MỘT số vấn đề về dạy TOÁN BẰNG TIẾNG ANH ở cấp THCS

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DẠY TOÁN BẰNG TIẾNG ANH Ở CẤP THCS MATH VOCABULARY Prepare by Nguyễn Thanh Dũng Set (tập hợp) Arithmetic (số học) Geometry (Hình học) Function-Polynomial (Hàm số- Đa thức) Other Terminology (Thuật ngữ khác) Words in a proof Set (Tập hợp) set subset proper subset element empty set countable set uncountable set discrete set infinite set open set closed set interval open interval closed interval bounded set card ordered set boundary of set connected set union of (sets) intersection of (sets) complement difference of sets tập hợp tập tập thực phần tử tập hợp rỗng tập đếm tập không đếm tập hợp rời rạc tập vơ hạn tập mở tập đóng khoảng khoảng mở khoảng đóng tập bị chặn lực lượng tập thứ tự biên tập hợp tập liên thông hợp (các tập hợp) giao của(các tập hợp) phần bù hiệu tập hợp Arithmetic (Số học) number digit natural number integer odd number even number positive number negative number số chữ số số tự nhiên số nguyên số lẻ số chẵn số dương số âm rational number irrational number imaginary number complex number perfect square prime number (prime) decimal number relatively prime consecutive reminder term factor factorial canonical factorization LCM (least common multiple) GCD (greatest common divisor) floor fractional part triple triplet next, back number decimal representation decimal system binary system adjacent numbers? absolute value residue modulo residue classes congruent modulo (m) linear congruence system complete set of residue classes congruence simplified residue system số hữu tỉ số vơ tỉ số ảo số phức phương số nguyên tố số thập phân nguyên tố liên tiếp số dư số hạng nhân tử, thừa số giai thừa biểu diễn tắc chung lớn ước chung nhỏ nhất) phần nguyên phần lẻ bội ba ba số liền trước, số liền sau biểu diễn thập phân hệ thập phân hệ nhị phân số cạnh giá trị tuyệt đối thặng dư mô đun lớp thặng dư, hệ thặng dư đồng dư modun (m) hệ đồng dư tuyến tính hệ thặng dư đầy đủ đồng dư hệ thặng dư thu gọn 2.1 Kinds Number (các loại số) decimal (number) integer real number rational number irrational number imaginary number complex number decimal (number) finite decimal (number) infinite decimal (number) số tự nhiên số nguyên số thực số hữu tỉ số vô tỉ số ảo số phức số thập phân số thập phân hữu hạn số thập phân vô hạn periodical infinite decimal số thập phân vô hạn tuần hồn 2.2 Operation (Phép tốn) add, plus (v) addition subtract, minus (v) subtraction difference multiply, time (v) multiple (multiple of) multiplication multiplicand multiplier product division divide (v) dividend quotient divisible by remainder divisor (divisor of) root square root (of) cube root (of) n-th root (of) exponent power (to the) n-th power base reciprocal cộng phép cộng trừ phép trừ hiệu số nhân bội (bội của) phép nhân số bị nhân số nhân tích phép chia chia số bị chia thương chia hết cho dư số chia, ước số (ước của) bậc (nghiệm) bậc hai (của) bậc ba bậc n (của) số mũ lũy thừa lũy thừa n số lũy thừa lên lũy thừa âm (nghịch đảo) 2.3 Fraction (phân số) fraction denominator numerator proper fraction improper fraction mixed fraction equivalent fraction simplified fraction ratio phân số mẫu số tử số phân số nhỏ phân số lớn hỗn số phân số phân số tối giản tỉ số 2.4 Number-digit (số- chữ số) first digit final digit number of digit chữ số chữ số cuối số chữ số numerical system hệ thống số Plane Geometry (Hình học phẳng) 3.1 Common terminology (Thuật ngữ chung) plane mặt phẳng point điểm line đường thẳng segment đoạn thẳng end point điểm đầu mút đoạn thẳng midpoint trung điểm ray tia circle đường tròn curve đường (cong, thẳng) triangle tam giác quadrilateral tứ giác polygon đa giác vertex (vertices) đỉnh (các đỉnh) side (edge) cạnh vector véc tơ 3.2 Triangle (tam giác) similar triangles Congruent Triangles altitude foot (feet) side base triangle median midline bisector angle