Kiến thức: - Nắm vững định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm - Nắm vững các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa - Nắm vững tính chất quan hệ của đạo hàm và tính liên tục của hàm số 2..
Trang 1SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG THPT LẤP VÒ 3
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Người soạn: Nguyễn Phước Thu Thảo Ngày soạn:22/01/2019
Lớp: 11CB1
BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
1 Kiến thức:
- Nắm vững định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
- Nắm vững các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa
- Nắm vững tính chất quan hệ của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
2 Kỹ năng:
- Biết tính đạo hàm của hàm số tại một điểm theo định nghĩa
- Biết cách tính vận tốc tức thời khi biết phương trình chuyển động
3 Thái độ: Hình thành thói quen cẩn thận chính xác
- Học sinh: SGK, máy tính, chuẩn bị bài tập trước ở nhà
- Giáo viên:
+ Phương pháp: Hệ thống hóa kiến thức, đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề,
luyện tập
+ Phương tiện: Thước kẻ, phấn màu
III TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1 Kiểm tra bài cũ: Tính các giới hạn sau:
a lim
𝑥→2
𝑥2−5𝑥+6
𝑥→2
√𝑥+1−√2
𝑥 2 −1 =√2
8
2 Bài mới:
Hoạt động 1: Bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
-Cho bài toán và vẽ
hình hướng dẫn học
sinh tìm ra được định
nghĩa đạo hàm của
hàm số tại một điểm
chuyển động là một
-Chú ý lắng nghe, và trả lời câu hỏi
Từ một độ cao nhất định ta thả mọt viên bi rơi tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi Giả sử tại thời điểm 𝑡0 viên bi ở vị trí A có tọa độ 𝑦0 = 𝑓(𝑡0); tại thời điểm
𝑡1(𝑡1 > 𝑡0) viên bi ở vị trí B có tọa
độ 𝑦1 = 𝑓(𝑡1)
Trang 2hàm số theo thời gian t
nên ta viết y = f(t)
-Công thức tính vận
tốc trung bình là gì?
Áp dụng tính vận tốc
trung bình trến quãng
đường AB?
-Câu hỏi đặt ra làlàm
thế nào để tính vận tốc
tức thời của vật tại
điểm A?
-GV đưa ra nhận xét
-Từ đó người ta xem
giới hạn của tỉ số
𝑓(𝑡1)−𝑓(𝑡0)
𝑡 1 −𝑡 0 khi 𝑡1 dần
đến 𝑡0 là vận tốc tức
thời tại thời điểm 𝑡0
của viên bi
-Nhiều vấn đề khác
của toán học, lý,
hóa,… dẫn đến các bài
toán tìm giới hạn
lim
𝑡 1 →𝑡 0
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥 0 trong
đó y = f(x) là hàm số
nào đó
-𝑣𝑡𝑏 =∆𝑠
∆𝑡 = 𝐴𝐵
𝑡 1 −𝑡 0
-Ta tính một số vận tốc trung bình trên quãng đường AB, với B càng gần điểm A thì vận tốc trung bình thu được xấp
xỉ vận tốc tức thời tại A
-Khi đó để tính vận tốc trung bình trên quãng đường AB, ta sử dụng công thức:
𝑣𝑡𝑏 =∆𝑠
∆𝑡 = 𝐴𝐵
𝑡 1 −𝑡 0=𝑓(𝑡1 )−𝑓(𝑡0)
𝑡 1 −𝑡 0
-Nếu B càng tiến gần đến A thì kết quả càng chính xác Nghĩa là vận tốc
tb của viên bi càng gần với vận tốc tt
ở thời điểm 𝑡0 nếu khoảng tg |𝑡1−
𝑡0 | càng nhỏ
-𝑣𝑡𝑡 = lim
𝑡1→𝑡0
𝑓(𝑡 1 )−𝑓(𝑡0)
𝑡1−𝑡0
-Trong toán học, người ta gọi giới hạn đó, nếu có và hữu hạn là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm 𝑥0
Hoạt động 2: Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
-Giới thiệu khái niệm
đạo hàm tại một điểm
-Giới thiệu các khái
niệm: Số gia của đối
số và số gia của hàm
số
I Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
1 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x)
xác định trên khoảng (a,b), ∀𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) Nếu tồn tại giới hạn (hữu
hạn)
lim 𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0 Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm 𝑥0
Trang 3-Cho ví dụ hướng dẫn
học sinh giải
Áp dụng CT (1) để
giải
-Chú ý lắng nghe và trả lời câu hỏi
Kí hiệu: 𝑓′(𝑥0) (hoặc 𝑦′(𝑥0)), tức là
𝒇′(𝒙𝟎) = 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒙 𝟎
𝒇(𝒙)−𝒇(𝒙 𝟎 ) 𝒙−𝒙 𝟎 (1)
2 Ví dụ 1:
Cho hàm số 𝒚 = 𝒙𝟐 Hãy tính 𝑦′(𝑥0) với 𝑥0 = 1 bằng định nghĩa
Áp dụng CT (1) ta được:
𝑦′(1) = lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
Vậy 𝑦′(1) = 2
Hoạt động 3: Xây dựng cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
-Giải thích cho HS thế
nào là số gia của đối
số(∆𝑥), số gia của
hàm số (∆𝑦) Từ đó
suy ra cách tính đạo
hàm bằng định nghĩa
-Giáo viên hướng dẫn
hs sử dụng các bước
vừa nêu tính lại ví dụ 1
-Đặt ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0
⇒ 𝑥 =?
