Độ phức tạp của bài toán biến đổi đồ thị về đồ thị đầy đủĐộ phức tạp của bài toán biến đổi đồ thị về đồ thị đầy đủĐộ phức tạp của bài toán biến đổi đồ thị về đồ thị đầy đủĐộ phức tạp của bài toán biến đổi đồ thị về đồ thị đầy đủĐộ phức tạp của bài toán biến đổi đồ thị về đồ thị đầy đủĐộ phức tạp của bài toán biến đổi đồ thị về đồ thị đầy đủĐộ phức tạp của bài toán biến đổi đồ thị về đồ thị đầy đủĐộ phức tạp của bài toán biến đổi đồ thị về đồ thị đầy đủĐộ phức tạp của bài toán biến đổi đồ thị về đồ thị đầy đủĐộ phức tạp của bài toán biến đổi đồ thị về đồ thị đầy đủĐộ phức tạp của bài toán biến đổi đồ thị về đồ thị đầy đủĐộ phức tạp của bài toán biến đổi đồ thị về đồ thị đầy đủĐộ phức tạp của bài toán biến đổi đồ thị về đồ thị đầy đủĐộ phức tạp của bài toán biến đổi đồ thị về đồ thị đầy đủĐộ phức tạp của bài toán biến đổi đồ thị về đồ thị đầy đủ
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Trần Quang ĐỘ PHỨC TẠP CỦA BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ VỀ ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Trần Quang ĐỘ PHỨC TẠP CỦA BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ VỀ ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS.TSKH Phan Thị Hà Dương Hà Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình cô Phan Thị Hà Dương Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2018 Người cam đoan Trần Quang LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình Phan Thị Hà Dương Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cô, người giúp đỡ bảo cách tận tình suốt trình thực luận văn Xin cảm ơn thầy cô anh chị Seminar Cơ sở Tốn-Tin góp ý giúp đỡ tơi q trình làm luận văn Xin cảm ơn thầy cô, anh chị Học viện Khoa học-Cơng nghệ nói chung Viện Tốn học nói riêng tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Cảm ơn chị Thúy, chị Vân Anh tạo điều kiện xếp cho tơi thời gian bảo vệ luận văn sớm Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn chân thành biết ơn vô tận cha mẹ tôi, người sát cánh tạo động lực để tơi hồn thành luận văn Trần Quang MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Lời nói đầu Danh mục hình vẽ đồ thị Các kiến thức 1.1 Đồ thị, khái niệm 8 1.2 1.3 1.4 1.1.1 Khái niệm đồ thị 1.1.2 1.1.3 Đồ thị con, đồ thị cảm sinh từ tập đỉnh Bậc đỉnh 10 1.1.4 1.1.5 Hành trình Đồ thị phẳng 11 11 1.1.6 Đồ thị đầy đủ, đồ thị bù, đồ thị hai phía Bài toán Clique 12 14 1.2.1 1.2.2 Khái niệm Clique Bài toán Clique 14 15 Độ phức tạp tính tốn 1.3.1 Độ phức tạp thuật tốn 15 15 1.3.2 Bài toán định 16 1.3.3 1.3.4 Lớp P, lớp NP Quy dẫn 16 19 1.3.5 NP-khó, NP-đầy đủ Một số toán thuộc lớp NP-đầy đủ 20 21 1.4.1 1.4.2 Bài toán SAT, 3SAT Bài toán tập độc lập (IndependentSet) 21 24 1.4.3 Bài toán Clique 26 1.4.4 Bài toán Balanced