Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Đại Số Ths. Lê Văn ĐoànCÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀMCÔNG THỨC LƯỢNG GIÁCPHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐIII – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN – HÌNH HỌC PHẲNG
ThS Lê Văn Đoàn Phân loại và phương pháp giải TOÁN 12 (Dùng cho ôn luyện TNPT và Đại học – Cao đẳng) 10/201 Email: vandoan_automobile@yahoo.com.vn Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Đại Sô Ths Lê Văn Đoàn PHẦN ÔN TẬP I – CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM a ( e ) ' = u '.e (e ) ' = e a ' = a lna a ( a ) ' = u '.a lna ( ) x ( xa ) ' = a.xa- a ( ua ) ' = a.ua- 1.u ' ( x) ' = x ' �� 1 �� =- � � �� x x ( sin x) ' = cosx u' a ( u) ' = u ' �� 1� u' a � =- � � �� u u x x x ( v) (cosx)' = - sin x a (cosx)' = - u '.sin u u' a ( tan u) ' = cos x cos2 u u' ( cot x) ' = a ( cot u) ' = sin x sin2 u u u u ) ' = u '.v + v '.u ( uv u a ( sin u) ' = u '.cosu u ' = u '.v - v 'u v2 x ( ln x ) ' = x ( tan x) ' = u' u u' a ( ln u ) ' = u ( ln x) ' = ( loga x) ' = a ( ln u) ' = u' a ( loga u) ' = x lna u lna II – CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Hệ thức lượng bản sin2 x + cos2 x = sin x tan x = cosx 1+ tan2 x = cos2x Công thức nhân đôi – nhân ba – hạ bậc tan x.cot x = cosx cot x = sin x 1+ cot2 x = sin2 x Công thức cộng cung sin( a �b) = sina.cosb �cosa.sinb cos( a �b) = cosa.cosb msina.sinb tana + tanb 1- tana.tanb tana - tanb tan ( a - b) = 1+ tana.tanb tan ( a + b) = Một số công thức khác sin x + cosx = 2sin ( x + p 4) = 2cos( x - p 4) sin x - cosx = 2sin( x - p 4) = 2cos( x + p 4) + 1cos4x cos4 x + sin4 x = 1- sin2 2x = + 3cos4x 6 cos x + sin x = 1- sin 2x = tan x + cot x = sin2x cot x - tan x = 2cot2x Chương – Ôn tập sin2x = 2sin x.cosx cos2x = cos2 x - sin2 x = 2cos2 x - = 1- 2sin2 x 1+ cos2x 1- cos2x cos2 x = � sin2 x = ; (3sin – 4sỉn) sin3x = 3sin x - 4sin3 x (4cổ – cô) cos3x = 4cos x - 3cosx Công thức biến đổi tổng thành tích a +b a- b cos 2 a +b a- b cosa - cosb = - 2sin sin 2 a +b a- b sina + sinb = 2sin cos 2 a +b a- b sina - sinb = 2cos sin 2 cosa + cosb = 2cos Công thức tính sin a,cosa theo t = tan a a � 2t � sin a = � 1+ t2 � � � � 1- t2 �� cosa = � � 1+ t2 � � � 2t � tan a = � � 1- t2 � Đặt t = tan Page Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Đại Sô Ths Lê Văn Đoàn III – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN � sin x = � x = kp � � � � sin x = � x = p + k2p � Đặc biệt: � � � sin x = - � x = - p + k2p � � �= u v + k2p sin u = sin v � � � u = p - v + l 2p � Phương trình: trình: ( k;l ��) � cosx = � x = p + kp � � � cosx = � x = k2p Đặc biệt: � � � � � cosx = - � x = p + k2p � � �= u v + k2p Phương trình: trình: cosu = cosv � � � u = - v + l 2p � tan u = tan v � u = v + kp Phương