Phòng giáo dục vĩnh tờng Đề khảo sát đội tuyển hsg lớp 9 lần ii Năm học: 2006-2007 Môn: Toán Câu1: a.Tính giá trị biểu thức B= 33 1745712162017457121620 ++ b.Chứng minh rằng số x sau là một số hữu tỷ: x= 33 27 125 93 27 125 93 ++++ Câu 2: Cho đa thức bậc bốn P(x) thoả mãn: P(-1)=0 P(x) P(x-1) = x(x+1)(2x+1) a. Xác định P(x) b. Suy ra giá trị của tổng: S= 1.2.3 + 2.3.5 + + n(n+1)(2n+1) với n là số nguyên d ơng. Câu 3: a. Hai số dơng x, y thoả mãn 6 32 =+ yx .Tìm giá trị lớn nhất của tổng x + y. b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x 2 + xy + y 2 .Trong đó x, y là các số thực thoả mãn 2 điều kiện 32 yx và 13 yx . Câu 4: Chứng minh rằng không thể chia 6 số tự nhiên liên tiếp thành 2 nhóm mà tích các phần tử trong mỗi nhóm bằng nhau. Câu 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. AA, BB, CC là các đờng cao tơng ứng với các cạnh AB, BC, CA của ABC. Gọi H là trực tâm của ABC, O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. Các đờng cao AA, BB, CC cắt đờng tròn tâm O tại A, B, C. Chứng minh rằng: a. H là tâm đờng tròn nội tiếp của ABC b. S ABC = (1 cos 2 A cos 2 B cos 2 C).S ABC c. Tìm tập hợp các điểm M của ABC sao cho S MAB = S MBC. CC TI LIU KHC VUI LềNG VO WEBSITE: http://phantu2010.violet.vn Phòng giáo dục vĩnh tờng Đáp án chấm khảo sát đội tuyển Môn:Toán 9 Câu 1: (2 điểm) a.Đặt b 1 = 3 17457121620 + ; b 2 = 3 17457121620 0.25 suy ra b 1 *b 2 = 48 Khi đó: B = b 1 + b 2 B 3 = (b 1 + b 2 ) 3 = b 1 3 + b 2 3 + 3b 1 b 2 (b 1 + b 2 ) = 3240 +144 B B 3 144B -3240 = 0 (B 18)(B 2 + 18B + 180) = 0 B 18 = 0 B = 18 Vậy B = 18 b. Đặt x 1 = 3 27 125 93 ++ ; x 2 = 3 27 125 93 ++ Suy ra: x 1 *x 2 =5/3 Khi đó x= x 1 - x 2 x 3 =(x 1 x 2 ) 3 = x 1 3 - x 2 3 3x 1 x 2 (x 1 - x 2 ) x 3 + 5x 6 = 0 (x 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1= 0 x=1 Vậy x = 1 là số hữu tỷ 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 Câu 2: (2 điểm) Đặt P (x) P(x-1) = x( x+ 1)(2x+1) (1) a.Thay x lần lợt bằng -1; 0; 1; 2 vào (1) ta đợc P(-1) P(-2) = 0 P(-2)=0 P(0) P(-1) = 0 P(0) = 0 P(1)-P(0) = 1.2.3 P(1)=6 P(2) P(1) = 2.3.5 P(2) = 36 Đặt P(x) = b 0 +b 1 (x+1) + b 2 (x+1)x + b 3 (x+1)x(x-1) +b 4 (x+1)x(x-1)(x-2) (2) Thay x lần lợt bằng-1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta đợc: 0= b 0 0=b 1 b 1 =0 6= b 2 .2.1 b 2 =3 36 = 3.3.2 + b 3 .3.2.1 b 3 =3 0= 3.(-1).(-2)= 3 .(-1).(-2).(-3) + b 4 .(-1).(-2).(-3).(-4) b 4 =1/2 Vậy đa thức cần tìm có dạng: P(x)=3(x+1)x + 3(x+1)x(x-1) + 1/2(x+1)x(x-1)(x-2) P(x) = 3(x+1)x 2 + 1/2(x+1)x(x-1)(x-2) P(x) = (x+1)x.[3x + 1/2 (x-1)(x-2)] P(x) = 1/2 (x+1).x.[6x + (x-1)(x-2)] P(x)= 1/2(x+1).x.(x+1)(x+2) P(x) = 1/2x.(x+1) 2 (x+2) b.Từ (1) bằng cách thay lần lợt x=1; 2; ; n ta đ ợc 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 P(1) P(0)=1.2.3 P(2)-P(1)=2.3.5 P(n)-P(n-1)=n.(n+1)(2n+1) Cộng theo vế các đẳng thức trên ta đợc: P(n)-P(0)= 1.2.3 + 2.3.5+ + n(n+1)(2n+1) S=p(n) = 1/2n(n+1) 2 (n+2) 0.25 0.25 Câu 3: (2,25 điểm) a. ta thấy: y y x x . 3 . 