b Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm.. b Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I.. a Chứng minh tứ
Trang 1ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Bài 1: Cho biểu thức:
4 x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = –1
Bài 2: Cho hệ phương trình:
mx - y 1
x y
335
2 3
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm
Bài 3: Cho parabol (P) : y = – x2 và đường thẳng (d) có hệ số góc m đi qua
điểm M(– 1 ; – 2)
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt
b) Xác định m để A, B nằm về hai phía của trục tung
Bài 4:
Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3 = 0 (1) ; m là tham số
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này
bằng ba lần nghiệm kia
Bài 5:
Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI =
2
3AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn
b) Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM và
AM2= AE.AC
c) Chứng minh: AE.AC – AI.IB = AI2
d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất
Giải:
Bài 1:
a P =
4 x (2 x ) 8x ( x 1) 2( x 2)
: (2 x )(2 x ) x ( x 2)
=
: (2 x )(2 x ) x ( x 2)
Trang 28 x 4x x ( x 2)
(2 x )(2 x ) 3 x
4x
x 3
Điều kiện x > 0; x 4 và x 9
b Với x > 0; x 4 và x 9; P = –1 khi và chỉ khi:
4x
1
x 3
hay: 4x + x – 3 = 0
Đặt y = x > 0 ta có: 4y2 + y – 3 = 0 có dạng a – b + c = 0
y = –1 ; y = 4
3
Vì y > 0 nên chỉ nhận y = 4
3 nên x = 4
3
Vậy: P = –1 x = 16
9
Bài 2:
a Khi m = 1 ta có hệ phương trình:
x y 1
x y
335
2 3
3x 2y 2010 3x 2y 2010 y 2007
Vậy với m = 1 hệ phương trình đã cho có nghiệm
x 2008
y 2007
b
mx y 1 y mx 1
335 y x 1005
Hệ phương trình vô nghiệm (*) vô nghiệm m =2
3 (vì đã có –1–1005)
Bài 3:
a) Đường thẳng (d) có hệ số góc m có dạng y = mx + b và (d) đi qua điểm M(– 1 ; – 2) nên: – 2= m(– 1) + b b = m – 2
Vậy: Phương trình đường thẳng (d) là y = mx + m – 2
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
– x2 = mx + m – 2
x2 + mx + m – 2 = 0 (*)
Vì phương trình (*) có m2 4m8(m 2)2 40 với mọi m nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt , do đó (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) A và B nằm về hai phía của trục tung
Trang 3 x2 + mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu x1x2 < 0.
Áp dụng hệ thức Vi-et: x1x2 = m – 2
x1x2 < 0 m – 2 < 0 m < 2
Vây: Để A, B nằm về hai phía của trục tung thì m < 2
Bài 4: Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ’ 0
(m – 1)2 – m2 + 3 0 4 – 2m 0 m 2
b) Với m 2 thì (1) có 2 nghiệm
Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a
Áp dụng hệ thức Vi-et ,ta có:
a a m
a =
1 2
m
1 2
m
)2 = m2 – 3
m2 + 6m – 15 = 0
'= 9 –1.(–15) = 24 ; ' 2 6
m1= 3 2 6; m2 = 3 2 6 ( thỏa mãn điều kiện m 2).
Vậy: Với m1= 3 2 6; m2 = 3 2 6 thì phương trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia
Bài 5:
a Ta có: EIB = 900 (giả thiết)
ECB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy: tứ giác IECB là nội tiếp đường tròn đường kính EB
b Ta có:
sđ AM = sđ AN (đường kính MN dây AB)
AME = ACM (góc nội tiếp)
Lại có A chung, suy ra AME ACM
Do đó:
2
AC AM
AM AE.AC
AM AE
c MI là đường cao của tam giác vuông MAB nên MI2 = AI.IB
Trừ từng vế của hệ thức ở câu b với hệ thức trên
Ta có: AE.AC – AI.IB = AM2 – MI2 = AI2
d. Từ câu b suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác
Ta thấy khoảng cách NK nhỏ nhất khi và chỉ khi NK BM
Dựng hình chiếu vuông góc của N trên BM ta được K Điểm C là giao
của đường tròn tâm O với đường tròn tâm K, bán kính KM