Tiểu luận GIẢI TÍCH 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - TIN HỌC  ĐẶNG ĐỨC TRỌNG – ĐINH NGỌC THANH – PHẠM HOÀNG QUÂN Tiểu luận GIẢI TÍCH NHÓM VÕ ANH KHOA – VŨ TRẦN MINH KHƢƠNG – NGUYỄN THANH HOÀI ĐẶNG PHƢỚC NHẬT – TRƢƠNG HỒNG KHA Ω TP HỒ CHÍ MINH 5/2011 ĐẶNG ĐỨC TRỌNG – ĐINH NGỌC THANH – PHẠM HOÀNG QUÂN Tiểu luận GIẢI TÍCH NHĨM VÕ ANH KHOA – VŨ TRẦN MINH KHƢƠNG – NGUYỄN THANH HOÀI ĐẶNG PHƢỚC NHẬT – TRƢƠNG HỒNG KHA Ω TP HỒ CHÍ MINH 5/2011 LỜI NĨI ĐẦU Cuốn sách “Tiểu luận GIẢI TÍCH 2” biên soạn dựa theo sách “Giáo trình GIẢI TÍCH 2” thầy Đặng Đức Trọng – Đinh Ngọc Thanh – Phạm Hoàng Quân, dành cho sinh viên năm I trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh, sinh viên giai đoạn đại cương số trường bạn đọc quan tâm đến mảng kiến thức này, tham khảo trình học tập làm việc Cuốn sách gồm có chương, chương chia làm hai phần I, II với bố cục sau : Phần I : Giải tập theo chương sách “Giáo trình GIẢI TÍCH 2” Ở phần này, cố gắng đưa lời giải chi tiết để giúp cho người đọc trau dồi kiến thức tham khảo số kĩ trình làm tập Tuy nhiên, chúng tơi khuyến khích bạn nên dành thời gian để tự giải số tập, nhằm nắm vững môn học Phần II : Phần tập đưa vào q trình chúng tơi tham khảo sưu tầm Chúng muốn đưa vào để giúp cho người đọc đam mê tìm tòi khám phá thêm nhiều điều môn học Tuy nhiên, không đưa lời giải cho phần với mong muốn người đọc tự thảo luận, trao đổi với bạn bè, đồng nghiệp để thấy “cái hay” Trong trình biên soạn, nhiều yếu tố khách quan chủ quan, sách khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp để chúng tơi hồn thiện sách Thành phố Hồ Chí Minh, 5/2011 Các tác giả LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình biên soạn, xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy Đặng Đức Trọng, thầy Trần Quốc Khanh, bạn Cử Nhân Tài Năng K10 (khóa 2010) số bạn khác, vui lòng nhận kiểm tra lại, góp ý thêm chia sẻ số tài liệu tham khảo khác để chúng tơi hồnh thành sách MỤC LỤC Chƣơng 1: KHƠNG GIAN MÊTRÍC - Bài Tập Mở Rộng 20 Chƣơng 2: ÁNH XẠ LIÊN TỤC, TẬP COMPẮC, TẬP LIÊN THÔNG ĐƢỜNG 23 - Bài Tập Mở Rộng 43 Chƣơng 3: KHƠNG GIAN MÊTRÍC ĐẦY ĐỦ VÀ KHÔNG GIAN BANACH 45 - Bài Tập Mở Rộng 76 Chƣơng 4: VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 78 - Bài Tập Mở Rộng 138 Chƣơng 5: CÔNG THỨC TAYLOR, HÀM ẨN, HÀM NGƢỢC, CỰC TRỊ 139 - Bài Tập Mở Rộng 187 Chƣơng 6: CHUỖI TRONG KHÔNG GIAN BANACH 188 - Bài Tập Mở Rộng 235 Chƣơng 7: DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM 238 - Bài Tập Mở Rộng 295 Chương 1: Không gian mêtríc Chƣơng 1: KHƠNG GIAN MÊTRÍC 1.1 Chứng minh khoảng mở chứa số vô tỉ Từ suy ra: Nếu số vơ tỉ có dãy hữu tỉ hội tụ (ii) Nếu số hữu tỉ có dãy vô tỉ hội tụ (i) Bài giải: Trước hết ta lưu ý ta có tính chất sau : Với c < d tồn số hữu tỉ Xét cho bất kì, ta chứng minh tồn số vô tỉ x cho Theo (*), tồn số hữu tỉ Do Chọn (*) (**) cho p cho , ta có x vơ tỉ p hữu tỉ Như ta chứng minh (**) Trong phần tiếp theo, ta chứng minh (i), (ii) chứng