on tap gioi han

Lời nói đầu Trong chơng trình toán trung học phổ thông,tính giới hạn và ứng dụng của giới hạn là một phần rất quan trọng mà thờng xuyên học sinh phải sử dụng. Tuy nhiên giới hạn dãy số thờng khó với học sinh khá và học sinh trung bình. Nhng trong đề thi đại học thờng chỉ có giới hạn hàm số chứa tỷ lệ lớn nên khi các em gặp thờng các em làm khá tốt . Tôi viết chuyên đề này nhằm mục đích đa ra các phơng pháp tính giới hạn cơ bản và thờng đợc sử dụng rộng dãi nhất ; để các thầy cô và các em có thể tham khảo và cũng là góp ý cho tác giả. Rất mong quý thầy cô và các em học sinh quan tâm góp ý cho đề tài hoàn thiện hơn. Tôi xin trân trọng cảm ơn ! Tác giả Hoàng quý - Thpt lơng tài 2 SĐT:01686.909.405 Mục lục Phần I giới hạn của dãy số. A - Các kiến thức cần nhớ. B - Giới hạn dãy số Dạng I : Các bài toán giới hạn cơ bản Dạng 2 Tìm giới hạn khi biết biểu thức truy hồi của dãy số Phần ii : Giới hạn hàm số A - Các kiến thức cần nhớ. B- Các dạng toán . I / dạng cơ bản II/ Giới hạn dạng : 0 sin lim 1 x x x = III/ Giới hạn dạng: ( ) 1 iV/ Giới hạn dạng Mũ và lôgarit V/ S DNG NH NGHA O HM TèM GII HN Phần iII : ứng dụng của giới hạn A- Sử dụng giới hạn để tìm tiệm cận của hàm số: B- Sử dụng giới hạn để xét tính liên tục Phần iV Giới thiệu một số đề thi 1 Phần I giới hạn của dãy số. A - Các kiến thức cần nhớ. 1) Định nghĩa . Dãy số ( ) n u có giới hạn là a nếu với mọi số dơng cho trớc ( nhỏ bao nhiêu tuỳ ý ) tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N thì n u a < . Ta viết lim n n u a = hoặc viết lim n u a= 2. Các định lý. +) Định lý 1. Nếu (u n ) là dãy số tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn. Nếu (u n ) là dãy số giảm và bị chặn dới thì nó có giới hạn. +) Định lý 2. Các phép toán trên các giới hạn của dãy số +) Định lý 3. [Nguyên lý kẹp giữa] . Giả sử ba dãy số thoả mãn: nnn wuv với * Nn và awv n n n n == limlim thì au n n = lim 3. Các giới hạn cơ bản. +) CC n = lim và 0lim = n n q với 1q < . +) Nếu 0 n u thì n u 1 +) Nếu n u thì 0 1 n u 4. Cấp số cộng và cấp số nhân. +) Cho , ., .,, 21 n uuu ữ là cấp số cộng với công sai d. Khi đó: dnuduu nn )1( 11 +=+= và ])1(2[ 2 ][ 2 . 1121 dnu n uu n uuuS nnn +=+=+++= +) Cho , ., .,, 21 n uuu là cấp số nhân với công bội q với q 1 . Khi đó: 1 11 == n nn ququu và q qu uuuS n nn =+++= 1 )1( . 1 21 B - Giới hạn dãy số Dạng I : Các bài toán giới hạn cơ bản Phơng pháp chung : +) sử dụng biểu thức liên hợp +) Sử dụng các định lý về giới hạn +) Sử dụng các tổng cơ bản Lu ý : Ta có thể sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn song trong các đề thi đại học thì việc sử dụng định nghĩa không có , nên trong chuyên đề này tôi chỉ đề cập các vấn đề liên quan thi đại học là chính . các bài toán bám sát đề thi đại học và thờng sử dụng các định lý quan trọng của giới hạn . 