§5 ĐƯỜNG ELIP A TÓM TẮT LÝ THUYẾT F1F2 = 2c ( c > 0) F1, F2 1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định với Elip(E) tập hợp điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a F1, F2 Các điểm tiêu điểm (E) Khoảng cách gọi bán kính qua tiêu số a >c F1F2 = 2c MF1, MF2 tiêu cự (E) 2) Phương trình tắc elip: F1 ( - c;0) , F2 ( c;0) Với M ( x;y ) Ỵ : (E) Û x2 y2 + = ( 1) a2 b2 b2 = a2 - c2 (1) gọi phương trình tắc (E) 3) Hình dạng tính chất elip: Hình 3.3 Elip có phương trình (1) nhận trục tọa độ trục đối xứng gốc tọa độ làm tâm đối xứng + Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 ( - c;0) , tiêu điểm phải F2 ( c;0) A1 ( - a;0) , A2 ( a;0) , B1 ( 0;- b) , B2 ( 0;b) + Các đỉnh : + Trục lớn : A1A2 = 2a , nằm trục Ox; trục nhỏ : B1B2 = 2b , nằm trục Oy x = ±a, y = ±b + Hình chữ nhật tạo đường thẳng e= + Tâm sai : gọi hình chữ nhật sở c b > 0) a2 b2 , + Từ giả thiết tốn ta thiết lập phương trình, hệ phương trình từ giả thiết a,b tốn để tìm đại lượng elip từ viết phương trình tắc Các ví dụ Bài Viết phương trình tắc elip (E) trường hợp sau: e= a) (E) có độ dài trục lớn tâm sai ( 0; 5) b) (E)có tọa độ đỉnh c) (E) có tiêu điểm thứ (- i qua im ) ổ4 10 Mỗ ;ỗ ỗ ỗ è M (1; 3;0 qua điểm ö ÷ 1÷ ÷ ÷ ø 33 ) d) Hình chữ nhật sở (E) có cạnh nằm đường thẳng tích 48 e) (E) có tâm sai y +2= có diện hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 Lời giải: Phương trình tắc (E) có dạng: a) (E) có độ dài trục lớn suy x2 y2 + = 1( a > b > 0) a2 b2 2a = Û a = e= , Tâm sai nên c = Þ c = 2, b2 = a2 - c2 = a Vậy phương trình tắc (E) b) (E) có đỉnh có tọa độ x2 y2 + =1 ( 0; 5) nằm trục tung nên x2 y2 + =1 a> 5 a2 ( tắc (E) có dạng: Mặt khác (E) qua điểm ỉ4 10 Mỗ ỗ ;ỗ ỗ ố ữ 1ữ ÷ ÷ ø nên b= ) 160 + = Þ a2 = 25a2 phương trình Vậy phương trình tắc (E) c) (E) có tiêu điểm M (1; Mặt khác F1(- 3;0) nên x2 y2 + =1 c= suy 33 528 ) Ỵ (E ) Þ + =1 a 25b2 a2 = b2 + c2 = b2 + (1) (2) Thế (1) vào (2) ta 528 + = Û 25b4 - 478b2 - 1584 = b + 25b Û b2 = 22 Þ a2 = 25 Vậy phương trình tắc (E) x2 y2 + =1 25 22 d) (E) có hình chữ nhật sở có cạnh nằm đường thẳng Mặt khác hình chữ nhật sở diện tích 48 nên Vậy phương trình tắc (E) e) (E) có tâm sai suy y +2= suy b=2 2a.2b = 48 Þ b = x2 y2 + =1 36 a2 - b2 = a hay Hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 suy 4a2 = 9b2 (3) 4( a + b) = 20 (4) a = 3, b = Từ (3) (4) suy Vậy phương trình tắc (E) x2 y2 + =1 DẠNG Xác định điểm nằm đường elip thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Để xác định tọa độ điểm M thuộc elip có phương trình tắc (E) : x2 y2 + = 1( a > b > 0) a2 b2 ta làm sau M ( xM ;yM ) M Ỵ (E) xM2 yM2 + =1 a2 b2 Û • Giả sử , điểm ta thu phương trình thứ • Từ điều kiện tốn ta thu phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ xM , yM phương trình ẩn ta tìm tọa độ điểm M Các ví dụ: Bài Trong mặt phẳng Oxy , cho elip (E): x2 y2 + =1 25 có tiêu điểm F1 F2 Tìm điểm M (E) cho a) Điểm M có tung gấp ba lần hoành độ b) c) MF1 = 2MF2 · F1MF2 = 600 d) Diện tích tam giác D OAM lớn với