Từ M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn O và tiếp tuyến MT với đường tròn O’ T là tiếp điểm Chứng minh MC.MD = MT2.. Kẻ DH vuông góc với AC H, gọi N là trung điểm của CH.. Chứng minh BN vuô
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010-2011
Môn : TOÁN – THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 1 trang) Ngày thi : 18/02/2011 Câu 1: (2,0 điểm ) Rút gọn Câu 2:(2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (3m2 – 7m +5) x – 2011 (*) Chứng minh hàm số (*) luôn đồng biến trên R với mọi m Câu 3:( 2,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B Trên đường thẳng AB lấy điểm M sao cho A nằm giữa M và B Từ M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) và tiếp tuyến MT với đường tròn (O’) (T là tiếp điểm) Chứng minh MC.MD = MT2 Câu 4: (2,0 điểm ) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y – 1 = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 3x2 + y2 Câu 5: (1,5 điểm) Chứng minh tổng C = 1 + 2 + 22 + … + 22011 chia hết cho 15 Câu 6: (1,5 điểm ) Phân tích đa thức x3 – x2 – 14x + 24 thành nhân tử Câu 7: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình Câu 8: (1,5 điểm ) Chứng minh D = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không phải là số chính phương với mọi n Câu 9: (1,5 điểm ) Cho hai số dương a và b Chứng minh Câu 10:(1,5 điểm ) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : 2x2 – xy – y2 – 8 = 0 Câu 11: (1,5 điểm ) Cho hình thang vuông ABCD () , có DC = 2AB Kẻ DH vuông góc với AC (H, gọi N là trung điểm của CH Chứng minh BN vuông góc với DN Câu 12: (1,5 điểm) Cho tam giác MNP cân tại M ( ) Gọi D là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác MNP Biết DM = cm , DN = 3 cm Tính độ dài đoạn MN -
HẾT -Họ và tên thí sinh :……… Số báo danh : ………
Giám thị 1 :……… Ký tên : ………
Giám thị 2 :……… Ký tên : ………
A 127 48 7 127 48 7
2
x y z 2
N *
aba b
A D 90 AC)
M 90
2 5
Trang 2(Thí sinh không được sử dụng máy tính )
Trang 3SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn : TOÁN – THCS Ngày thi 18/02/2011
Câu 1
(2 điểm ) =
=
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 2
(2 điểm )
3m2 – 7m + 5 = 3 Vây f(x) đồng biến trên
R với mọi m
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm Câu 3
(2 điểm)
Chứng minh
MC MD = MA
MB Chứng minh
MT2 = MA MB Suy ra MC.MD
= MT2
0,75 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm Câu 4
(2 điểm )
3x + y – 1 = 0 y = 1 – 3x
Vây GTNN của B là
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm Câu 5
(1,5 điểm )
C = 1 + 2 + 22 + … + 22011 = (1 + 2 + 22 + 23 ) + (24 + 25 + 26 + 27 ) + …+ ( 22008 + 22009 +22010 + 22011) = (1 + 2 + 22 + 23 )+ 24 (1 + 2 + 22 + 23 )+ …+22008(1 + 2 + 22 + 23 ) 0,5 điểm 0,5 điểm
A 127 48 7 127 48 7
(8 3 7) (8 3 7)
| 8 3 7 | | 8 3 7 |
8 3 7 8 3 7 (8>3 7)
6 7
2
3 m
2
2
2
B 3x (1 3x) 12x 6x 1
12 x
12 x
khi x = và y =
Trang 4= 15 ( 1 + 24 + …+ 22008 ) chia hết cho 15 0,5 điểm Câu 6
(1,5 điểm )
x3 – x2 – 14x +24 = x3 + 4x2 – 5x2 – 20x + 6x + 24 = (x + 4) (x2 – 5x + 6 )
= (x + 4) (x – 2) (x – 3)
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 7
0,5 điểm
0,5 điểm Câu 8
(1,5 điểm )
D = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2 ) = (n2 + 3n)2 +2 (n2 + 3n) (n2 + 3n)2 < D < (n2 + 3n)2 +2 (n2 + 3n) +1 (n2 + 3n)2 < D < (n2 + 3n +1)2
Nên D không phải là số chính phương vì (n2 + 3n)2 và (n2 + 3n +1)2 là 2 số chính phương liên tiếp
0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm Câu 9
(1,5 điểm )
Ta có (a – b)2
Dấu “ = ” xảy ra khi
a = b ( thiếu câu này không trừ điểm)
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 10
(1,5 điểm)
2x2 – xy – y2 – 8 = 0 (2x + y) (x – y) = 8 hoặc
hoặc
0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm Câu 11
(1,5 điểm ) Gọi
M là
trung điểm của DH Chứng minh tứ giác ABNM là hình bình hành (1)
Chứng minh MN Suy ra M là trực tâm của (2)
Từ (1) và (2)
0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
Câu 12
(1,5 điểm ) Qua M kẻ tia Mx
2
(x 2) (y 2) 0
z 2 x y
x y 2
0
2
(a b) 4ab
( vì (a+b)ab >0 )
2x y 8
x y 1
2x y 4
x y 2
x 3
y 2
x 2
y 0
AM // BN
AD
ADN
ND
Trang 5vuông góc với MN cắt ND tại E , kẻ MF Chứng minh cm và EF
=DF
ME2 = EF EN = EF (2EF + DN ) cm
0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm (Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng , giám khảo dựa theo biểu điểm để cho điểm tương ứng )
1
D E
MD ME 2 5
2 2
(2 5) EF(2EF 3)
(EF 4)(2EF 5) 0
EF 2,5 (vì EF >0)
MN 2 11