internal bisector external bisector midperpendicular (perpendicular bisector) isosceles triangle acute triangle obtuse triangle equilateral triangle (regular triangle) right triangle centroid orthocenter(orthocentre) incenter (incentre) circumcentre (circumcenter) excentre (opposite A) 3.3 Polygon (đa giác) tam giác đồng dạng tam giác đường cao chân đường cao cạnh đáy tam giác đường trung tuyến đường trung bình đường phân giác phân giác phân giác trung trực tam giác cân tam giác nhọn tam giác tù tam giác tam giác vuông trọng tâm trực tâm tâm nội tiếp tâm ngoại tiếp tâm bàng tiếp (đỉnh A) vertex (vertices) side (edge) diagonal regular polygon n-gon quadrilateral parallelogram square rhombus trapezoid median of trapezoid rectangle (regular) hexagon convex polygon concave polygon exterior region interior region boundary of polygon exterior point interior point boundary point đỉnh cạnh đường chéo đa giác n-giác tứ giác hình bình hành hình vng hình thoi hình thang đường trung bình hình thang hình chữ nhật hình lục giác (đều) đa giác lồi đa giác lõm Miền miền biên đa giác điểm điểm điểm biên 3.4 Angle (góc) complement of an angle complementary angles supplement of an angle supplementary angles corresponding angles alternate angles acute angle obtuse angle right angle straight angle reflex angle full rotation interior angle exterior angle vertex angle leg base angle tangent chord angle central angle inscribed angle angles on the same arc angle of rotation directed angle góc phụ góc góc phụ góc bù góc góc bù góc đồng vị góc so le góc nhọn góc tù góc vng góc bẹt góc lớn lơn 180 góc 360 (góc tròn) góc góc ngồi góc đỉnh cạnh bên góc cạnh đáy góc tiếp tuyến dây góc tâm góc nội tiếp góc chắn cung góc quay góc định hướng 3.5 Circle (đường tròn) center (centre) radius chord diameter arc major arc minor arc circular arc concentric (adj) tangent secant contact (n, v) touch (v) point of contact external contact internal contact common tangent internal common tangent external common tangent semi-circle circumcircle circumscribed circle circumcenter circumradius circumference incenter incircle inradius excenter excircle exradius power (of a point) radical axis radical center tâm đường tròn bán kính dây cung đường kính cung cung lớn cung nhỏ cung tròn đồng tâm tiếp tuyến cát tuyến tiếp xúc tiếp xúc tiếp điểm tiếp xúc tiếp xúc tiếp tuyến chung tiếp tuyến chung tiếp tuyến chung ngồi nửa đường tròn đường tròn ngoại tiếp đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp bán kính đường tròn ngoại tiếp chu vi đường tròn tâm nội tiếp đường tròn nội tiếp bán kính đường tròn nội tiếp tâm đường tròn bàng tiếp đường tròn bàng tiếp bán kính đường tròn bàng tiếp phương tích (của điểm) trục đẳng phương tâm đẳng phương 3.6 Cartesian coordinates system (hệ tọa độ đề các) coordinate axes trục tọa độ x-axis (horizontal axis) trục hoành y- axis (vertical axis) trục tung origin (of coordinates) gốc tọa độ coordinates tọa độ x-coordinate hoành độ y-coordinate tung độ positive x-axis (y-axis) phần dương trục hoành (trục tung) negative x-axis, y-axis quadrant I, II, III, IV horizontal distance vertical distance coordinate grid phần âm trục hồnh (trục tung) góc phần tư thứ nhất, hai, ba, bốn khoảng cách hoành độ khoảng cách tung độ lưới tọa độ 3.7 Measure (các đại lượng đo) distance perimeter area magnitude (length) ratio radian khoảng cách chu vi diện tích độ dài tỉ số đơn vị radian 3.8 Interrelationship in Geometry (sự tương giao Hình học) equal (adj) congruent (adj) (trùng nhau) different (adj) khác distinct (adj) phân biệt equidistant (adj) cách similar (adj) đồng dạng intersect, cut (v) cắt, giao parallel (adj) song song perpendicular (adj, n) vuông góc collinear (adj) thẳng hàng concurrent (adj) đồng quy concurrence (n) đồng quy tangent (adj) tiếp xúc tangential (adj) tiếp tuyến inside (inward) bên outside (outward) bên interior (adj, n) trong, phần exterior (adj, n) ngoài, phần common (adj) chung intersection (n) giao điểm, phần giao inscribed (adj) nội tiếp circumscribed (adj) ngoại tiếp cyclic (adj) đồng viên (thuộc đường tròn) outward, outside (adj) phía ngồi inward, inside (adj) phía lie inside nằm lie outside nằm external tangent tiếp xúc internal tangent tiếp xúc bisect (v) chia hai, phân đôi go through, pass through (v) qua compose (v) right-hand (adj) left-hand (adj) orthogonal (adj) concentric (adj) fixed point focus (foci) arbitrary point hợp thành bên phải bên trái trực giao đồng tâm điểm cố định quỹ tích điểm 3.9 Grammar of Geometry meet at X meet X at Y intersect at X perpendicular to X perpendicular from X to Y parallel to X similar to image of reflection of X across Y image of X across Y go through X pass through X join X to Y tangent to tangent line to circles lie on belong to on X bisect subtend (an angle) cắt X gặp X Y cắt X vng góc với X vng góc từ X tới Y song song với X đồng dạng với ảnh ảnh X qua Y ảnh X qua Y qua X qua X nối X với Y tiếp xúc với tiếp tuyến với đường tròn nẳm thuộc về, thuộc vào nằm X (thuộc X) chia đôi (đi qua trung điểm) chắn (góc) Map-Function-Polynomial (Ánh xạ- Hàm-Đa thức) 4.1 Map and Function (ánh xạ hàm) map injective (adj) surjective bijective variable Increasing function Decreasing function rational function irrational function one variable function multiple variable function ánh xạ đơn ánh toàn ánh song ánh biến số hàm đồng biến hàm nghịch biến hàm hữu tỉ hàm vô tỉ hàm biến hàm nhiều biến continue function discrete function root (solution) double root (solution) multiple root(solution) trivial solution non-trivial solution value domain of determinacy doubly periodic function graph of function constant function odd (even) function function of function (1) composite function (2) signum function carrier function monotone function concave (convex) function exponential function logarithmic function identity map identity function hàm liên tục hàm rời rạc nghiệm nghiệm kép nghiệm bội nghiệm tầm thường nghiệm không tầm thường giá trị miền xác định hàm tuần hoàn đồ thị hàm số hàm hàm lẻ (chẵn) hàm hợp hàm hợp hàm dấu hàm đặc trưng hàm đơn điệu hàm lõm (lồi) hàm mũ hàm lôgarit ánh xạ đồng hàm đồng 4.2 Polynomial (đa thức) coefficient variable free coefficient exponent solution (root) reducible irreducible degree (of polynomial) polynomial of degree n homogeneous polynomial minimal polynomial symmetric polynomial hệ số biến số hệ số tự số mũ nghiệm khả quy bất khả quy bậc (của đa thức) đa thức bậc n đa thức đa thức đặc trưng đa thức đối xứng Other Terminologys (thuật ngữ khác) 5.1 Theorem terminology (Thuật ngữ định lí) definition theorem inverse theorem corollary định nghĩa định lí định lí đảo bổ đề, hệ proposition inverse proposition proof solution mệnh đề mệnh đề đảo chứng minh phép giải 5.2 Other terminologys (thuật ngữ khác) value vary semi (half) evaluate arbitraty finite infinite disc grid boundary pairwise sign condition necessary condition sufficient condition unique sign induction giá trị biến thiên nửa ước lượng hữu hạn vơ hạn đĩa lưới biên cặp, đôi dấu điều kiện điều kiện cần điều kiện đủ kí hiệu, dấu quy nap Words in a proof Assumption From (by) the assumption Conclusion Proof, solution Prove that this is done assume that, suppose that We have We obtain We receive, we get We see that We consider that It is easy to see (show) Such that,so that Imply Yield Hence Since Because giả thiết Từ giả thiết kết luận lời giải, chứng minh chứng minh điều phải chứng minh giả sử ta có ta đạt ta nhận ta thấy ta nhận xét dễ thấy, dễ cho, suy suy ra, dẫn tới vì MỘT SỐ BÀI ĐỌC HIỂU PERMUTATIONS AND COMBINATIONS Two basics counting principles Addition and Multiplication Principles are two simple examples of counting problems related to what are called “Permutations” and “Combinations” Before constructing “permutations” and “combinations”, we talk about two