GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Câu 1: [1D4-1-3] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần – Năm 2018) Giới hạn lim A 12  22  32  42   n có giá trị bằng? n  2n  B C D Lời giải Chọn D n  n  1 2n  1 n  n  1 2n  1 Ta có kết quen thuộc 12  22  32   n  Do lim 12  22  32  42   n  lim n  2n  n  2n    1   1     1.2 n  n  lim    7  1     n n  n 1 Câu 2: [1D4-1-3] [THTT – 477 – 2017] Giá trị lim n  A 1  1 e x dx n C e B D Lời giải Chọn D n 1 Ta có: I   1 e x dx n Đặt t   e x  dt  e x dx Đổi cận: Khi x  n  t   en ; x  n   t   e n1 1 en1 Khi đó: I   1 en dt  t  t  1 1 en1  1 en 1 en1  en  1   dt   ln t   ln t  n   ln  1 e  en1  t 1 t  n Mà  en  e n 1 1   1 1 e   n  n   , Do đó, lim I   ln  n  e e 1  e   e n cos 2n   Câu 3: [1D4-1-3] Kết lim    là: n 1   A C –4 B Lời giải Chọn B D ta có  Với n n n cos 2n n   n 1 n 1 n 1 1  n n    lim n  Ta có lim     lim n  ; lim 1 n   n 1  1 1 n n n cos 2n   n cos 2n    lim     lim    5 n 1   n 1   n   Câu 4: [1D4-1-3] Kết lim  n2 sin  2n3  bằng:   A  B C 2 Lời giải D  Chọn D n   sin  n  3     lim  n sin  2n   lim n      n    n   sin   Vì lim n  ; lim     2   n    n n   sin   ; lim   lim    2   n n n  n    sin Câu 5: [1D4-1-3] Cho dãy số un với un   n  1 là: A  2n  Chọn kết lim un n  n2  B C Lời giải Chọn B Ta có: lim un  lim  n  1  n  1  2n    lim  lim n4  n2  2n  2n  2n  n4  n2  2n  n  n2  4 D  2 2  2 3  lim n n n n  1 1  n n  u1  Câu 6: [1D4-1-3] Cho dãy số có giới hạn (un) xác định :  Tìm kết un 1  , n   un  lim un A C 1 B D Lời giải Chọn B Ta có: u1  ; u2  ; u3  ; u4  ; u5  ; Dự đoán un  n với n  n 1 * Dễ dàng chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp Từ lim un  lim Câu 7: [1D4-1-3] lim A n  lim  1 n 1 1 n 4n  2n1 bằng: 3n  4n B C Lời giải Chọn B Ta có: lim 4n  2n1 3n  4n n 1    2   lim n 3   4 4 n n 1 3 Vì lim    0; lim    2 4 Câu 8: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim      2n  1 3n  D  A B C D Lời giải Chọn B Ta có: lim      2n  1 n2 1  lim  lim  2 3n  3n  3 n  1  Câu 9: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim      n  n  1  1.2 2.3 A B C có giới hạn Lời giải Chọn B 1    Đặt: A  1.2 2.3 n  n  1 D Không 1 1 1 n         1  2 n n 1 n 1 n 1  1  n  lim      lim 1   lim n  n  1  n 1 1.2 2.3 1 n   1   Câu 10: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim    n  2n  1  1.3 3.5 A B C Lời giải Chọn B Đặt: A 1    1.3 3.5 n  2n  1  2A  2    1.3 3.5 n  2n  1 1 1 1  A          3 5 n 2n  1 2n  2A  1  2n  2n  n  A 2n  D   1 n 1    lim  Nên lim     lim n  2n  1  2n  1.3 3.5 2 n   1 Câu 11: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim      n  n  2  1.3 2.4 A B C Lời giải Chọn A D    1 1 2 Ta có: lim         lim    n  n  2  1.3 2.4 n n  2  1.3 2.4 1 1 1 1   lim 1         2 n n2 1 1   lim 1    2 n2  1  Câu 12: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim     n(n  3)  1.4 2.5 