PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CHƯA HỌC PTĐT

Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?. Vậy có bảy mặt phẳng thỏa mãn... Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu... ba điểm lần lượt nằm trên các trục Ox Oy Oz, , khác gốc tọa

Câu 1: [2H3-3-3] (THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Trong không gian với hệ tọa

độ Oxyz, cho bốn điểm A0;0; 6 , B0;1; 8 , C1; 2; 5  và D4;3;8 Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?

A Có vô số mặt phẳng B 1 mặt phẳng C 7 mặt phẳng D 4 mặt

phẳng

Lời giải Chọn C

Ta có AB AC AD,  0, suy ra bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Gọi  P là mặt phẳng cách đều bốn điểm A, B, C, D

TH1: Có một điểm nằm khác phía với ba điểm còn lại so với  P Có bốn mặt phẳng thỏa mãn

TH2: Mỗi phía của mặt phẳng  P có hai điểm Có ba mặt phẳng thỏa mãn

Vậy có bảy mặt phẳng thỏa mãn

Câu 2: [2H3-3-3] (Chuyên Thái Bình – Lần 5 – 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz, cho điểm M1; 2;5 Số mặt phẳng   đi qua M và cắt các trục Ox, Oy,

Oz tại A, B, C sao cho OA OB OC (A, B, C không trùng với gốc tọa độ O

) là

Lời giải Chọn C

Câu 3: [2H3-3-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Trong không gian với hệ

trụcOxyz, cho hai điểm M1; 2;1; N1;0; 1  Có bao nhiêu mặt phẳng qua M ,

N cắt trục Ox, trục Oy lần lượt tại A, B AB sao cho AM  3BN

Lời giải Chọn B

Gọi nA B C; ; , A2B2C2 0 là vectơ pháp tuyến của mp P  thỏa yêu cầu bài toán

•mp P  qua N1;0; 1  nên phương trình mặt phẳng có dạng:





  



B A B A

Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu

Câu 4: [2H3-3-3] (THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng – 2018) Trong không gian Oxyz, cho

hai điểm A0;8;2, B9; 7;23  và mặt cầu  S có phương trình

    2  2 2

S x  y  z  Mặt phẳng  P :x by cz   d 0 đi qua điểm A và tiếp xúc với mặt cầu  S sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng  P

lớn nhất Giá trị của b c d  khi đó là

A b c d  2 B b c d  4 C b c d  3 D

1

b c d  

Lời giải Chọn C

Vậy Pmax 18 2 khi b c d  3

Câu 5: [2H3-3-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018) Trong không gian

với trục hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H1; 2;3 là trực tâm của ABC với A B C, , là

ba điểm lần lượt nằm trên các trục Ox Oy Oz, , (khác gốc tọa độ) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A B C, , là

Câu 6: [2H3-3-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018 - BTN) Trong không

gian với trục hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H1; 2;3 là trực tâm của ABC với A B C, ,

là ba điểm lần lượt nằm trên các trục Ox Oy Oz, , (khác gốc tọa độ) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A B C, , là

Câu 7: [2H3-3-3] (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Trong không

gian Oxyz, cho ba điểm A3;0;0, B1; 2;1 và C2; 1; 2  Biết mặt phẳng qua B

, C và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC có một vectơ pháp tuyến là 10; ;a b Tổng a b là:

Lời giải Chọn B

Gọi tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC là I x y z ; ; 

Nhận xét: hai điểm A và O nằm về cùng phía với   nên loại  

Hai điểm A và O nằm về khác phía   nên nhận  

Thấy ngay một vectơ pháp tuyến là 10; ;a b thì a3, b 1.Vậy a b 2

Câu 8: [2H3-3-3] (THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Trong không

gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A 1; 2;0, B0; 4;0 , C0;0; 3  Phương trình mặt phẳng  P nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?

