PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Câu 1: [1D1-2-3] (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) Tổng tất nghiệm phương trình cos  sin x    0;2  bằng: C 2 B  A D 3 Lời giải Chọn B Ta có x   0;2   sin x   1;1 k   Khi đó: cos  sin x    sin x  k 2 với 1  k 2   k  x  Phương trình trở thành sin x   x  m   x    m  Vậy tổng tất nghiệm phương trình cos  sin x    0;2   Câu 2: [1D1-2-3] (Toán học tuổi trẻ tháng 1- 2018 - BTN) Xét phương trình sin3x  3sin 2x  cos 2x  3sin x  3cos x  Phương trình tương đương với phương trình cho?   A  2sin x  1 2cos x  3cos x   B  2sin x  cos x  1 2cos x 1  C  2sin x  1 2cos x  1 cos x  1  D  2sin x  1 cos x  1 2cos x  1  Lời giải Chọn D Ta có: sin3x  3sin 2x  cos 2x  3sin x  3cos x    sin 3x  sin x  2sin x     sin x  2sin x     cos x  3cos x     2sin x  cos x  1  2sin x  cos x  1   cos x  1 2cos x  1    cos x  1 2sin x  2sin x  2cos x  1    cos x  1 2cos x  1 2sin x  1  Câu 3: [1D1-2-3]Giải phương trình tan x  sin x  sin x cos x A x   B x  k 2  k C Vô nghiệm D x  k Lời giải Chọn C cos x  Điều kiện:  sin x  sin x  sin x 1  cos x 1 cos x pt        cos x  sin x cos x sin x cos x cos x  cos x (Loại) Vậy phương trình vơ nghiệm Câu 4: [1D1-2-3] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần - 2017 - 2018) Tính tổng tất x x nghiệm thuộc khoảng  0; 2  phương trình sin  cos  2 9 A B 12 C 9 D 2 Lời giải Chọn B x x x x x x  sin  cos    sin  cos   2sin cos  2 2 2   1 1 5  x    k , k    sin x    1  cos x    cos x  2 8  2 4 5  Mà x   0; 2  nên x   ; ; ;  3 3  Khi tổng nghiệm thuộc khoảng  0; 2  phương trình x    Câu 5: [1D1-2-3] Số nghiệm phương trình sin x  400  với 1800  x  1800 ? C B A Lời giải Chọn B Ta có :      sin x  400  sin 600  x  400  600  k 3600  x  1000  k 3600  x  500  k1800      0 0 0 0  x  40  180  60  k 360  x  160  k 360  x  80  k180 sin x  400  D 0 Xét nghiệm x  50  k180 Ta có : 1800  x  1800  1800  500  k1800  1800   Vì k  23 13 k 18 18  k  1  x  1300 nên   k   x  50 0 Xét nghiệm x  80  k180 Ta có : 1800  x  1800  1800  800  k1800  1800   13 k 9  k  1  x  1000 nên   k   x  80 Vậy có tất nghiệm thỏa mãn tốn Chọn B Vì k  Cách  CASIO  Ta có : 1800  x  1800  3600  x  3600 Chuyển máy chế độ DEG , dùng chức TABLE nhập hàm với thiết lập Start  360 , END  360 , STEP  40 Quan sát bảng giá trị f  X  ta suy phương trình cho có f  X   sin  X  40   nghiệm   Câu 6: [1D1-2-3] Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình sin  x    3  đường tròn lượng giác ? A C B D Lời giải Chọn C Ta có :      sin  x     sin  x    sin 3 3         x    k 2  x   12  k   k       x     k 2  x   k    Biễu diễn nghiệm x    k đường tròn lượng giác ta vị trí ( hình 12 1)  Biểu diễn nghiệm x   k 2 đường tròn lượng giác ta vị trí (hình 2) Vậy có tất vị trí biểu diễn nghiệm phương trình Chọn C 2  số vị trí biểu diển đường lượng Cách trắc nhiệm Ta đưa dạng x    k n giác n   2  k  x  k  có vị trí biểu diễn * Xét x  12 12   2  có vị trí biểu diễn * Xét x   k  x   k 4 Nhận xét Cách trắc nghiệm nhanh cẩn thận vị trí trùng cos x  Mệnh Câu 7: [1D1-2-3] Gọi x0 nghiệm dương nhỏ phương trình  sin x đề sau đúng?   