®a thøc mét biÕn – nghiÖm cña ®a thøc mét biÕn.

Chuyên đề: đa thức một biến nghiệm của đa thức một biến. 1.Tóm tắt lý thuyết: - Nếu tại x = a, đa thức f(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của đa thức f(x). - Một đa thức (khác đa thức 0) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,hoặc không có nghiệm nào. - Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vợt quá bậc của đa thức đó. 2.Bài tập: Bài 1: Cho đa thức f(x) = 2x x 2 + 2|x + 1|. a) Thu gọn đa thức f(x). b) Tính giá trị của f(x) khi x = 3/2. Bài 2: Hãy lập một đa thức có: a) Một nghiệm duy nhất là 7. b) Hai nghiệm là 1 và 2. c) Ba nghiệm là 1; 2 và 3. Bài 3: a) Cho đa thức f(x) = x 3 + 2x 2 + ax + 1. Tìm a biết rằng f(x) có nghiệm là 2. b) Biết đa thức f(x) = x 2 + bx + c có hai nghiệm là 1 và 2. Hãy tìm b và c. Bài 4: Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c. Tìm a, b, c biết rằng f(0) = 2 và f(x) có hai nghiệm là 1 và 1. Bài 5: Cho đa thức bậc hai: f(x) = ax 2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hằng số. a) Biết a + b + c = 0. Chứng minh f(x) có một nghiệm là x = 1, áp dụng để tìm các nghiệm của đa thức f(x) = 8x 2 6x 2. b) Biết a b + c = 0. Chứng minh f(x) có một nghiệm là x = 1, áp dụng để tìm các nghiệm của đa thức f(x) = 7x 2 + 11x + 4. Bài 6: a) Cho đa thức f(x) = ax + b (a 0). Chứng minh rằng nếu có hai số x 1 , x 2 là hai nghiệm của đa thức f(x) thì x 1 = x 2 . b) Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) = ax + b có hai nghiệm x 1 , x 2 khác nhau thì f(x) là đa thức 0. Bài 7: Cho đa thức f(x) = (3x 1) 2 (x 2 4) (8x 2 + 2x 3) và g(x) = ax 2 + bx 4. a) Thu gọn đa thức f(x). b) Tìm a và b của đa thức g(x) biết rằng g(x) = 0 tại x = 1 và x = 4. c) Chứng minh: g(x) = (1 x)(x 4). d) Viết đa thức h(x) = f(x) + g(x) thành một tích. e) Tìm nghiệm của h(x). (Tìm đủ các nghiệm) Bài 8: Chứng minh rằng đa thức sau không có nghiệm trên tập hợp R: a) f(x) = 2x 2 3. b) g(y) = y 2 4y 4. c) h(x) = |x + 3| + |5 x| + 7. Bài 9: Cho hai đa thức f(x) = x 2 + 2mx + m 2 và g(x) = x 2 + (2m + 1)x +m 2 . Hãy tìm m biết rằng f(1) = g(1). Bài 10: Tính tổng các hệ số của các hạng tử của đa thức nhận đợc sau khi đã khai triển và viết đa thức dới dạng thu gọn: a) f(x) = (x 4 + 4x 2 5x + 1) 2004 .(2x 4 4x 2 + 4x 1) 2005 . b) g(x) = (x 3 + 7x 2 6x +5) 2005 .(3x 3 9x 2 + 9x 3) 2006 . Bài 11 * : Cho đa thức f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d. Với f(0) và f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không có nghiệm là số nguyên. Hớng dẫn làm bài tập: Bài 11: Giả sử f(x) có nghiệm nguyên là n. Ta có f(n) = an 3 + bn 2 + cn + d = 0. f(0) = d là số lẻ. f(1) = a + b + c + d là số lẻ. Nếu n là số chẵn: Suy ra an 3 + bn 2 + cn là số chẵn mà d lẻ f(n) là số lẻ. Điều này vô lý vì f(n) = 0. Nếu n là số lẻ: Suy ra n 3 1; n 2 1; n 1 là số chẵn. Xét f(n) f(1) = a(n 3 1) + b(n 2 1) + c(n 1) là số chẵn. Nhng