11 A B C 18 Lời giải Chọn A Cách 1: D  1  1  1 1 1 1  lim      lim  1             n(n  3)  n n   3  1.4 2.5 1  1 1   lim  1         n  n  n    1 11 3n  12n  11  11  lim   18   n  1 n   n  3  18 Cách 2: Bấm máy tính sau: 100  x  x  3 so đáp án (có thể thay 100 số nhỏ lớn hơn)   1   Câu 13: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim 1  1   1        n   A B C D Lời giải Chọn B Cách 1:   1            lim 1  1   1     lim 1  1  1  1   1  1        n         n  n   n 1  n  n  1  lim   lim   n n  n 2 3 Cách 2: Bấm máy tính sau: 100   so đáp án (có thể thay 100 số    1  x nhỏ lớn hơn) an  bằng: n! B  Lời giải Câu 14: [1D4-1-3] Giá trị lim A  C D Chọn C Gọi m số tự nhiên thỏa: m   a Khi với n  m  m a  a  an a a a a a Ta có:      n ! m m  n m !  m    a  Mà lim    m1   n m n m an  Từ suy ra: lim  n! Câu 15: [1D4-1-3] Giá trị lim n a với a  bằng: A  B  Lời giải C D Chọn D Nếu a  ta có đpcm  Giả sử a  Khi đó: a  1    n  n a    n   n a 1  Suy ra:  n a   a  nên lim n a  n  Với  a  1   lim n   lim n a  a a Tóm lại ta ln có: lim n a  với a  Câu 16: [1D4-1-3] Giá trị D  lim ak nk   a1n  a0 bp np   b1n  b0 (Trong k , p số nguyên dương; ak bp  ) bằng: A  B  C Đáp án khác D Lời giải Chọn C Ta xét ba trường hợp sau k  k  p Chia tử mẫu cho n ta có: D  lim ak  a   0k  if a b  k p n n   bp  if a b  b0 k p     k n np  k ak  ak  a   0k a k n n  k  k  p Chia tử mẫu cho n ta có: D  lim b0 bk bk   k n ak a   0p pk p n 0  k  p Chia tử mẫu cho n : D  lim n b0 bp   p n ak  A    Câu 17: [1D4-1-3] Giá trị N  lim 4n2   8n3  n bằng: B  C D Lời giải Chọn C   4n2   2n  lim Ta có: N  lim Mà: lim lim    4n2   2n  lim   8n2  n  2n  lim 3 n3  n  n 4n2   2n n  0 (8n2  n)2  2n 8n2  n  4n2 0 Vậy N  Câu 18: [1D4-1-3] Giá trị K  lim A    n3  n2   4n2  n   5n bằng: B  C  Lời giải Chọn C 12 D Ta có: K  lim Mà: lim    n3  n2   n  lim  n3  n   n  Do đó: K  ; lim  n2  n   n   4n2  n   2n     12 n Câu 19: [1D4-1-3] Giá trị B  lim A  n! n  2n bằng: B  C D Lời giải Chọn C n Ta có: Câu n! n  2n  n nn n  2n n  n  2n 0 B  20: [1D4-1-3] Tính giới hạn 1 : un     1 2 ( n  1) n  n n  A  B  C dãy D Lời giải Chọn D Ta có: ( k  1) k  k k  Suy un   n1  k  k 1  lim un  (n  1) 13  23   n3 Câu 21: [1D4-1-3] Tính giới hạn dãy số un  : 3n3  n  A  B  C Lời giải Chọn C  n(n  1)  Ta có:    n      Suy un  3 n(n  1)2  lim un  3(3n  n  2) D số Câu 22: [1D4-1-3] Tính giới hạn dãy số un  (1  Tn  1 )(1  ) (1  ) T1 T2 Tn n(n  1) : A  B  C D Lời giải Chọn C Ta có:  ( k  1)( k  2)  1  Tk k( k  1) k( k  1) n2 Suy un   lim un  n 3  3  n3  Câu 23: [1D4-1-3] Tính giới hạn dãy số un  :  3  n3  A  B  C Lời giải D Chọn C Ta có k3  ( k  1)( k  k  1)  k  ( k  1)[( k  1)2  ( k  1)  1] n2  n   lim un  Suy  un  (n  1)n 2k  : 2k k 1 C Lời giải n Câu 24: [1D4-1-3] Tính giới hạn dãy số un   A  B  D Chọn C 1 1 1  2n  Ta có: un  un       n1   n1 2 2 2  2n   un   n1  lim un  2 Câu 