A  P : 2x y 3z0 B  P : 6x3y5z0

C  P : 2x y 3z0 D  P : 6 x 3y4z0

Lời giải Chọn D

2

   Phương trình mặt phẳng  P qua O có vtpt n IO AO, 3

3; ; 22

  

  nên  P : 6x3y4z0

Câu 9: [2H3-3-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Lần 3 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không

gian Oxyz, cho tứ diện SABC có S0;0;1, A1; 0;1, B0;1;1; C0; 0; 2 Hỏi tứ diện SABC có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Lời giải Chọn D

Câu 10: [2H3-3-3] (Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong

không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho các điểm A0;1;1 , B 2; 1; 2 ,  C 5; 3;1  

Tìm toạ độ điểm E sao cho tứ giác ABCE theo thứ tự đó lập thành một hình thang cân với đáy AB, CE

A E3; 1; 0   B E1;3; 2   C E7;5; 2   D

1;1; 1 

Lời giải Chọn B

- Gọi mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB

Khi đó mặt phẳng (P) đi qua trung điểm 1; 0;3

Câu 11: [2H3-3-3] (ĐỀ ĐOÀN TRÍ DŨNG - HÀ HỮU HẢI - LẦN 7 - 2018) Trong

không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 2x2y  z 4 0 và

d     

 Tam giác ABC có A1; 2;1, các điểm B,

C nằm trên   và trọng tâm G nằm trên đường thẳng d Tọa độ trung điểm M

của BC là:

A M0;1; 2  B M2;1; 2 C M2; 1; 2   D

1; 1; 4

Câu 12: [2H3-3-3] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [2H3-3] Trong không

gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M1;1;1 Mặt phẳng  P đi qua M và cắt chiều dương của các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C thỏa mãn 2

OA OB Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC

Lời giải Chọn D

Giả sử A a ; 0; 0, B0; ; 0b , C0; 0;c với a b c, , 0 Khi đó mặt phẳng  P có dạng x y z 1

a  b c Vì  P đi qua M nên 1 1 1 1

a  b c Mặt khác OA2OB nên a2b nên 3 1 1

4b  c 3

92943

Câu 13: [2H3-3-3] (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Có bao nhiêu mặt phẳng đi

qua điểm M1;6; 4 và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C (khác gốc tọa độ) sao cho OA OB OC ?

Lời giải Chọn B

Vậy có 4 mặt phẳng   thỏa ycbt

Câu 14: [2H3-3-3] (THPT TRIỆU SƠN 2) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

 P : 2x y 2z 1 0và hai điểm A1; 2;3 ,B3; 2; 1 .Phương trình mặt phẳng

 Q qua A B, và vuông góc với  P là

A.  Q : 2x2y3z 7 0 B  Q : 2x2y3z 7 0

C  Q : 2x2y3z 9 0 D  Q :x2y3z 7 0

Lời giải Chọn A

2; 4; 4

AB  ; VTPT của  P là n2;1; 2 

VTPT của  Q là n Q AB n; 2; 2;3

Phương trình của mặt phẳng  Q : 2x2y3z 7 0

Câu 15: [2H3-3-3] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz, mặt phẳng  P đi qua hai điểm A0;1;0, B2;3;1 và vuông góc với mặt phẳng  Q :x2y z 0 phương trình là

A 4x 3y 2z  3 0 B. 4x 3y 2z  3 0

C x 2y 3z 11  0 D x 2y 3z  7 0

Lời giải Chọn B

2; 2;1

AB , vectơ pháp tuyến của  Q là n1; 2; 1 

Vậy  P có vectơ pháp tuyến là AB n,     4;3; 2

Phương trình mặt phẳng  P : 4 x 3y 1 2z0, hay  P : 4x3y2z 3 0

Câu 16: [2H3-3-3] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz, cho hai điểm A1; 1;5  và B0;0;1 Mặt phẳng  P chứa A , B và song

song với trục Oy có phương trình là

A 4x   y z 1 0 B 2x  z 5 0 C. 4x z  1 0 D

4 1 0

y z 

Lời giải Chọn C

Câu 17: [2H3-3-3] (THI THỬ CỤM 6 TP HỒ CHÍ MINH) Trong không gian với hệ tọa

độ Oxyz , mặt phẳng  P :ax by cz  270 qua hai điểm A3; 2;1, B3;5; 2

Câu 18: [2H3-3-3] (THPT AN LÃO) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương

trình mặt phẳng  P đi qua điểm A1;1;1 và B0; 2; 2 đồng thời cắt các tia Ox ,

Oy lần lượt tại 2 điểm M , N (không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho OM 2ON