f(n) f(1) = 0 f(1) = f(1) là số lẻ. Điều này vô lý. Vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Đơn thức đồng dạng .Tổng và hiệu các đơn thức đồng dạng I.Kiến thức cơ bản - Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác không và có cùng phần biến - Để cộng hay (trừ) hai đơn thức đồng dạng ta cộng hay (trừ ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến II.Bài tập Bài 1: Cộng và trừ các đơn thức : a)3a 2 b+ (- a 2 b) + 2a 2 b (- 6a 2 b) b)(-7y 2 ) + (-y 2 ) (- 8y 2 ) c)(-4,2p 2 ) + ( - 0,3p 2 ) + 0,5p 2 + 3p 2 d) 5a n + (- 2a) n + 6a n Bài 2: Thực hiện các phép tính sau : a) 2 3 63 xxx ++ b) 3ab. 5 2 ac 2a.abc - 3 1 a 2 bc c) 2 3 2 ac .c 2 - 5 2 a 2 .(c.c) 2 + 3 2 ac 2 .ac - 4 1 a 2 c 2 Bài 3: Cho các đơn thức A = x 2 y và B = xy 2 .Chứng tỏ rằng nếu x,y Z và x + y chia hết cho 13 thì A + B chia hết cho 13 Bài 4: Cho biểu thức : P = 2a 2n+1 3a 2n + 5a 2n+1 7a 2n + 3a 2n+1+ ( n N) Với giá trị nào của a thì P > 0 Bài 5: Cho biểu thức: Q = 5x k+2 + 3x k + 2x k+2 + 4x k + x k+2 + x k ( k N) Với giá trị nào của x và k thì Q < 0 Bài 6: Tìm x biết : x n 2x n+1 + 5x n 4x n+1 = 0 ( n N; n 0) Bài 7: Biết A = x 2 yz , B = xy 2 z ; C = xyz 2 và x+ x + z = 1 Chứng tỏ rằng A + B + C = xyz Bài 8: Tìm các đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau: yxyaxxyxyx 3352335 9 1 ;;5;4;3; 7 1 Bài9: Tính tổng : a) 525252 3 4 4 3 2 1 zyzyzy + b) 333 3 7 xybxyaxy + Bài10: Rút gọn các biểu thức sau : a) 10 n+1 - 66.10 n b) 2 n+ 3 + 2 n +2 2 n + 1 + 2 n c)90.10 k 10 k+2 + 10 k+1 d) 2,5.5 n 3 .10 + 5 n 6.5 n- 1 Nâng cao Bài 1: Cho biểu thức M = 3a 2 x 2 + 4b 2 x 2 - 2a 2 x 2 3b 2 x 2 + 19 ( a 0; b 0) Tìm GTNN của M Bài 2 : Cho A = 8x 5 y 3 ; B = - 2x 6 y 3 ; C = - 6x 7 y 3 .Chứng tỏ rằng : Ax 2 + Bx + C = 0 Bài 3: Chứngminh rằng với n N * a) 8.2 n + 2 n+1 có tận cùng bằng chữ số không b) 3 n+3 2.3 n + 2 n+5 7.2 n chia hết cho 25 c)4 n+3 + 4 n+2 4 n+1 4 n chia hết cho 300 Bài 4: Cho A = ( - 3x 5 y 3 ) 4 và B = ( 2x 2 z 4 ) 5 .Tìm x,y,z biết A + B = 0 Bài 5: Rút gọn: a) M + N P với M = 2a 2 3a + 1 , N = 5a 2 + a , P = a 2 4 b) 2y x - ( ) [ ] { } xyxyyx + 532 với x =a 2 + 2ab + b 2 , y = a 2 2ab + b 2 c) 5x 3 - 12 x Bài 6: Tìm x,biết : a) (0,4x 2) (1,5x + 1) ( - 4x 0,8) = 3,6 b) ( 3 4 3 + x ) 4 3 2 x - + 1 6 1 x = + 4 3 1 x - 3 3 1 x Bài 7: Tìm số tự nhiên abc ( a > b > c) sao cho : cabbcaabc ++ = 666 Bài 8: Có số tự nhiên abc nào mà tổng cabbcaabc ++ là một số chính phơng không ? Bài9 : Tính tổng : a) (- 5x 2 y + 3xy 2 + 7) + ( - 6x 2 y + 4xy 2 5) b) (2,4x 3 -10x 2 y) + (7x 2 y 2,4x 3 +3xy 2 ) c) (15x 2 y 7xy 2 -6y 2 ) + (2x 2 - 12x 2 y + 7xy 2 ) d) (4x 2 +x 2 y -5y 3 )+( yxxyx 223 6 3 5 )+( 3 3 10 3 y x + )+ ( 3223 104156 xyxxyy ) Bài 10: Rút gọn biểu thức sau a/ (3x +y -z) (4x -2y + 6z) ( ) ( ) ( ) ( ) 3232 33323 83,29,681,37,5/ 75256/ yyxxyyxyyxc yxxyxxb ++ +++ d)K= 2x.