2 2 1/ lim ( 1 ) n n n n →+∞ + + − ( ) 3 3 2 2/ lim 3 2009 n n n n →+∞ + + − 3 3 3 4 1 2 . 3/ lim 5 n n n →+∞ + + + + 2 2 2 1 1 1 4/ lim . 1 2 n n n n n →+∞   + + +  ÷ + + +   Gi¶i : Nh©n víi biÓu thøc liªn hîp 2 1n n n+ + + 2 2 2 1 1 1 1 1/ lim ( 1 ) lim lim 2 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n →+∞ →+∞ →+∞ + + + + − = = = + + + + + + ( ) 2 3 3 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2009 2/ lim 3 2009 lim ( 3 2009) ( 3 2009 ) n n n n n n n n n n n n n →+∞ →+∞ + + + − = + + + + + + + =1 ( ) ( ) 2 2 3 3 3 4 4 1 1 2 . 1 3/ lim lim 4 5 4 5 n n n n n n n →+∞ →+∞ + + + + = = + + 2 2 2 1 1 1 4/ lim . 1 2 n n n n n →+∞   + + +  ÷ + + +   Ta cã 2 2 2 1 1 1 1n n n n ≤ ≤ + + 2 2 2 1 1 1 2n n n n < ≤ + + M M 2 2 2 1 1 1 n n n n n ≤ ≤ + + Céng l¹i : 2 2 2 2 2 1 1 1 . 1 2 n n n n n n n n n ≤ + + + ≤ + + + + Ta cã : 2 2 lim 1; lim 1 1 n n n n n n →+∞ →+∞     = =  ÷  ÷ +     VËy 2 2 2 1 1 1 lim . 1 1 2 n n n n n →+∞   + + + =  ÷ + + +   3 VÝ dô1 : T×m c¸c giíi h¹n sau : 1 1 2009 2008 1/ lim 2009 2010 n n n n + + + + 2/ Cho dãy ( ) n x sao cho ( ) 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 . 1 * n n x n n n n n n = + + + + ữ ữ ữ ữ Tính ( ) lim ln n n x + Giải : 1 1 2008 1 2008. 2009 2008 1 2009 1/ lim lim 2009 2009 2010 1 2009 2010 2009 n n n n n n n + + + + + ữ + = = + + ữ Giải : 2/ Cho dãy ( ) n x sao cho ( ) 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 . 1 * n n x n n n n n n = + + + + ữ ữ ữ ữ Tính ( ) lim ln n n x + Ta đi chứng minh ( ) ( ) 2 ln 1 0 2 x x x x x < + < > (*) Thật vậy xét ( ) ( ) ( ) 2 ln 1 0 2 x f x x x x= + + > và ( ) ( ) ( ) ln 1 0g x x x x= + > Dễ dàng chứng minh các hàm số đồng biến với x > 0 suy ra điều phải chứng minh (*) . Ta có : 2 2 2 2 1 2 3 ln ln 1 ln 1 ln 1 . ln 1 n n x n n n n = + + + + + + + + ữ ữ ữ ữ áp dụng (*) ( ) 2 2 4 2 2 ln 1 1, i i i i i n n n n n < + < = ữ Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 1 1 2 1 1 1 . ln 6 2 2 2 n n n n n n n n x n n n + + + + < < Ta có ( ) ( ) ( ) 2 4 1 1 2 1 1 1 lim . 6 2 2 2 x n n n n n n n + + + + = Và ( ) 2 1 1 lim 2 2 x n n n + + = Vậy ( ) 1 lim ln 2 n n x + = 4 Ví dụ 2 : Tìm các giới hạn sau : Dạng 2 Tìm giới hạn khi biết biểu thức truy hồi của dãy số Phơng pháp chung : +) Ta xác định số hạng tổng quát của d ãy số Để xác định số hạng tổng quát ta thờng sử dụng cấp số cộng ; cấp số nhân ; phơng pháp quy nạp toán học ; hay có thể là phơng trình tuyến tính sai phân hay chỉ là phép rút gọn đơn giản . . . . . . Cho dãy số (u n ) xác định bởi: 1 1 1 1 5 n n n u u u + = = + ữ với * Nn Tìm lim n n u + . Giải. Theo giả thiết ta có: 1 1 1 5 n n n u u = + ữ ; 2 1 2 1 5 n n n u u = + ữ ; 3 2 3 1 5 n n n u u = + ữ ; ; 1 2 1 1 5 u u = + ữ . Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có: 2 3 1 1 1 1 1 1 . 