A x0   0;   4  3  x0   ;        B x0   ;  4 2   3 C x0   ; 2    D Lời Giải Chọn D Điều kiện:  sin 2x   sin 2x  Phương trình sin x  (l ) 2cos x   sin 2 x  cos2 x 1   cos x     x    k 2  x    k  k  Z   sin x sin x  1  Cho   k   k  4 3  3  Do nghiệm dương nhỏ ứng với k   x   ;      Câu 8: [1D1-2-3] Hỏi đoạn  2017; 2017 , phương trình  sin x  1 sin x   có tất nghiệm A 4034 B 4035 Chọn D C 641 Lời Giải D 642 sin x  (VN)  Phương trình    sin x  1  x    k 2  k  Z  sin x  1   2017  2017   k Theo giả thuyết 2017    k 2  2017  2 2 xap xi kZ  302,765  k  321, 265    k  320, 319, ,321 Vậy có tất 642 giá trị nguyên k tương ứng có 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu toán Câu 9: [1D1-2-3] Tổng nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ phương trình 3   bằng: sin  3x      A  B   C  D   Lời Giải Chọn B 3   3x    k 2  3  3     Ta có sin  3x   sin  3x     sin       3x  3      k 2  7 2 7    x  36  k 3x  12  k 2    k  Z   x  11  k 2 3x  11  k 2   12 36 7  x   k    kmin   x   7 2 Cho 24 36 TH1 Với x  k   36  x   k    k  1  x   17 max  24 36 11 11  x   k    kmin   x   11 2 Cho 24 36 TH2 Với x  k   36  x   k   11  k  1  x   13 max  24 36 13 So sánh bốn nghiệm ta nghiệm âm lớn x   nghiệm dương nhỏ 36 13 7  7   x Khi tổng hai nghiệm  36 36 36   Câu 10: [1D1-2-3] Gọi x0 nghiệm âm lớn phương trình cos 5x  450  Mệnh đề sau đúng? A x0   300 ;00    B x0   450 ; 300  C x0   600 ; 450  D x0  900 ; 600 Lời Giải Chọn C 5 x  450  300  k 3600 0 Ta có cos  x  45    cos  x  45   cos30   0 5 x  45  30  k 360 5 x  750  k 3600  x  150  k 720    k  Z   0 0 5 x  15  k 360  x   k 72 TH1 Với x  150  k 720   k    k max  1  x  570 24 TH2 Với x  30  k 720   k    k max  1  x  690 24 So sánh hai nghiệm ta nghiệm âm lớn phương trình x  57 13    Câu 11: [1D1-2-3] Hỏi đoạn   ; 2  , phương trình cosx  có nghiệm 14   A B C D Lời Giải Chọn B 13 13  x   arccos  k 2  k  Z  14 14 13  13    * Với x  arccos  k 2 Vì x    ; 2     arccos  k 2  2 14 14   13 CASIO kZ   0,3105  k  0,9394   k   x  arccos xapxi 14 13  13    * Với x   arccos  k 2 Vì x   ; 2     arccos  k 2  2 14 14   Phương trình cosx  13 13   CASIO kZ  0,1894  k  1, 0605    k  0,1  x  arccos ; arccos  k 2  xapxi 14 14   Vậy có tất nghiệm thảo mãn 13 Cách 2(CASIO) Dùng chức TABLE nhập hàm f  X   cos X  với thiết lập 14   Start   , End  2 , Step  Ta thấy f  X  đổi dấu lần nên có ngiệm Cách Dùng đường tròn lượng giác Vẽ đường tròn lượng giác biểu diễn cung từ   đến 2 Tiếp theo ta kẻ đường thẳng 13 13 Nhìn hình vẽ ta thấy đường thẳng x  cắt cung lượng giác vừa vẽ điểm 14 14 Câu 12: [1D1-2-3] Tính tổng T nghiệm phương trình sin 2x  cosx   0; 2  x A T  3 B T  5 Lời Giải C T  2 D T   Chọn A   Ta có sin x  cosx   sin x  cosx  sin x  sin   x  2     2   x   x  k 2 x   k    x       x   k 2  x    k 2     2   k 2 11   0    2    k   k  0;1; 2 Vì x   0; 2  , suy    0   k 2  2    k   k  0   4  5 3  Từ suy nghiệm phương trình đoạn  0; 2  ; ; ;  T  3 6 2     Câu 13: [1D1-2-3] Trên khoảng  ; 2  , phương trình cos   x   sin x có 2  6  nghiệm A B C D Lời Giải Chọn A       Ta có cos   x   sin x  cos   x   cos   x  6  6  2        x   x  k 2  