25: [1D4-1-3] Tính giới hạn dãy số un  q  2q   nqn với q  : A  q 1  q  B  C q 1  q  D Lời giải Chọn C Ta có: un  qun  q  q2  q   qn  nqn1  (1  q)un  q q  qn  nq n1 Suy lim un  1 q  q   n n : k 1 n  k C Lời giải Câu 26: [1D4-1-3] Tính giới hạn dãy số un   A  B  D Chọn D n n n 1  un  n   un   n n n 1 n 1 n 1 n  un     lim un  n 1 Ta có: n Câu 27: [1D4-1-3] Tính giới hạn dãy số B  lim A  n6  n   n4  2n  : (2n  3)2 B  C D 3 Lời giải Chọn D Chia tử mẫu cho n ta có được: B  lim 1 1   1  n n n n  1   4  3   n   Câu 28: [1D4-1-3] Tính giới hạn dãy số D  lim A    n2  n   n3  n2   n : C  B  D Lời giải Chọn C Ta có: D  lim Mà: lim    n2  n   n  lim  n3  n2   n  1 n n2  n   n  lim  lim  2 1 n n1 n 1  1 n n  n1 1 lim   n3  n2   n  lim 1  lim (n3  n2  1)2  n n3  n2   n2 n2   1  1   n  n6    n  n    Vậy D  Câu 29: n2  1   [1D4-1-3] Cho số thực I  lim thỏa a, b a  1; b  Tìm giới hạn  a  a   a n  b  b   b n A  B  C 1 b 1 a D Lời giải Chọn C Ta có 1, a, a , , a n cấp số nhân với công bội a nên:  a n 1  a  a   a  1 a Tương tự,  b  b   b n  n  b n 1 1 b  a n 1 1 b Suy lim I  lim  an 1  ( Vì a  1, b   lim a n 1  lim b n 1  ) 1 b 1 a 1 b Câu 30: [1D4-1-3] Cho dãy số ( xn ) xác định x1  , xn 1  xn2  xn ,n  1    Đặt Sn  Tính lim S n x1  x2  xn  A  B  C Lời giải Chọn C Từ công thức truy hồi ta có: xn 1  xn , n  1, 2, Nên dãy ( xn ) dãy số tăng Giả sử dãy ( xn ) dãy bị chặn trên, tồn lim xn  x Với x nghiệm phương trình: x  x2  x  x   x1 (vô lí) Do dãy ( xn ) khơng bị chặn, hay lim xn   D 1 1    xn1 xn ( xn  1) xn xn  Mặt khác: Suy ra: 1   xn  xn xn1 Dẫn tới: Sn  1 1   2  lim Sn   lim  x1 xn1 xn1 xn1 n Câu 31: [1D4-1-3] Tìm lim un biết un   k 1 B  A  n2  k C D Lời giải Chọn D Ta có: Mà lim n n n n2  n   n k  lim n n2  1 n 1 , k  1, 2, , n Suy n n n  un  n n2   nên suy lim un  n cos 2n   Câu 32: [1D4-1-3] Kết lim    là: n 1   A C –4 B D D Lời giải Chọn B  n n cos 2n n   n 1 n 1 n 1 Ta có lim  n n 1  lim  0  ; lim  2 n 1 n 1 n 11 / n n cos 2n   n cos 2n    lim     lim    5 n 1   n 1     1   Câu 33: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim 1  1   1        n   1 A B C Lời giải Chọn B Cách 1:   1            lim 1  1   1     lim 1  1  1  1   1  1        n         n  n   n 1  n  n  1  lim   lim   n n n  2 3 Cách 2: Bấm máy tính sau: 100  1 so đáp án (có thể thay 100 số    1  x nhỏ lớn hơn) Câu 34: [1D4-1-3] Chọn kết lim  n2  1   n 2n B A C D Lời giải Chọn C 1 n2  1 n   310  lim   n  lim  2n 3 n  n BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ Câu 35: [1D4-1-3] Cho dãy số  un  với un  số sau: A B n u n1  Chọn giá trị lim un n un C D Lời giải Chọn C Chứng minh phương pháp quy nạp toán học ta có n  2n , n  n n n 1 Nên ta có: n   n   n n  n  n    2 2 2 n n n n 1 1 Suy ra:  un    , mà lim     lim un  2 2 n cos 2n   Câu 36: [1D4-1-3] Kết lim    là: n 1   A B C –4 D Lời giải Chọn B ta có  Với n n n cos 2n n   n 