principles counting that is Addition and Multiplication Principles: Definition (Addition Principle:AP): Assume that there are: E1 n2 to occur, k >1 where ways for the event E2 to occur, … nk n1 ways for the event ways for the event Ek to occur, If these ways for the different events to occur are pairwise disjoint, then the number of ways for at least one of the events E1 , E2 , , Ek −1 , or Ek to occur is k n1 + n2 + + nk = ∑ ni i =1 Example1: One can reach city Hanoi from city Newyork by sea, air and road Suppose that there are 20 ways by sea, 10 ways by air and ways by road How many ways travel from P to Q? Solution: Using (AP), the total number of ways from P to Q by sea, air or road is 20 + 10 + = 32 Note 1: Using ternomilogy of set: Addition Principle is given below: Let A1 , A2 , , Ak i.e., be any Ai ∩ Aj = ∅ for k finite sets, where i, j = 1, 2, , k i ≠ j , k >1 If the given sets are pairwise disjoint, k k i =1 i =1 U Ai = A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak = ∑ | Ai | , then: Definition (Multiplication Principle:MP): Assume that an Even E can decomposed in to event k order events E1 to occur, occur, where k >1 n2 E1 , E2 , , Ek (separate events) and that there are ways for the event E2 to occur, … nk n1 ways for the ways for the event Ek to Then the total number of ways for the even E occur is given by: k n1.n2 nk = ∏ ni i =1 Example 2: In order to reach city D from city A, We have pass through B and C city There are ways from A to B, ways from B to C and 10 ways from C to D How many ways travel from A to D? Solution: If there are ways to travel from A to B, ways from B to C, and 10 ways from C to D, then by (MP), the number of ways from A to D via B and C is given by x x 10 = 300 Permutations and combinations Definition 3:(Permutation) Let A= 0 ( x; y ) ∈ { ( 2;1) , ( 2; − 1) } It follows that Question Prove that there is no polynomial f (7) = 11 then is an integer x + 3x + = x +1+ ∈ ¢, x ∈ ¢ 2x +1 2x +1 coefficients such that y2 + ≥ M lies on the side AB = 6, AD = AB such that Let N, P MB = 2MA be the midpoints of Calculate the area Solution: it is easy to show AM=2, MB=4 We have area (MNP) =area (ABCD)-area 24 − (AMPD)-area (BNM)-area (CNP) = (2 + 3).4 2.4 2.3 − − =7 2 Question Let N be the midpoint of side AC of a triangle ABC Take a point M on the line BC such that B is the midpoint of MC Two segments MN, AB intersect at P Assume that the area of triangle ABC is 2015 2014 Calculate the area of triangle APN Solution: AB and MN are medians of triangle AMC; it implies that P is centroid of triangle AMC Hence, PA = BA We get area ( APN ) PA 1 2013 671 = = ⇒ area( APN ) = = area ( ABC ) BA 3 2014 2014 Question Let M and N be the midpoints of sides AD and BC in rectangle ABCD Point P lies on the extension of CD beyond D; point Q is the intersection point of the lines PM and AC Prove that ∠QNM = ∠MNP Solution: Let O be the center of rectangle ABCD The line passes O parallel to BC intersects line segment QN at point K Since MO//PC, it follows that KO / / BC it follows QM QK = ⇒ KM / / NP ⇒ ∠MNP = ∠KMO MP KN that QM QO = MP OC QO QK = OC KN Therefore (1) In the other hand, it is easy to show the triangle KMN is isosceles at K, it follows that ∠KMO = ∠QNM (2) From (1) and (2), we obtain ∠QNM = ∠MNP 3× 3× = Question 10 Let given a table (table with cells) Each cell is colored by one of two colors (red and blue) How many different ways to color the table? Solution: The table has got cells Each of them has got two ways to color So there are different ways to color the table 29 Question 11 Find the all the integer numbers n that satisfy the equation (3 n − 27 ) + ( 2n − 16 ) = ( 3n + 2n − 43) 2 Solution: (3 n − 27 ) + ( 2n − 16 ) = ( 3n + 2n − 43) 2 ⇔ ( 3n − 27 ) ( n − 16 ) = 3n = 27 n = ⇔ n ⇔ n =  = 16 Question 12 Find the minimum number Solution:   x −  ÷  1+ 1+  ÷  x2  ÷      x −  ÷  1+ 1+  ÷ x +1  2x2  ÷ ≥2    x = , in which x is a positive real The equality holds if and only if x=1 Question 13 Solve the following system equation:   x +1 + y + =    x + 10 y + 28 =  ( x + 1)( y + 2) Solution: This system is equivalent to obtain  a=  a + b =   ⇒  10a + 8b = b =  Hence,   x +1 +    10 +  x + ( x; y) = (1; 2) =1 y+2 =7 y+2 a= , let 1 ;b = x +1 y+2 We xy + x = y + Question 14 Solve the following equation in integer numbers: Solution: xy + x = y + ⇔ ( x − 1) ( y + ) = Hence, x −1 = and Question 15 Find Solution: y2 + = x∈¢ From the fact that So the solutions of the equation: such that x + 3x + 2x + x + 3x + = x +1+ ∈ ¢, x ∈ ¢ 2x +1 2x +1 x + ∈{ ± 1, ± 7} ⇒ x ∈{0;-1;3;-4} f (7) = 11 and a≠0 (11 − 7) | ( f (11) − f(7) ) It BC , CD area of triangle It follows that 2x + divides 7, so and f (11) = 13 f ( x) of degree with integer is easy to show f ( x) = ax + bx + c ( x − y ) | ( f ( x) − f ( y ) ) , with hence or divides 2, this is contradiction! Hence, we are done A point MNP Question 17 Let ABCD be a rectangle with of sides x −1 > ( x; y ) ∈ { ( 2;1) , ( 2; − 1) } Solution: Assume that there exists such polynomial f(x) Let a, b, c ∈ ¢ then is an integer Question 16 Prove that there is no polynomial coefficients such that y2 + ≥ M AB = 6, AD = lies on the side AB Let such that N, P be the midpoints MB = 2MA Calculate the Solution: it is easy to show AM=2, MB=4 We have area (MNP) =area (ABCD)-area 24 − (AMPD)-area (BNM)-area (CNP) = (2 + 3).4 2.4 2.3 − − =7 2 Question 18 Let N be the midpoint of side AC of a triangle ABC Take a point M on the line BC such that B is the midpoint of MC Two segments MN, AB intersect at P Assume that the area of triangle ABC is 2015 2014 Calculate the area of triangle APN Solution: AB and MN are medians of triangle AMC; it implies that P is centroid of triangle AMC Hence, PA = BA We get area ( APN ) PA 1 2013 671 = = ⇒ area( APN ) = = area ( ABC ) BA 3 2014 2014 Question 19 Let M and N be the midpoints of sides AD and BC in rectangle ABCD Point P lies on the extension of CD beyond D; point Q is the intersection point of the lines PM and AC Prove that ∠QNM = ∠MNP Solution: Let O be the center of rectangle ABCD The line passes O parallel to BC intersects line segment QN at point K Since MO//PC, it follows that KO / / BC it follows QM QK = ⇒ KM / / NP ⇒ ∠MNP = ∠KMO MP KN that QM QO = MP OC QO QK = OC KN Therefore (1) In the other hand, it is easy to show the triangle KMN is isosceles at K, it follows that ∠KMO = ∠QNM (2) From (1) and (2), we obtain ∠QNM = ∠MNP 3× 3× = Question 20 Let given a table (table with cells) Each cell is colored by one of two colors (red and blue) How many different ways to color the table? Solution: The table has got cells Each of them has got two ways to color So there are different ways to color the table Question 21 What is the largest possible prime value of over all positive integers? Solution: Notice that n=2 n − 18n + 45 = ( n − 3) ( n − 15 ) n − 18n + 45 29 , when n ranges For this number to be a prime either n = 16 or n − 18n + 45 = 13 In both cases, Since a prime number cannot be factorized in other ways, thus 13 is the answer Question 22 Find the number of integers n satisfying the following two conditions: (1) (2) ≤ n ≤ 2013 either n is divisible by 10 or 12 (or both) Solution: Number of integers divisible by 10 is Number of integers divisible by 12 is  2013   10  = 201  2013   12  = 167  2013   60  = 33 Number of integers divisible by both 10 and 12 is By the principle of inclusion and exclusion, the number of integers n satisfying ≤ n ≤ 2013 and either n is divisible by 10 or 12 (or both) is 201 + 167 − 33 = 335 Question 23 Solve the following system of equations: y≠0 Solution: It’s easy to show that  x + + y ( x + y ) = y  ( x + 1) ( y + x − ) = y We rewrite the system of equations as  x +1  y + y+x=4    x +  ( y + x − ) =  y ÷   a= Let x2 + ,b = x+ y−2 y a+b = , then and ab = thus a = b =1 ( x; y ) ∈ { ( 1; ) , ( −2;5 ) } That is Question 24 a Prove that 1 + ≥ x y x+ y , for all x, y > S= b Determine the smallest value of the expression are positive real numbers satisfying the condition a +b ≤1 1 + a + b ab , where a, b Solution a This is trivial as a corollary of Cauchy – Schwatz inequality b Applying the result in part a and AM – GM inequality, we have:   S = + ≥ + = ≥6 ÷+ 2 2  a + b 2ab  2ab ( a + b ) ( a + b) ( a + b) S = a=b= if and only if Question 25 We denote factorial of n is denoted by Let [ x] n! be the largest integer less than or equal to x, and the , which xn = Find [ x2013 ] =? Solution: Note that n ! = 1.2K n for every n + +L + 2! 3! ( n + 1) ! ( n + 1) − = − n = ( n + 1) ! ( n + 1) ! n ! ( n + 1) ! n ∈ ¥ * 0! = , Implies that That is 1 1 1 1   xn =  − ÷+  − ÷+ L +  − = 1− ÷ ÷  2!   2! 3!  ( n + 1) !  n! ( n + 1) !  [ xn ] = for all n Question 26 A line is drawn through the intersection point G of the medians of triangle ABC The line intersects the triangle at points M and N Prove that NG ≤ MG Solution: Let M lie on side AB and N lie on side AC Drawing through vertex C the line parallel to side AB and let K be the intersection point of MN with this line Then KG =2 MG but NG ≤ KG , hence, NG ≤2 MG x − px + q = as desire Question 27 If p and q are primes and roots, find p and q has distinct positive integral Solution: Let x1 and assume that p = q +1 x2 be the two distinct positive integral roots Without loss of generality, x1 < x2 Then x1 + x2 = p and x1 x2 = q Since q is prime, This implies that p, q are two consecutive primes; that is, Question 28 Find all pairs ( x; y ) Note that all pair of the form If x+ y ≠ so that ( k ; −k ) , for every , and p=3 and , the equation becomes k ∈¢ , are solutions x − xy + y = x + y x − ( y + 1) x + y − y = q=2 of integers such that x3 + y = ( x + y ) Solution: x1 = x2 = q , which has solutions if and only if ∆ = ( y + 1) − ( y − y ) = −3 y + y + ≥ y ∈ ¢ thus y ∈ { 0;1; 2} , We obtain the solutions ( 0;1) , ( 1; ) , ( 1; ) , ( 2;1) , ( 2; ) Question 29 Let A’ and B’ be the projections of point P of the circumscribed of triangle ABC to lines BC and AC, respectively Prove that the length of segment A’B’ is equal to the length of the projection of segment AB to line A’B’ Solution: Let C’ be the projection of P to line AB, hence, A’, B’ and C’ lie on a straight line (Simson’s line) Points A’ and B’ lie on the circle with diameter PC, hence, A ' B ' = PC.sin ·A ' CB ' = PC.sin C Let the angle between lines AB and A’B’ be between lines AP and AC α be γ It and the angle follows that PC cos γ = sin α = 2R , where R is the diameter of the circumscribed of triangle ABC, so triangle APC Therefore, the length of projection of AB on line A’B’ is equal to AB.cos γ = n Fn = 22 + Question 30 Let Prove that for ( R sin C ) PC = PC.sin C = A ' B ' 2R n∈¥ ( F , F ) =1 i j , for every i ≠ j i, j ∈ ¥ , Solution: i> j Without loss of generality, assume that p>2 due to the fact that Fj For any prime p dividing is odd ≡ −22 ( mod p ) j We have We square both sides of the equation i− j times to obtain ≡ 22 ( mod p ) i 22 + 2 = 2 +1 ≡/ ( mod p ) i Because p is odd, we have i ≡ 22 ≡/ −22 ( mod p ) i so that i i Fi = 22 + ≡/ ( mod p ) i Therefore, , proving the desired result Fj , hence, ... ratio phân số mẫu số tử số phân số nhỏ phân số lớn hỗn số phân số phân số tối giản tỉ số 2.4 Number-digit (số- chữ số) first digit final digit number of digit chữ số chữ số cuối số chữ số numerical... decimal (number) số tự nhiên số nguyên số thực số hữu tỉ số vô tỉ số ảo số phức số thập phân số thập phân hữu hạn số thập phân vô hạn periodical infinite decimal số thập phân vơ hạn tuần hồn 2.2 Operation... classes congruence simplified residue system số hữu tỉ số vơ tỉ số ảo số phức phương số nguyên tố số thập phân nguyên tố liên tiếp số dư số hạng nhân tử, thừa số giai thừa biểu diễn tắc chung lớn ước