mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG MÃ SỐ ĐỀ TÀI: S2018.480.03 Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên(TN) Bình Định, 04/2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG MÃ SỐ ĐỀ TÀI: S2018.480.03 Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên(TN) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Vũ Trung Thịnh, Nam Lưu Mỹ Thùy Lam, Nữ Hồ Quốc Tuấn, Nam Dân tộc: Kinh Lớp: Sư phạm Toán K40 Năm thứ: 2/4 Sư phạm Toán K40 Năm thứ: 2/4 Sư phạm Toán K40 Năm thứ: 2/4 Khoa: Toán Ngành học: Sư phạm Toán Giảng viên hướng dẫn: TS Lê Cơng Trình Bình Định, 04/2019 THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Thông tin chung - Tên đề tài: Một số bất đẳng thức ma trận ứng dụng - Mã số đề tài: S2018.480.03 - Nhóm sinh viên thực hiện: Nguyễn Vũ Trung Thịnh Lưu Mỹ Thùy Lam Hồ Quốc Tuấn - Lớp: Sư phạm Toán K40, Khoa Toán Năm thứ: 2/4 Sư phạm Toán K40, Khoa Toán Năm thứ: 2/4 Sư phạm Toán K40, Khoa Toán Năm thứ: 2/4 - Giảng viên hướng dẫn: TS Lê Cơng Trình Mục tiêu đề tài - Nghiên cứu số bất đẳng thức ma trận liên quan đến giá trị riêng giá trị kỳ dị; - Nghiên cứu số bất đẳng thức liên quan đến chuẩn ma trận; Tính sáng tạo Giải tích ma trận hướng nghiên cứu có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Bất đẳng thức ma trận, đặc biệt, bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI), nội dung quan trọng Giải tích ma trận, với nhiều ứng dụng, chẳng hạn tính tốn khoa học, lý thuyết điều khiển, vật lý toán, thống kê, kinh tế, đặc biệt lĩnh vực Lý thuyết thông tin lượng tử Đề tài thực nhằm nghiên cứu số bất đẳng thức ma trận biết, đồng thời cố gắng đề xuất số bất đẳng thức ma trận tìm hiểu số ứng dụng chúng Kết nghiên cứu Đề tài trình bày số kết tiêu biểu sách X Zhan số bất đẳng thức cho ma trận Cụ thể, đề tài đạt kết sau đây: (1) Trình bày số bất đẳng thức ma trận quan hệ thứ tự Lăowner (2) Trỡnh by c mt s bt ng thc ma trận liên quan đến làm trội hóa, chúng tơi chứng minh hai định lí giá trị riêng tích Hadmard ma trận nửa xác định dương, tổng quát hóa cho bất đẳng thức Oppenhem (3) Trình bày số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị ma trận (4) Trình bày bất đẳng thức liên quan đến chuẩn ma trận, có bất đẳng thức chuẩn cho hàm đơn điệu toán tử dạng ma trận bất đẳng thức trung bình số học - hình học Đóng góp mặt kinh tế - xã hội, giáo dục đào tạo, an ninh quốc phòng khả áp dụng đề tài Công bố khoa học sinh viên từ kết nghiên cứu đề tài Bình Định, tháng 04 năm 2019 Sinh viên chịu trách nhiệm thực đề tài Nguyễn Vũ Trung Thịnh Nhận xét người hướng dẫn đóng góp khoa học nhóm sinh viên thực đề tài: Bình Định, tháng 04 năm 2019 Xác nhận Khoa Toán Giảng viên hướng dẫn PGS TS Thái Thuần Quang TS Lê Cơng Trình THƠNG TIN VỀ SINH VIÊN CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI I SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN Họ tên: Nguyễn Vũ Trung Thịnh Ngày sinh: 9/11/1999 Nơi sinh: Pleiku - Gia Lai Lớp: Sư phạm Tốn K40 Khóa: 40 Khoa: Tốn học Địa liên hệ: 26 Lê Văn Hùng, phường Quang Trung, thành phố Quy Nhơn, tỉnh Bình Định Điện thoại: 0359750144 Email: nvtt1999hv2014@gmail.com II QUÁ TRÌNH HỌC TẬP * Năm thứ 1: Ngành học: Sư phạm Toán Khoa: Toán học Kết xếp loại học tập: Khá Sơ lược thành tích: Điểm trung bình tích lũy (Hệ 10) : 7.54 Điểm trung bình tích lũy (Hệ 4) : 3.05 Xếp loại rèn luyện sinh viên : Xuất sắc * Năm thứ 2: Ngành học: Sư phạm Toán Khoa: Toán học Kết xếp loại học tập: Khá Sơ lược thành tích: Điểm trung bình tích lũy (Hệ 10) : 7.75 Điểm trung bình tích lũy (Hệ 4) : 3.07 Xếp loại rèn luyện sinh viên : Xuất sắc Bình Định, tháng 04 năm 2019 Xác nhận Khoa Toán PGS TS Thái Thuần Quang Sinh viên Nguyễn Vũ Trung Thịnh Mở đầu Giải tích ma trận hướng nghiên cứu có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Đặc biệt, bất đẳng thức ma trận nói chung bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) nói riêng có nhiều ứng dụng lĩnh vực tính tốn khoa học, lý thuyết điều khiển, vật lý toán, thống kê, kinh tế, thông tin lượng tử, Đề tài thực nhằm tìm hiểu bất đẳng thức cho ma trận phức Cụ thể, đề tài nghiên cứu bất đẳng thức ma trận quan hệ thứ t Lăowner, cỏc bt ng thc ma trn liờn quan đến giá trị riêng, giá trị kỳ dị; làm trội bất đẳng thức, bất đẳng thức lũy thừa ma trận, bất đẳng thức liên quan đến chuẩn ma trận, Đề tài chọn lọc trình bày lại số kết tiêu biểu sách "Matrix inequalities" tác giả Xingzi Zhan xuất năm 2002 [1] Trong trình thực hoàn thành đề tài “Một số bất đẳng thức ma trận ứng dụng”, nhóm sinh viên thực đề tài nhận nhiều giúp đỡ, tạo điều kiện lãnh đạo Nhà trường q thầy Khoa Tốn, Trường Đại học Quy Nhơn Chúng tơi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành giúp đỡ Nhóm sinh viên thực đề tài xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Lê Cơng Trình – người trực tiếp hướng dẫn khoa học, dành nhiều thời gian, công sức hướng dẫn nhóm suốt q trình thực nghiên cứu hồn thành đề tài Cuối cùng, nhóm thực xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, người thân động viên, khích lệ giúp đỡ chúng tơi q trình hồn thiện đề tài Do điều kiện thời gian lực hạn chế, đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót định Chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến q thầy cơ, bạn bè để cải tiến hoàn thiện kết mà chúng tơi đạt NHĨM SINH VIÊN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Mục lục Mở đầu 1 Một số bất đẳng thức quan hệ thứ t Lă owner 1.1 Bt ng thc Lăowner - Heinz 1.2 Ánh xạ không gian ma trận 1.3 Các bất đẳng thức lũy thừa ma trận 1.4 Kỹ thuật ma trận khối Sự làm trội hóa giá trị riêng 10 2.1 Sự làm