trình: p trình: �k : u, v � + kp cot u = cot v � u = v + kp Phương trình: trình: �k : u, v �kp �tan x = � x = kp � tan x = �1 � x = �p + kp � � cot x = � x = p + kp � � Đặc biệt: � � cot x = �1 � x = �p + kp � � Phương trình lượng giác cổ điển dạng: dạng: a sin x + bcosx = c ( 1) Điều kiện có nghiệm: Chia hai vế cho ( 1) � a2 + b2 �c2 a2 + b2 a 2 a +b 2 a +b , ta được: sin x + a Đặt sin a = Đặc biệt: � � b cosx = a +b , cosa = sin a.sin x + cosa.cosx = c b 2 a +b a2 + b2 � x = a �b + k2p (k ��) c a + b2 0, 2p� ( a �� ) Phương trìn trở thành: � � � � � cos(x - a) = c a2 + b2 = cos b Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai dạng: dạng a sin2 x + b sin x cosx + c cos2 x = d ( 2) Kiểm tra xem Khi cosx = cosx �0 có phải là nghiệm hay không ? Nếu có thì nhận nghiệm này , chia hai vế phương trình ( 2) cho , ta được: cos2 x a.tan2 x + b.tan x + c = d(1 + tan2 x) Đặt t = tan x , đưa về phương trình bậc hai theo : (a - d)t2 + bt +c - d = � t � x t Phương trình đôi xứng dạng: dạng a ( sin x �cosx) + bsin x cosx + c = ( 3) p ; t � � t2 = 1�2sin x.cosx � sin x.cosx = � (t2 - 1) Thay vào phương trình ( 3) , ta được phương trình bậc hai theo t �t �x Đặt t = cosx � sin x = ( 2.cos x m ) Phương trình đôi xứng dạng: dạng a sin x �cosx + b sin x cosx + c = ( 4) Page Chương – Ôn tập Phân loại và phương pháp giải toán 12 Đặt t = cosx � sin x = Phần Đại Sô ( cos x m Ths Lê Văn Đoàn ) p ; �K : �t � � sin x.cosx = � (t2 - 1) Giải tương tự dạng Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu trị tụt đơi IV – PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SƠ Phương trình bậc hai: hai ax2 + bx + c = ( 1) a/ Giải phương trình bậc hai Nếu b là số le Tính D = b2 - 4ac Nếu D < � Phương trình vô nghiệm Nếu D = � Phương trình có nghiệm b 2a Nếu D > � Phương trình có hai � - b- D � x = �1 2a nghiệm phân biệt: � � - b+ D � x2 = � 2a � kép: x = - Nếu b là số chẳn Tính D ' = b'2- ac với b' = b2 Nếu D ' < � Phương trình vô nghiệm Nếu D ' = � Phương trình có nghiệm b' a Nếu D ' > � Phương trình có hai nghiệm � - b'- D ' � x = �1 a phân biệt: � � - b'+ D ' � x2 = � a � kép: x = - b/ Định lí Viét Nếu phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì: b Tổng hai nghiệm: S = x1 + x2 = a � Tích hai nghiệm: P = x x = c a c/ Dấu các nghiệm của phương trình x1 - x2 = D D' = a a a �0 � Phương trình có hai nghiệm phân biệt � � � � D >0 � Phương trình có hai nghiệm trái dấu � ac 0 � � Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu � � � P >0 � � � D >0 � � � P >0 Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt � � � � � � S 0 � � � P >0 Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt � � � � � � S >0 � � d/ So sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai g(x) = ax2 + bx + c = với sô bất kì Chương – Ôn tập