UBND HUYỆN ĐOANHÙNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đềĐề thi có 04 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Thí sinh làm phần TNKQ phần Tự luận tờ giấy thi (không làm vào đề thi) I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Hãy chọn câu trả lời cho câu đây: Câu Cho A= 1 + + × 19 19 23 18 14 Khi đó, giá trị 1+ + +1+ + +1 23 37 19 37 19 23 biểu thức P = A 2019 + A 2018 + A 2017 + + A + bằng: A P = 1; B P = 2019; C P = 2020; D Kết khác )( ( ) 2 Câu Cho hai số x, y thỏa mãn x + x + 2018 y + y + 2018 = 2018 Khi giá trị biểu thức (x + y)2019 + 2018 : A 2017 ; B 2018 ; C 2019 ; D Câu Hai đường thẳng y = x + y = − x + với trục hoành tạo thành tam giác có diện tích (đvdt) : A ; B 3 ; C ; D mx − y = có 2x + my = Câu Giá trị nguyên nhỏ m để hệ phương trình nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < : A – ; B – ; C – ; D y − 20 − x = y − x Câu Cho x, y thỏa mãn hệ phương trình 3 20 − x = y − x biểu thức A 20 ; Khi giá trị xy : B 400 ; C 20 ; D 160000 Câu Cho A B điểm nằm parabol y = x Điểm A có hồnh độ – 2, điểm B nằm bên phải trục tung có tung độ Khoảng cách AB : A ; B ; C ; D Kết khác Câu Cho biết x1, x2 hai nghiệm phương trình x − ( m + 1) x + 2m + = Phương trình ẩn y nhận – 2x1 – 2x2 làm nghiệm : 2 A y + ( m + 1) y + ( m + 1) = 0; B y + ( m + 1) y + ( m + 1) = 0; C y + ( m + 1) y + ( m + 1) = 0; D y + ( m + 1) y + ( m + 1) = 0; Câu Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình 2x + 2mx + m − = Giá trị lớn biểu thức A = 2x1x + x1 + x − : A 1; B 25 ; C ; D 25 Câu Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD Lấy điểm O nằm A D Qua O kẻ đường thẳng d cắt cạnh AB, AC E F Vị trí điểm O cho BE CF + = là: AE AF A O trung điểm AD; B O trọng tâm tam giác ABC; C O chia đoạn thẳng AD theo tỉ số ; D O chia đoạn thẳng AD theo tỉ số Câu 10 Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Qua H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB I Số cặp tam giác đồng dạng có hình là: A cặp; B cặp; C cặp; D 10 cặp Câu 11 Cho hình thang cân ABCD có đường chéo BD vng góc với cạnh DC BD phân giác góc ABC Biết AD = 6cm Diện tích hình thang ABCD là: A cm ; B 18 cm ; C 27 cm ; D 36 cm Câu 12 Một tam giác vuông cân có chiều cao ứng với cạnh huyền h chu vi tam giác là: A 3h; B 3h ; C 2h + h ; ( ) D 2h + Câu 13 Cho tam giác ABC vng A, có đường phân giác AD = 2 Khi 1 + tổng có giá trị bằng: AB AC A ; B 2 ; C 2; D Kết khác Câu 14 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, gọi M trung điểm OA Vẽ dây CD vng góc với AB M Diện tích tứ giác ACBD tính theo R là: R2 A ; B R 3; C 2R 3; D R × Câu 15 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) đường kính AB cố định điểm C di chuyển (O; R) Khi điểm C di chuyển (O; R) trọng