(-3x + 5) + 3x(2x – 12) + 26x e)       −−       − − −+ − = 5 4 52 5 5 7 9 2 6 3 3 2 xxx x x M Bài 11: Tìm x biết: a) x +2x+3x+4x+… + 100x = -213 b) 6 1 4 1 3 1 2 1 −=− xx c) 3(x-2)+ 2(x-1)=10 d) 4 2 3 1 − = + xx e) 12 11 11 10 10 9 9 8 8 7 7 6 − + − + − = − + − + − xxxxxx f) 14 27 13 38 12 23 11 32 + + + = + + + xxxx g) 132 =− x h) 3 1 28423 −−=−+− xx i) 3 2 3523 1 −+=+− − xx k) 2 + x + 2 − x =3 m) (2x-1) 2 – 5 =20 n) ( x+2) 2 = 3 1 2 1 − p) ( x- 1) 3 = (x-1) q*) (x-1) x+2 = (x-1) 2 r*) (x+3) y+1 = (2x-1) y+1 với y là một số tự nhiªn Tam gi¸c c©n. Bµi 1: Chøng minh r»ng: “Trong mét tam gi¸c vu«ng, ®êng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng mét nöa c¹nh huyÒn”. Bµi 2: Chøng minh r»ng: “Trong mét tam gi¸c, ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm cña hai c¹nh th× song song víi c¹nh thø ba vµ b»ng nöa c¹nh thø ba”. “TÝnh chÊt ®êng trung b×nh cña tam gi¸c” Bài 3: Chứng minh rằng, nếu một tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông ấy bằng 30 0 ? Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, đờng cao AH, HD và HE lần lợt là đờng cao của AHB và AHC. Trên tia đối của tia DH, EH theo thứ tự lấy điểm M; N sao cho DM = DH; EN = EH. Chứng minh rằng: a) AM = AN; b) AH là đờng trung trực của MN; c) ã ã MAN 2.BAC= . Bài 5: Hai đờng cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại O, biết rằng OC = AB. Tính số đo góc ACB ? Bài 6: Cho ABC có à B = 45 0 ; à A = 15 0 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Kẻ DE AC. a) Chứng minh: EB = ED; b) Tính ã ADB ? Bài 7: Cho ABC cân tại A, trên tia đối của tia AB lấy điểm M và trên tia AC lấy điểm N sao cho AM = AN. Chứng minh rằng: ã ã ANM ACB+ = 90 0 ? Bài 8: Cho MNP cân tại M, à N = 80 0 . Trên cạnh MN lấy điểm E sao cho ME = NP. Tính các góc còn lại của NEP ? Bài 9: Cho ABC cân tại B, à B = 80 0 . Trong tam giác lấy một điểm M sao cho ã MAC = 10 0 ; ã MCA = 30 0 . Trên một nửa mặt phẳng có chứa điểm B bờ là đờng thẳng AC; dựng tam giác đều ADC. Chứng minh rằng: a) BD AC; b) Tính các góc của ABM? Bài 10: Cho hình vuông ABCD, trong hình vuông lấy điểm M sao cho ã ã MAB MBA= = 15 0 . Chứng minh rằng: MCD là tam giác đều ? Bài 11: Cho ABC có à A = 80 0 . Tính các góc còn lại của tam giác biết rằng có một đờng thẳng đi qua đỉnh A cắt cạnh BC tại D và ABD và ADC là các tam giác cân. Bài 12: Cho góc xOy cố định, trên Ox lấy điểm M và trên Oy lấy điểm N sao cho OM + ON = m không đổi. Chứng minh rằng: Đờng trung trực của MN đi qua một điểm cố định ? Bài 13: Cho ABC đều. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 1 3 AB. Từ D kẻ đ- ờng thẳng vuông góc với AB cắt AC ở E, qua E kẻ đởng thẳng vuông góc với AC cắt BC ở F. Chứng minh: a) DF BC; b) Tam giác DEF là tam giác đều ? Chuyên đề: Định lý Pi-ta-go và ứng dụng Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC. a) Chứng minh rằng: AB 2 + CH 2 = AC 2 + BH 2 . b) Trên cạnh AB lấy điểm E (E B), trên cạnh AC lấy điểm F (F C). Chứng minh EF < BC. c) Biết AB = 6cm; AC = 8cm. Tính AH, BH và HC. Bài 2: Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh AB; AC và BC tỉ lệ với: a) 9; 12và 15b) 4; 6 và 7 c) 3; 2,4 và 1,8 d) 4;4 2 và 4. Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại C, từ B kẻ BD vuông góc với AC, D thuộc cạnh AC. Chứng minh: AB 2 + BC 2 + CA 2 = AD 2 + 2CD 2 + 3BD 2 . Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 10cm; AB = 12cm. Từ A kẻ AH vuông góc với BC. Tính độ dài đoạn thẳng AH. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 5cm; AB = 12cm. Từ trung điểm M của cạnh huyền BC kẻ đờng vuông góc với BC, cắt cạnh góc vuông ở N. Biết MN=2,7cm. Tính NB. Bài 6: Chứng minh rằng diện tích của tam giác đều có cạnh a là S = 4 3 2 a . Hãy tính diện tích của tam giác đều với cạnh a bằng: 5cm; 1,2cm; 2 2 cm. Bài 7: Tính độ dài đoạn thẳng vuông góc kẻ từ đỉnh góc vuông đến cạnh huyền của một tam giác vuông có cạnh góc vuông là a, b. áp dụng tính: a) a = 5; b = 12. b) a = 12, b = 16. Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 26cm, AB : AC = 5 : 12. Tính các độ dài AB, AC. Bài 9: Vẽ về một phía của đoạn thẳng AB = 5cm các tia Ax và By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 5cm. Trên tia By lấy điểm E sao cho BE = 1cm. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho AC = 2cm. Góc DEC có là góc vuông không? Bài 10: Tam giác ABC có AB = 16cm, AC = 14cm, góc B bằng 60 0 . Độ dài BC=? a) 12cm b) 10cm c) 6cm d) 10cm hoặc 6cm. Hãy chọn câu trả lời đúng. Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A bằng 30 0 , BC = 2cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho góc CBD bằng 60 0 . Tính độ dài AD. Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, trên tia đối của tia BA lấy BE = AC (B nằm giữa A và E). Kẻ CF vuông góc với CB tại C và CF = CB (A và F khác phía đối với BC). Nối với CE và AF cắt nhau tại O. Nối FE. Chứng minh rằng: OA 2 + OE 2 + OC 2 + OF 2 = 2 1 (CE 2 + EF 2 + FC 2 ). Bài 13: Cho tam giác ABC, biết AB : AC : BC = 6 : 8 : 10 và chu vi của tam giác bằng 120m. a) Tính độ dài các cạnh của tam giác. b) Tam giác ABC là tam giác gì? Tại sao? Bài 14: Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC. Cho biết AB = 13 cm, AH = 12 cm, HC = 16 cm. Tính các độ dài AC, BC. Bài 15: Cho hình vẽ: Tính độ dài x biết rằng CD = 7; DB =18 và góc BAC = 90 0 . Bài 16: Tìm x trong các hình sau: Bài 17: Tìm x trong hình vẽ: Đơn thức đồng dạng .Tổng và hiệu các đơn thức đồng dạng A B C 18 7 x x A B D C 6 x 10 8 B D C E A 2 2 2 1 9 10 A H CB 3 x A D C B 30 0 x 3 A B C D E 3 2 4 A CH B 32 18 x x B A C8 7 120 0 . x x I.Kiến thức cơ bản - Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác không và có cùng phần biến - Để cộng hay (trừ) hai đơn thức đồng dạng ta cộng hay (trừ ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến II.Bài tập Bài 1: Cộng và trừ các đơn thức : a)3a 2 b+ (- a 2 b) + 2a 2 b (- 6a 2 b) b)(-7y 2 ) + (-y 2 ) (- 8y 2 ) c)(-4,2p 2 ) + ( - 0,3p 2 ) + 0,5p 2 + 3p 2 d) 5a n + (- 2a) n + 6a n Bài 2: Thực hiện các phép tính sau : a) 2 3 63 xxx ++ b) 3ab. 5 2 ac 2a.abc - 3 1 a 2 bc c) 2 3 2 ac .c 2 - 5 2 a 2 .