Page Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Đại Sô � � D >0 � � a.g( b) > x2 > x1 > b � � � � � S >b � � �2 � D >0 � � � x1 < x2 < b � � �a.g( b) > � � � S � � 2< b Ths Lê Văn Đoàn x1 < b < x2 � a.g( b) < Phương trình ba ax3 + b'x2 + c 'x + d ' = ( 2) x=a � � (x - a)( ax2 + bx + c) = � � � ax2 + bx + c = ( 3) � Đặt g(x) = ax2 + bx + c , D = b2 - 4ac D >0 � � � g(a ) � � � Phương trình ( 2) có nghiệm phân biệt � ( 3) có nghiệm phân biệt x �a � � � Phương trình ( 2) có nghiệm phân biệt � ( 3) có nghiệm kép x �a hoặc ( 3) có hai nghiệm � D =0 � � � � � � g(a) � � � � � x = a � phân biệt đó có nghiệm � D >0 � � � � � � g(a) = � � � � � D =0 � � � � � � g(a) = Phương trình ( 2) có nghiệm � ( 3) vô nghiệm hoặc ( 3) có nghiệm kép x = a � � � � � � D 0 � � � P >0 Phương trình ( 4) có nghiệm phân biệt � ( 5) có nghiệm dương phân biệt � � � � � � S >0 � � c=0 � � � Phương trình ( 4) có nghiệm phân biệt � ( 5) có nghiệm t = và nghiệm t > � �- b � >0 � �a Phương trình ( 4) có nghiệm phân biệt � ( 5) có nghiệm trái dấu hoặc ( 5) có nghiệm kép ac < � � �D = � dương � � � � � � S >0 � � � � Phương trình chứa thức Page Chương – Ôn tập Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Đại Sô � B �0 A =B �� � � A = B2 � � Ths Lê Văn Đoàn � A �0 ( hay B �0) A = B �� � � A =B � � Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đôi B �0 � A =B �� � � A = �B � A = B � A = �B Bất phương trình chứa thức � � B Page Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Đại Sô Ths Lê Văn Đoàn Để A và B cùng nằm đường tròn hay cùng nằm ngoài đường tròn � PA / (Cm).PB / (Cm) > � ( xA2 + yA2 - 2axA - 2byA + c) ( xB2 + yB2 - 2axB - 2byB + c) > Để A và B nằm về hai phía khác đôi với đường tròn (1 điểm phía trong, một điểm phía ngoài) � PA / (Cm).PB / (Cm) < � ( xA2 + yA2 - 2axA - 2byA + c) ( xB2 + yB2 - 2axB - 2byB + c) < Page Chương – Ôn tập Ths Lê Văn Đoàn phương pháp giải toán 12 Chương Phần Đại sô Phân loại và ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỜ THỊ HÀM SƠ Bài 1: Sự đờng biến – Nghịch biến của hàm số – Dạng toán 1: Xét tính đơn điệu (tìm khoảng tăng – giảm) của hàm số y = f(x) Lý thuyết giáo khoa Định nghĩa: Hàm sô y = f (x) đồng biến K � " x1, x2 �K và x1 < x2 � f (x1) < f (x2) Hàm sô y = f (x) nghịch biến K � " x1, x2 �K và x1 < x2 � f (x1) > f (x2) Điều kiện cần: Giả sử y = f (x) có đạo hàm khoảng I Nếu y = f (x) đồng biến khoảng I thì f '(x) �0, " x �I Nếu y = f (x) nghịch biến khoảng I thì f '(x) �0, " x �I Điều kiện đủ: Giả sử y = f (x) có đạo hàm khoảng I Nếu y ' = f '(x) �0 , " x �I [ f '(x) = tại sô hữu hạn điểm] thì y = f (x) đồng biến I Nếu y ' = f '(x) �0 , " x �I [ f '(x) = tại sô hữu hạn điểm] thì y = f (x) nghịch biến I Nếu y ' = f '(x) = 0, thì y = f (x) không đổi I Đặc biệt: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì y = f (x) phải liên tục đó Phương pháp giải Bước 1: Tìm tập xác định của hàm sô Thường gặp các trường hợp sau: P (x) y = Q(x) T X�: Q(x) y = Q(x) T X�: Q(x) y= P (x) � TX�: Q(x) > Q(x) Bước 2: Tìm các điểm tại đó y ' = f '(x) = hoặc y ' = f '(x) không xác định, nghĩa là: tìm đạo hàm y ' = f '(x) Cho y ' = f '(x) = tìm nghiệm xi với ( i = 1; 2; n) Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên để xét dấu y ' = f '(x) Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm sô f '(x) = y ' �0 � Hàm sô đồng biến (tăng) khoảng……và…… Page và vẽ đồ thị hàm sô Chương I – Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Đại Sô Ths Lê Văn Đoàn f '(x) = y ' < � Hàm sô nghịch biến (giảm) khoảng…và…… Một số lưu ý giải toán Lưu ý 1: Đôi với hàm phân thức hữu tỷ thì dấu “=” không xảy Lưu ý 2: Đôi với hàm dạng: y = ax + b thì hàm sô đồng biến (hoặc nghịch biến) TXĐ, nghĩa là cx + d tìm được y ' > (hoặc y ' < ) TXĐ Đôi với hàm dạng: y = ax + bx + c có ít nhất hai khoảng đơn điệu a ' x + b' Đôi với hàm dạng: y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e có ít nhất một khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến Cả ba hàm sô đơn điệu � Lưu ý 3: Bảng xét dấu một sô hàm thường gặp Nhị thức bậc nhất: y = f (x) = ax + b , ( a � 0) x ax + b � - trái dấu với a b a � cùng dấu với a Tam thức bậc hai : y = f (x) = ax2 + bx + c , ( a � 0) Nếu D < , ta có bảng xét dấu: x � f (x) cùng dấu với a � Nếu D = 0, ta có bảng xét dấu: x -b 2a � f (x) cùng dấu với a � cùng dấu với a Nếu D > , gọi x1, x2 là hai nghiệm của tam thức f (x) = , ta có bảng xét dấu: x f (x) � cùng dấu với a x1 � x2 trái dấu với a cùng dấu với a Đôi với hàm mà có y ' = f '(x) = có nhiều nghiệm, ta xét dấu theo nguyên tắc: (phương pháp chung) Thay điểm lân cận xo gần xn bên ô phải của bảng xét dấu vào f '(x) [Thay sô xo cho dễ tìm f '(x) ] Xét dấu theo nguyên tắc: Dấu của f '(x) đổi dấu qua nghiệm đơn và không đổi dấu qua nghiệm kép Lưu ý 4: Xem lại sô cách giải phương trình lượng giác thường gặp và ta có thể đưa hàm sô lượng giác về dạng đa thức sô trường hợp Lưu ý 5: Cách tính đạo hàm hàm sô dạng hữu tỉ (phân thức) Chương I – Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô Page Ths Lê Văn Đoàn phương pháp giải toán 12 Phần Đại sô Phân loại và a b y= c d ax + b ad - cb Cách nhớ: Tích đường chéo chính trừ tích đường chéo phụ � y' = = 2 cx + d ( cx + d) ( cx + d) a y= b x2 + a c x+ b c Cách nhớ: (Anh bạn ăn cháo hai lần bỏ chạy) a ' c' a ' b' b' c ' ( b'a - a 'b) x2 + 2( c 'a - a 'c) x + ( c 'b - b'c) ax2 + bx + c � y ' = = 2 a 'x2 + b'x + c ' ( a 'x2 + b'x + c ') ( a 'x2 + b'x + c ') Một số ví dụ Ví dụ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm sô: a/ y = - x4 + 4x2 - b/ y = x4 - 6x2 + 8x + d/ y = - x3 + 6x2 - 9x + c/ y = x4 + 4x + e/ y = x3 + 3x2 + 3x + f/ y = x2 - 2x g/ y = 2x - x- h/ y = 3x + 1- x i/ y = j/ y = - x2 + 2x - x +2 k/ y = x2 - 8x + x- l/ y = ( n/ y = x + 1- x2 + 3x + ) m/ y = - 3x 6x2 + - 2x x +7 x +2 x2 - x + o/ y = x2 - 2x Bài giải tham khảo a/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm sô: y = - x4 + 4x2 - * Hàm sô đã cho xác định D = � * Tính y ' = - 4x3 + 8x � � x=0 �� � � - x +2= � x2 = � � � 4x = � * Cho y ' = � - 4x + 8x = � 4x(- x + 2) = � � * Bảng xét dấu: x y' – – – + + – –3 ( – ) ( ) Hàm sô nghịch biến trên: ( - 2;0) và ( 2;+�) Hàm sô đồng biến trên: - �; + y * Dựa vào bảng biến thiên: - � x=0 � � x=� � � và 0; b/ Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm sô: y = x4 - 6x2 + 8x + * Hàm sô đã cho xác định D = � ( )( * Tính y ' = 4x3 - 12x + = = x - ) ( � x =- ) ( x + 2) = � � � x =1 x + Cho y ' = � x - � � * Bảng xét dấu: Page và vẽ đồ thị hàm sô Chương I – Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Đại Sô ( ) * Xét hàm sô: g x = - 1+ Ths Lê Văn Đoàn x liên tục khoảng ( 0;+�) x +1 1 + > 0, " x > � g( x) đồng biến ( 0;+�) Ta có: g '( x) = x +1 Do đó, " x �( 0; +�) : x > � g( x) > f ( 0) = � () ( ) * Từ và � x - x +1 - 1+ x x2 x > 0� x< 2 x +1 ( 2) x2 x < < x, " x > ( �pcm) x +1 x+1 , " x �� 0; p � � b/ CMR : 22sin x + 2tan x > 22 ) * Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai sô dương: 22sin x và 2tan x ta được: � � � � 2.� sin x+ tan x� � � � � � � 22sin x + 2tan x �2 22sin x.2tan x = 22sin x+tan x = 2 � � � 1 �� � �� � � � � sin x+ tan x� sin x+ tan x� � � � � � � � � �� � 2 � � � =2 � = 2.2 � � � � � * Bài toán trở thành chứng minh : � � � � � sin x+ tan x� � � � � � � x+1 � � � � � sin x + tan x� � � � � � � x ) � sin x + tan x > x, " x �� 0; p � � 2 � 0; p * Xét hàm sô y = sin x + tan x - x liên tục nửa khoảng � � 2 2.2 >2 �2 >2 ) * Ta có: 2cos3 x - 3cos2 x + ( cosx - 1) ( 2cosx + 1) y ' = cosx + - = = �0, " x �� 0; p � 2 � 2cos x 2cos x 2cos x x � 0; p � y = f ( x) = sin x + tan x - đồng biến � � 2 3 � " x �� 0; p : x > � f ( x) > f ( 0) = � sin x + tan x - x > � sin x + tan x > x � � 2 2 ) ) c/ CMR : n n 1+ * Đặt: x = n n n n + 1 f ( ) ( �pcm) Thí dụ Chứng minh x z y x y z + + � + + z y x y z x a b c b/ Cho a,b,c > Chứng minh rằng: + + � a +b b +c c +a a/ Cho x �y �z �0 Chứng minh rằng: Bài giải tham khảo a/ Cho x �y �z �0 CMR : ( ) * Xét hàm sô: f x = � * Ta có: f ' x = � � � z � ( ) x z y x y z + + � + + z y x y z x x z y � x y z� � + + - � , " x > (biến sô là x và xem y, z �0 là sô) �+ + � � � z y x � y z x� � �y �1 1� z� 1� � � � � � � � � = y z �0; " x > � � ( ) � � � � � �� � � y� yz x2 � x2 x2 � � � f ( x) đồng biến � 0; +�) � ( ) ( ) x y f x f y * Do đó: ++�++�= sin x, " x �� � � 2� 2/ tan x > x, " x �( 0; p 2) 0, � 1/ sin x �x, " x �� x3 � p� � , " x �� 0; � � � 2� 3! x � p� 0; � 6/ tan x > x + , " x �� � � � 