trội hóa 10 2.2 Giá trị riêng tích Hadamard 14 Các bất đẳng thức giá trị kỳ dị 19 3.1 Bất đẳng thức Young ma trận 19 3.2 Giá trị kì dị tích Hadamard 20 3.3 Bất đẳng thức giá trị kỳ dị hệ tử ma trận 21 Các bất đẳng thức liên quan đến chuẩn ma trận 23 4.1 Hàm đơn điệu toán tử 25 4.2 Bất đẳng thức trung bình số học - hình học 29 Kết luận 32 Chương Một số bất đẳng thc i vi quan h th t Lă owner Trong chương chúng tơi trình bày số bất đẳng thức tập hợp Mn ma trận phức cấp n i vi quan h th t Lăowner gia cỏc ma trận Trước hết giới thiệu số khái niệm ký hiệu dùng toàn đề tài Các khái niệm kết toàn đề tài chúng tơi trình bày lại từ sách Zhan ([1]) Cho A = (aij ) ∈ Mn Ma trận liên hợp A định nghĩa A∗ := (¯ aji ) Ma trận A gọi Hermite A∗ = A Ma trận đường chéo Mn với phần tử đường chéo a1 , , an ∈ C ký hiệu diag(a1 , , an ) Tích vơ hướng hai vectơ x = (xi ), y = (yi ) ∈ Cn định nghĩa n x, y := xi y¯i i=1 Độ dài Euclide vectơ x ∈ Cn định nghĩa x := x, x Một ma trận Hermite A ∈ Mn gọi nửa xác định dương (ký hiệu A ≥ 0) Ax, x ≥ với x ∈ Cn A gọi xác định dương (ký hiệu A > 0) Ax, x > với x ∈ Cn , x = A nửa xác định dương giá trị riêng A không âm A xác định dương giá trị riêng A dương Với hai ma trận Hermite A, B, ta định nghĩa A ≤ B (hay B ≥ A) B − A ≥ Quan hệ thứ tự "≤" định nghĩa nh trờn c gi l quan h th t Lăowner, quan hệ thứ tự phận tập hợp gồm ma trận Hermite Mn Cho f : Ω ⊆ R −→ R hàm số liên tục Cho H ∈ Mn ma trận Hermite với giá trị riêng Ω Khi tồn ma trận unita U Mn cho H = U diag(λ1 , , λn )U ∗ Ta gọi biểu diễn phân tích phổ H Khi ta định nghĩa f (H) := U diag(f (λ1 ), , f (λn ))U ∗ Đặc biệt, với f (t) = tr , t ∈ Ω, r ∈ R, với A ma trận Hermite có giá trị riêng Ω, lũy thừa Ar ma trận A định nghĩa Chuẩn phổ (hay chuẩn toán tử ) A ∈ Mn định nghĩa A := ∞ max Ax x∈Cn , x =1 Chuẩn phổ thỏa mãn tính chất nhân tính: AB ≤ A ∞ B ∞ ∞ Ma trận A gọi phép co rút (contraction) A ∞ ≤ Với A ∈ Mn , đại lượng ρ(A) := max{|λ|, λ ∈ C giá trị riêng A} gọi bán kính phổ A Chú ý ρ(AB) = ρ(BA), and ρ(A) A 1.1 Bt ng thc Lă owner - Heinz Trong phần chúng tơi trình bày bất đẳng thc Lăowner-Heinz cho cỏc ma trn na xỏc nh dng Định lý 1.1 Cho A, B ∈ Mn thỏa mãn A ≥ B ≥ ≤ r ≤ Khi Ar ≥ B r (1.1) Chứng minh Ký hiệu ∆ tập hợp số mũ r ∈ [0, 1] cho bất đẳng thức (1.1) thỏa mãn Rõ ràng 0, ∈ ∆ ∆ tập đóng Ta chứng minh ∆ lồi Thật vậy, giả sử A > s, t ∈ ∆ Khi A −s BsA −s −t A BtA ≤ I, −t ≤ I Một cách tương đương s B2A −s t ∞ ≤ 1, B A −t ≤ ∞ Do A −(s+t) B s+t A −(s+t) ∞ =ρ A −(s+t) =ρ A −s = A = −s B B s B A s ≤ B A B (s+t) s+t −s −s s+t A A A −t ∗ ∞ −(s+t) −t ∞ t B A −t t −t B A ∞ ∞ ≤ Vì A −(s+t) B s+t A −(s+t) ≤ I, suy B s+t ≤A s+t , tức lồi Từ suy ∆ = [0, 1] Định lí chứng minh xong s+t ∈ ∆ Suy ∆ tập Chương Các bất đẳng thức giá trị kỳ dị Trong chương chúng tơi trình bày bất đẳng