Tìm Min-Max Bằng Áp Dụng BĐT Mơ Đun Giáo Viên: Nguyễn Khải-Nguyễn Duy Chiến admin Nhóm Tốn VD-VDC A-Tóm Tắt Lý Thuyết 1.BĐT Mô Đun Cho số phức z1, z2 ta có: z = z1 + z2 z1 + z2 (1) Đẳng thức xảy z1 0, k , k 0, z2 = kz1 z1 + z2 z1 − z2 ( ) Đẳng thức xảy z1 = z1 0, k , k 0, z2 = kz1 Chứng minh Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1 , − z2 Khi đó: OA = z1 ; BO = z2 ; BA = z1 − ( −z2 ) = z1 + z2 ; OA biểu diễn số phức z1 OB biểu diễn số phức −z2 Chứng minh (1) + Ta ln có: BA BO + OA z1 + z2 z1 + z2 (1) Đẳng thức (1) xảy O, A, B thẳng hàng O thuộc đoạn AB + Khi A O tức z1 điều có nghĩa có số k để OB = −kOA tức z2 = kz1 (Còn z1 = , rõ ràng z1 + z2 = z1 + z2 ) Vậy đẳng thức (1) xảy z1 = z 0, k , k 0, z = kz Chứng minh ( ) + Ln có BA AO − OB z1 + z2 z1 − z2 ( ) Đẳng thức ( ) xảy O, B, A thẳng hàng O không nằm A, B + Khi A O tức z1 điều có nghĩa có số k cho OB = −kOA tức z2 = kz1 (Khi z1 = ,rõ ràng z1 + z2 = z1 − z2 ) Vậy đẳng thức ( ) xảy z1 = z 0, k , k 0, z = kz 2.Đẳng thức Mô Đun 2.1.Cho số thực m , n số phức z1, z2 ta có: mz1 + nz2 = m2 z1 + n2 z2 + mn ( z1.z2 + z1.z2 ) 2 Chứng minh : ( ) mz1 + nz2 = ( mz1 + nz2 ) mz1 + nz2 = ( mz1 + nz2 )( mz1 + nz2 ) = m2 z1 + n2 z2 + mn ( z1.z2 + z1.z2 ) 2 Giáo Viên: Nguyễn Khải-Nguyễn Duy Chiến Nhận xét: -Với m = 1, n = có z1 + z2 = z1 + z2 + z1.z2 + z1.z2 2 -Với m = 1, n = −1 z1 − z2 = z1 + z2 − ( z1.z2 + z1.z2 ) 2 ( Từ suy z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 2 2 z +z z −z 2 2.2 z + z1 + z + z2 = z + + 2 ) Chứng minh : z + z1 + z + z2 2 z +z z −z z +z z −z = z + + + z + − 2 2 2 z1 + z2 z1 − z2 = 2 z + + 2 2.3.Cho số phức z1, z2 khác ta có: z1 + z2 = z2 z z1 + z2 z1 z2 Chứng minh : +Ta có: z1 + z2 = z1 + z2 + z1.z2 + z1.z2 (1) ; 2 z z z z z z 2 + z1 + z2 = 2 z1 + z2 + ( z1.z2 + z1.z2 ) = z1 + z2 + z1.z2 + z1.z2 ( ) z1 z2 z1 z2 z1 z2 +Từ (1) ( ) suy ra: z1 + z2 z2 z z z z1 + z2 = z1 + z2 z1 + z2 = z1 z2 z1 z2 3.Một số ý 3.1 z − z1 + z − z2 = z2 − z1 (1) +Xét z z2 , đó: Vì z2 − z1 = z − z1 + z2 − z z2 − z + z − z1 = z2 − z1 nên suy z − z1 = 1− x ( z2 − z ) ( x , x ( 0;1) z = z2 + x ( z1 − z2 ) x +Với z = z2 thay trực tiếp vào toán z − z1 + z − z2 = z2 − z1 +Như có suy z = z2 + x ( z1 − z2 ) ( x , x ( 0;1) z − z2 3.2 z − z1 − z − z2 = z2 − z1 ( ) +Xét z z2 , đó:Vì z2 − z1 = z − z1 − z2 − z z − z1 + z2 − z = z2 − z1 nên suy z − z1 = 1− x ( z2 − z ) ( x , x ( −;0) x 1; + )) z = z2 + x ( z1 − z2 ) z − z1 − z − z2 = z2 − z1 +Như có suy z = z2 + x ( z1 − z2 ) z − z (x , x ( −;0) 1; + )) Giáo Viên: Nguyễn Khải-Nguyễn Duy Chiến B Ví Dụ Câu 1: [Minh Hoạ-L2/N2017] Xét số phức z thỏa mãn z + − i + z − − 7i = Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn z − + i Giá trị biểu thức P = m + M B + 73 A 13 + 73 C + 73 D + 73 Định hướng : Nhận thấy z + − i − ( z − − 7i ) = suy z = a ( x ) + b ( x ) i với x D Đến ta có tốn quen thuộc Lời giải *Trường hợp 1: z = −2 + i (thỏa mãn z + − i + z − − 7i = ), đó: z −1 + i = −3 + 2i = 13 *Trường hợp 2: z −2 + i +Vì = z + − i + − z + + 7i − z + + 7i + z + − i = nên suy − z + + 7i = 1− x ( z + − i ) với x , x ( 0;1 z = ( −2 + x ) + (1 + x ) i x + z −1 + i = ( −3 + 6x ) + ( + 6x ) i = 72 x − 12 x + 13 với x , x ( 0;1 1 +Xét hàm số f ( x ) = 72x2 −12x +13, x ( 0;1 , dễ thấy f ( x ) = f = ; ( 0;1 12 max f ( x ) = f (1) = 73 ( 0;1 *So sánh hai trường hợp thấy: m = Câu 2: ; M = 73 Chọn B [Chuyên Thái Bình-L5/N2018] Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + + (1 + i ) z − = Gọi m , n giá trị lớn giá trị nhỏ z Đặt w = m + ni , giá trị w 2018 B 41009 A 21009 C 51009 D 61009 Định hướng : +Biến đổi giả thiết: (1 + i ) z + + (1 + i ) z − = z + − i + z − + i = +Áp dụng BĐT: z1 + z2 z1 + z2 dễ dàng tìm m +Áp dụng z + z1 + z + z2 2 2 z1 + z2 z1 − z2 = 2 z + + a, b 2 a + b ( a + b2 ) tìm n Giáo Viên: Nguyễn Khải-Nguyễn Duy Chiến ta có : Lời giải + = z + − i + z − + i z + − i + z − + i = z z (1) Đẳng thức (1) xảy k , k z + − i = k ( z − + i ) z = ( −1 + i ) m = z =2 + = z + − i + z −1 + i z + − i + z −1 + i = z + i −1 z + − i = z −1+ i z = (1 + i ) n = z ( ) Đẳng thức ( ) xảy z = Vậy w 2018 = 61009 Chọn D Câu 3: [Đặng Thúc Hứa Nghệ An-L1/N2018] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − i = z + − 3i + z − + i Giá trị lớn biểu thức z − + 3i 13 Định hướng : B + 13 A C D z + − 3i = ( z − i ) + (1 − 2i ) + Khai thác giả thiết: z − i = z + − 3i + z − + i thấy , z − + i = z − i − − i ( ) ( ) 2 2 đó: z + − 3i + z − + i = z − i + − 2i + Mặt khác: z − i = z + − 3i + z − + i ( (1 ( + 32 ) z + − 3i + z − + i 2 ) ) = 20 z − i + Từ suy z − i Đến ta có tốn quen thuộc Lời giải z + − 3i = ( z − i ) + (1 − 2i ) 2 2 + Vì nên z + − 3i + z − + i = z − i + − 2i z −1 + i = ( z − i ) − (1 − 2i ) Ta có z − i = z + − 3i + z − + i (1 ( + 32 ) z + − 3i + z − + i 2 )= ( ) 20 z − i + Từ suy z − i + z − + 3i = ( z − i ) + ( −2 + 4i ) z − i + −2 + 4i + = z − + 3i (1) z + − 3i z −1 + i = z −i = Đẳng thức (1) xảy z = −2 + 5i Vậy max z − + 3i = k , k z − i = k ( −2 + 4i ) Chọn D Giáo Viên: Nguyễn Khải-Nguyễn Duy Chiến Câu 4: Cho số phức z − − 2i = Giá trị lớn biểu thức thỏa mãn z T = z + − i + z − − 4i A B C D Định hướng : Nhận thấy z + − i = ( z −1 − 2i ) + ( + i ) , z − − 4i = ( z −1 − 2i ) − ( + i ) Từ tính z + − i + z − − 4i theo z − − 2i , + i Đây điểm then chốt để đến lời giải Lời giải Đặt z1 = z −1− 2i; z2 = + i ( ) ( ) + z + − i = ( z − − 2i ) + ( + i ) = z − − 2i + + i + z1 z2 + z1 z2 = + z1 z2 + z1 z2 ; 2 ( ) ( z − − 4i = ( z − − 2i ) − ( + i ) = z − − 2i + + i − z1 z2 + z1 z2 = 24 − z1 z2 + z1 z2 2 ) Từ suy z + − i + z − − 4i = 42 +T = ( ) ( ) z + − i + z − − 4i + 1 z + − i + z − − 4i = Đẳng thức 2 2 z + − i + z − − 4i = 42 xảy z + − i (Hệ có nghiệm) Vậy max T = z − − 4i = Chọn A Tổng quát toán: Cho số phức z thỏa mãn z − z0 = r Tìm giá trị lớn biểu thức T = a z − z1 + b z − z2 Biết z0 − z1 = −m ( z0 − z2 ) , a, b, r , m số thực dương z0 , z1, z2 số phức cho trước Ý nghĩa hình học: Cho điểm M chuyển động đường tròn tâm I bán kính R Cho A, B hai điểm cố định cho I nằm A, B Tìm giá trị lớn T = xMA + yMB với x , y hai số thực dương cho trước Câu 5: [Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc-L2/N2018] Cho số phức z thoả mãn điều kiện z − − i = 2 Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức H = z + − 2i + z − + 4i Giá trị M + m A 16 B 11 C 26 + D 26 + Định hướng : + Tìm m đơn giản rõ ràng áp dụng: z1 + z2 z1 + z2 z1 + z2 z −z 2 z + z + z + z = z + + + Ta biết: 2 , ta có: 2 2 z + − 2i + z − + 4i = z + i + − 3i Mặt khác biết z − − i = 2 , tìm max z + i , a + b ( a + b2 ) là tốn quen thuộc Như áp dụng BĐT : a, b tìm M Lời giải + H = z + − 2i + − z + − 4i z + − 2i − z + − 4i = (1) k , k k , k − k Đẳng thức (1) xảy z + − 2i = ( − z + − 4i ) z = ( − 6k ) + ( 6k − ) i k z −2−i = 2 z −2−i = 2 z = −i k = + H z + − 2i + z − + 4i = z + i + − 3i = z + i + 18 z + i = ( z − − i ) + ( + 2i ) z − − i + + 2i = Suy H 10 ( ) z + − 2i = z − + 4i l , l Đẳng thức ( ) xảy z = + 3i z − − i = l ( + 2i ) z −2−i = 2 +Vậy m = 2; M = 10 Chọn A Câu 6: [Đề tham khảo-2018]Xét số phức z = x + yi ( x, y ) thỏa mãn z − − 3i = Khi biểu thức P = z + − 3i + z − + i đạt giá trị lớn nhất, giá trị x + y A Định hướng : B C D 10 + Nhận thấy z + − 3i = ( z − − 3i ) + , z −1 + i = ( z − − 3i ) + (3 + 2i ) khơng tính 2 z + − 3i + z −1 + i theo z − − 3i ( , số thực) 2 2 + Tuy nhiên ta lại có z + − 3i + z − + i = z − i + − 2i Từ ta có Lời giải sau: Lời giải 2 2 + P z + − 3i + z − + i = z − i + − 2i = + z − i (1) Giáo Viên: Nguyễn Khải-Nguyễn Duy Chiến + z − i = ( z − − 3i ) + ( + 2i ) z − − 3i + + 2i = ( ) Đẳng thức ( ) xảy k , k z − − 3i = k ( + 2i ) z = + 4i z − − 3i = + Từ (1) ( ) suy P 10 ( 3) Đẳng thức ( 3) xảy đẳng thức (1) ( ) z = + 4i đồng thời xảy z = + 4i z + − 3i = z − + i Chọn D Câu 7: [Chuyên Đại Học Vinh-Lần 1-Năm 2019]Giả sử z1, z2 hai số phức z thỏa mãn ( z − )( + z i ) số thực.Biết z1 − z2 = , giá trị nhỏ z1 + z2 A − 21 C 20 − 22 B 20 − 21 D − 22 Định hướng : z1 − + 4i = +Biến đổi ( z − )( + z i ) số thực z − + 4i = (1) z − + i = +Phát quan trọng = z1 − z2 = ( z1 − + 4i ) − ( z2 − + 4i ) ( ) +Kết hợp (1) ( ) tính được: ( z1 − + 4i ) + ( z2 − + 4i ) đến toán quen thuộc Lời giải + z = x + yi ( x, y ) Vì ( x − 6) + yi ( y + 8) + xi số thực nên x ( x − ) + y ( y + 8) = z1 − + 4i = z − + i = ( x − 3) + ( y + 4) = 25 z − + 4i = 2 w1 = z1 − + 4i 2 +Đặt , đó:Vì z1 − z2 = w1 − w2 = 16 = w1 + w2 − w1w2 − w1w2 w2 = z2 − + 4i w1w2 + w1w2 = 34 ; w1 + 3w2 = w1 + w2 + ( w1w2 + w1w2 ) = 22 Suy 2 z1 + 3z2 −12 + 16i = 22 + z1 + 3z2 = ( z1 + 3z2 −12 + 16i ) + (12 −16i ) z1 + 3z2 −12 + 16i − 12 −16i = 20 − 22 Đẳng − 22 k , k : z1 + 3z2 − 12 + 16i = k (12 − 16i ) z1 + z2 = thức xảy (12 − 16i ) z + z − 12 + 16 i = 22 ( ) Vậy z1 + 3z2 = − 22 Chọn C Câu 8: [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Năm 2019]Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 + − i + z1 − − 7i = iz2 − + 2i = Giá trị nhỏ biểu thức T = z1 + z2 A 2 +1 B − C 2 −1 D + Định hướng : +Thấy làm triệt tiêu biến z2 BĐT T + = − z2 − i − + z1 + z2 − z2 − i − + z1 + z2 = z1 − i − +Lại có z1 + − i − ( z1 − − 7i ) = suy z1 = a ( x ) + b ( x ) i với x D Đến ta có tốn quen thuộc Lời giải *Ta có: T + = − z2 − i − + z1 + z2 − z2 − i − + z1 + z2 = z1 − i − *Trường hợp 1: z1 = −2 + i (thỏa mãn z1 + − i + z1 − − 7i = ), đó: z1 − − i = −4 = *Trường hợp 2: z −2 + i +Vì = z1 + − i + − z1 + + 7i − z + + 7i + z + − i = nên suy − z1 + + 7i = 1− x ( z1 + − i ) với x , x ( 0;1 z1 = ( −2 + x ) + (1 + x ) i x + z1 − − i = ( −4 + x ) + xi = 18 x − 12 x + Xét hàm số 1 f ( x ) = 18x2 −12x + 4, x ( 0;1 , dễ thấy f ( x) = f = 2 x( 0;1 3 *So sánh hai trường hợp ta có: T 2 −1 (1) Đẳng thức (1) xảy z1 = 3i z1 = 3i −4 + 2 + 1− k − i Vậy T = 2 −1 ( − z2 − i − ) z = k , k 1: z1 + z2 = 2 k z2 + + i = k = Chọn C Câu 9: [Gang Thép Thái Nguyên Năm 2018]Xét số phức z thỏa mãn iz − 2i − − z + − 3i = 34 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (1 + i) z + 2i A Pmin = B Pmin = 26 C Pmin = 17 D Pmin = Định hướng : +Biến đổi toán: iz − 2i − − z + − 3i = 34 z − + 2i = z + − 3i + −3 + 5i ; P = z +1+ i +Thấy z + − 3i + ( −3 + 5i ) = z − + 2i suy z = a ( x ) + b ( x ) i với x D Lời giải + iz − 2i − − z + − 3i = 34 z − + 2i = z + − 3i + −3 + 5i ; P = z + + i +Vì z − + 2i = z + − 3i + −3 + 5i z + − 3i + 5i − = z − + 2i nên z + − 3i = x ( −3 + 5i ) với x , x z = ( −1 − 3x ) + ( + x ) i + z + + i = −3x + ( + 5x ) i = 34 x + 40 x + 16 (Vì x ).Đẳng thức xảy z = −1 + 3i Vậy P = Chọn A Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z − i = Biết biểu thức T = z + 3i + z − − i đạt giá trị nhỏ z = x + yi ( x, y A − 13 17 ) Hiệu x − y C + 13 17 B 13 − 17 D − + 13 17 Định hướng : + Khai thác kết luận: Biểu thức T = z + 3i + z − − i đạt giá trị nhỏ Ta phải “cân hệ số” (làm xuất thừa số trước biểu thức z + 3i ) trước áp dụng bất đẳng thức mô đun đẳng thức sau: z1 + z2 = z2 z z1 + z2 z1 z2 ( z1 , z2 ; z1 0, z2 ) z1 +Tổng quát toán:Cho trước hai số phức z1, z2 thỏa mãn số thực dương c z1 z2 Biết số phức z thỏa mãn z = c Tìm giá trị nhỏ z − z1 + z1 z − z2 c Lời giải Đặt u = z − i , u = ; u + 4i = 4i u u+ 4i = u + i Ta có T= u + 4i + u − u 4i k , k 1− k = u + i + − u u + i + − u = 17 Đẳng thức xảy u + i = (4 − u) k u = 16 − 13 k = Ta có z = u + i = ( − 4k ) + (1 − k ) i Suy 17 u = ( − 4k ) − ki x − y = − 3k = + 13 Chọn C 17 ... +Biến đổi giả thiết: (1 + i ) z + + (1 + i ) z − = z + − i + z − + i = +Áp dụng BĐT: z1 + z2 z1 + z2 dễ dàng tìm m +Áp dụng z + z1 + z + z2 2 2 z1 + z2 z1 − z2 = 2 z + + a, b 2 ... đạt giá trị nhỏ Ta phải “cân hệ số” (làm xuất thừa số trước biểu thức z + 3i ) trước áp dụng bất đẳng thức mô đun đẳng thức sau: z1 + z2 = z2 z z1 + z2 z1 z2 ( z1 , z2 ; z1 0, z2 ) z1... Mặt khác biết z − − i = 2 , tìm max z + i , a + b ( a + b2 ) là toán quen thuộc Như áp dụng BĐT : a, b tìm M Lời giải + H = z + − 2i + − z + − 4i z + − 2i − z + − 4i = (1) k