x    k 2    k  Z   x      x   k 2  x  2  k 2     2   5 kZ      k 2  2  k   k  1     12 Vì x   ; 2  , suy   2  kZ    2  k 2  2    k     k  2; 1   12   Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng  ; 2  2    Câu 14: [1D1-2-3] Tính tổng nghiệm phương trình tan x  150  khoảng  90 ;90  0 B 300 A 0 Chọn A  C 300 Lời Giải D 600  Ta có tan x  150   x  150  450  k1800  x  300  k 900  k  Z  Do x    900 ;900   900  300  k 900  900   k 3  k   x  600    600  300  300  k   x  30 kZ   Câu 15: [1D1-2-3] Với giá trị x giá trị hàm số y  tan   x  4  y  tan x nhau? A x  C x  x  12  k  12 k  k  Z  B x   k  k  Z    k    12 k  k  Z  D 3m   ; m  Z   Lời Giải Chọn D      x    m  cos  x       Điều kiện    x m   4 cos x  x    m       Xét phương trình hồnh độ giao điểm tan x  tan   x  4      x   x  k  x   k  k  Z  12     3m  k  m  k  Đối chiếu điều kiện, ta cần có k, m  Z  12 2   3m   Vậy phương trình có nghiệm x   k  k  ; k, m  Z  12 3  Câu 16: [1D1-2-3] Tổng nghiệm phương trình tan5x  tan x  nửa khoảng 0;   bằng: A  B 3 C 2 Lời giải: Chọn B D 5 Ta có: tan5x  tan x   tan5x  tan x  x  x  k  x  k k   k k     k    k  0;1; 2;3    3  Suy nghiệm phương trình  0;   0; ; ;   4   3 3  Suy    4 Câu 17: [1D1-2-3] Giải phương trình tan3x.cot 2x  Vì x   0;   , suy  A x  k  k   C x  k  k  B x    k  D Vô nghiệm  k   Lời giải: Chọn D    x  k  cos3x   Điều kiện:   k   sin x    x  k   Phương  tan x   tan x  tan x  x  x  k  x  k ,  k  cot x  Đới chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm x  k không thỏa mãn x  k Vậy phương trình cho vơ nghiệm     Câu 18: [1D1-2-3] Cho tan  x    Tính sin  x   2 6     A sin  x     6    B sin  x    6    C sin  x     6    D sin  x    6  Lời giải: Chọn C       Phương trình tan  x      tan  x     x    k 2 2     x    k  k     2  2x     k 2  k   Suy x    k 2  trình     2   2 Do sin  x    sin    k 2   sin   6     Câu 19: [1D1-2-3] Giải phương trình cos2x.tan x  A x  k    x   k  B k    x  k k      x k  C k    x  k     D x    k  k    Lời giải: Chọn C Điều kiện: cos x   x    k  k   Phương trình     x   k 2 x   k cos2 x    cos2 x.tan x      k     tan x   x  k  x  k   x   k So điều kiện, nhận nghiệm  k    x  k       Câu 20: [1D1-2-3] Giải phương trình tan   x  tan   x   3  3  A x    k B x     k C x     k D nghiệm Hướng dẫn giải Chọn D      x   k x    k     Điều kiện:      x    k x    k    12  3         pt  tan   x   cot   x    x    x  k  x    k 3 3  3  (Loại) Câu 21: [1D1-2-3] [1D1-2-3] Giải phương trình  sin x  tan x   sin x Vô  A x   x   k 2 B x     k 2 C x     k D  k Lời giải Chọn C Điều kiện: cos x   x    k  sin x sin x 1  cos x pt   4 4  2 cos x cos x cos x   cos x    x    k Câu 22: [1D1-2-3] Giải phương trình A x   C x    6 cos x 1  2sin x   cos x  sin x   k 2 B x    k 2 D x      k 2  k 2 , x     k 2 Lời giải Chọn A Điều kiện:    x   k 2 sin x  1    k 2   2 2cos x  sin x    2sin x  sin x       x   k 2  x   6 sin x   5   x   k 2  Ta có cos x 1  2sin x    cos x  sin x   cos x  sin x  cos x  sin x       sin x  cos x  sin x  cos x  sin  x    sin  x   6 3         x   x   k 2  x    k 2    x       x     k 2  x    k 2     6  Câu 23: [1D1-2-3] Giải