thức giá trị kỳ dị ma trận Mn Các khái niệm kết chương chúng tơi trình bày lại từ sách X Zhan [1] Các giá trị kỳ dị ma trận A ∈ Mn định nghĩa giá trị riêng giá trị tuyệt đối |A| ≡ (A∗ A)1/2 ma trận A, ký hiệu s(A) ≡ (s1 (A), , sn (A)) với s1 (A) ≥ · · · ≥ sn (A) giá trị kỳ dị A Chú ý rằng, |A| ≤ |B| ⇒ sj (A) ≤ sj (B) với j ⇒ A ≤ B , · ký hiệu cho chuẩn bất biến unita Mn Chú ý thêm giá trị kỳ dị bất biến unita, tức s(U AV ) = s(A) với A ∈ Mn với ma trận unita U, V 3.1 Bất đẳng thức Young ma trận Trong phần chúng tơi trình bày dạng ma trận bất đẳng thức Young cổ điển giá trị kỳ dị Định lý 3.1 ([1, Theorem 3.2]) Cho p, q > với 1 + = Khi với ma trận A, B ∈ Mn p q bất kỳ, ta có sj (AB ∗ ) ≤ sj |A|p |B|q + p q j = 1, 2, , n (3.1) j = 1, 2, , n (3.2) Trong Định lý 3.1, cho p = q = 2, ta nhận Hệ 3.2 Với X, Y ∈ Mn , ta có sj (XY ∗ ) ≤ sj (X ∗ X + Y ∗ Y ) , Định lý 3.1 tương đương với phát biểu: Tồn ma trận unita U, phụ thuộc vào A, B, cho U |AB ∗ | U ∗ ≤ 19 |A|p |B|q + p q 3.2 Giá trị kì dị tích Hadamard Cho A = (aij ) ∈ Mn Ta xếp độ dài Euclid hàng cột ma trận A theo thứ tự giảm dần sau: r1 (A) ≥ r2 (A) ≥ ≥ rn (A) c1 (A) ≥ c2 (A) ≥ ≥ cn (A) n (|aij |2 ) Như rk (A) giá trị lớn thứ k , i = 1, 2, , n, j=1 n (|aij |2 ) ck (A) giá trị lớn thứ k , j = 1, 2, , n i=1 Ví dụ 3.3 Cho ma trận A= √ Khi r3 (A) = 12 + 22 + 32 ; √ r2 (A) = 42 + 52 + 62 ; √ r1 (A) = 72 + 82 + 92 Kết phần định lý sau Định lý 3.4 Với A, B ∈ Mn , ta có s(A ◦ B) ≺w {min{ri (A), ci (A)}si(B)} (3.3) Để chứng minh định lý này, cần bổ đề sau Bổ đề 3.5 Với A, B, C ∈ Mn , ma trận (A ◦ B)C (A ◦ C T )B T có đường chéo Đặc biệt, tr(A ◦ B)C = tr(A ◦ C T )B T Một ma trận A gọi đẳng cự phận hạng r (rank r partial isometry) A có r giá trị kỳ dị 1, giá trị kỳ dị lại Bổ đề 3.6 Cho C ∈ Mn ≤ k ≤ n Khi tồn ma trận đẳng cự phận hạng k, Ck ∈ Mn , cho k si (C) = tr(C.Ck ) i=1 Bổ đề 3.7 Mọi ma trận B ∈ Mn biểu diễn dạng n B= ui Ki , i=1 20 ui ≥ 0, Ki ma trận đẳng cự phận hạng i thỏa mãn n ui = sk (B), k = 1, , n i=k Bổ đề 3.8 Cho A ∈ Mn α1 ≥ α2 ≥ ≥ αn ≥ Nếu s(A ◦ B) ≺ω {αi s1 (B)}, ∀B ∈ Mn (3.4) s(A ◦ B) ≺ω {αi si (B)}, ∀B ∈ Mn (3.5) Bổ đề 3.9 Với ma trận A, B ∈ Mn ta có si (A ◦ B) ≤ min{ri (A), ci (A)}s1 (B), i = 1, 2, , n Chứng minh Ta có (A ◦ B)∗ (A ◦ B) ≤ (A∗ A) ◦ (B ∗ B) Vì B ∗ B ≤ s1 (B)2 I (A ◦ B)∗ (A ◦ B) ≤ (A ∗ A) ◦ (s1 (B)2 I) (3.6) Chú ý với ≤ X ≤ Y , ta có si (X) ≤ si (Y ), với i = 1, 2, Theo định nghĩa ci (A), (3.6) suy si (AoB) ≤ ci (A)s1 (B) (3.7) Thay A, B (3.7) A∗ , B ∗ , ta nhận si (A ◦ B) ≤ ri (A)s1 (B) Bổ đề chứng minh Bây chúng tơi trình bày chứng minh cho Định lý 3.4 Chứng minh Định lý 3.4 Đặt αi = min{ri (A), ci (B)} Từ Bổ đề 3.8 ta nhận s(A ◦ B) ≺ω {αi s1 (B)} Áp dụng Bổ đề 3.7, ta có (3.3) Định lí chứng minh 3.3 Bất đẳng thức giá trị kỳ dị hệ tử ma trận Gọi λ1 , , λn giá trị riêng