1 n 1 n 1 1  n n    lim n  Ta có lim     lim n  ; lim 1 n   n 1  1 1 n n n cos 2n   n cos 2n    lim     lim    5 n 1   n 1   n   Câu 37: [1D4-1-3] Kết lim  n2 sin  2n3  bằng:   A  B C 2 Lời giải D  Chọn C n   sin   n  3 lim  n sin  2n   lim n         n    n   sin     2  Vì lim n3  ; lim    n    n n   sin   ; lim   lim    2   n n n  n    sin Câu 38: [1D4-1-3] Cho dãy số un với un   n  1 2n  Chọn kết n  n2  lim un là: A  B C Lời giải Chọn B Ta có: lim un  lim  n  1  n  1  2n  2  lim n4  n2  2n  n  n2  D  2n  2n  2n  n4  n2  2 2  2 3  lim n n n n  1 1  n n  lim Câu 39: [1D4-1-3] Cho dãy số có giới hạn  un   u1  xác định :  Tìm kết un 1  , n   un  lim un A C 1 B D Lời giải Chọn B Ta có: u1  ; u2  ; u3  ; u4  ; u5  ; Dự đoán un  n với n  n 1 * Dễ dàng chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp Từ lim un  lim Câu 40: [1D4-1-3] lim A n  lim  1 n 1 1 n 4n  2n1 bằng: 3n  4n B C Lời giải Chọn B Ta có: lim 4n  2n1 3n  4n n 1    2   lim n 3   4 4 n n 1 3 Vì lim    0; lim    2 4 D       2n  1 3n  B C 3 Lời giải Câu 41: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim A D Chọn B      2n  1 n2 1  lim  lim  Ta có: lim 3n  3n  3 n  1  Câu 42: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim      1.2 2.3 n n      A B C có giới hạn Lời giải Chọn B 1    Đặt: A  1.2 2.3 n  n  1 D Không 1 1 1 n         1  2 n n 1 n 1 n 1  1  n  lim      lim 1   lim n  n  1  n 1 1.2 2.3 1 n   1   Câu 43: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim    n  2n  1  1.3 3.5 A B C Lời giải Chọn B Đặt: D A 1    1.3 3.5 n  2n  1  2A  2    1.3 3.5 n  2n  1 1 1 1  A          3 5 n 2n  1 2n  2A  1  2n  2n  n  A 2n    1 n 1    lim  Nên lim     lim n  2n  1  2n  1.3 3.5 2 n   1 Câu 44: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim      n  n  2  1.3 2.4 A B C Lời giải Chọn A D    1 1 2     Ta có: lim     lim    n  n  2  1.3 2.4 n n  2  1.3 2.4 1 1 1 1   lim 1         2 n n2 1 1   lim 1    2 n2  1  Câu 45: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim     n(n  3)  1.4 2.5 11 A B C 18 Lời giải Chọn A Cách 1: D  1  1  1 1 1  lim      lim  1           n(n  3)  n n   3  1.4 2.5 1  1 1   lim  1         n  n  n     3n  12n  11  11 11  lim   18 n  n  n        18 Cách 2: Bấm máy tính sau: 100  x  x  3 so đáp án (có thể thay 100 số nhỏ lớn hơn)   1   Câu 46: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim 1  1   1        n   1 A B C Lời giải Chọn B Cách 1: D   1            lim 1  1   1     lim 1  1  1  1   1  1        n         n  n   n 1  n  n  1  lim   lim   n n n  2 3 Cách 2: Bấm máy tính sau: 100   so đáp án (có thể thay 100 số    1  x nhỏ lớn hơn) Câu 47: [1D4-1-3] (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Tính giới hạn  1 1  lim       n  n  1  1.2 2.3 3.4 A B C D Lời giải Chọn C Ta có:  1 1 1 1 1          1.2 2.3 3.4 n  n  1 2  1 1    n 1 n n n 1 n 1  1 1       Vậy lim     lim 