Đề khảo sát lớp 9 môn Toán ( Thời gian làm bài 120 phút kể thời gian giao đề) Bài 1 ( 2 điểm) : Cho biểu thức 2 1 1 : 3 1 1 1 x x x A x x x x x + = + + ữ + + a) Rút gọn A ; b) Tính giá trị của A khi 18 4 7 x = + c) Tìm giá trị lớn nhất của A Bài 2.(1,5 điểm) Cho phơng trình (2m-1)x 2 -2mx+1=0 (1) a) Giải phơng trình (1) khi m =1 b)Xác định m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 sao cho: 2 2 1 2 3x x+ = c) Tìm biểu thức liên hệ giữa x 1 , x 2 sao cho không phụ thuộc m? Bài 3 ( 1 điểm): Một lâm trờng dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần lễ. Do mỗi tuần trồng vợt mức 5ha so với kế hoạch, nên đã trồng đợc 80ha và hoàn thành sớm 1 tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trờng dự định trồng bao nhiêu ha rừng. Bài 4 1,5 điểm): Cho y = mx + 1 (d) và y = x 2 (P) a) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 1 b) Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của m (d) luôn đi qua một điểm cố định và cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. c) Gọi A,B là hai giao điểm của (d) và (P) , tìm toạ độ trung điểm I của AB theo m. Bài 5.(3 điểm) Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính BC. Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó ,sao cho AB>AC. Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AEvà nửa đờng tròn (O) . Gọi K là giao điểm của CF và ED a) Chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K. nằm trên một đờng tròn b) Chứng minh rằng :BK l tiếp tuyến của (0) c) Gọi I là giao điểm của BF và KO , chứng minh: CI đi qua trung điểm của BK Bài 6(1 điểm) Giải phơng trình 2 7 9 16 66x x x x + = + Bài tập khuyến khích 1) Giải hệ phơng trình sau: a) 3( ) 9 2( ) 2( ) 3( ) 11 x y x y x y x y + + = + = b) 2 ( ) 4 3( ) 2 3 7 x y y x x y = + = 2) Cho 1 1 1 2a b + = Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong 2 PT sau có nghiệm: x 2 +ax +b=0 (1) và x 2 +bx +a =0 (2) đáp án biểu điểm Đề khảo sát lớp 9 môn Toán Bài 1 a) Rút gọn biểu thức 2 1 1 : 3 1 1 1 x x x A x x x x x + = + + ữ + + Giải 2 2 1 1 : 3 1 1 1 2 1 1 : 3 ( 1).( 1) 1 1 2 .( 1) 1.( 1) 3 . ( 1).( 1) 1 2 1 3 . ( 1).( 1) 1 2 1 3 . ( 1).( 1) 1 ( 1) ( 1). x x x A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + = + + ữ + + + = + ữ + + + + + + + + = ữ + + + + = ữ + + + = ữ + + = 3 . ( 1) 1 3 ( 1) x x x x x ữ + + = + + 0,25 0,25 0,25 b) Tính giá trị của A khi 18 4 7 x = + Giải ĐK 0; 1x x 2 18 18.(4 7) 18.(4 7) 2.(4 7) 8 2 7 ( 7 1) 9 4 7 (4 7).(4 7) 7 1 x x = = = = = = + + = Thay 8 2 7; 7 1x x= = vào biểu thức 3 ( 1) A x x = + + Ta đợc: 3 3 3(8 7) 8 2 7 7 1 1 8 7 (8 7).(8 7) 3(8 7) (8 7) 57 19 A + = = = + + + + + = = 0,25 0,25 0,25 c) Tìm giái trị lớn nhất của A Giải: Với điều kiện 0; 1x x Suy ra 1 1x x+ + . Dấu = xảy ra khi x = 0 Ta lại có 3 > 0 3 3 3 1 ( 1) A x x = = + + . Dấu = xảy ra khi x = 0 Max A=3 khi x = 0 vậy x = 0 thì A đạt giái trị lớn nhất là 3 0,25 0,25 Bài 2 Cho phơng trình (2m-1)x 2 -2mx+1=0 (1) a) Giải phơng trình (1) khi m =1 b)Xác định m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 sao cho: 2 2 1 2 3x x+ = c) Tìm biểu thức liên hệ giữa x 1 , x 2 sao cho không phụ thuộc m? Giải a) Với m = 1 PT (1) trở thành x 2 2x + 1 = 0 PT có nghiệm x 1 = x 2 = 1 b) ĐK để PT có 2 nghiệm phân biệt khi 2 2 2 1 1 2 1 0 2 2 (2 1).1 0 1 2 1 ( 1) 0 a m m m m m m m m m = = > + = > Theo định lý Vi-et có 1 2 1 2 2 2 1 1 . 2 1 b m x x a m c x x a m + = = = = (*) Kết hợp với đk x 1 2 + x 2 2 = 3 ta có (x 1 +x 2 ) 2 2x 1 x 2 = 3 (**) thay (*) vào (**) ta đợc 0,5 0,25 0,25 0,25 1 2 4 2 4 2 4 4 m + = = ; m thoả mãn đk Vậy 1 2 4 2 4 2 4 4 m + = = ; m thì phơng trình có hai nghiệm x 1 ,x 2 thoả mãn 2 2 1 2 3x x+ = c) Ta có 1 2 1 2 2 2 1 1 . 