2 32 +=+ Do vậy theo Bđt Bunhiacopxki ta suy ra: )(6))( 32 ()32( 2 yxyx yx +=+++ 6 625 )32( 6 1 2 + =++ yx Dấu bằng chỉ xảy ra khi 6 63 ; 6 62 0, 32 6 32 + = + = > = =+ yx yx yx yx Vậy Min(x+y)= 6 625 + khi x= 6 63 ; 6 62 + = + y b.Từ 32 yx và 13 yx Nhân 2 vế bđt với 3 và 2 ta có: 936 yx và 13 yx (1) 32 yx và 262 yx (2) áp dụng bđt BABA ++ (đẳng thức chỉ xảy ra khi A, B cùng dấu) Từ (1) và (2) ta đợc 102336)23()36(5 ++= yyxyyxx 2 x 15262)26()2(5 ++= yxyyxxyyxy Vậy 7124 2222 =++++++ yxyxyxyx Dấu đẳng thức xảy ra khi 2 = x và 1 = y Trong đó x và y cùng dấu hay (x,y) bằng (2;1) hoặc (-2;-1) Khi đó x 2 +xy+y 2 =7 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 A Câu 4 (1 điểm) Gọi 6 số đó là: a+1; a+2; ; a+5; a+6 Giả sử có thể chia đợc 6 số đó thành 2 nhóm và tích các phần tử trong mỗi nhóm đều bằng nhau Gọi A là tích các số của nhóm 1; B là tích các số của nhóm 2. Suy ra A=B Từ đó tích 6 số đó bằng A 2 là số chính phơng. *Nếu cả 6 số a+1; a+2; ; a+6 đều không chia hết cho 7 Suy ra: (a+1).(a+2) (a+6) 1.2.3.4.5.6 (mod 7) (a+1).(a+2) (a+6) -1 (mod 7) Nhng A 2 -1 (mod 7) nên loại *Nếu có 1 trong 6 số đó chia hết cho 7 Do (a+1); (a+6) là 6 số tự nhiên liên tiếp nên trong 6 số đó chỉ có 1 số chia hết cho 7 suy ra tích của 1 nhóm chia hết cho 7 và một nhóm tích không chia hết cho 7 Mặt khác: tích các số trong nhóm 1 và 2 bằng nhau Điều này vô lý. Vậy không thể chia 6 số tự nhiên liên tiếp thành 2 nhóm mà tích các phần tử trong mỗi nhóm bằng nhau. 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu 5 (2,75 điểm) a.Chứng minh đợc 21 AA = suy ra AH là phân giác góc CAB. Tơng tự: BH; CH là phân giác của các góc ABC; ACB. Từ đó suy ra đợc H là trực tâm tam giá ABC b.Do H là trực tâm ABC và ABC nhọn nên H nằm trong ABC S ABC = S ABC- S ABC-S BCA-S CBA ABCS ACBS ABCS ABCS ABCS CABS ABCS CBAS = '''''''' 1 Ta có ABC ABC ( góc A chung; ABC= ABC (cùng bằng 0.75 0.25 0.25 B C B B O A A C C B M C K H I K H CBC) A AB AB ABCS CABS 22 ''' cos)( == Tơng tự: B ABCS BCAS 2 '' cos = ; C ABCS ACBS 2 '' cos = Vậy ta có CBA ABCS CBAS 222 ''' coscoscos1 = hay ABCSCBACBAS = ).coscoscos1( 222''' c. *Thuận: MAB; MBC có chung MB và S MAB=S MBC nên các đờng cao vẽ từ A và C đễn MB bằng nhau. Do đó M (d) qua B // AC hoặc M (d) chứa trung tuyến kẻ từ B của ABC Giới hạn: M chuyển động trên (d) và (d) *Đảo: Lấy M bất kỳ (d) hoặc (d) + Nếu M (d), vẽ AH (d); CK (d) suy ra AH //CK Ta có: AH // CK; (d) //AC suy ra AH = CK Nên S MAB = S MBC + Nếu M (d) Vẽ AH (d); CK (d) suy ra AH // CK '' ' ' 1 CKAH IC AI CK AH === Suy ra S MAB = S MBC *Kết luận: Tập hợp các điểm M là đờng thẳng (d) ((d) đi qua B và // với AC ) và đờng thẳng (d) ((d) chứa trung tuyến BI của ABC) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 A d d . Từ (1) và (2) ta đợc 1 023 36 )23 ()36(5 ++= yyxyyxx 2 x 1 526 2 )26 ( )2( 5 ++= yxyyxxyyxy Vậy 7 124 22 22 =++++++ yxyxyxyx Dấu đẳng thức xảy ra khi 2 = x và 1 =. (x,y) bằng (2; 1) hoặc ( -2; -1) Khi đó x 2 +xy+y 2 =7 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 A Câu 4 (1 điểm) Gọi 6 số đó là: a+1; a +2; ; a+5; a+6