2� 4/ sin x > x - p � 2� � p� � < x, " x �� 0; � � 7/ � 2� + cot x sin x � p� sin x + tan x > x, " x �� 0; � 9/ � � � 2� 3 � � � 0; � 5/ tan x + 2sin x > 3x, " x �� � 8/ x - x3 < sin x < x, " x > x3 x5 + , "x > 120 13/ a - sina < b - sinb, < a < b < p x2 x4 � p� + , " x �� 0; � � � � 2� 24 tan x x p < , 0< x 1+ x, " x �( 0;+�) 15/ a - tana < b - tanb, < a < b < 16/ x - 10/ cosx < 1- 11/ sin x < x - ( p ) x3 x3 x5 < sin x < x + , x>0 6 120 17/ sin x > 2x p , " x � 0; p 18/ x > ln( 1+ x) , " x �( 0;+�) , " x �( 0; +�) 1+ x a � sin x � � � p� � > cosx, " x �� 0; � 21/ � � � � �x � � 2� 1 , " x �( 0; +�) 23/ x sin > 1x 6x2 x2 25/ + x < 1+ x < 1+ x, " x > 2 x � p� � 0; � 27/ sin x > x + ( p - 4x2) , " x �� � � p 12p 2� x+1 p 29/ 22sinx + 2tan x > 22 , �x < � sin x � � p� � � � 20/ � > cosx, " x �� 0; � � � � � �x � 2� 19/ ln ( + x) - ln x > ( ) 2 22/ + x ln x + + x � + x , " x �� 1 � p� � < + 1- , " x �� 0; � � � sin x x p 2� 26/ x > - , " x �( 1; +�) x x � p� � 0; � 28/ sin x < ( p - x) , " x �� � � p 2� n n n n n 30/ n + + 1< 2, " n > n n 24/ Bài Chứng minh x z y x y z + + � + + z y x y z x " : x,y, z > thì : x4 + y4 + z4 + xyz ( x + y + z) �xy ( x2 + y2) + yz ( y2 + z2) + zx ( z2 + x2) a b c + + � " : a,b,c > ta có: a +b b + c c + a ( c - a) 2a 2b 2c + + �3 + " : c �b �a > ta có: b +c c +a a +b a ( c + a) (1+ x) tan550 > 1,4 HD: tan550 = tan(450 + 100) Xét hàm f ( x) = (1- x) 1/ " : x �y �z �0 ta có: 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 13 < sin20 < 720 Page 44 và vẽ đồ thị hàm sô ( ) HD: xét hàm f x = 3x - 4x và f (x) đồng biến ( - 12; 12) Chương I – Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Đại Sô Ths Lê Văn Đoàn ( ) HD: xét hàm f (x) = logx x + với " x �( 1; +�) 7/ log2 > log3 4 – Dạng toán 4: Ứng dụng tính đơn điệu giải phương trình – bất phương trình và hệ phương trình Cơ sở lý thuyết: Giả sử hàm sô y = f ( x) tăng hoặc giảm khoảng Giả sử hàm sô y = f ( x) tăng khoảng ( a,b) ta có: f (u) < f (v) � u < v Giả sử hàm sô y = f ( x) giảm khoảng ( a,b) ta có: f (u) < f (v) � u > v Nếu tăng ( a,b) ta có: f (u) = f (v) � u = v và là hàm hoặc hàm sô giảm thì phương trình a,b) y = g( x) ( a,b) ( f ( x) = g( x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng ( a,b) Nói cách khác, nếu có x �( a,b) cho f ( x ) = g( x ) thì phương trình f ( x) = g( x) có nghiệm nhất ( a,b) y = f ( x) o o o Phương pháp giải: Giải phương trình: f ( x) = g( x) ( *) Bước 1: Chọn được nghiệm xo của phương trình (thông thường chọn nghiệm lân cận 0) Bước 2: Xét các hàm sô y = f (x) (C 1) và y = g(x) (C ) Ta cần chứng minh một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến Khi đó ( C 1) và ( C ) giao tại một điểm nhất có hoành độ xo Đó chính là nghiệm nhất của phương trình (*) Giải bất phương trình: f ( x) > g( x) Bước 1: Xét tính