(c.c) 2 + 3 2 ac 2 .ac - 4 1 a 2 c 2 Bài 3: Cho các đơn thức A = x 2 y và B = xy 2 .Chứng tỏ rằng nếu x,y Z và x + y chia hết cho 13 thì A + B chia hết cho 13 Bài 4: Cho biểu thức : P = 2a 2n+1 3a 2n + 5a 2n+1 7a 2n + 3a 2n+1+ ( n N) Với giá trị nào của a thì P > 0 Bài 5: Cho biểu thức: Q = 5x k+2 + 3x k + 2x k+2 + 4x k + x k+2 + x k ( k N) Với giá trị nào của x và k thì Q < 0 Bài 6: Tìm x biết : x n 2x n+1 + 5x n 4x n+1 = 0 ( n N; n 0) Bài 7: Biết A = x 2 yz , B = xy 2 z ; C = xyz 2 và x+ x + z = 1 Chứng tỏ rằng A + B + C = xyz Bài 8: Tìm các đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau: yxyaxxyxyx 3352335 9 1 ;;5;4;3; 7 1 Bài9: Tính tổng : a) 525252 3 4 4 3 2 1 zyzyzy + b) 333 3 7 xybxyaxy + Bài10: Rút gọn các biểu thức sau : a) 10 n+1 - 66.10 n b) 2 n+ 3 + 2 n +2 2 n + 1 + 2 n c)90.10 k 10 k+2 + 10 k+1 d) 2,5.5 n 3 .10 + 5 n 6.5 n- 1 Nâng cao Bài 1: Cho biểu thức M = 3a 2 x 2 + 4b 2 x 2 - 2a 2 x 2 3b 2 x 2 + 19 ( a 0; b 0) Tìm GTNN của M Bài 2 : Cho A = 8x 5 y 3 ; B = - 2x 6 y 3 ; C = - 6x 7 y 3 .Chứng tỏ rằng : Ax 2 + Bx + C = 0 Bài 3: Chứngminh rằng với n N * a) 8.2 n + 2 n+1 có tận cùng bằng chữ số không b) 3 n+3 2.3 n + 2 n+5 7.2 n chia hết cho 25 c)4 n+3 + 4 n+2 4 n+1 4 n chia hết cho 300 Bài 4: Cho A = ( - 3x 5 y 3 ) 4 và B = ( 2x 2 z 4 ) 5 .Tìm x,y,z biết A + B = 0 Bài 5: Rút gọn: a) M + N P với M = 2a 2 3a + 1 , N = 5a 2 + a , P = a 2 4 b) 2y x - ( ) [ ] { } xyxyyx + 532 với x =a 2 + 2ab + b 2 , y = a 2 2ab + b 2 c) 5x 3 - 12 x Bài 6: Tìm x,biết : a) (0,4x 2) (1,5x + 1) ( - 4x 0,8) = 3,6 b) ( 3 4 3 + x ) 4 3 2 x - + 1 6 1 x = + 4 3 1 x - 3 3 1 x Bài 7: Tìm số tự nhiên abc ( a > b > c) sao cho : cabbcaabc ++ = 666 Bài 8: Có số tự nhiên abc nào mà tổng cabbcaabc ++ là một số chính phơng không ? Bài9 : Tính tổng : e) (- 5x 2 y + 3xy 2 + 7) + ( - 6x 2 y + 4xy 2 5) f) (2,4x 3 -10x 2 y) + (7x 2 y 2,4x 3 +3xy 2 ) g) (15x 2 y 7xy 2 -6y 2 ) + (2x 2 - 12x 2 y + 7xy 2 ) h) (4x 2 +x 2 y -5y 3 )+( yxxyx 223 6 3 5 )+( 3 3 10 3 y x + )+ ( 3223 104156 xyxxyy ) Bài 10: Rút gọn biểu thức sau a/ (3x +y -z) (4x -2y + 6z) ( ) ( ) ( ) ( ) 3232 33323 83,29,681,37,5/ 75256/ yyxxyyxyyxc yxxyxxb ++ +++ d)K= 2x.(-3x + 5) + 3x(2x 12) + 26x e) + = 5 4 52 5 5 7 9 2 6 3 3 2 xxx x x M Bi 11: Tỡm x bit: a) x +2x+3x+4x+ + 100x = -213 . Chøng minh r»ng: “Trong mét tam gi¸c vu«ng, ®êng trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn b»ng mét nöa c¹nh huyÒn”. Bµi 2: Chøng minh r»ng: “Trong mét tam gi¸c, ®o¹n th¼ng. gi¸c, ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm cña hai c¹nh th× song song víi c¹nh thø ba vµ b»ng nöa c¹nh thø ba”. “TÝnh chÊt ®êng trung b×nh cña tam gi¸c” Bài 3: Chứng