A  P : 3x y 2z 6 0 B  P : 2x3y  z 4 0

C  P : 2x   y z 4 0 D.  P :x2y  z 2 0

Lời giải

   , do b c,  0 nên 1

2

b c Vậy M   a b 1

Câu 20: [2H3-3-3] (THPT HAI BÀ TRƯNG) Trong không gian Oxyz, cho điểm H1; 2;3

Mặt phẳng  P đi qua điểm H, cắt Ox Oy Oz, , tại A B C, , sao cho H là trực

tâm của tam giác ABC Phương trình của mặt phẳng  P là

A ( ) : 3P x y 2z110 B ( ) : 3P x2y z 100

C ( ) :P x3y2z130 D. ( ) :P x2y3z140.

Lời giải Chọn D

Do tứ diện OABC có ba cạnh OA OB OC, , đôi một vuông góc nên nếu H là trực

tâm của tam giác ABCdễ dàng chứng minh được OH ABC hay OH  P Vậy mặt phẳng  P đi qua điểm H1; 2;3 và có VTPT OH1; 2;3 nên phương trình  P là

x 1 2 y 2 3 z   3 0 x 2y3z140

Câu 21: [2H3-3-3] (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

hai điểm A0; 1; 0 , B1;1; 1  và mặt cầu   2 2 2

S x y z  x y z  Mặt phẳng  P đi qua A , B và cắt mặt cầu  S theo giao tuyến là đường tròn có

bán kính lớn nhất có phương trình là

A x2y3z 2 0 B. x2y3z 2 0 C x2y3z 6 0 D

2x  y 1 0

Lời giải Chọn B

Để  P cắt  S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì ( )P phải qua tâm I(1; 2;1) của  S

Ta có AI  (1; 1;1),BI (0; 3;2) n P AI BI, (1; 2; 3) 

     

1 x 1 2 y 2 3 z   1 0 x 2y3z 2 0

Câu 22: [2H3-3-3] (THPT Chuyên TĐN - TPHCM - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Viết

phương trình mặt phẳng  P song song với  Q :2x y 2z 4 0 và cách điểm

Mặt phẳng  P song song với  Q nên phương trình  P : 2x y 2z m 0

Câu 23: [2H3-3-3] (THPT Chuyên TĐN - TPHCM - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Trong

không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P và  Q lần lượt có phương trình là x  y z 0, x2y3z4 và điểm M1; 2;5  Tìm phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng  P ,

 Q

A 5x2y z 140 B x4y3z 6 0 C x4y3z 6 0 D

5x2y  z 4 0

Lời giải Chọn B

Vectơ pháp tuyến của  P là n11;1; 1 

Vectơ pháp tuyến của  Q là n2 1; 2;3 

Câu 24: [2H3-3-3] (THPT Chuyên TĐN - TPHCM - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Viết

phương trình mặt phẳng  P song song với mặt phẳng  Q : 2x y 2z 4 0 và cách điểm A1; 2;3 một khoảng bằng 2

2 6

D

    D4 (loại) hoặc D 8 (chọn)

Vậy  P : 2x y 2z 8 0

Câu 25: [2H3-3-3] (SGD Đà Nẵng - HKII - 2017 - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa

độ Oxyz, cho ba điểm M m ;0;0, N0; ;0n  và P0;0;p Với m, n, p là các

số dương thay đổi thỏa 1 1 1 3

m  n p Mặt phẳng MNP luôn đi qua điểm:

Câu 26: [2H3-3-3] (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN)

S x y  z x y z  , mặt phẳng   :x4y  z 11 0 Gọi  P

là mặt phẳng vuông góc với     , P song song với giá của vecto v1; 6; 2 và

 P tiếp xúc với  S Lập phương trình mặt phẳng  P

 S có tâm I1; 3; 2  và bán kính R4 Véc tơ pháp tuyến của   là

1; 4;1

n 

Suy ra VTPT của  P là n P n v,  2; 1; 2 

d d

Câu 27: [2H3-3-3] (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho các điểm A1;0;0, B0; 2; 0,