phương trình sin x.cos x 1  tan x 1  cot x   B x  k 2 A Vô nghiệm C x  k D x  k Lời giải Chọn A k Điều kiện: x   sin x  cos x  Ta có sin x.cos x 1  tan x 1  cot x    sin x cos x 1  1   1  cos x  sin x    sin x  cos x     sin x   sin x   x  k  x  k (không thỏa mãn đk) Câu 24: [1D1-2-3] Giải phương trình A x   x    k sin x  cos x  cos x  cos x  sin x  sin x B x     k 2 C x     k D  k 2 Lời giải Chọn A Điều kiện: cos x  sin x  sin x   x    k sin x  cos x  cos x  cos x  cos x 9 9 Ta có cos x  sin x  sin x  2sin x  sin x 1  cos x   1  sin x  2 2 9 sin x    tan x   tan x    x    k cos x (thỏa đk)  5  Câu 25: [1D1-2-3] Phương trình sin  cos  x   có họ nghiệm?   A họ nghiệm nghiệm B họ nghiệm Lời giải Chọn C họ nghiệm D họ  6k  5  cos  x   k 2 cos  x      5  10 Ta có sin  cos  x         5 cos  x  5  k 2 cos  x   6k    1 arccos      10   2k x   cos  x  10     1  cos  x    x    2k ,k       7  cos  x   arccos     10  10   2k x     Câu 26: [1D1-2-3] Phương trình sin x  cos x  A x   x   k k   B x    k có nghiệm là: 16  C x    k  D Lời giải Chọn D Ta có sin x  cos x  7  sin x  sin x cos x  cos x  16 16   sin x  cos x   3sin x cos x   sin 2 x  16 16   x    k       sin x     x   k  x    k    x  2  k  Câu 27: [1D1-2-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần – 2018) Số có ánh sáng thành phố X vĩ độ 40 bắc ngày thứ t năm không nhuận cho  t 80 12 , t 182 năm thành phố X có nhiều ánh sáng nhất? hàm số: d t A 262 3sin B 353 t C 80 Lời giải 365 Vào ngày D 171 Chọn D Ta có: d t 3sin  182 Dấu xảy sin t 80  182 12 t 80 12 1 15  182 t 80  k 2 k  t    k Mặt khác t Mà k Vậy t 0;365 nên     k nên k 171 365   171 364 k 194 364   Câu 28: [1D1-2-3]Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình 2sin  x     3  A x   B x  7 24 C x   D x   12 Lời giải Chọn C        Ta có 2sin  x      sin  x     sin  x    sin 3 3 3        k    x    k  x   k  x          x        k 2  x  7  k 2  x  7  k    6  24 TH1 Với x  TH2 Với x     k   k Cho 0  k      k    kmin   x  8 7 k Cho 0 7 k 7      k    kmin   x  24 24 12 24 So sánh hai nghiệm ta x   nghiệm dương nhỏ   Câu 29: [1D1-2-3] Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình tan  x     3  đường tròn lượng giác là? A B C D Lời giải Chọn A         Ta có tan  x      tan  x      tan  x    tan    3 3 3     3  2x     k  k  x  k  x   k   sin B A cos C O D Quá dễ để nhận có vị trí biểu diễn nghiệm phương trình cho đường tròn lượng giác A, B, C, D Cách trắc nghiệm Ta có x  k 2 k   có vị trí biểu diễn Câu 30: [1D1-2-3] Hỏi đoạn  0; 2018  , phương trình cot x   có nghiệm? B 6340 A 6339 C 2017 D 2018 Lời giải Chọn D Ta có cot x   cot x  cot Theo giả thiết, ta có   x   k  k    xap xi  k  2018     k  2017,833 6 k    k  0;1; ; 2017 Vậy có tất 2018 giá trị nguyên k tương ứng với có 2018 nghiệm thỏa mãn yêu cầu toán Câu 31: [1D1-2-3]Tìm giá trị thực tham số m để phương trình  m   sin x  m  nhận x   12 A m  làm nghiệm B m    1 32 C m  4 D m  1 Lời giải Chọn C Vì x   12 nghiệm phương trình  m   sin x  m  nên ta có: 2 m2  m 1   m   m   2m   m   12 Vậy m   giá trị cần tìm  m   sin Câu 32: [1D1-2-3]Tìm tất giá trị tham số m để phương