1   1 n  n  1   n 1  1.2 2.3 3.4 Câu 48: [1D4-1-3] [Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Đồng Tháp - 2018 - BTN] Có giá trị nguyên tham số a thuộc khoảng  0; 2018 để có lim ? A 2011 B 2016 9n  3n1  n na 9 2187 C 2019 D 2009 Lời giải Chọn A n Do  n n 1 n n 1 9n  3n 1 n nên lim   lim   với 5n  n  a 5n  9na 5n  9na 1    3  lim n 5 a   9 9 1  a a 1 9n  3n1  a    a  Do a số nguyên n na 2187 9 2187 thuộc khoảng  0; 2018 nên có a  7;8;9; ; 2017  có 2011 giá trị a Theo đề ta có lim (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Cho dãy số  un  Câu 49: [1D4-1-3] sau: un  A n  n2  n4 , n  , , Tính giới hạn lim  u1  u2   un  x B C D Lời giải Chọn C Ta có un  n 1  n  2  n2  1 1      n  n  1 n  n  1  n  n  n  n   n 2 Ta có 1 1 1 1 1  u1  u2   un  1             3 7 13 13 21 n  n 1 n  n 1  1  n n  1     n  n   n2  n  1 1 n 1 Suy lim  u1  u2   un   lim 1 1  2 n n Câu 50: [1D4-1-3] (Chuyên Long An - Lần - Năm 2018) Cho dãy số  xn  xác định x1  , xn 1   xn , n Mệnh đề mệnh đề ? A  xn  dãy số giảm B  xn  cấp số nhân C lim xn   D lim xn  Lời giải Chọn B Ta có:      cos x2    1  cos   2.2 cos 4.2 4 4.2       x3   x2  1  cos  cos   2.2 cos 4.2 4.2  4.2.2  Dự đoán : xn  cos  4.2n 1 1 Ta chứng minh 1 với n , n  Giả sử 1 với n  k ,  k  , k   Tức xk  cos  4.2k 1 Ta cần chứng minh 1 với n  k  , tức xk 1  cos  4.2k Thật vậy, ta có :      xk 1   xk  1  cos  2.2 cos k 1  cos k k 1  4.2 4.2  4.2  Do 1 với n  , n  Khi đó, với n  * ta có xn  2cos  4.2n1  nên lim xn  Vậy khẳng định lim xn  Câu 51: [1D4-1-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Trong dãy số  un  cho đây, dãy số có giới hạn khác ? A un  un  n  n  n  2018  n  2017  2017 2018 B  n  2020  4n  2017 2   C un  1.3 3.5   2n  1 2n  3 Lời giải u1  2018  D  u  u  , n     n 1 n Chọn B + Với phương án A: un  n  n  2018  n  2017  2017 2018  n.n 2017  n 2018 + Với phương án B: un  n    n  2020  4n  2017  n  n  4n  n  n    + Với phương án C:  1 1 1 un  1         3  5  1       1 2n   2n  2n   + Với phương án D: un 1  1  un  1  un1    un  1 2 v1  2017  Đặt  un  , ta có  vn 1  , n  Suy dãy   cấp số nhân có số hạng đầu 2017 , công bội 1  2017   2 1 Suy un  2017   2 n 1 n 1 nên  n  1   n  1 , lim un  Chú ý: Ở phương án D, ta chứng minh un  với n   un  dãy giảm nên  un  có giới hạn Gọi lim un  a Khi từ un 1  1  un  1 , n  suy a   a  1  a  , lim un  2 ... Tính giới hạn dãy số un  : 3n3  n  A  B  C Lời giải Chọn C  n(n  1)  Ta có:    n      Suy un  3 n(n  1)2  lim un  3(3n  n  2) D số Câu 22: [1D4-1-3] Tính giới hạn dãy. .. [1D4-1-3] Tính giới hạn dãy số un   A  B  D Chọn C 1 1 1  2n  Ta có: un  un       n1   n1 2 2 2  2n   un   n1  lim un  2 Câu 25: [1D4-1-3] Tính giới hạn dãy số un ... [1D4-1-3] Tính giới hạn dãy số un   A  B  D Chọn D n n n 1  un  n   un   n n n 1 n 1 n 1 n  un     lim un  n 1 Ta có: n Câu 27: [1D4-1-3] Tính giới hạn dãy số B  lim