Ta thấy A, B, C lần lượt thuộc các trục tọa độ Ox, Oy, Oz Phương trình mặt

Bởi vậy, có 5 mặt phẳng phân biệt đi qua 3 trong 5 điểm O, A, B, C, D là

OAB, OBC, OAC, ABC vàOCD

Câu 28: [2H3-3-3] [NGUYỄN KHUYẾN TPHCM] [2017] Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, hai mặt phẳng 4x4y2z 7 0và 2x2y  z 1 0 chứa hai mặt của hình lập phương Thể tích khối lập phương đó là

Lời giải Chọn A

Theo bài ra hai mặt phẳng 4x4y2z 7 0và 2x2y  z 1 0 chứa hai mặt của hình lập phương Mà hai mặt phẳng ( ) : 4P x4y2z 7 0 và

( ) : 2Q x2y  z 1 0 song song với nhau nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng

sẽ bằng cạnh của hình lập phương

Giả sử mặt phẳng ( ) cần tìm cắt Ox Oy Oz, , lần lượt tại

(3)(4)

Thay (1) vào (*) ta có phương trình vô nghiệm

Câu 30: [2H3-3-3] [LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM] [2017]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

cho điểm E(8;1;1).Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua E và cắt nửa trục dương

Cách 1 :

Giả sử mặt phẳng ( ) cắt các trục tọa độ tại các điểm khác gốc tọa độ là

Câu 32: [2H3-3-3] [LƯƠNG TÂM] [2017] Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua

điểm M  1;2;3  và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B, C sao cho thể tích

M(1;2;3) thuộc (ABC): 1 2 3

1

a  b c Thể tích tứ diện OABC: 1

Câu 33: [2H3-3-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần 6 – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, biết mặt phẳng  P :ax by cz   d 0 với c0 đi qua hai điểm A0;1;0, B1;0;0 và tạo với mặt phẳng yOz một góc 60 Khi đó giá trị a b c  thuộc

khoảng nào dưới đây?

A  0;3 B  3;5 C  5;8 D 8;11

Lời giải Chọn A

Măt phẳng yOz có vectơ pháp tuyến là i1; 0; 0

Câu 34: [2H3-3-3] (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không

gian Oxyz, mặt phẳng   đi qua M1;1; 4 cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A

,B,C phân biệt sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất Tính thể tích nhỏ nhất

đó

36

Lời giải Chọn B

Dấu bằng xảy ra khi a b 3;c12

Vậy tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất bằng 1.108 18

Câu 35: [2H3-3-3] (SGD Bình Dương - HK 2 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với

hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm S1; 6; 2, A0; 0; 6, B0;3;0, C2;0;0 Gọi H là chân đường cao vẽ từ S của tứ diện S ABC Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, H là

A x   y z 3 0 B x   y z 3 0

C x5y7z150 D 7x5y4z150

Lời giải Chọn C

Câu 36: [2H3-3-3] (SGD - Quảng Nam - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với

hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;1; 0, B0; 1; 2  Biết rằng có hai mặt phẳng cùng đi qua hai điểm A, O và cùng cách B một khoảng bằng 3 Véctơ nào trong các véctơ dưới đây là một véctơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó

A n1; 1; 1   B n1; 1; 3   C n1; 1;5  D

1; 1; 5

n  

Lời giải Chọn C

Phương trình đường thẳng qua hai điểm A, O có dạng 0

00

x t

x y

y t

z z

m n

m n

Câu 37: [2H3-3-3] (SGD - Quảng Nam - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với

hệ tọa độ Oxy, cho mặt phẳng  P : 2y  z 3 0 và điểm A2; 0; 0 Mặt phẳng

  đi qua A, vuông góc với  P , cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 4

Giả sử B0; ; 0b  và C0; 0;c, với b, c0

Câu 38: [2H3-3-3] (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Trong không gian với hệ tọa

độ Oxyz,cho điểm M3; 2;1 Mặt phẳng  P đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox

, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng  P

A 3x2y z 140 B 2x y 3z 9 0 C 3x2y z 140 D

2x   y z 9 0

Lời giải Chọn A