Complete Biartite Subgraph (BCBS) 27 Bài toán Clique Editing 2.1 2.2 2.3 30 Giới thiệu toán Clique Editing 31 2.1.1 2.1.2 Bài toán chỉnh sửa (thêm, bớt cạnh) Clique Bài toán Clique Editing 31 32 Bài toán Clique Editing toán NP-đầy đủ 2.2.1 Các tính chất liên quan toán Clique Editing 35 35 2.2.2 Bài toán Clique Editing NP-đầy đủ Bài toán Clique Editing đồ thị phẳng 37 38 Clique Editing toán FPT 40 3.1 Giới thiệu lớp FPT, toán FPT 40 3.2 3.3 Thuật tốn Nhân tử hóa 3.2.1 Khái niệm 41 41 3.2.2 Thuật tốn Nhân tử hóa cho tốn Clique Editing Thuật toán FPT cho toán Clique Editing 42 47 3.3.1 3.3.2 47 47 KẾT LUẬN Thuật toán Độ phức tạp 49 LỜI NÓI ĐẦU Trong khoa học ngày nay, ngồi việc tìm lời giải tốn, cịn trọng đến việc cải thiện phát triển để tạo nên lời giải hiệu quả, tiết kiệm thời gian giải Nội dung luận văn đề cập đến vấn đề độ phức tạp thuật toán, đặc biệt tập trung nói tốn Clique Editing số kết có Bài tốn Clique Editing, tốn chỉnh sửa đồ thị đồ thị đầy đủ Nội dung toán sau, làm cách để biến đổi (bằng cách thêm bớt cạnh) đồ thị cho trước thành đồ thị đầy đủ cho số phép thêm bớt cạnh Trong thực tế hay khoa học mơ hình đồ thị đầy đủ phổ biến thơng dụng, lí toán dành nhiều quan tâm Những toán chỉnh sửa đồ thị quan tâm từ năm 80 kỷ XIX, điển Garey, Johnson, [2] Bài toán Clique Editing toán thuộc lớp toán chỉnh sửa đồ thị quan tâm gần đây, chứng minh thuộc lớp FPT (Fixed-Parameter Tractable) Flum Grobe 2006 [3] Tính NP-đầy đủ tốn Clique Editing nêu câu hỏi mở Peter Damaschke 2013 chứng Ivan Kovᡠc 2014 [4] Chúng tơi tập trung trình bày tốn Clique Editing, chứng minh tính NP-đầy đủ tốn, sau tìm hiểu lớp toán FPT chứng minh toán Clique Editing thuộc lớp FPT Luận văn chia làm ba chương sau: Chương 1: Các khái niệm Trong phần chúng tơi trình bày số khái niệm đồ thị độ phức tạp tính tốn lớp P, lớp NP, lớp NP-đầy đủ số tốn nằm lớp NP-đầy đủ có liên quan đến toán Clique Editing Chương 2: Bài toán Clique Editing Ở chương này, giới thiệu tốn Clique Editing, sau nêu số tính chất liên quan đến toán, cuối chứng minh toán Clique Editing thuộc lớp NP-đầy đủ Chương 3: Bài toán Clique Editing thuộc lớp FPT Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa lớp FPT thuật tốn FPT, sau chứng minh tốn Clique Editing thuộc lớp FPT Mặc dù thân tác giả cố gắng, xong luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Trần Quang DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ Số hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Trang 1.1 Một ví dụ đơn đồ thị vô hướng 1.2 Một ví dụ đa đồ thị vơ hướng 1.3 Một ví dụ đồ thị cảm sinh 10 1.4 Một ví dụ bậc đỉnh 10 1.5 Biểu diễn phẳng đồ thị 12 1.6 Một ví dụ đồ thị đầy đủ K4 13 1.7 Một ví dụ đồ thị bù 13 1.8 Một ví dụ đồ thị phía 13 1.9 Một ví dụ đồ thị