ma trận A = (aij ) ∈ Mn Bất đẳng thức Schur nói rằng: n n |aij |2 = A 22 |λj | ≤ j=1 i,j=1 21 Đẳng thức xảy A ma trận chuẩn tắc Định lý Schur cho liên hệ giá trị riêng với hệ tử ma trận Ta có hai liên hệ sau giá trị kỳ dị với hệ tử ma trận n max |aij | ≤ s1 (A) i,j n sj (A)2 |aij | = i,j=1 j=1 Tổng quát hơn, có định lý sau Định lý 3.10 Gọi s1 , s2 , , sn giá trị kỳ dị ma trận A = (aij ) ∈ Mn Khi n n spj |aij |p với < p ≤ 2, ≤ j=1 (3.8) i,j=1 n n spj |aij |p với p ≥ ≥ j=1 (3.9) i,j=1 Đặc biệt nhận hệ quả, cho liên hệ giá trị riêng với hệ tử ma trận Hệ 3.11 Cho λ1 , , λn giá trị riêng A = (aij ) ∈ Mn Khi n n |aij |p với < p ≤ |λj |p ≤ j=1 i,j=1 Chú ý rằng, với p = ta nhận lại Bất đẳng thức Schur Cho A = (aij ) ∈ Mn p > Ký hiệu A|◦|p := (|aij |p ) ∈ Mn Với A, B ∈ Mn , ký hiệu A ≤e B nghĩa B − A ma trận khơng âm Khi ta có kết sau Định lý 3.12 Cho A ∈ Mn , p, q số thực thỏa mãn < p ≤ q ≥ Khi tồn ma trận ngẫu nhiên kép B, C ∈ Mn cho sn (A)p B ≤e A|◦|p (3.10) A|◦|p ≤e s1 (A)q C (3.11) 22 Chương Các bất đẳng thức liên quan đến chuẩn ma trận Trong chương chúng tơi trình bày bất đẳng thức liên quan đến chuẩn ma trận Toàn khái niệm kết chương chúng tơi trình bày lại từ sách X Zhan [1] Trước tất chuẩn không gian hữu hạn tương đương, theo · nghĩa cho hai chuẩn α · β, tồn số dương c1 c2 cho c1 x α ≤ x β ≤ c2 x α , ∀x Do đó, tất chuẩn không gian vectơ hữu hạn sinh tơpơ Vì vậy, vấn đề tôpô, lựa chọn khác chuẩn khơng có sai khác Mặt khác, ứng dụng, giải vấn đề cụ thể, dùng chuẩn thuận tiện so với dùng chuẩn khác Chẳng hạn, chuẩn phổ có tính chất hình học tốt, khó để tính giá trị xác nó, chuẩn Frobenius dễ tính tốn khơng phù hợp để mơ tả vấn đề Vì vậy, cần nhiều loại chuẩn khác Nhắc lại chuẩn · Mn gọi bất biến unita (unitarily invariant) U AV = A với A với ma trận unita U, V Định lý phân tích giá trị kỳ dị (SVD) khẳng định với A ∈ Mn , tồn ma trận unita U, V ∈ Mn cho A = U diag (s1 (A), , sn (A)) V Do đó, chuẩn bất biến unita hàm giá trị kỳ dị von Neumann chứng minh hàm hàm gauge đối xứng, tức hàm chuẩn Φ Rn thỏa mãn: (i) φ(P x) = Φ(x) với ma trận hoán vị P x ∈ Rn ; (ii) φ ( x1 , , n xn ) = φ (x1 , , xn ) j = ±1 Nói cách khác, có tương ứng 1-1 chuẩn bất biến unita hàm gauge đối xứng φ, với liên hệ cho bởi: A φ = φ (s1 (A), , sn (A)) với A ∈ Mn 23 · φ Bên cạnh p-chuẩn Schatten giới thiệu chương trước, ta giới thiệu chuẩn không phần quan trọng k-chuẩn Fan: k A = (k) ≤ k ≤ n sj (A), j=1 Chú ý Cho · · (1) = · ∞ · (n) = · chuẩn Mn Chuẩn kép (dual norm) · Mn tương ứng với tích vơ hướng Frobenius định nghĩa A D ≡ max {|tr AB ∗ | : B = 1, B ∈ Mn } Dễ dàng chứng minh chuẩn kép chuẩn bất biến unita chuẩn bất biến unita Theo Hệ 2.11, chuẩn kép chuẩn bất biến unita biểu diễn n A D sj (A)sj (B) : B = 1, B ∈ Mn = max (4.1) j=1 Như ta có · D D = · Cho γ = (γ1 , , γn ) với γ1 ≥ · · · ≥ γn ≥ 0, định nghĩa n A γ ≡ A ∈ Mn γj sj (A), j=1 Khi đó, chuẩn bất biến unita Sử dụng ký hiệu này, từ (4.1), nhận Bổ đề 4.1 Cho · chuẩn bất biến unita Mn Ký hiệu Γ = s(X) : X Khi với A, ta có A = max { A γ : γ ∈ τ} Từ bổ đề công thức n−1 A γ (γj − γj+1 ) A = (j) + γn A j=1 ta có Bổ đề 4.2 (Nguyên lý làm trội Fan) Cho A, B ∈ Mn Nếu A (k) ≤ B với k = 1, 2, , n A ≤ B với chuẩn bất biến unita 24 (k) (n) , D = 1, X ∈ Mn 4.1 Hàm đơn điệu toán tử Trong phần này, chúng tơi trình bày số bất đẳng thức liên quan đến hàm đơn điệu toán tử trình bày số ứng dụng Bổ đề 4.3 Gọi A ∈ Mn ma trận Hermite Khi đó, với cho ≤ k ≤ n k k λj (A) = max j=1 Axj , xj , j=1 maximum lấy tất trực giao (x1 , , xk ) C n Theo Định lý 1.2, hàm đơn điệu tốn tử khơng âm f (t) [0, ∞) có biểu diễn dạng tích phân sau ∞ f (t) = α + βt + st dµ(s), s+t (4.2) α, β ≥ số µ độ đo dương [0, ∞) Trong trường hợp này, với A ≥ với vectơ u, ta có ∞ s A(A + sI)−1 u, u dµ(s) f (A)u, u = α u, u + β Au, u + (4.3) Vì f (t) tăng, với j = 1, 2, , n, vectơ riêng đơn vị uj A tương ứng với giá trị riêng λj (A) trở thành vectơ riêng đơn vị f (A) tương ứng với giá trị riêng λj (f (A)) = f (λj (A)) Do đó, theo định nghĩa chuẩn Fan, k f (A) (k) = f (A)uj , uj , k = 1, 2, , n (4.4) j=1 Định lý 4.4 Cho A, B ma trận nửa xác định dương · chuẩn bất biến unita Khi (i) Với hàm đơn điệu tốn tử khơng âm f (t) [0, ∞), f (A + B) ≤ f (A) + f (B) (4.5) (ii) Với hàm không âm g(t) [0, ∞) với g(0) = g(∞) = ∞ cho hàm ngược hàm đơn điệu tốn tử, ta có g(A + B) ≥ g(A) + g(B) (4.6) Chứng minh định lý áp dụng liên tiếp hai bổ đề sau Nhắc lại, chuẩn Frobenius (tức là, 2-chuẩn Schatten) ma trận X = (xij ) cấp l × m định nghĩa X F 2 |xij |2 ≡ {tr (X ∗ X)} = {tr (XX ∗ )} = i,j 25 Rõ ràng chuẩn Frobenius bất biến unita, theo nghĩa U XV F = X F với X với ma trận unita U ∈ Ml V ∈ Mm Bổ đề 4.5 Cho ma trận C ≥ 0, λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn giá trị riêng với vectơ riêng trực giao tương ứng v1 , , Lấy số nguyên k với ≤ k ≤ n định nghĩa ma trận cỡ n × k U1 ma trận cỡ n × (n − k) U2 sau U1 ≡ (vn , vn−1 , , vn−k+1 ) U2 ≡ (vn−k , vn−k−1 , , v1 ) Khi đó, với ma trận Hermite H, HCU1 F ≤ CHU1 F HCU2 F ≥ CHU2 F Chứng minh Đặt D1 ≡ diag (λn , λn−1 , , λn−k+1 ) , D2 ≡ diag (λn−k , λn−k−1 , , λ1 ) Khi đó, theo định nghĩa, ta có CU1 = U1 D1 CU2 = U2 D2 Vì ma trận W ≡ (U1 , U2 ) W ∗ unita, nên có HCU1 F = W ∗ HU1 D1 F ∗ U1 HU1 D1 2F F = U1∗ HU1 D1 U2∗ HU1 D1 F = U1∗ HU1 D1 + U2∗ HU1 D1 ≤ + λ2n−k+1 U2∗ HU1 F F , áp dụng kết (U2∗ HU1 D1 ) (U2∗ HU1 D1 )∗ = (U2∗ HU1 ) D12 (U2∗ HU1 )∗ ≤ λ2n−k+1 (U2∗ HU1 ) (U2∗ HU1 )∗ Tương tự, ta có: CHU1 F = (CHU1 )∗ W = U1∗ HC · (U1 , U2 ) F = [U1∗ HU1 D1 , U1∗ HU2 D2 ] F ∗ U1 HU1 D1 2F U1∗ HU1 D1 2F + U1∗ HU2 D2 = + + F F ∗ D2 U2 HU1 2F λ2n−k U2∗ HU1 2F = U1∗ HU1 D1 ≥ F Kết hợp hai bất đẳng thức ta nhận bất đẳng thức bổ đề Bằng cách tương tự ta chứng minh bất đẳng thức thứ hai 26 Bổ đề 4.6 Cho A, B ≥ gọi uj vectơ riêng trực giao A + B tương ứng với λj (A + B), j = 1, 2, , n Khi bất đẳng thức sau thỏa mãn: k k −1 A(A + I) + B(B + I) −1 (A + B)(A + B + I)−1 uj , uj uj , uj ≥ j=1 với k = 1, 2, , n j=1 Chứng minh Đặt C ≡ (A + B + I)− biểu diễn giá trị riêng sau: λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn Do (A + B)(A + B + I)−1 = CAC + CBC, để chứng minh bổ đề, ta cần chứng minh hai bất đẳng thức sau: k k −1 uj , uj ≥ A(A + I) j=1 CACuj , uj (4.7) CBCuj , uj (4.8) j=1 k k B(B + I)−1 uj , uj ≥ j=1 j=1 Với j = 1, 2, , n, vectơ uj trùng với vectơ riêng vn−j+1 C tương ứng với giá trị riêng λn−j+1 Đặt U1 ≡ (vn , vn−1 , , vn−k+1 ) = (u1 , u2 , , uk ) Khi đó, bất đẳng thức (4.7) viết tr U1∗ A(A + I)−1 U1 ≥ tr (U1∗ CACU1 ) (4.9) Áp dụng Bổ đề 4.5 với A thay cho H áp dụng bất đẳng thức C = (A + B + I)−1 ≤ (A + I)−1 , ta nhận tr (U1∗ CACU1 ) = A CU1 ≤ CA U1 ≤ tr F F 1 = tr U1∗ A C A U1 U1∗ A1/2 (A + I)−1 A U1 = tr U1∗ A(A + I)−1 U1 Khi ta có (4.9) Cuối cùng, (4.8) suy từ (4.7) cách đổi vai trò A B Điều hoàn thành chứng minh 27 Chứng minh Định lý 4.4 Có thể dễ dàng nhận thấy từ Bổ đề 4.6, với s > 0, k k s (A + B)(A + B + sI)−1 uj , uj ≤ j=1 sA(A + sI)−1 + sB(B + sI)−1 uj , uj j=1 Khi đó, từ (4.3), có k k f (A + B)uj , uj ≤ j=1 {f (A) + f (B)}uj , uj , j=1 theo (4.4) áp dụng cho A + B thay cho A, k f (A + B)uj , uj = f (A + B) (k) j=1 Mặt khác, Bổ đề 4.3 cho ta k {f (A) + f (B)}uj , uj ≤ f (A) + f (B) (k) j=1 Do f (A + B) (k) ≤ f (A) + f (B) (k) với k = 1, 2, , n Cuối cùng, áp dụng nguyên tắc Fan (Bổ đề 4.2) để hoàn thành chứng minh (i) Để chứng minh (ii), áp dụng (i) cho hàm nghịch đảo f (t) g(t) hàm đơn điệu toán tử, ma trận g(A), g(B) ≥ chuẩn Fan để được: A+B (k) = f [g(A)] + f [g(B)] (k) ≥ f [g(A) + g(B)] (k) Như A+B (k) ≥ f [g(A) + g(B)] (k) với k = 1, 2, , n (4.10) Do hàm liên tục không âm xác định [0, ∞) đơn điệu tốn tử hàm lõm, f (t) hàm lõm tăng Do g(t) hàm lồi tăng Áp dụng Định lý 2.5 với g(t) cho (4.10), ta nhận g(A + B) (k) ≥ g(A) + g(B) (k) với k = 1, 2, , n Kết hợp với Bổ đề 4.2, ta g(A + B) ≥ g(A) + g(B) với chuẩn bất biến unita Định lý chứng minh Hệ 4.7 Với X, Y ≥ với chuẩn bất biến unita (X + Y )r ≤ X r + Y r · , ta có (0 < r ≤ 1) (4.11) (1 ≤ r < ∞) (4.12) (X + Y )r ≥ X r + Y r 28 Chứng minh Vì tr hàm đơn điệu với < r ≤ hàm ngược tr hàm đơn điệu toán tử ≤ r < ∞, nên áp dụng Định lý 4.4 ta có chứng minh Hệ 4.8 Với A, B ≥ với chuẩn bất biến unita · , ta có log(A + B + I) ≤ log(A + I) + log(B + I) eA + eB ≤ eA+B + I Chứng minh Bất đẳng thức suy từ Định lý 4.4, áp dụng cho hàm đơn điệu toán tử log(t + 1) Một lần nữa, theo Định lý 4.4, áp dụng cho chuẩn Fan hàm et − có hàm ngược hàm đơn