-Tính ∆𝑦 =?
-Suy ra tỉ số ∆𝒚
∆𝒙
-Kết luận
-Lắng nghe và trả lời câu hỏi gợi mở
-∆𝑥 = 𝑥 − 1 ⇒ 𝑥 = ∆𝑥 + 1
-∆𝑦
∆𝑥=(∆𝑥)2+2∆𝑥
-𝑦′(1) = lim (∆𝑥 + 2) = 2
∆𝑥→0
3 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
-Bước 1: Giả sử ∆𝒙 = 𝒙 − 𝒙𝟎 là số gia của đối số tại 𝑥0, tính:
∆𝒚 = 𝒇(∆𝒙 + 𝒙𝟎) − 𝒇(𝒙𝟎) (số gia
của hàm số) -Bước 2: Lập tỉ số ∆𝒚
∆𝒙 -Bước 3: Kết luận:
𝒇′(𝒙𝟎) = 𝒚′(𝒙𝟎) = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒚
∆𝒙
∆𝒙→𝟎
-Ví dụ 2: Cho hàm số 𝒚 = 𝒙𝟐 Hãy
tính 𝑦′(𝑥0) với 𝑥0 = 1 bằng định nghĩa
Giải:
Đặt: ∆𝑥 = 𝑥 − 1 ⇒ 𝑥 = ∆𝑥 + 1
-Suy ra: ∆𝑦
∆𝑥 =(∆𝑥)2+2∆𝑥
-Vậy 𝒚′(1) = lim (∆𝑥 + 2) = 2
∆𝑥→0
Hoạt động 4: Các bài tập áp dụng
-GV hướng cho HS
đường đi, Vận dụng
công thức, phát triển
năng lực tính toán
⇒ 𝑥 =?
-Tính ∆𝑦 =?
-Suy ra tỉ số ∆𝒚
∆𝒙
Câu a ∆𝑥 = 𝑥 − 3 ⇒ 𝑥 = ∆𝑥 + 3
∆𝑦 = 𝑓(∆𝑥 + 3) − 𝑓(3)
-∆𝑦 = 2∆𝑥
-Bài tập 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5 𝑡ạ𝑖 𝑥0 = 3
b.𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 𝑥 + 1 𝑡ạ𝑖 𝑥0 = 0 Giải:
a.Đặt ∆𝑥 = 𝑥 − 3 ⇒ 𝑥 = ∆𝑥 + 3
∆𝑦 = 𝑓(∆𝑥 + 3) − 𝑓(3) = 2∆𝑥 Suy ra: ∆𝑦
∆𝑥 = 2
Trang 4-Kết luận - ∆𝑦
∆𝑥 = 2
y′(3) = lim
∆𝑥→0
2 = 2 Câu b ∆𝑥 = 𝑥
∆𝑦 = 𝑓(∆𝑥) − 𝑓(0)
= (∆𝑥)2− ∆𝑥
∆𝑦
𝑦′(0) = lim
∆𝑥→0( ∆𝑥 − 1)
= −1
Vậy: y′(3) = lim
∆𝑥→0
2 = 2 b.Đặt: ∆𝑥 = 𝑥
∆𝑦 = 𝑓(∆𝑥) − 𝑓(0) = (∆𝑥)2− ∆𝑥 Suy ra: ∆𝑦
Vậy:
𝑦′(0) = lim
Hoạt động 5: quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
-Gọi HS đọc ĐL 1
trang 150
-Cho bài toán CM điều
ngược lại là không
đúng
- Gọi HS lên giải câu
a
-Chú ý lắng nghe và thực hiện theo yêu cầu
Định Lý 1: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại 𝑥0 thì nó liên tục tại điểm đó
-Chú ý:
+ Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại
𝑥0 thì nó không có đạo hàm tại điểm
đó
+Một số hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó
Bài toán: Cho hàm số:
𝑓(𝑥) = {𝑥𝑠𝑖𝑛
1
𝑥 𝑛ế𝑢 = 0 a.Chứng minh hàm số liên tục tại
𝑥0 = 0
không?
Giải:
a.TXD: D = R -f(0) = 0 -lim 𝑥→0𝑥𝑠𝑖𝑛1
𝑥 = 0 Vậy HS liên tục tại 𝑥0 = 0 b.Áp dụng CT (1) ta được:
𝑓′(0) = lim
𝑥→0
𝑥𝑠𝑖𝑛1𝑥
𝑥 = lim𝑥→0 𝑠𝑖𝑛1
𝑥 Giới hạn này không tồn tại suy ra không tồn tại đạo hàm
3 Củng cố:
Trang 5- Nắm chắc phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa
- Thấy được mối liên hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục của hàm số
4 Dặn dò: xem tiếp phần tiếp theo của bài, làm bài tập 1,2,3,4 sgk trang 156
NHẬN XÉT CỦA GVHD: