BÀI TẬP LỚN HỌC KỲ Môn: Cơ học lƣợng tử

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ĐỒNG NAI KHOA SƯ PHẠM KHOA HỌC TỰ NHIÊN o0o BÀI TẬP LỚN HỌC KỲ Môn: Cơ học lƣợng tử Đề bài: Cách giải tập chƣơng 3,4,5,6,7 Sinh viên : Nguyễn Quang Thịnh GVHD: Th.S Hồng Cơng Phương MSSV: 111030144 Lớp: Đại học Vật lý A_K1 Lời nói đầu Cơ học lượng tử lý thuyết Vật lý học Cơ học lượng tử phần mở rộng bổ sung học Newton( gọi học cổ điển) Nó sở nhiều chuyên ngành khác vật lý vật lý chất rắn, vật lý hạt Khái niệm lượng tử để đại lượng vật lý không liên tục mà rời rạc Cơ học lượng tử coi học Newton cho phép mơ tả xác đắn nhiều tượng vật lý mà học Newton giải thích tiên đốn học lượng tử chưa bị thực nghiệm chứng minh sai sau kỷ Cơ học lượng tử kết hợp chặt chẽ ba loại tượng mà học cổ điển khơng tính đến, là: (a) lượng tử hố số đại lượng vật lý, (b) lưỡng tính sóng hạt, (c) nguyên lý bất định Trong trường hợp định, định luật học lượng tử định luật học cổ điển mức độ xác cao Việc học lượng tử rút học cổ điển nhờ nguyên lý gọi nguyên lý tương ứng Như vậy, học lượng tử có tầm quan trọng lớn nên việc nghiên cứu môn học lượng tử quan trọng sinh viên vật lý Ngoài việc cố niềm tin vào khoa học cho sinh viên học lượng tử giúp cho sinh viên có sở để nghiên cứu chuyên ngành khác vật lý Nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên q trình nghiên cứu mơn học lượng tử, xin làm tập lớn nội dung tập học lượng tử Nội dung trình bày theo Giáo trình Cơ học lượng tử tác giả Lê Đình - Trần Cơng Phong trường Đại học sư phạm Huế tháng năm 2011 Nội dung bao gồm phần: I Phần tóm tắt lý thuyết cần để giải tập chương 3,4,5,6,7 II Giải tập chương 3,4,5,6,7 Hi vọng với nội dung sinh viên dễ dàng việc nghiên cứu lượng tử Xin cám ơn Th.s Hồng Cơng Phương tận tâm giúp đỡ em trình làm Trong trình làm tập chắn có sai sót nên mong góp ý xây dựng để tập trở nên hoàn thiện Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - - Mục lục Chương 3: Các tiên đề học lượng tử I Tóm tắt lý thuyết cần để giải tập II Bài tập Chương 4: Phương trình Schrodinger 11 I Tóm tắt lý thuyết cần để giải tập 11 II Bài tập 13 Chương 5: Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian 23 I Tóm tắt lý thuyết cần để giải tập 23 II Bài tập 24 Chương 6: Chuyển động hạt trường xuyên tâm .30 I Tóm tắt lý thuyết cần để giải tập 30 II Bài tập 32 Chương 7: Lý thuyết biểu diễn 41 I Tóm tắt lý thuyết cần để giải tập 41 II Bài tập 41 Tài liệu tham khảo 55 Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - - CHƢƠNG 3: CÁC TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƢỢNG TỬ I Tóm tắt lý thuyết cần để giải tập: Nội dung tiên đề: a Tiên đề I:Trạng thái hạt hay hệ hạt lượng tử xác định hàm chuẩn hoá toạ độ không giang thời gian Hàm chứa tồn bơh thơng tin hạt b Tiên đề II: Tương úng với đại lượng động lực A tốn tử tuyến tính Hermite ̂ tác dụng không gian Hilbert hàm trạng thái.Các kết đo đại lượng A trị riêng toán tử ̂ c Tiên đề III: Tính chất thống kê học lượng tử d tiên đề IV: Sự thay đổi trạng thái theo thời gian( Chương 4) Kiến thức cần có để giải tập: a Xác suất đo đại lượng động lực: Trong hệ số khai triển hàm sóng theo hàm riêng tốn tử ̂ ∑ b Mật độ xác suất để phép đo đại lượng động lực A trạng thái giá trị a Với hệ số khai triển hàm trạng thái theo hàm riêng toán tử ̂ c Trị trung bình phép đo đại lượng động lưc: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - - d Hệ thức bất định Heisenberg: e Các kiến thức tốn cần có: + tích phân Poisson: ∫ √ ( ∫ ) √ + cách tính tích phân phần + Điều kiện trực chuẩn hàm sóng: ⟨ | ⟩ II Bài tập: + Chuẩn hố để tìm A: Ta có √ + Động trung bình: ̅ ⟨ ( )| ̂ ( )⟩ ∫ ( ( )̂ ( ) ∫ ) ( ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - - ∫ ( ) ( )| + Sử dụng điều kiện chuẩn hoá xác định A: ∫ ∫ ∫ √ + Tính ̅ : ̅ ∫ ( ) ( ) ∫ Đặt ̅ Tính (̅̅̅) : (̅̅̅) ̅̅̅ ̅ ̅̅̅ ∫ Sử dụng tích phân Poison: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - - ( ∫ ) √ Ta được: (̅̅̅) √( √ ) √ + Tính ̅ : ̅ ( ) ̂ ∫ ( ) ( ∫ ) ∫ ( ( ) ) ( ∫ ) ∫ ∫ ∫ Tính ̅̅̅: ̅̅̅ ∫ ( )̂ ( ) ( ∫ ) ( ∫ ( ) (( ∫ ( ) ( ∫ ( ) ) ) ) ) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh ( ) Trang - - ∫ ( ) ( ∫ ) ( ∫ ) ( ( ∫ ) ( ) ) ∫ Vậy: ̅̅̅ (̅̅̅̅̅) ̅̅̅ Kiểm tra hệ thức bất định: (̅̅̅̅̅) ( ̅ ) thoả hệ thức bất định + Sử dụng điều kiện chuẩn hố xác định A: ∫ √ + tính ̅; ̅ ∫ ̂ ∫ ( ∫ ∫ ) ∫ | Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - - + Tính ̅̅̅: ̅̅̅ ( ∫ ) ∫ ∫ + xác định A điều kiện chuẩn hoá: ∫ ∫ ( ∫ ( ∫ ( ) ) ) √ Xác suất đo ⟨ Với ∫ √ | : | | ⟩ ∫ √ √ ∫ Áp dụng công thức Euler: Suy ra: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - - ∫ √ √ ( ∫ ) ( ) Sử dụng điều kiện trực chuẩn hàm riêng toán tử: ⟨ | ⟩ ∫ Vậy: √ √ √ Giá trị m { Xác suất tương ứng với giá trị | | | | | { ̅̅̅ ̅̅̅ | ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) Trị trung bình bình phương tốn tử ̂ : ̅̅̅̅ ⟨ |̂ ⟩ ⟨ |̂̂ ⟩ Do ̂ Hermite nên Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 10 - ̅̅̅̅ ⟨̂ |̂ ⟩ Tích vô hướng ⟨ ̂ | ̂ ⟩ luôn dương nên ̅̅̅̅ Ta có: ⟨ ( )| ̂ ̅ ( )⟩ ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ( ) * ( ) ( ) ∫ ( ) vậy: ( ) hàm thực ̅ Lưu ý tính chất sau: [̂ ̂ ] ̂ { ̅̅̅ ⟨ |̂ ⟨ |[ ̂ ̂ ] ⟨ |̂ ̂ ⟨ ⟩ |̂ ⟩ |̂ ̂ ⟨ ⟨̂ ⟩ ⟩ |̂ ⟨ ⟩ ⟨ |̂ ̂ ⟩ ⟩ |̂ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh ⟩ Trang - 11 - Tương tự ̅̅̅ Ta tính ̅̅̅ Đặt ( ) ta được: ⟨ ( )|( ⟨ ( )| ̅̅̅ ) ( )⟩ ( )⟩ ⟨ ( )| ( )⟩ ⟨ ( )| ( )⟩ ̅ + tìm cực tiểu V: ( ) ̅ Hàm V đạt cực trị khi: ( ) ̅ Lúc có giá trị: ̅̅̅ ( ̅) ( ̅) ̅̅̅ ( ̅) ( ̅) + Trước tiên ta xét xem trạng thái | ⟩ có chuẩn hóa hay không?? ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ Như hàm | ⟩ hàm chuẩn hóa a) Các giá trị lượng là: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 12 - Các xác suất tương ứng với giá trị năg lượng là: ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| b) Các giá trị toán tử ̂ là: Các xác suất để đo giá trị , , , là: ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| ( ) |⟨ | ⟩| |√ ⟨ | ⟩| c) Phép đo năg lượng cho giá trị nghĩa hệ trạng thái Vì ta đo đại lượng động lực A liền sau ta nhận giá trị Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 13 - Chương IV PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER I Tóm tắt lý thuyết cần để giải tập: Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian Tiên đề IV: Sự thay đổi theo thời gian hàm trạng thái hạt (hệ hạt) lượng tử cho phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian, có dạng: (⃗ ) Trong đó: ̂ ̂ ̂ ̂ (⃗ ) ( ⃗ ) hàm Hamilton hệ Phương trình Schrodinger khơng phụ thuộc thời gian Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng: ̂ (⃗ ) (⃗ ) Nghiệm phương trình có dạng: (⃗ ) ( ⃗) Do tính chất tuyến tính phương trình nên nghiệm tổng qt có dạng khác tùy theo phổ trị riêng gián đoạn hay liên tục Khi ̂ có phổ trị riêng gián đoạn: (⃗ ) ∑ (⃗) ∑ () (⃗) Khi ̂ có phổ trị riêng liên tục: (⃗ ) ∫ ∫ (⃗) () (⃗) Trong đó: 〈 (⃗) | (⃗ )〉 〈 (⃗) | (⃗ )〉 Chuyển động hạt giếng chiều sâu vơ hạn Thế có dạng: ( ) , Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 14 - ( ) ( ) Các điều kiện: Trong miền I III: Điều kiện biên: ( ) ( ) ( ) Năng lượng hạt trạng thái thứ n: Hàm sóng ứng với hạt có lượng En: √ ( ) Dao động điều hòa lượng tử Thế có dạng: ( ) Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng: ( ) ) ( ) ( Biểu thức lượng: ( * Năng lượng dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn Năng lượng thấp dao động tử là: Hàm sóng ứng với số mức lượng khác nhau: ( ) ( √ √ ( ) √ ( )( * ( )( ) √ ( ) √ ) √ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 15 - II Bài tập: Bài giải: √ + hạt trạng thái thứ n có hàm trạng thái Như xác suất tìm thấy hạt trạng thái thư n là: ∫ ∫ ( ( * *| Bài giải: + Dùng điều kiện chuẩn hóa xác định A ∫ ( ) ∫ ( * ∫ ( * ∫ ( ( * *| ∫ ( ( * *| √ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 16 - + Xác suất đo lượng trạng thái ( ) | | |⟨ | ⟩| √ Với Ta ∫ √ √ √ ∫ ( * ( √ *| ( √ ∫ √ * √ Vậy xác suất ( ) | | | | √ Bài giải: + Dùng điều kiện chuẩn hóa xác định A: ∫ ( ∫( ) ) √ + Phân bố xác suất lượng: | | Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh |⟨ | ⟩| Trang - 17 - ⟨ | ⟩ ∫ √ Với Ta được: ∫ √ ( ) √ ∫ √ ∫ √ ( ( √ ) ) √ ( ( ( ( ) (( ) )+ ) ) Vây phân bố xác suất | | ( √ ( ( ) ), ( ( ( ( ) ) ) ) + Động trung bình: ̅ ̂ ∫ ∫ ∫ ( ( )( ( ( ))+ ) + Động bình phương trung bình: ̅̅̅̅ ∫ ̂ ∫ ̂ ̂ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh ∫ ( ( )) ( ( )) Trang - 18 - Bài giải: ̅ ∫ ̂ √ Với Ta được: ∫ ̅ ∫ √ ̂ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ∫ √ ( ) ( ( ** * | Tính phương pháp tích phân phần, ta được: Đặt , ( ) , ( ) Suy ( *| ∫ ( * Vậy ̅ Tính ̅̅̅ Ta có ̅̅̅ ∫ √ ∫ √ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh ̂ ∫ ( ) Trang - 19 - ∫ ∫ ( * Ta tính I phương pháp tích phân phần lần Sau ta lấy phần lần ta ( ) Suy ̅̅̅ ( ) ( ) ( ) Vậy ̅̅̅̅̅ ̅̅̅ ( ( ̅) ( ) * Xác suất phân bố xung lượng hạt giêng chiều sâu vô hạn (n=1) ( ) ⟨ Với ( )| | | ( )⟩ Trong ( ) { ( ) √ √ ( ) Suy ra: √ ∫ ( ) Với Suy Sinh viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Trang - 20 -