điệu, với ≤ k ≤ n ta có eA − I + eB − I (k) ≤ eA+B − I (k) Vì theo định nghĩa chuẩn Fan, eA − I + eB − I (k) = eA + e B (k) − 2k eA+B − I (k) = eA+B + I (k) − 2k, ta kết luận eA + eB (k) ≤ eA+B + I (k) với ≤ k ≤ n Bây áp dụng nguyên lý làm trội Fan cho ta bất đẳng thức thứ hai Hệ 4.9 Cho g(t) hàm lồi tốn tử khơng âm [0, ∞) với g(0) = Khi g(A + B) ≥ g(A) + g(B) với A, B ≥ với chuẩn bất biến unita g(t) t hàm đơn điệu toán tử Khi giả sử g(t) = tf (t) với f (t) hàm Chứng minh Hàm g(t) [0, ∞) với g(0) = hàm lồi toán tử đơn điệu toán tử Suy hàm ngược tf (t) hàm đơn điệu tốn tử Do áp dụng Định lý 4.4 (ii) ta có chứng minh hệ 4.2 Bất đẳng thức trung bình số học - hình học Bất đẳng thức trung bình số học - hình học cho số phức a b phát biểu sau: |ab| ≤ |a|2 + |b|2 Trong phần chúng tơi trình bày dạng ma trận cho bất đẳng thức 29 Định lý 4.10 Với ba ma trận A, B, X bất kỳ, có AXB ∗ ≤ A∗ AX + XB ∗ B (4.13) với chuẩn bất biến unita Chứng minh Để đưa chứng minh, trước tiên ta cần số khái niệm kết chuẩn A + A∗ , bị Đối ma trận A, ta viết phần thực Re A = vectơ x = (x1 , , xn ) ký hiệu Re x = (Re x1 , , Re xn ) |x| = (|x1 | , , |xn |) Bổ đề 4.11 (Ky Fan) Với ma trận A ∈ Mn , Re λ(A) ≺ λ(Re A) Chứng minh Vì ma trận tương đương unita với ma trận tam giác trên, nên vấn đề này, giả sử A ma trận tam giác Khi thành phần Re λ(A) phần tử đường chéo ReA Do đó, áp dụng Định lý 2.1 ta điều cần chứng minh Bổ đề 4.12 Cho A, B hai ma trận cho tích AB Hermite Khi AB ≤ Re(BA) với chuẩn bất biến unita Chứng minh Vì λ(BA) = λ(AB), giá trị riêng BA số thực Theo Bổ đề (4.11), λ(BA) ≺ λ(Re(BA)) Áp dụng Định lý 2.4 cho hàm lồi f (t) = |t| R x ≺ y suy |x| ≺ |y| Do đó, từ (4.14), nhận |λ(AB)| = |λ(BA)| ≺ |λ[Re(BA)]| Vì AB Re(BA) Hermite, điều giống với s(AB)s[Re(BA)] Bây áp dụng nguyên lý làm trội Fan cho ta AB ≤ Re(BA) Bổ đề chứng minh 30 (4.14) Định lý 4.13 Cho A, B, X ∈ Mn với A, B xác định dương Khi (2 + t) Ar XB 2−r + A2−r XB r ≤ A2 X + tAXB + XB với số thực r, t thỏa mãn ≤ 2r ≤ 3, −2 < t ≤ chuẩn bất biến unita Định lý 4.14 Cho A, B ∈ Mn ma trận nửa xác định dương Khi AB ≤ (A + B)2 với chuẩn bất biến unita 31 (4.15) Kết luận Đề tài trình bày số kết tiêu biểu sách X Zhan số bất đẳng thức cho ma trận Cụ thể, đề tài đạt kết sau (1) Trình bày số bất đẳng thức ma trận quan h th t Lăowner (2) Trỡnh by c mt số bất đẳng thức ma trận liên quan đến làm trội hóa, chúng tơi chứng minh hai định lí giá trị riêng tích Hadmard ma trận nửa xác định dương, tổng quát hóa cho bất đẳng thức Oppenhem (3) Trình bày số bất đẳng thức liên quan đến giá trị kỳ dị ma trận (4) Trình bày bất đẳng thức liên quan đến chuẩn ma trận, có bất đẳng thức chuẩn cho hàm đơn điệu toán tử dạng ma trận bất đẳng thức trung bình số học - hình học 32 Tài liệu tham khảo [1] X Zhan, Matrix inequalities, Springer, 2002 33