phía đầy đủ K3,2 14 1.10 Một ví dụ Clique dồ thị 14 1.11 Phép quy dẫn từ toán 3SAT sang 25 tốn INDEPENDENTSET 1.12 Một ví dụ tốn BCBS 1.13 Một ví dụ minh họa phép quy dẫn từ 29 toán Clique sang toán BCBS 2.1 Một ví dụ chỉnh sửa (thêm bớt 31 27 cạnh) 2.2 Một ví dụ việc chỉnh sửa đồ thị 32 thành đồ thị đầy đủ 2.3 2.4 2.5 2.6 Hình minh họa lời giải ví dụ đơn 33 giản tốn Clique Editing 2.7 Sơ đồ quy dẫn để chứng minh Clique 37 Editing thuộc lớp NP-khó Chương Các kiến thức Trước đến vấn đề luận văn chúng tơi trình bày kiến thức Đồ thị giới thiệu tốn Clique Và đồng thời trình bày độ phức tạp tính tốn thuật tốn Các khái niệm đươc tham khảo số tài liệu [1],[7] 1.1 1.1.1 Đồ thị, khái niệm Khái niệm đồ thị Định nghĩa 1.1.1 Đồ thị vô hướng đồ thị G cặp khơng có thứ tự G := (V, E), • V , tập đỉnh • E, tập cặp đỉnh (không thứ tự), gọi cạnh Hai đỉnh thuộc cạnh gọi đầu mút cạnh Cạnh đồ thị mà có điểm đầu mút trùng gọi khuyên Đồ thị vơ hướng có nhiều khun Các cạnh mà có cặp đầu mút gọi cạnh song song Định nghĩa 1.1.2 Đơn đồ thị vơ hướng đồ thị khơng có khun khơng có cặp cạnh song song 37 Chứng minh Đặt C = P0 Q0 P0 ⊂ P , Q0 ⊂ Q Vì G[C] = Kp,p đồ thị hai phía đầy đủ, nên để chỉnh sửa G thành đồ thị G = (P0 Q0 I, E ) P0 Q0 Clique I tập đỉnh lập, cần bỏ tất cạnh G không nằm G[C] đồng thời thêm tất cạnh hai đầu mút P0 Q0 Khi số chỉnh sửa là: |E(G)| − p2 + p(p − 1) = |E(G)| − p Mệnh đề 2.2.6 Cho đồ thị hai phía G Nghiệm COP T mà G[COP T ] dạng Kp,p cost(COP T ) = |E(G)| − p Chứng minh Mệnh đề hệ trực tiếp từ mệnh đề 2.2.2 Bài tốn Clique Editing NP-đầy đủ Hình 2.3: Sơ đồ quy dẫn Ở chương trước ta chứng tỏ toán BCBS NP-đầy đủ Bây ta chứng minh toán CLIQUE EDITING NP-đầy đủ việc quy dẫn trực tiếp từ toán BCBS 38 Định lý 2.2.1 Bài toán CLIQUE EDITING toán NP-đầy đủ Chứng minh Chúng ta thực phép quy dẫn sau: Gọi x liệu đầu vào toán BCBS, liệu x cụ thể là: đồ thị hai phía G = (P Q, E) số nguyên dương k1 Xét liệu đầu vào M (x) toán CLIQUE EDITING phụ thuộc vào x sau: đồ thị hai phía G = (P Q, E) số nguyên dương |E| − k1 Giả sử x thỏa mãn toán BCBS, nghĩa tồn đồ thị hai phía đầy đủ Kk1 ,k1 G Gọi C tập đỉnh Kk1 ,k1 nói trên, theo mệnh đề (2.2.5) cost(C) = |E(G)| − k1 , suy M (x) bao gồm G số nguyên dương |E(G)| − k1 thỏa mãn CLIQUE EDITING Giả sử M (x) thỏa mãn tốn CLIQUE EDITING, tồn C ⊂ V (G) cho cost(C) ≤ |E(G)| − k1 Theo Mệnh đề (2.2.4) tồn nghiệm tối ưu COP T = Kk2 ,k2 , nên cost(COP T ) ≤ cost(C) ≤ |E(G)| − k1 , suy |E(G)| − k2 ≤ |E(G)| − k1 , k2 ≥ k1 , mà Kk2 ,k2 đồ thị đầy đủ G, nên Kk1 ,k1 đồ thị đầy đủ G Tức x thỏa mãn toán BCBS Như có phép quy dẫn thời gian đa thức từ toán BCBS sang toán CLIQUE EDITING, đồng thời dễ dàng chứng minh CLIQUE EDITING thuộc lớp NP Do tốn CLIQUE EDITING NP-đầy đủ 2.3 Bài