t 72 đ ến 100 đ ều đ ược tổng lớn 255 6... s ố khác Ví d ụ: = × 1; 10 = × 2; 15 = × 5; 20 = × 5; 25 = × 5; Vậy tích A phân tích thành m ột tích mà có 22 th ừa s ố (vì 25 = × 5; 50 = × × 5; 75 = × × 5) Một thừa số nhân với số chẵn cho... 32: So sánh phân s ố: 12 15 Bài giải: 13 12  12 1 16 15  15 1     1 ;     1 12 12 12 12 15 15 15 15 15 Ta có: 12 1 1 13 16  1  1  12 15 , 12 15 Vì 12 15 nên a c Chú ý: Nếu hai