trình  m  2 sin x  m  vô nghiệm 1  B m   ;    2;   2  1  D m   ;   2  1  A m   ; 2 2  1  C m   ;    2;   2  Lời giải Chọn D TH1 Với m  , phương trình  m   sin x  m    : vô lý Suy m  phương trình cho vơ nghiệm TH2 Với m  , phương trình  m   sin x  m   sin x  m 1 m2  m 1 m  m  1 m 1 Để phương trình   vơ nghiệm    1;1    1  m2 m  m2   1   m  Kết hợp hai trường hợp, ta m  giá trị cần tìm Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sin x cos x Câu 33: [1D1-2-3] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần - 2017 - 2018 - BTN) Tất nghiệm phương trình cos5x.cos x  cos 4x A x  x k k  k k   B x  k k   C x  k  k   D  Lời giải Chọn A Ta có cos5x.cos x  cos 4x  cos x  cos x   cos x  cos6x  cos4x  x  k 6 x  x  k 2 k x   k  x  6 x  4 x  k 2  Vậy phương trình có nghiệm x  k k   HẾT -Câu 34: [1D1-2-3] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN - 2017 - 2018 - BTN) Số nghiệm thuộc đoạn  0;2017  phương trình A 1283 B 1285 Lời giải  cos x   cos x  4cos x sin x D 1287 C 1284 Chọn C Điều kiện sinx  0; sin x.cos x   cos x   cos x  4cos x   cos x   cos x  4sin x cos x sin x    1  cos x 1  cos x   16sin x cos x   sin x  8sin x  sin x  1 TH1: sin x   sin x  1   sin x   sin x    1  1  sin x  8sin x  8sin x  1   sin x  1   sin x    sin x      x   k 2   * sin x    sin x.cos x  nên x   k 2  x  5  k 2    1   x  arcsin    k 2 1     * sin x  sin x.cos x  nên    x    arcsin   k 2        1  x  arcsin    k 2   TH2: sin x   sin x  1   sin x    sin x    1  1  sin x   8sin x  8sin x  1   sin x   1    sin x    sin x  1     x    k 2  7  k 2 * sin x     sin x.cos x  nên x   x   k 2    1    x  arcsin    k 2 1     * sin x    x    arcsin  1    k 2        1   sin x.cos x  nên x    arcsin    k 2    Xét nghiệm thuộc đoạn  0;2017  : *Với x    k 2     k 2  2017   k  320 có 321 nghiệm  1  3 3 *Với x  arcsin     k 2  10  k 2   10  k 2  2017   k  320   có 321 nghiệm 7 7  k 2    k 2  2017   k  320 có 321 nghiệm *Với x  6 *Với  1   13 13 x    arcsin   k 2    k 2  2017   k  320   k 2   10 10  có 321 nghiệm *Vậy có tổng cộng 321.4  1284 nghiệm thỏa yêu cầu toán Câu 35: [1D1-2-3] (THPT Lê Q Đơn - Hải Phòng - 2018 - BTN) Biểu diễn tập nghiệm phương trình cos x  cos 2x  cos3x  đường tròn lượng giác ta số điểm cuối A B C D Lời giải Chọn A Ta có cos x  cos x  cos3x    cos3x  cos x   cos x   2cos x.cos x  cos x   cos x  2cos x  1       2 x   k  x   k   cos x  2 2     x  k 2   x   k 2 ,  k     cos x   3     x     k 2  x     k 2   3 Vậy biểu diễn tập nghiệm phương trình cos x  cos 2x  cos3x  đường tròn lượng giác ta số điểm cuối ...  , phương trình  m   sin x  m    : vô lý Suy m  phương trình cho vơ nghiệm TH2 Với m  , phương trình  m   sin x  m   sin x  m 1 m2  m 1 m  m  1 m 1 Để phương trình. .. Quan sát bảng giá trị f  X  ta suy phương trình cho có f  X   sin  X  40   nghiệm   Câu 6: [1D1-2-3] Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình sin  x    3  đường tròn lượng giác ?... Cách Dùng đường tròn lượng giác Vẽ đường tròn lượng giác biểu diễn cung từ   đến 2 Tiếp theo ta kẻ đường thẳng 13 13 Nhìn hình vẽ ta thấy đường thẳng x  cắt cung lượng giác vừa vẽ điểm 14