toán Clique Editing đồ thị phẳng Như biết, toán Clique Editing đồ thị tổng quát toán NP-đầy đủ Tuy nhiên số lớp đồ thị đặc biệt đồ thị phẳng tốn Clique Editing hồn tồn giải thời gian đa thức, tức toán Clique Editing đồ thị phẳng thuộc lớp P Chúng ta đến với mệnh đề sau 39 Mệnh đề 2.3.1 Cho COP T nghiệm tối ưu toán Clique Editing đồ thị phẳng G Khi cost(COP T ) ≤ 11 Chứng minh Gọi số đỉnh G n, số cạnh G m, tính chất đồ thị phẳng cho ta m ≤ 3n − Σv∈V deg(v) < 6, hay nói cách khác Ta có Σv∈V deg(v) = 2m ≤ 6n − 12, nên n bậc trung bình đỉnh đồ thị phẳng ln nhỏ Do G đồ thị phẳng nên G[COP T ] đồ thị phẳng, bậc trung bình G[COP T ] nhỏ 6, tồn v ∈ COP T để v có bậc nhỏ G[COP T ], hay |Ev (G[COP T ])| ≤ Mặt khác theo mệnh đề |COP T | − |COP T | − , từ suy ≤ hay (2.1.1) ta có |Ev (G[COP T ])| ≥ 2 |COP T | ≤ 11 Mệnh đề 2.3.2 Bài toán Clique Editing đồ thị phẳng G giải thời gian đa thức Chứng minh Ta xét duyệt tất tập C VG với |C| ≤ 11 Trong tập C có giá trị cost(C) nhỏ chọn tập làm nghiệm tối ưu n 11 Mà số tập C Σ11 i=1 ( i ) = O(n ), nên ta có điều phải chứng minh Như chương ta tìm hiểu khái niệm toán chỉnh sửa đồ thị (cụ thể tốn Clique Editing) Trong tốn Clique Editing đồ thị phía nói riêng, đồ thị tổng qt nói chung tốn NP-đầy đủ Tuy nhiên lớp đồ thị phẳng tốn Clique Editing toán thuộc lớp P 40 Chương Clique Editing toán FPT Như biết, toán Clique Editing toán NP-đầy đủ, nên việc tìm thuật tốn để giải thời gian đa thức khó khơng thể Tuy nhiên, tìm thuật toán với thời gian cải thiện đáng kể cho lớp đồ thị đầu vào G Ở ta muốn nói thuật tốn FPT (Fixed Parameter Tractable) Chương tham khảo từ [3] 3.1 Giới thiệu lớp FPT, toán FPT Ở ta đề cập toán liên quan đến đồ thị mà thuộc lớp NP-khó Định nghĩa 3.1.1 Cho toán định A với đầu vào gồm đồ thị G = (V, E) kích thước n số nguyên dương k (1 ≤ k ≤ n) Ta nói tốn A thuộc lớp FPT tồn thuật toán M giải toán A thời gian f (k).nO(1) (f hàm phụ thuộc vào k, O(1) số) Bài toán A gọi toán FPT, thuật toán M gọi thuật toán FPT cho toán A Chương chứng minh toán Clique Editing toán FPT Xét đầu vào tốn (G, k), ta tìm thuật toán giải toán Clique Editing với đầu vào thời gian 2O(k) +nO(1) Có thể thấy, trường hợp k tương đối nhỏ toán giải 41 thời gian nhỏ đáng kể Trong thực tế người trực quan chọn đầu vào bao gồm đồ thị tương đối hoàn chỉnh mong muốn, k nhỏ 3.2 Thuật tốn Nhân tử hóa Để tìm thuật toán FPT cho toán A với đầu vào (G, k) người ta thường sử dụng phương pháp nhân tử hóa, ý tưởng sau: biến đổi đầu vào (G, k) thành đầu vào (G , φ(k)) tốn A G đồ thị có kích thước phụ thuộc vào k, φ(k) hàm số phụ thuộc vào k 3.2.1 Khái niệm Gọi A toán chỉnh sửa đồ thị, Ainput tập hợp liệu đầu vào mà tốn A nhận Định nghĩa 3.2.1 Cho toán chỉnh sửa đồ thị A, (G, k) ∈ Ainput (G có n