5 5 5 5 n n u u = + + + + + ữ ữ ữ = 2 3 1 1 1 1 1 1 . 5 5 5 5 n + + + + + ữ ữ ữ = 1 1 1 5 5 1 1 1 4 5 1 5 n n ữ = ữ . Ta có: lim lim n n n u + + = 5 1 5 1 4 2 4 n = ữ 1 2u = Cho dãy số ( ) n u xác định bởi : ( ) 1 2 * n n u u n N + = + Tìm lim n n u + Giải. Ta có dãy số ( ) n u chính là dãy 2 2 2 2 n n dau u = + + + + 1 4 4 4 4 2 4 4 4 4 3 Ta chứng minh đợc dãy số ( ) n u có giới hạn . Đặt lim n x u a + = Chuyển qua giới hạn ta có 2 1; 2a a a a= + = = vì 0 n u > nên lim 2 n x u + = Cho ( ) ( ) 2 2 1 1f n n n= + + + Xét dãy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 5 . 2 1 * 2 4 6 . 2 n f f f f n u n N f f f f n = Tìm lim n n n u + Giải : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1f n n n n n = + + + = + + + 5 Ví dụ 1 Ví dụ 2 Ví dụ 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 f n n f n n + = + + Suy ra : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 1 1 . . 3 1 5 1 2 2 1 2 1 1 n n u n n n + + + = = + + + + + + Suy ra : 1 lim 2 n n n u + = Cho dãy số (u n ) xác định bởi: 1 2 1 1 2009 n n n u u u u + = = + với 1 n a) CMR: (u n ) là dãy tăng. b) CMR: (u n ) là dãy không bị chặn trên. c) Tính giới hạn: 1 2 2 3 1 lim . n n n u u u u u u + + + + + ữ . Giải. a) Ta có: 2 1 0 2009 n n n u u u + = với 1 n { } n u là dãy tăng. b) (Phơng pháp phản chứng) Giả sử (u n ) là dãy bị chặn trên. Do nó là dãy tăng nên nó có giới hạn, tức là: au n n = lim 1 a . Mặt khác lấy giới hạn các vế của đẳng thức đã cho ta có: 2 2009 a a a= + 0 = a (vô lý). Chứng tỏ (u n ) là dãy không bị chặn trên, tức là: += n n ulim c)Từ giả thiết ta biến đổi: 2 1 2009 n n n u u u + = 1 1 1 1 2009 n n n n u u u u + + = 1 1 1 1 2009( ) n n n n u u u u + + = Suy ra: 1 2 1 2 1 1 2009( ) u u u u = ; 2 3 2 3 1 1 2009( ) u u u u = ;; 1 1 1 1 2009( ) n n n n u u u u + + = Vậy 1 2 2 3 1 lim . n n n u u u u u u + + + + + ữ = 1 1 1 1 lim 2009 n n u u + + ữ =2009 Cho dãy số (u n ) xác định bởi: ( ) ( ) 2 1 1 1 5; 9 * 5 n n n u u u u n N + = = + Đặt ( ) 1 1 * 2 n n k k v n N u = = + . Tìm lim n x v + 6 Ví dụ 4 Ví dụ 5 Giải : Ta có ( ) 2 1 1 3 0 5 n n n u u u + = và 1 5 n u u = . ( nếu dãy bị chặn trên thì có giới hạn ) . Giả sử dãy lim n x u a + = ( ) 5a . (Phơng pháp phản chứng) Từ giả thiết chuyển qua giới hạn thì ( ) 2 1 9 3 5 a a a a= + = vô lý vậy lim n x u + = + Mặt khác : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 9 5 3 3 2 5 k k k k k k u u u u u u + + = + = + ( ) ( ) 1 1 5 1 1 3 3 2 3 2 k k k k k u u u u u + = = + + 1 1 1 1 2 3 3 k k k u u u + = + Do đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 2 3 n n k k n n v u u u u = + + = = = + Vậy 1 lim 2 n x v + = Các bài tập t ơng tự . Bài 1. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: + = == + + 2 1;0 1 2 21 nn n uu u uu a) CMR: 1 2 1 1 += + nn uu b) Xác định công thức tổng quát của (u n ) theo n. c) Tìm n n u lim Bài 2. Cho dãy số (x n ) xác định bởi: << + 4 1 )1( 1,10 1 nn n xx nx a) CMR: (x n ) là dãy số tăng. b) Tìm n n x lim Bài 3. Tính các giới hạn sau: 2 1/ lim ( 3 1 ) n n n n + + + 2 2/ lim (2 4 5 1) n n n n + + + 3 3 3/ lim (2 8 1) n n n + + 2 2 2 3 1 2 . 4/ lim 3 2009 n n n + + + + + Bài 4. Tính các giới hạn sau: a) + +++ )1.( 1 . 3.2 1 2.1 1 lim nn n b) ) 1 1) .( 3 1 1)( 2 1 1(lim 222 n n 7 Phần ii : Giới hạn hàm số A - Các kiến thức cần nhớ. 1) Định nghĩa Cho hàm số f(x) xác định trên K có thể trừ điểm a K . Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L ( hay dần tới L) khi x dần tới a nếu với mọi dãy số ( ) ( ) , * n n n x x K x a n N sao cho khi lim n x a= thì ( ) lim n f x L= Ta viết : ( ) x a limf x L = hay ( ) x a f x L 2) Các định lý Định lý 1 (Cỏc phộp toỏn v gii hn hm s ) ( với ( ) ( ) lim ;lim x a x a f x A f x B = = ) [ ] x a x a x a lim f (x) g(x) limf (x) limg(x) = [ ] x a x a x a lim f (x).g(x) limf (x).limg(x) = x a x a x a x a limf (x) f (x) lim limg(x) 0 g(x) limg(x) = ữ ( ) ( ) x a x a lim f (x) limf (x) f x 0 = nh lý 2:Nu hm s cú gii hn thỡ gii hn ú l duy nht nh lý 3:Cho 3 hm s g(x),f(x),h(x) cựng xỏc nh trong khong K cha a v g(x) f(x) h(x). Nu x a x a limg(x) limh(x) L = = thỡ x a limf (x) L = nh lý 4: Nu x a x a 1 limf(x) 0 thỡ lim f (x) = = Nu x a x a 1 limf(x) thỡ lim 0 f (x) = = nh lý 5:(giới hạn đặc biệt) x 0 sinx lim 1 x = ; x 0 x lim 1 sinx = ; ( ) x 0 sin ax lim 1 ax = ; x 0 ax lim 1 sin ax = *Cỏc dng vụ nh: 1) Dạng 0 0 2) Dạng 3) Dạng ( ) 4) Dạng ( ) 0ì Phơng pháp chung : Khử dạng vô định +) Phân tích ra thừa số 8 +) Nhân với biểu thức liên hợp thờng gặp A B có biểu thức liên hợp A B+ A B có biểu thức liên hợp A B+ 3 3 A B có biểu thức liên hợp 3 3 2 2 3 A AB B+ + 3 A B có biểu thức liên hợp 3 2 2 3 A B A B+ + +) Đặt biến phụ +) Thêm bớt một số hoặc một biểu thức . B- Các dạng toán . I ) dạng cơ bản Tìm giới hạn sau : ( ) ( ) 2 1 1 lim * 1 n x x nx n M n N x + = Giải : M= ( ) ( ) 2 2 1 1 1 ( 1) ( 1) lim lim 1 1 n n x x x nx n x n x x x + = ( ) 1 2 1 . 1 lim 1 n n x x x x n M x + + + + = ( ) 1 2 1 ( 1) ( 1) . ( 1) lim 1 n n x x x x x + + + = M= ( ) 1 2 n n Tìm giới hạn sau : ( ) ( ) 3 2 1 lim 1 1 x x Q x x + = + Giải : Đây là dạng ( ) 0ì . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 lim 1 1 ( 1) 1x x Q x x x x x + = + + + Do ( ) 1x + nên ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 lim 1 ( 1) 1x x x Q x x x x + + = + + ( ) ( ) ( ) 2 1 1 lim 1 0 ( 1)x x x Q x x x + + = + = Lu ý : Đây là bài toán cơ bản nhng học sinh rất dễ viết sai khi viết : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 lim 1 1 0 1x Q x x x x x + = + + = 9 Dạng I : Phân tích ra thừa số Ví dụ 1 Ví dụ 2 Dạng II Thêm bớt nhân liên