minh hoàn toàn tương tự (i) Với x vơ tỉ, theo (*) tồn Do : Suy hữu tỉ cho : dãy hữu tỉ hội tụ x vô tỉ Chương 1: Khơng gian mêtríc 1.2 Cho là tập đóng số thực, chứng minh : khơng có tập mở chứa Bài giải: Ta cần chứng minh tập đóng theo Khơng tính tổng qt, ta giả sử n số thực thứ tự tăng dần ( ta ln thứ tự số ), nghĩa : Khi đó, ta xét : Do hợp khoảng mở nên Tiếp theo, ta có nhận xét sau : Nếu tập mở Dẫn đến tập mở khác rỗng tập đóng chứa vơ hạn phần tử Thật vậy, mở khác rỗng nên tồn Theo định nghĩa tập mở, tồn cho : chứa vô hạn phần tử, nên dẫn đến U chứa vô hạn phần Mà khoảng tử Quy trở lại toán, hữu hạn phần tử ( có n phần tử nên tập khác rỗng có ) nên khơng thể tập mở ( theo nhận xét ) Chương 1: Khơng gian mêtríc 1.3 Cho Chứng minh : khơng gian mêtríc , với (i) tập hợp điểm tụ (ii) tập đóng (iii) tập mở tập đóng nhỏ tập đóng lớn (iv) chứa chứa tập đóng (v) đóng Bài giải: (i) - Chứng minh : Lấy Nếu , ta có Nếu : x điểm dính ,với Nhận xét , ta có : ( Suy ) với Vậy (1) - Lấy Với Suy Lấy Chứng minh : , Ta có chứa nên khác rỗng Với Vì ta có Suy Vậy Từ (1) (2) suy Suy với (2) Chương 1: Khơng gian mêtríc (ii) Chứng minh Xét dãy tập đóng E thỏa mãn : đóng, ta cần chứng minh bất kỳ: Với E Để chứng minh Ta tìm dãy Nhận xét rằng: | , ta có : nên với , tồn Cho tập chứa – | – | thỏa : | |+ – < +| | , - |, , vế phải hội tụ Suy Cho Vậy tồn dãy { } chứa x điểm dính - hay Chứng minh tập đóng nhỏ Xét tập đóng chứa Lấy phần tử Tồn dãy { Nhận xét { hội tụ } Ta chứng minh chứa hội tụ } đồng thời dãy Vì B đóng, ta suy chứa hội tụ Vậy (iii) Lấy Tồn Do Ta có Đầu tiên, ta chứng minh Vì mở, ta có tập mở chứa điểm cho : , ta có Vậy điểm Chương 1: Khơng gian mêtríc - minh điểm Lấy tập mở: Để chứng minh Chứng minh chứa chứa mở, ta cần chứng điểm Tồn cho : tập mở chứa , theo chứng minh phần trên, ta có Vì Như điểm Ta có Kết hợp với phần trên, ta có tập mở tập mở lớn chứa (iv) - Chứng minh Theo định nghĩa, dính vừa điểm dính Cũng từ định nghĩa vừa điểm dính điểm dính - vừa điểm vừa Ta có: (do ) Vậy (v) - Ta có : Vì : đóng, ta có - tập đóng Chứng minh Chứng minh tập đóng đóng Chiều thuận: Giả sử Khi : đóng Ta suy : Chương 7: Dãy hàm chuỗi hàm Khi hội tụ Ta có Nên Khi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh hội tụ , ta có : Cho Với ta có : , theo chứng minh phần Nên ta có : 284 Chương 7: Dãy hàm chuỗi hàm 7.26 Cho chuỗi số dương hội tụ Chứng minh hội tụ tuyệt đối Bài giải: Ta có Nên chuỗi Vậy hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh hội tụ hội tụ tuyệt đối 7.27 Chứng minh Và Bài giải: Chứng minh: Xét chuỗi số sau: Ta thấy hội tụ với thỏa Nên ta có : 285 Chương 7: Dãy hàm chuỗi hàm Ta có điều phải chứng minh Chứng minh : Đầu tiên ta chứng minh chuỗi số cho hội tụ Thật vậy, với , ta có: Nên chuỗi cho hội tụ Đặt Ta có : 286 Chương 7: Dãy hàm chuỗi hàm Vậy ta có Suy Đặt , ta có : , nghĩa Ta có điều phải chứng minh 7.28 Cho Chứng minh a) b) c) d) 287 Chương 7: Dãy hàm chuỗi hàm Bài giải: Vì hội tụ nên ta