đỉnh) Thuật tốn Nhân tử hóa thuật toán M biến (G, k) thành (G , k ) ∈ Ainput cho: - Độ phức tạp thuật toán M (n + k)f ( ) , với số số f phụ thuộc k > hàm - n ≤ g(k) k ≤ k, với g hàm số phụ thuộc k - (G, k) thỏa mãn toán A (G , k ) thỏa mãn toán A (G , k ) gọi "nhân tử" (G, k) Chúng ta thấy n phụ thuộc vào k, trường hợp đồ thị cho trước gần hồn chỉnh số thao tác chỉnh sửa Như k bé 42 việc giải toán nhanh đáng kể Trên thực tế thường giải toán chỉnh sửa với hình dạng gần hồn chỉnh 3.2.2 Thuật tốn Nhân tử hóa cho tốn Clique Editing Ý tưởng ban đầu: cho đồ thị G = (V, E), giả sử có q trình biến đổi G thành G0 ∈ G mong muốn (tập đỉnh G0 hợp Clique tập đỉnh cô lập) Với đỉnh v G, q trình biến đổi từ G sang G0 xét chỉnh sửa cạnh có đầu mút v Khi cuối q trình ta thấy v khơng cịn cạnh nối rõ ràng v đỉnh cô lập G0 , cịn cuối q trình ta thấy v nối với những đỉnh v1 , v2 , , vt khơng khó để khẳng định C = {v, v1 , v2 , v3 , , vt } Clique G0 cịn V \ C tập đỉnh lập Như vậy, ý tưởng xét trường hợp chỉnh sửa cạnh đỉnh G Sau việc xây dựng thuật toán cách cụ thể Xây dựng quy tắc Cho toán chỉnh sửa A liệu đầu vào (G, k), giả sử thông qua tối đa k phép chỉnh sửa ta biến đổi G thành G0 mong muốn (tức G0 nghiệm toán A liệu đầu vào (G, k)) Với đồ thị G ta đặt |V (G)| = nG = n, |E(G)| = mG = m Định nghĩa 3.2.2 Bài toán A gọi "có thể xây dựng từ lân cận" thời gian p(n) (p đa thức), cho trước đỉnh v G tập hợp không rỗng tất lân cận v nghiệm G0 , ta giải tốn A đầu vào (G, k) thời gian p(n) Mệnh đề 3.2.1 Bài tốn Clique Editing "có thể xây dựng từ lân cận" thời gian tuyến tính theo số cạnh đồ thị Chứng minh Gọi (G, k) liệu đầu vào tốn Clique Editing, giả sử thơng qua tối đa k hoạt động chỉnh sửa ta biến đổi đồ thị G 43 thành đồ thị G0 = (C0 I0 , E0 ) (C0 Clique G0 I0 tập đỉnh cô lập) Gọi v đỉnh G, để tập tất lân cận v G0 khác rỗng v ∈ C0 , Nv (G0 ) = C0 \ {v} Giả sử ta có đỉnh v G biết trước tập đỉnh Nv (G0 ) = C0 \ {v} Khi ta chỉnh sửa G thành G0 sau: đồ thị G[C0 ] ta thêm tất cạnh cặp đỉnh không kề nhau, sau bỏ tất cạnh mà có đầu mút nằm I0 Khi ta số phép chỉnh sửa (m − mG[C] ) + |C0 |.(|C0 | − 1) |C0 |.(|C0 | − 1) − mG[C] = m + − 2mG[C] 2 Định nghĩa 3.2.3 Cho đồ thị G = (V, E) đỉnh v G Ta nói việc "xây dựng từ lân cận" v G loạt phép chỉnh sửa G để tạo thành G cho V (G ) hợp Clique Nv (G) ∪ {v} tập đỉnh cô lập Xét (G, k) liệu đầu vào toán Clique Editing, cho trước số nguyên dương c Ta đến với quy tắc Quy tắc Ta xét duyệt đỉnh G Với đỉnh v G, ta duyệt tập N ⊂ V (G) không chứa v ≤ |N | ≤ c − Ứng với tập N ta thực hoạt động chỉnh sửa cặp đỉnh (v, v ) với (v ∈ N ), sau thực |N | chỉnh sửa thế, ta đồ thị G1 , tiếp tục "xây dựng từ lân cận" v G1 ta đồ thị G2 , hoạt động "xây dựng từ lân cận" có độ phức tạp khơng vượt