2 1 b m S x x a m c P x x a m = + = = = = = 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 m m S P m m m = = = Hay x 1 + x 2 - x 1 .x 2 = 1 không phụ thuộc vào m 0,25 Bài 3 Một lâm trờng dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần lễ. Do mỗi tuần trồng vợt mức 5ha so với kế hoạch, nên đã trồng đợc 80ha và hoàn thành sớm 1 tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trờng dự định trồng bao nhiêu ha rừng. Hớng dẫn : - Gọi diện tích mỗi tuần lâm trờng trồng đợc là x ( x>0, ha) - Theo bài ra ta có phơng trình : 75 80 1 5x x = + Giải phơng trình ta đợc x = 15 - KL : Vậy mỗi tuần theo kế hoạch lâm trơng trồng đợc 15 ha 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4 Cho y = mx + 1 (d) và y = x 2 (P) a) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 1 b) Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của m (d) luôn đi qua một điểm cố định và cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. c) Gọi A,B là hai giao điểm của (d) và (P) , tìm toạ độ trung điểm I của AB theo m. Hớng dẫn: a) Với m = 1 (d) trở thành y = x + 1 hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình x 2 = x +1 x 2 x 1 = 0 Giải phơng trình ta đợc 1 2 1 5 1 5 ; 2 2 x x + = = Thay x vào y = x + 1 ta đợc : 1 1 1 2 1 1 1 5 1 5 3 5 1 5 3 5 1 ; 2 2 2 2 2 1 5 1 5 3 5 1 5 3 5 1 ; 2 2 2 2 2 x y y x y y + + + + + = = + = ữ ữ = = + = ữ ữ suy ra A suy ra B Với m = 1 thì toạ độ giao điểm của (P) và (d) là 1 5 3 5 ; 2 2 + + ữ ữ A và 1 5 3 5 ; 2 2 ữ ữ B 0,25 0,25 O K F E D C B A b) * Gọi M(x 0 ;y 0 ) là điểm cố định mà đờng thẳng (d) luôn đi qua Với x 0 = 0 ; y 0 = 1 thì thay vào (d) đẳng thức luôn đúng với mọi m Vậy điểm M(0;1) là điểm cố định mà đờng thẳng (d) luôn đi qua với mọi m * Phơng trình hoành độ của (P) và (d) là : x 2 = mx+1 x 2 mx 1 = 0 PT này có = m 2 + 4 > 0 với mọi m PT hoành độ có hai nghiệm phân biệt (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt c) Gọi A(x A ;y A ) và B(x B ;y B )là 2 giao điểm của (P) và (d) y A = x A 2 và y B = x B 2 Do A và B là 2 giao điểm của (P) và (d) nên x A và x B là hai nghiệm của Phơng Trình hoành độ x 2 mx 1 = 0 (1) Theo hệ theo Vi- et ta có . 1 A B A B S x x m P x x = + = = = (*) Gọi I(x I ;y I ) là trung điểm của AB Khi đó ta có 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2.( 1) 2 2 2 2 2 A B I A B A B A B I x x m x x x x x x x m m y + = = + + + = = = = Vậy toạ độ trung điểm I của AB là 2 2 ; 2 2 m m I + ữ 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 5 Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính BC. Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó ,sao cho AB>AC. Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đờng tròn (O) . Gọi K là giao điểm của CF và ED a) Chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K. nằm trên một đờng tròn b) Chứng minh rằng :BK l tiếp tuyến của (0) c) Gọi I là giao điểm của BF và KO , chứng minh: CI đi qua trung điểm của BK Giải a. Ta có KEB= 90 0 mặt khác BFC= 90 0 ( góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn) 0,5 I do CF kéo dài cắt ED tại D => BFK= 90 0 => E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK. b) Do 4 điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK KBF = KEF = 45 0 mà KCB = KAB =45 0 hay FCB = 45 0 KBF = FCB (=45 0 ) mà BK khác phía với điểm C so với BF Vậy suy ra BK là tiếp tuến của nửa đờng tròn (O) tại B c) Chứng minh tam giác KBF cân FB = FK và tam giác FBC cân FB = FC F là trung điểm của KC Xét tam giác KBC có KO là trung tuyến, BF là trung tuyến căt nhau tại I I là trọng tâm của tam giác KBC CI là trung tuyến hay I đi qua trung điểm của KB 0,5 0,5 0,5 1,0 Bài 6 Giải phơng trình 2 7 9 16 66x x x x + = + Giải : ĐKXĐ 7 9x xét vế trái ta có : Theo BĐT Bunhiacopxki thì ( 7 9 ) (1. 7 1. 9 ) (1 1).( 7 9 ) 2.2 2 7 9 2 x x x x x x x x + = + + + = = + Dấu = xảy ra khi 7 9 8x x x = = Xét vế phải x 2 -16x + 66 = x 2 - 16x + 64 +2 = (x 8) 2 +2 2 Dấu = xảy ra khi x = 8 Vậy phơng trình có nghiệm x = 8 1,0 HS có thể giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. . 9 4 7 (4 7).(4 7) 7 1 x x = = = = = = + + = Thay 8 2 7; 7 1x x= = vào biểu thức 3 ( 1) A x x = + + Ta đợc: 3 3 3(8 7) 8 2 7 7 1 1 8 7 (8 7).(8. hợp với đk x 1 2 + x 2 2 = 3 ta có (x 1 +x 2 ) 2 2x 1 x 2 = 3 (**) thay (*) vào (**) ta đợc 0,5 0,25 0,25 0,25 1 2 4 2 4 2 4 4 m + = = ; m thoả mãn đk