nhận thấy a) Gọi tổng riêng phần chuỗi Suy , ta có : Vậy b) Đặt tổng riêng phần Ta có : 288 Chương 7: Dãy hàm chuỗi hàm 289 Chương 7: Dãy hàm chuỗi hàm Đặt Và Thì Ta có : 290 Chương 7: Dãy hàm chuỗi hàm Nên ta có điều phải chứng minh c) Theo câu b) ta có nhận thấy (*) Mặt khác nên (*) thành: Mặt khác, theo câu d) , ta có Suy ra: Chứng minh tương tự, ta có Với bất kỳ, có số khác , , ta suy điều phải chứng minh Ngược lại, , theo câu d) ta có nên , nghĩa có Vậy ta Trong trường hợp, khẳng định đề chứng minh d) Từ đẳng thức b) ta cho nên 291 Chương 7: Dãy hàm chuỗi hàm 7.29 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm a) b) c) d) e) f) Bài giải: a) Ta có Vậy chuỗi hội tụ hay b) Theo Định lý chuỗi điều hòa (trang 145), chuỗi số hội tụ c) Khi , hiển nhiên chuỗi số hội tụ Xét Ta có : Nên chuỗi cho hội tụ với Vậy miền hội tụ chuỗi số 292 Chương 7: Dãy hàm chuỗi hàm d) Ta có hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh, ta Do hội tụ với e) - Với Nên chuỗi không hội tụ , đặt - Với với , ta có Ta chứng minh chuỗi khơng hội tụ Thật vậy, giả sử chuỗi hội tụ nên ta có Mà Mặt khác Nên ta có Mặt khác, Từ Nên , ta phải có mâu thuẫn với Vậy với - Với , suy Như , chuỗi khơng hội tụ ta có 293 Chương 7: Dãy hàm chuỗi hàm Mà Nên chuỗi hội tụ Do theo tiêu chuẩn so sánh ta suy chuỗi hội tụ Vậy miền hội tụ chuỗi cho f) Ta có : Ta có chuỗi hội tụ với hội tụ nên theo tiêu chuẩn so sánh chuỗi 294 Chương 7: Dãy hàm chuỗi hàm Cho hội tụ a Chứng minh liên tục b Chứng minh liên tục Chứng minh dãy Cho có đạo hàm liên tục Chứng minh khơng hội tụ Từ đó, suy bán kính với Định nghĩa hàm sai số : Và hàm Biểu diễn hàm dạng chuỗi lũy thừa Dựa vào chuỗi tính xấp xỉ giá trị 295 Chương 7: Dãy hàm chuỗi hàm Xác định miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau : a b c d e f g Tính tổng chuỗi hàm sau : a b c d 296 Đặng Đình Áng, Nhập mơn giải tích, NXBGD, 1998 Đặng Đức Trọng - Đinh Ngọc Thanh - Phạm Hồng Qn, Giáo trình giải tích 2, NXBĐHQGTP.HCM, 2008 Nguyễn Đình Trí - Tạ Văn Đĩnh - Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp (Tập ba), NXBGDVN, 2009 Dương Minh Đức, Giáo trình tốn giải tích I, 2002 Tạ Lê Lợi, Giải tích (Giáo trình), 2008 Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Anh Tuấn - Lê Anh Vũ, Bài tập toán cao cấp (Tập I), NXBGD, 1999 Nguyễn Bích Huy, Giải tích (Cơ Sở), 2004 Jean - Marie Monier, Giải tích 3-4 (Bản dịch), NXBGDVN, 2010 Robert A Adamsm, Culeulus, Acomplete cousse, 1990 10 E Kreszig, Advanced Enginnering Mathematics, 1988 Tiểu luận GIẢI TÍCH A2 Võ Anh Khoa – Vũ Trần Minh Khương – Nguyễn Thanh Hoài Đặng Phước Nhật – Trương Hồng Kha ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TỐN – TIN HỌC NHÓM K10 *** Chịu trách nhiệm xuất Võ Anh Khoa Sửa in Võ Anh Khoa Vũ Trần Minh Khương Nguyễn Thanh Hoài Đặng Phước Nhật Trương Hồng Kha Trình bìa Võ Anh Khoa Trương Hồng Kha Nguyễn Thanh Hoài In Tiệm in Thanh Phong – Quận Tân Phú – TP Hồ Chí Minh, nộp lưu chiểu tháng năm 2011