k ta dừng việc xét duyệt cho kết YES (bài tốn giải), cịn độ phức tạp vượt k việc xét duyệt tiến hành tiếp Nếu toàn bước xét duyệt khơng có trường hợp cho kết YES ta đến quy tắc Mệnh đề 3.2.2 Thời gian thực quy tắc O(mnc ), V (G) = n, E(G) = m 44 Chứng minh Với v, số tập hợp N có p phần tử (n−1 p ), cho p chạy từ đến c − ta tổng số chỉnh sửa: c−1 p(n−1 p ) p=1 Mà đồ thị G có n đỉnh nên số trường hợp chỉnh sửa tối đa c−1 c p(n−1 p ) = O(n ) n p=1 Theo mệnh đề (3.2.1), lần "xây dựng từ lân cận" tốn thời gian o(m) Hơn G có n đỉnh tổng độ phức tạp quy tắc o(mnc ) Xây dựng quy tắc Giả sử sau thực quy tắc mà ta chưa tìm thấy nghiệm (tức khơng có trường hợp xét duyệt cho kết "YES") Thì đó, muốn chỉnh sửa đồ thị G thành nghiệm G0 mong muốn (Clique C tập đỉnh lập I) đỉnh G nằm C phải thực khơng c chỉnh sửa (nghĩa với đỉnh v ∈ C, tồn tập N ⊂ V (G) \ {v}, |N | ≥ c, cho cặp đỉnh (v, v ), ∀v ∈ N có phép chỉnh sửa) Khi ta thực tiếp quy tắc sau: Quy tắc Với đỉnh v G mà có bậc nhỏ c ta bỏ tất cạnh liên thuộc với v thay số nguyên k thành k = k − deg(v), để liệu đầu vào (G , k ), v trở thành điểm cô lập G hoạt động chỉnh sửa sau G khơng liên quan đến v, lúc ta xem G có tập đỉnh, tập cạnh V (G ) = V (G) \ {v ∈ V (G) | deg(v) < c} E(G ) = E(G) \ {{v, v } ∈ E(G) | deg(v) < c} Mệnh đề 3.2.3 (G , k ) thỏa mãn toán Clique Editing (G, k) thỏa mãn toán Clique Editing 45 Chứng minh Giả sử G có đỉnh v thỏa mãn degG (v) < c Bây giả sử (G , k ) thỏa mãn tốn Clique Editing, tức chỉnh sửa G thành nghiệm G0 tối đa k = k − degG (v) phép chỉnh sửa Khi ta thực chỉnh sửa G cách bỏ cạnh liên thuộc với v, sau chỉnh sửa phần đồ thị G[V (G) \ {v}] cách mà chỉnh sửa từ G thành G0 , lúc số chỉnh sửa tối đa degG (v) + (k − degG (v)) = k Như (G, k) thỏa mãn toán Clique Editing Giả sử (G, k) thỏa mãn toán Clique Editing, tức chỉnh sửa G thành nghiệm G0 tối đa k phép chỉnh sửa Gọi δv số chỉnh sửa đồ thị G đỉnh v để tạo thành G0 Có trường hợp, v có khơng c chỉnh sửa để tạo tập lân cận không rỗng, v có số chỉnh sửa để tạo thành đỉnh cô lập v G0 Cho nên ta giả sử hoạt động chỉnh sửa G thành G0 bao gồm việc xóa hết tất cạnh liên thuộc với v, hoạt động chỉnh sửa cịn lại G ta làm G Lúc số chỉnh sửa tối đa G k − degG (v) Như (G , k ) thỏa mãn toán Clique Editing Thời gian thực quy tắc O(m) Xây dựng quy tắc Chúng ta thấy sau thực quy tắc liệu đầu vào (G , k ) có kết tương đương với liệu đầu vào (G, k) lúc ban đầu Trong G đồ thị G, muốn chỉnh sửa G thành nghiệm đỉnh G thực tối thiểu c phép chỉnh sửa Như ta thực tiếp quy tắc đầu vào (G , k ) Quy tắc Nếu đồ thị G có nhiều 2k c đỉnh (G , k ) khơng thỏa mãn 46 tốn Clique Editing, nghĩa khơng thể chỉnh sửa G thành nghiệm với tối đa k phép chỉnh sửa Lúc toán Clique Editing với đầu vào (G, k) trả