BÀI TẬP HÌNH HỌC 9 CUỐI NĂM đợt 3 1. Cho điểm A nằm ngoài (O,R) & OA =2R .Vẽ 2 tiếp tuyến AM, AN với (O), kẻ đường kính NB,gọi H là giao điểm MN & OA, C là giao điểm AB & (O). CMR: a. OA song song BM b. AM 2 =AN 2 =AB.AC c. OBCH nội tiếp d. Tính S(OCA) theo R HD: Kẻ OK ⊥ AB, ONA là nửa đều AN=ON. 3 =R 3 , AB 2 =AN 2 +BN 2 =7R 2 AB=R 7 ,AC =AN 2 :AB=3R 2 : R 7 =3R 7 /7 CN=(AN.BN):AB= (R 3 .2R): R 7 =2R 21 /7, OK=CN:2= R 21 /7 S(COA)=(OK.AC):2= 14 33 2 1 . 7 73 . 7 21 2 RRR = 2. Cho (O,R),OA=3R, 2 tiếp tuyến AB&AC.Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại I &K(I nằm Giữa A & K,đường thẳng qua A không đi qua tâm O). CMR: a. OA⊥BC b. AB 2 =AI.AK c. Gọi H là giao điểm BC & OA. CM rằng OHIK nội tiếp d. Biết IK= R. Tính AI theo R HD: AB 2 =OA 2 – OB 2 =8R 2 , AB 2 =AI.AK =AI(AI+IK) =AI 2 +AI.IK 8R 2 =AI 2 + AI.R x 2 + Rx – 8R 2 = 0 (với AI= x)AI= 2 33 RR − 3. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn & góc BAC= 60 0 nội tiếp (O,R). Tiếp tyuến tại A cắt BC tại M, tia phân giác góc BAC cắt BC và (O) tại D và E. CM rằng: a. Tam giác BEC cân b. AM 2 = MC.MB c. AM =MD d. Biết AM = 2R , tính S( BOC) theo R HD: Kẻ OH ⊥ BC, OH= R/2, BC= 3R AM 2 =MC.MB= MC(MC+BC) =MC 2 +MC.BC x 2 +Rx 3 - 4R 2 =0 x= MC= ( ) 2 319 − R BM=BC+MC= ( ) 2 319 + R S(BOC)= ( ) ( ) 4 319 2 1 . 2 319 . 22 . 2 + = + = RRRBMOH 4. Cho (O,R) & S ngoài (O), Vẽ 2 tiếp tuyến SA, SB, vẽ đường thẳng a đi qua S và cắt (O) tại M, N(M nằm giữa S, N, đ /thẳng a không đi qua O). a. Chứng minh SO ⊥ AB b. Gọi H là giao điểm của SO, AB. I là trung điểm MN, OI & AB cắt nhau tại E. Chứng minh HISE là nội tiếp c. Chứng minh OI.OE = R 2 d. Biết SO = 2R & MN =R 3 . Tính S( ESM) theo R. HD: c. OHE ~ OISOI.OE = OH.OS, OA 2 =OH.OS MN= R 3 MN là cạnh t/g đều nội tiếp (O,R) trung đoạn OI= R/2 OI.OE =R 2 OE=R 2 :OI =2R IE= OE – Oi = 2R – R/2 =3R/2 SA= 34 2222 RRROASO =−=− , chứng minh được SA 2 = SM.SN SA 2 = SM(SM + MN) x 2 +Rx 3 - 3R 2 = 0 SM = ( ) 2 315 − R S(ESM)=(IE.MS):2 = ( ) ( ) 8 3153 2 1 . 2 315 . 2 3 2 − = − RRR 5. Cho (O,R) và OA= 2R, vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC. Trên BC lấy điểm I (I không trùng với trung điểm của BC), đường thẳng vuông góc với BC tại I cắt AB và AC tại M và N. CM rằng: a. Các tứ giác OICN, OIBM nội tiếp được. b. OM = ON c. 4 điểm O,M,A,N cùng thuộc 1 đường tròn d. Trên đường thẳng AB lấy điểm E sao cho góc EIN = 60 0 . C/m: BE.CN < 4 2 BC HD:câu d: C/m 2 BIE & CNI đ/dạng BE.CN = IB.IC (1) (IB –IC) 2 >0 (vì IB ≠ IC) IB 2 – 2IB.IC + IC 2 >0 (IB+IC) 2 > 4IB.IC IB.IC < 4 2 BC (2), từ (1) & (2) điều CM 6. Cho (O,R) và góc AOB= 120 0 , Hai tiếp tuyến tại A và B giao nhau tại M, trên cung nhỏ AB lấy điểm C, tiếp tuyến tại C cắt MA và MB tại D và E. OD và OE cắt AB tại I và K. Chứng minh rằng; a. Tam giác MAB đều b. Chu vi DME = 32R c. Tinh số đo góc DOE d. Gọi H là giao điểm của OC và IE. C/m: 3 điểm D, H, K thẳng hàng. 7. Cho (O,R) và A nằm ngoài (O) sao cho OA = 3R. Vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O), kẻ dây cung BD //AC , AD cắt (O) tại E. C/m rằng: a. Tứ giác OBAC nội tiếp và OA vuông góc BC b. AB 2 = AE.AD c. CE cắt AB tại M. C/m: EM là phân giác của góc ABE d. Tính diện tích ABD theo R. HD: c. C/m 2 tam giác EBC vàECA đ/ dạng AEMMEBCEACEB ˆˆˆˆ =→= d. Kéo dài CO cắt BD tại H CH ⊥ BD H là t/điểm BD BCD cân 2 BCD và BAC đ/dạng BD/BC=BC/AB Gọi I là g/điểm AOvà BC. Tính AB= 22R , BI= 3 22R BC= 3 24R BD= 9 28R Hai t/giác CHB, ACO đ/dạng CH= 81 2208 9 16 . 2 1 ).22 9 28 (. 2 )( 9 16 2 RR R R CH ACBD ABDCS R =+= + =⇒ 8. Cho nửa (O,R) đk AB , C là trung điểm cung AB. Tia phân giác góc CAB cắt (O) và tiếp tuyến ở B tại D và E. Gọi M là giao điểm AC và BD, N là giao điểm AD và BC. C/m rằng: a. Các ABC, BNE cân b. Tứ giác AMEB nội tiếp c. Tính NC và NB theo R d. Cho P là điểm di động trên AB, dựng góc IPK= 45 0 (I, K thuộc các đường thẳng AC, BC) C/m: AI.BK ≤ R 2 , suy ra vò trí điểm P để tích AI.BK có giá trò nhỏ nhất HD: Hai t/giác AIP và BPK đ/dạng AI.BK = PA.PB ( ) ( ) PBPAPBPAPBPBPAPAPBPA .20.20 2 22 2 ≥+⇒≥+−⇒≥− )2(.)1(. 4 . 22 2 RBKAIRPBPA AB PBPA ≤⇒≤⇒≤⇒ Từ (1) & (2) AI.BK có giá trò nhỏ nhất khi PA=PB=R P trùng O 9. Cho (O,R) và OA=3R. vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O), gọi H là giao điểm của BC và OA, kẻ CM vuông góc AB và cắt AO tại E, kéo dài EM 1 đoạn MF = EM a. CM: các tứ giác ABOC, CHMA nội tiếp b. CM: OBEC là hình thoi c. Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh 4 điểm A, D, H, I cùng tuộc 1 đường tròn d. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ADH theo R HD: Câu c: MAHDAHDIH ˆ 2 ˆ ˆ == Câu d: CM được M là tâm đ/tròn nội tiếp t/giác AHD, kẻ MK ⊥ EA MK là bán kính đ/tròn tâm M nội tiếp t/giác ADH 3 2 2& 3 &22 2 22 R OHOE R OA OB OHROBOAAB =====−= AE= 9 214 3 1 .22. 3 7. & 3 7 R R R R OA ABAE AM OA AE AB AMR OEOA ===→==− Hai t/giác AKM & ABO đ/dạng MK= 27 214 3 1 . 9 214 . . R R R R OA MAOB ==