A ( 1;1) Lời giải Giả sử M ( xM ;yM ) Ỵ (E) suy xM yM + =1 25 (*) a) Điểm M có tung gấp ba lần hồnh độ ( 3xM xM2 + 25 ) 26 æ 15 ữ M1ỗ ; ữ ỗ ữ ỗ ố 26 26 ø a2 = 25, b2 = b) Từ phương trình (E) có thay vào (*) ta = Û 26xM2 = 25 Û xM = ± Vậy có hai điểm thỏa mãn yM = 3xM ổ M2ỗ ỗ ỗ ố 26 ;- 15 ÷ ÷ ÷ 26 ø a = 5, b = 3,c = a2 - b2 = nên Theo cơng thức tính bán kính qua tiêu điểm ta có : c MF1 = a + xM = + xM a Theo giải thiết MF1 = 2MF2 suy MF2 = a - c xM = - xM a ỉ + xM = 2ỗ - xM ữ ữ x = 25 ỗ M ữ ỗ ố ø 12 Thay vào (*) ta có : 25 yM2 119 + = Û yM = ± 144 Vậy có hai điểm M thỏa mãn là: ổ25 119 ữ ữ M1ỗ ỗ ỗ12; ữ ữ ỗ ố ứ v ổ25 M2ỗ ỗ ỗ12; ỗ è 119 ÷ ÷ ÷ ÷ ø uuuu r uuuu r F1 ( - 4;0) , F2 ( 4;0) Þ MF1 ( xM + 4;yM ) , MF2 ( xM - 4;yM c) Ta có Vì · F1MF2 = 600 nên ) uuuu r uuuu r MF MF xM2 + yM2 - 16 cos600 = uuuu r uuu2u r = ỉ ưỉ MF1 MF2 ỗ ỗ + xM ữ - xM ữ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ ứố ố ÷ ÷ ÷ ø 1ỉ 16 Û xM2 + yM2 - 16 = ỗ 25 x ữ ữ ỗ ữ 2ỗ 25 M ứ ố Suy xM2 57 yM2 = 25 66 33 xM = ± vào (*) ta ỉ5 13 3 ữ ữ M1ỗ ; ỗ ữ ỗ ữ ỗ ø è , ỉ 13 3 ÷ ổ5 13 3ữ ỗ ữ ữ M2ỗ ; , M ; ỗ ỗ ữ 3ỗ ữ ỗ ç ç 4 ÷ ÷ è ø è ø uuu r OA ( 1;1) æ 13 3ữ ữ M4ỗ ; ỗ ữ ỗ ç 4 ÷ è ø nên đường thẳng qua hai điểm O, A nhận tuyến có phương trình u r n ( - 1;1) - x +y = - xM + yM 1 SOAM = OA.d ( M ;OA ) = = - xM + yM 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bnhiacốpxki ta có SOAM = 13 Vậy có bốn điểm thỏa mãn d) Ta có y 57 yM2 3 + M = Þ yM = ± 66 33 ỉxM yM ÷ 34 x y 1 ữ - M + M Ê 34.ỗ + = ỗ ữ ỗ ữ è 25 ø - Dấu xảy xM y = M 25 kết hợp với (*) ta làm vectơ pháp ìï ïï xM = 25 ï 34 í ïï ïï yM = ïỵ 34 Vậy có hai điểm ìï ïï xM = - 25 ïí 34 ïï ïï yM = ùợ 34 ổ25 M1ỗ ;ỗ ỗ ố 34 Bi 4: Cho elip (E) : ÷ ÷ ÷ 34 ø x2 y2 + =1 qua trục hồnh tam giác ỉ 25 ÷ M2ỗ ; ữ ỗ ữ ỗ ố 34 34 ứ ABC thỏa mãn yêu cầu toán C ( 2;0) A, B Tìm A, B thuộc (E) biết đối xứng Lời giải Giả sử Vì A ( x0;y0 ) (E) Vì tam giác nên A, B Vì đối xứng qua trục hồnh nên x02 y02 x2 + = Û y02 = - 4 ABC AB = AC Þ nên Û 3y02 = - 4x0 + x02 (- B ( x0;- y0 ) (1) 2 2y0 ) = ( - x0 ) + ( - y0 ) (2) Thay (1) vào (2) ta cú ổ x02 ữ ữ 3ỗ = - 4x0 + x02 Û 7x02 - 16x0 + = ỗ1 ữ ữ ỗ 4ứ ố + Nu x0 = x0 = + Nếu Vậy thay vào (1) ta có y0 = thay vào (1) ta có ỉ2 ỉ2 ữ ữ ỗ ữ ữ Aỗ ; B ;ỗ ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç 7 7 è ø è ø , éx0 = ê ê êx0 = ê ë Trường hợp loại y0 = ± với ỉ2 ỉ2 ữ ữ ỗ ữ ữ Aỗ ; B ; ç ç ÷ ÷ ç ÷ ç ç ç ø è7 è7 ÷ ø , Aº C y0 > ... 21 = a DẠNG Viết phương trình tắc đường elip Phương pháp giải Để viết phương trình tắc elip ta làm sau: + Gọi phương trình tắc elip x2 y2 + = 1( a > b > 0) a2 b2 , + Từ giả thiết toán ta thiết... đại lượng từ ta suy yếu tố cần tìm b2 = a2 - c2 ta tìm c elip Các ví dụ Bài Xác định đỉnh, độ dài trục, tiêu cự, tiêu điểm , tâm sai elip có phương trình sau: a) x2 y2 + =1 b) 4x2 + 25y2 = 100... phương trình, hệ phương trình từ giả thiết a,b tốn để tìm đại lượng elip từ viết phương trình tắc Các ví dụ Bài Viết phương trình tắc elip (E) trường hợp sau: e= a) (E) có độ dài trục lớn tâm sai (