lời NO Mệnh đề 3.2.4 Quy tắc Chứng minh Giả sử chỉnh sửa G thành nghiệm G0 tối đa k phép chỉnh sửa Trong q trình chỉnh sửa đó, gọi δv số chỉnh sửa định v ∈ V (G ), gọi t tổng số chỉnh sửa G Khi ta có 2k ≥ 2t = δv ≥ V (G ).c v∈V (G ) Suy V (G ) ≤ 2k c Kết luận: Nếu (G, k) biến đổi thông qua quy tắc 1, quy tắc để 2k (G , k ) thỏa mãn điều kiện V (G ) ≤ , ta dễ thấy rằng: c + Thuật toán để biến đổi (G, k) thành (G , k ) O(nc+2 ) + k ≤ k n ≤ 2k + k c + (G, k) thỏa mãn toán Clique Editing (G , k ) thỏa mãn toán Clique Editing Như ta nói (G , k ) lúc Kernel (G, k) Định nghĩa 3.2.4 Việc thực quy tắc 1, quy tắc 2, quy tắc gọi "thuật tốn nhân tử hóa" cho tốn Clique Editing liện đầu vào (G, k) số nguyên dương c 47 3.3 Thuật toán FPT cho toán Clique Editing 3.3.1 Thuật toán Xét liệu đầu vào (G, k) toán Clique Editing Bước Thực thuật tốn nhân tử hóa cho (G, k) với c = Nếu trước kết thúc quy tắc mà thuật toán dừng tốn Clique Editing đầu vào (G, k) giải quyết, ta khơng cần thực bước sau Ngược lại thuật toán nhân tử hóa chạy tạo nhân tử (G , k ) với |VG | ≤ 2k/2 = k, k ≤ k Bước Thực thuật toán nhân tử hóa cho (G , k ) với c = k/log(k) Nếu trước kết thúc quy tắc mà thuật tốn dừng tốn Clique Editing đầu vào (G, k) giải quyết, ta khơng cần thực bước sau Ngược lại, thuật toán chạy tạo nhân tử (G , k ), với |VG | ≤ √ 2k ≤ √ 2k = 2k.log(k) k/log(k) k/log(k) Bước Từ nhân tử (G , k ) ta thực việc xét duyệt hết tất tập VG để tìm nghiệm Thuật tốn dừng cho kết YES tìm nghiệm, ngược lại trả lời NO 3.3.2 Độ phức tạp Bước thưc với thời gian tối đa n4 √ k/log(k) Bước |EG | ≤ √ thực √ với thời gian√tối đa |VG | k k/log(k) k = k/log(k).log(k) k = 2O( k.log(k)) √ O( k.log(k)) |VG | Bước thực thời gian =2 Do tổng thời gian tối đa mà thuật toán thực là: √ O(1) O( k.log(k)) n +2 Mệnh đề 3.3.1 Bài toán Clique Editing toán thuộc lớp FPT 48 Trong câu hỏi "P = N P ?" chưa có trả lời thuật tốn FPT có vai trị quan trọng khoa học tính tốn Trong thực tế, ta thường chọn lớp√ đồ thị đầu vào gần hoàn chỉnh so với mong muốn, thời gian nO(1) + 2O( k.log(k)) tốt nhiều so với hàm mũ hàm lớn đa thức biến n Luận văn có phần là: tìm hiểu tốn Clique Editing tính NP-đầy đủ nó, lớp FPT toán Clique Editing thuộc lớp FPT Việc chứng minh toán Clique Editing tương đối phức tạp, thơng qua tốn BCBS đồ thị phía trình bày chương Còn việc sử dụng phương pháp nhân tử hóa xây dựng thuật tốn FPT cho tốn Clique Editing việc tinh vi phức tạp Ở luận văn mong muốn xây dựng nghiệm đồ thị bao gồm Clique từ đồ thị ban đầu Từ đó, câu hỏi đặt hoàn toàn tự nhiên liệu nghiệm đồ thị bao gồm 2,3 Clique sao? Sự thật tốn Clique thuộc lớp FPT (điều chứng minh cách khơng lâu) Do hồn tồn tin tốn 3, 4, Clique thuộc lớp FPT 49 KẾT LUẬN Trong luận văn "Độ phức tạp