tâm G tam giác ABC ln di chuyển đường tròn cố định đây: R O; ÷; A 3 B O; R ; ÷ 2 C O; 2R ; ÷ D O; 3R ÷ Câu 16 Ông Cường mua nghé bê vàng Ông bán lại đồng giá 18 (triệu đồng) cho người khác Do nghé giá nên ông chịu lỗ 20% ông gỡ lại thiệt hại nhờ bê vàng lên giá nên lãi 20% Khẳng định sau đúng: A Ông Cường may mắn hòa gốc; B Ơng Cường lỗ 1,2 triệu đồng; C Ông Cường lỗ 1,5 triệu đồng; D Bài tốn khơng đủ kiện để biết ông Cường lỗ, lãi hay hòa gốc II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3,0 điểm) 1) Tìm số nguyên dương n để P = n − 4n + 6n − số nguyên tố 2) Cho a = x x2 Tính theo a giá trị biểu thức × P = x4 + x2 + x2 − x + Câu (3,0 điểm) 1) Giải phương trình sau: 3x + − − x + 3x − 14x − = 2x + 3x y = 2) Giải hệ phương trình sau: y + 6xy = Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) điểm P cố định nằm bên đường tròn ( P ≠ O ) Hai dây AB CD thay đổi ln qua P cho AB vng góc với CD Gọi E, F thứ tự trung điểm AC AD Các đường thẳng EP, FP cắt BD, BC I J a) Gọi G giao điểm IJ BP Chứng minh GI.GJ = GB.GP b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ diện tích tứ giác ACBD Câu (2,0 điểm) Với x, y số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức: x3 4y3 P= + 3 x + 8y3 y + ( x + y) - HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN ĐOANHÙNG PHÒNG GD & ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG Mơn: TỐN Hướng dẫn chấm thi gồm 04 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Câu Đáp án Điểm C 0,5 B 0,5 B 0,5 C 0,5 A 0,5 B 0,5 A 0,5 D 0,5 B 0,5 10 D 0,5 11 C 0,5 12 D 0,5 13 A 0,5 14 B 0,5 15 A 0,5 16 C 0,5 II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu Đáp án Điểm Câu (3,0 điểm) 1) Tìm số nguyên dương n để P = n − 4n + 6n − số nguyên tố 2) Cho a = x x2 Tính theo a giá trị biểu thức × P = × x2 − x +1 x4 + x + Ta có P = n − 4n + 6n − = ( n − ) ( n − 2n + ) = ( n − ) ( n − 1) + 1 0,50 +) Nếu n = P = –1 khơng số nguyên tố 0,25 +) Nếu n ≥ ⇒ ( n − 1) + ≥ 0,25 Do đó, để P số ngun tố n – = n = 3; P = 0,50 Vậy n = P số nguyên tố x2 x2 x x Ta có P = x + x + = x − x + x + x + = x − x + x + x + ( )( ) ( ) ( ) 0,50 a2 2a + 0,50 +) Nếu x ≠ thì: P = a ( x 1 = a = a 2 x + x +1 x + x +1 x − x +1 ) ( ) x ( x ) +2 = a 1 +2 a = +) Nếu x = a = cơng thức đúng, a2 Vậy P = 2a + 0,50 Câu (3,0 điểm) 1) Giải phương trình sau: 3x + − − x + 3x − 14x − = 2x + 3x y = 2) Giải hệ phương trình sau: y + 6xy = 1 ĐKXĐ: − ≤ x ≤ 0,25 3x + − − x + 3x − 14x − = ⇔ ⇔ ( ) ( ) 3x + − + − − x + 3x − 14x − = 3x + − 16 − + x + + 3x − 14x − = 3x + + + − x ( x − 5) x−5 + ( x − ) ( 3x + 1) = 3x + + + − x ⇔ ( x − 5) + + 3x + 1÷ = 3x + + + − x ⇔ 0,25 + 0,25 +) x − = ⇔ x = (TMĐK) +) + + 3x + = 3x + + + − x Với − ≤ x ≤ ( *) 0,50 + + 3x + > nên phương 3x + + + − x trình (*) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2x + 3x y = (I) y + 6xy = 0,25 ( 1) ( 2) Nhân vế phương trình (1) với 4, ta hệ: 0,25 8x + 12x y = 20 (II) y + 6xy = Cộng vế theo vế hai phương trình hệ (II), ta được: ( 2x + y ) = 27 ⇔ 2x + y = ⇔ y = − 2x , thay vào (1), ta được: 0,50 4x − 9x + = ⇔ ( x − 1) ( 4x − 5x − ) = +) x = ⇒ y = 5− x = +) 4x − 5x − = ⇔ 5+ x = 105 105 0,25 − 105 + 105 + 105 − 105 ; ; ÷ ÷ ÷, ÷ 8 Vậy (x; y) ∈ ( 1;1) , 0,50 Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) điểm P cố định nằm bên đường tròn ( P ≠ O ) Hai dây AB CD thay đổi ln qua P cho AB vng góc với CD Gọi E, F thứ tự trung điểm AC AD Các đường thẳng EP, FP cắt BD, BC I J a) Gọi G giao điểm IJ BP Chứng minh GI.GJ = GB.GP b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ diện tích tứ giác ACBD A E C J H G F P K D O I B a Tam giác vng APC có PE trung tuyến ứng với cạnh huyền nên · · · PE = EA = EC suy tam giác AEP cân ⇒ EAP = EPA = IPB 0,50 · · Lại có DCA (cùng chắn cung AD) = DBA · + DBA · · · · = 90 Mà IPB = EAP + DCA = 90 ⇒ PIB · Tương tự PJB = 900 b 0,5 · + PJB · Tứ giác IBJP có PIB = 1800 nên tứ giác nội tiếp 0,50 Suy GI.GJ = GB.GP 0,50 Hạ OH OK vuông góc với AB CD Ta có: AB2 = 4BH = 4R − 4OH ;CD = 4R − 4OK 2 0,50 2 2 Ta có SACBD = AB.CD = R − R PO + OH OK 0,50 +) SACBD = R − R PO + OH OK ≥ 2R R − OP 0,50 OH = SACBD = 2R R − OP ⇔ OH OK = ⇔ OK = Khi AB CD đường kính (O;R) OH + OK OP + ) OH.OK ≤ = 2 OP ⇒ SACBD ≤ R − R PO + = 4R − 4R PO + OP = 2R − OP 2 ⇒ maxSACBD = 2R − OP ⇔ OH = OK 2 0,50 Câu (2,0 điểm) Với x, y số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x3 4y3 + 3 x + 8y3 y + ( x + y) ( a + b) a+b ab ≤ ⇒ ab ≤ Áp dụng bất đẳng thức ( a > 0; b > ) , ta có: 4y + ÷ ( 2x + 4y ) 2 x2 x + 8y3 2y 2y 2y 4y = + ÷ = 1 + + ÷≤ = ÷1 − x3 x x x 4x x 0,50 x3 2x ≥ ; x + 8y3 2x + 4y Suy 0,50 Tương tự: y3 y3 + ( x + y ) ≥ 2y 2y + ( x + y ) 4y ⇒ y3 + ( x + y ) ≥ 4y 2y + ( x + y ) Mặt khác: 2x + 2y ≥ ( x + y ) ⇒ < 2y + ( x + y ) ≤ 2x + 4y 2 ⇒ 4y 2y + ( x + y ) ≥ 2 4y 2x + 4y 2 2x 4y + = Dấu xảy x = y Suy P ≥ 2x + 4y 2x + 4y Lưu ý: 0,50 0,50 + Hướng dẫn chấm lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp lơ gic chia nhỏ điểm đến 0,25 điểm + Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm + Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm tròn số ... khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN ĐOAN HÙNG PHỊNG GD & ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG Mơn: TOÁN Hướng dẫn chấm thi gồm 04 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN... vế phương trình (1) với 4, ta hệ: 0,25 8x + 12x y = 20 (II) y + 6xy = Cộng vế theo vế hai phương trình hệ (II), ta được: ( 2x + y ) = 27 ⇔ 2x + y = ⇔ y = − 2x , thay vào (1), ta được: 0,50