hợp Tìm giới hạn sau : 3 2 0 1 4 1 6 lim x x x N x + + = Giải : ( ) ( ) 3 2 0 1 4 1 2 1 2 1 6 lim x x x x x N x + + + + + = ( ) ( ) 3 2 2 0 1 4 1 2 1 2 1 6 lim x x x x x N x x + + + + = + Nhân các biểu thức liên hợp ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 0 2 3 3 4 12 8 lim ( 1 4 1 2 ) 1 2 1 2 1 6 1 2 x x x x N x x x x x x x x + = + + + + + + + + + + Rút gọn và Kq : N = 5 Tìm giới hạn sau : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 lim x P x a x b x c x m x n + = + + + + + Giải : Đây là dạng ( ) Ta chuyển về các dạng vô định khác . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 lim ( ) ( ) x P x a x b x c x x x m x n + = + + + + + + Xét các giới hạn sau : ( ) ( ) ( ) 3 1 lim ( ) x P x a x b x c x + = + + + Đặt 1 x y = Ta có ( ) ( ) ( ) 3 1 0 ( 1 1 1 1 lim y ay by cy P y + + + = ( ) ( ) 2 lim x P x x m x n + = + + Nhân với biểu thức liên hợp 1 3 a b c P + + = và 2 2 m n P + = Vậy 3 2 a b c m n P + + + = Ta có bài toán tổng quát : ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 . lim . n n n x a a a P x a x a x a x n + + + = + + + = Tìm giới hạn sau : ( ) 0 1 1 lim *; * n x ax R n N a R x + = Giải : Đặt 1 1 n n y ax y x a + = = khi 0x thì 1y Ta có : 1 2 1 1 1 1 lim lim 1 . 11 n n n y y y a R n y y y a a = = = + + + 10 Dạng III Đặt biến phụ Ví dụ 3 Ví dụ 4 Ví dụ 5 [...]... 0 cú 3 nghim trong khong ( 1;3) b) 2x3 6x + 1 = 0 cú 3 nghim trong khong ( 2;2) Lời tác giả: Giới hạn là phần rất quan trọng trong toán phổ thông nên nó có rất nhiều các ứng dụng trong các lĩnh vực toán học cũng nh các môn học khác (Tính đạo hàm ; tính tích phân bằng định nghĩa ; hay trong vật lý .) Song do thời lợng của chuyên đề tác giả chỉ đa ra hai ứng dụng quan trọng trên rất mong sự góp ý ;... f(x) gi l liờn tc trờn khong (a;b) nu nú liờn tc ti mi im xo (a;b) *Hm s f(x) gi l liờn tc trờn on [a;b] nu nú liờn tc trờn khong [a;b] v lim f (x) = f (a) v lim f (x) = f (b) x a + x b b) Cỏc nh lý: nh lý 1:Cỏc hm s a thc,hu t,lng giỏc l cỏc hm s liờn tc trờn tp xỏc nh ca chỳng nh lý 2:Tng,hiu,tớch,thng ca nhng hm liờn tc l mt hm liờn tc 26 nh lý 3:Nu hm s f(x) liờn tc trờn on [a;b] v f(a).f(b) < 0... f(a).f(b) < 0 thỡ tn ti ớt nht mt s c (a;b) sao cho f(c) = 0 Hệ quả: Nu hm s f(x) liờn tc trờn on [a;b] v f(a).f(b) < 0 thỡ phng trỡnh f(x) = 0 cú ớt nht 1 nghim trờn khong (a;b) II)Phơng pháp chung: 1) Phơng pháp +) Sử dụng định nghĩa và các định lý +) Tại x0 mà f(x) không liên tục gọi là gián đoạn nếu vi phạm một trong các điều kiện sau : *) f(x) không xác định tại x0 *) Không tồn tại giới hạn tại x0 (... nhớ Cho hm s y = f(x) cú th l (C) y = y0 l tim cn ngang ca (C) nu mt trong hai iu kiện sau c tho món: lim f ( x ) = y0 , hoặc lim f ( x ) = y0 x + x x = x0 l tim cn ng ca (C) nu mt trong cỏc iu kin sau c tho món: lim = +, lim = +, lim+ = , lim = + x x0 x x0 x x0 x x0 ng thng y = ax + b ( a 0 ) c gi l tim cn xiờn nu mt trong hai iu kin sau tho món: xlim [f ( x ) (ax + b)] = 0 hoặc xlim [f (... = 3 3 3 g ( x) g ữ 3= 3 áp dụng công thức g ' ữ = lim 3 x x 3 3 Vậy E = 3 Chuyên đề này còn tiếp tục đợc bổ sung và sửa chữa Chuyên đề có thể cha đầy đủ và còn những sai sót trong quá trình làm nên rất mong sự trao đổi góp ý của các thầy cô và các em học sinh Tác giả Hoàng quý 30 ... tan( x a) tan 2 a 4 / lim 2 2 2 / lim 3/ lim x 0 x2 x0 sin(tan x) x1 1 x x 6 / lim tan 2 x tan( x) 5/ lim ( 1 x ) tan 4 x x1 2 1/ lim 4 B-Loại 2 (Nhân với các biểu thức liên hợp) Phơng pháp : Trong phơng pháp này tác giả hớng dẫn học sinh chủ yếu bằng phơng pháp sử dụng các biểu thức liên hợp ; thêm bớt nhân liên hợp chứa căn bậc 2;3 là chủ yếu (có thể làm bằng cách khác) 2 1 + cos x Ví dụ 1... lim x1 1 + cos x 1 2 cos( x 1) cos 2( x 1) x1 x2 1 4 / lim x+22 x2 sin x sin 2 6 / lim 1 cos 2 x x0 1 cos x 3/ lim 1 cos x cos 2 x x 0 1 3 x +1 7 / lim C-Loại 3 (đặt biến phụ) Phơng pháp : Trong phơng pháp này tác giả hớng dẫn học sinh chủ yếu bằng phơng pháp sử dụng các biến phụ cos x ữ Ví dụ 1 Tìm giới hạn sau : A = lim 2 x1 1 x GiảI: Đặt x-1= y Ta có x=y+1 và khi : x 1 thì y 0 ... x0 f ( x ) = 1 và x x0 g( x ) = Dạng ( 1) lim lim 2) x x0 f ( x ) = và x x0 g( x ) = 0 Dạng ( ) lim lim 3) x x0 f ( x ) = x x0 g( x ) = 0 Dạng ( 0 ) Chuyển về dạng 0 0 0 , rồi ta áp dụng 1 trong 3 dạng trên 0 Để tính giới hạn cụ thể ta làm các bớc sau : B1/ Xét hàm số f ( x ) phù hợp với biểu thức bài toán B2/ Tính f ( a ) =? Và f '( x ) = ? Và f '( a ) = ? B3/ Viết biểu thức theo công thức... giả chỉ đa ra hai ứng dụng quan trọng trên rất mong sự góp ý ; trao đổi bổ xung của các thầy cô giáo và các em học sinh để chuyên đề đợc hoàn thiện hơn Phần iV Giới thiệu một số đề thi Lời tác giả:Trong phần này tôi xin đa ra một số đề thi năm trớc và các cách giải khác nhau để các thầy cô và các em tham khảo 2 Ví dụ 1 Tìm giới hạn sau e2 x 3 1 + x 2 A = lim x 0 ln 1 + x 2 ( ) Giải : Cách 1 (Thêm... Công thức nhân đôi ; nhân ba ; hạ bậc - Công thức biến tổng thành tích ; tích thành tổng +) Học sinh nhớ các biểu thức liên hợp 3) áp dụng A- Loại 1( sử dụng các phép biến đổi lợng giác ) Phơng pháp : Trong phơng pháp này tác giả hớng dẫn học sinh chủ yếu bằng phơng pháp sử dụng các công thức lợng giác ; thêm bớt ;nhuần nhuyễn ; đua về dạng (*) Ví dụ 1 Tìm các giới hạn sau : 1 cos x A = lim x 0 x2 2 . thể sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn song trong các đề thi đại học thì việc sử dụng định nghĩa không có , nên trong chuyên đề này tôi chỉ đề cập các vấn. hn thỡ gii hn ú l duy nht nh lý 3:Cho 3 hm s g(x),f(x),h(x) cựng xỏc nh trong khong K cha a v g(x) f(x) h(x). Nu x a x a limg(x) limh(x) L = = thỡ x