toán biến đổi đồ thị đồ thị đầy đủ", trình bày số vấn đề sau: Trình bày sơ lược độ phức tạp thuật tốn khái niệm lớp P, NP Trình bày phép quy dẫn lớp NP-khó, NP-đầy đủ Sau nêu số tốn nằm lớp NP-đầy đủ, đặc biệt toán liên quan đến toán Clique, Biclique Giới thiệu tốn chỉnh sửa nói chung, tốn Clique Editing nói riêng Trình bày số tính chất xung quanh tốn Clique Editing đồ thị phía Đồng thời chứng minh toán Clique Editing đồ thị phía đồ thị tổng quát NP-đầy đủ Bài toán Clique Editing đồ thị phẳng thuộc lớp P Giới thiệu thuật toán FPT xây dựng thuật toán FPT cho tốn Clique Editing Trình bày cụ thể thuật tốn FPT với kỹ thuật tinh tế với phương pháp nhân tử hóa hữu hiệu Đóng góp: phương pháp nhân tử hóa, thuật tốn FPT mẻ với học viên Tốn chúng tơi Trong luận văn này, chứng minh có nhiều việc phân tích kỹ cấu trúc đồ thị việc xây dựng thuật toán tinh vi phức tạp 50 Bài báo "Editing Graphs into Few Cliques: Complexity, Approximation, and Kernelization Schemes" mà tham khảo viết vắn tắt cô đọng Chúng trình bày lại có hệ thống thuật tốn FPT, phương pháp nhân tử hóa, quy tắc, chi tiết bé thuật tốn, phân tích độ phức tạp thuật tốn Luận văn xem tài liệu kỹ toán Clique Clique Editing 51 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Ngô Đắc Tân, Lý thuyết Tổ hợp Đồ thị, Viện Toán học, Hà Nội, 2003 Tài liệu Tiếng Anh [2] David S Johnson, The NP-Completeness Column: An Ongoing Guide, Journal of Algorithms 8(3), 438–448, 1987 [3] Falk Hă uffner, Christian Komusiewicz, Andrộ Nichterlein, Editing Graphs into Few Cliques: Complexity, Approximation, and Kernelization Schemes, F Dehne et al (Eds.): WADS 2015, LNCS 9214, pp 410–421, 2015 [4] Ivan Kováˇc, Ivana Seleˇcéniová, Monika Steinová, On the Clique Editing Problem, MFCS 2014: Mathematical Foundations of Computer Science, pp 469-480, 2014 [5] Richard Karp, Reducibility Among Combinatorial Problems, New York: Plenum pp 85–103, 1972 [6] Stephen Cook, The complexity of theorem proving procedures, Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing pp 151–158, 1971 [7] Thomas H Cormen, Charles E Leiserson, Ronald L Rivest, Clifford Stein, Introduction to Algorithms, The MIT Press, 2001 ... - Trần Quang ĐỘ PHỨC TẠP CỦA BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ VỀ ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS.TSKH Phan Thị Hà Dương Hà... g−2 Đồ thị đầy đủ, đồ thị bù, đồ thị hai phía Định nghĩa 1.1.13 Đồ thị G = (V, E) gọi đồ thị đầy đủ cặp đỉnh phân biệt V kề Với số nguyên dương n, đồ thị đầy đủ n đỉnh kí hiệu Kn 13 Hình 1.6: Đồ. .. luận văn "Độ phức tạp toán biến đổi đồ thị đồ thị đầy đủ" , tơi trình bày số vấn đề sau: Trình bày sơ lược độ phức tạp thuật tốn khái niệm lớp P, NP Trình bày phép quy dẫn lớp NP-khó, NP -đầy đủ