đơn điệu của hàm sô h ( x) = f ( x) - g( x) Bước 2: Chứng minh h(x) là hàm đơn điệu � h ( x1) > h ( x2 ) � x1 > x2 � �� h ( x ) > h ( x2 ) � x1 < x2 � � ( đồng biến) ( nghịch biến) Một số ví dụ Thí dụ Giải các phương trình sau: ( ( ) ( 3x - 1) c/ 2x3 + 7x2 + 5x + = 3x - ( ) b/ 2x3 + x2 - 3x + = 3x - a/ 2x = - x ) ( )( e/ 3x + 9x + + 4x + 3x - d/ x3 - 4x2 - 5x + = 7x2 + 9x - ) 1+ x + x2 + = Bài giải tham khảo a/ Giải phương trình: 2x = - x Chương I – Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô Page 45 Ths Lê Văn Đoàn phương pháp giải toán 12 Phần Đại sô Phân loại và �f ( x) = 2x � * Xét hai hàm sô: � � g x = 6- x � �( ) �f ( 2) = 2x = � x f x = g x = x * Ta có: hàm sô ( ) đồng biến �, ( ) nghịch biến �và � � g = 6- x = � �( ) � x = là nghiệm nhất của phương trình ( ) b/ Giải phương trình: 2x3 + x2 - 3x + = 3x - ( 1) 3x - 1 * Điều kiện: x � ( () * Ta có: � 2x3 + x2 + = ) ( 3x - + ) 3x - + � f ( x) = f () ( ( ) 3x - ) * Xét hàm sô f t = 2t + t + liên tục khoảng 0;+� () ( ) () ( ) Ta có: f ' t = 6t + 2t > 0, " t � 0; +� � Hàm sô f t đồng biến 0;+� � f ( x) = f ( � 3- � x= > � 3x - � x = 3x - � x2 = 3x - � � � 3+ � x= > � � ) ( (N) (N) ) ( 3x - 1) ( 2) c/ Giải phương trình: 2x3 + 7x2 + 5x + = 3x - 1 * Điều kiện: x � � 2x3 + 7x2 + 5x + = 2y3 � � * Đặt y = 3x - �0 Khi đó: ( ) � � 3x - = y2 � � ( ) ( ) ( ( 3) ( 4) ) ( ) ( ) ( ) Xét hàm sô: f ( t) = 2t + t liên tục khoảng ( 0;+�) f '( t ) = 6t + 2t > 0, " t �( 0; +�) � Hàm sô f ( t ) đồng biến ( 0;+�) � f ( x + 1) = f ( y) � x + = y Thay y = x + 1vào ( 3) , ta được: 2x + 6x + 6x + = 2x + 7x + 5x + � x - x + = Cộng vế theo vế của cho , ta được: x + + x + = 2y3 + y2 � f x + = f y * 2 * 3 2 � Phương trình đã cho vô nghiệm d/ Giải phương trình: x3 - 4x2 - 5x + = 7x2 + 9x - * Tập xác định: D = � * Đặt y = 7x2 + 9x - Khi đó, phương trình đã cho được viết lại thành hệ: � � x3 - 4x2 - 5x + = y x3 - 4x2 - 5x + = y � x3 - 4x2 - 5x + = y � � � � �� � �3 � �3 ( a) 3 � � � x + x = y y + y = x + x + x + y + y = x + + x + * ( ) ( ) � � � � � � ( ) ( ) ( ) ( * *) * Khi đó, * có dạng: f y = f x + Page 46 và vẽ đồ thị hàm sô Chương I – Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Đại Sô Ths Lê Văn Đoàn () Xét hàm sô: f t = t + t, " t �� () Lúc này, ( * *) � y = x + () Ta có: f ' t = 3t + > 0, " t ��� f t đồng biến � � x=5 3 � � � x x x + = y x x x + = � � �� � � - 1� Và hệ phương trình ( a) � � � � � y = x +1 y = x +1 x= � � � � � � ( ) )( ( ) e/ Giải phương trình: 3x + 9x + + 4x + * Tập xác định: D = � () ( ) � 2+ Lúc này phương trình � - 3x � � � � ( - 3x) 1+ x + x2 + = ( 1) � � � � + 3� = x + 2+ ( ) � � � � � � ( 2x + 1) � � + 3� ( 2) � � � * Đặt u = - 3x ; v = 2x + 1với u, v > ( 2) � u ( + ) ( ) u2 + = v + v2 + ( 3) ( () ) * Xét hàm: f t = 2t + t + 3t2 liên tục khoảng 0;+� Ta có: f '(t) = + 2t + 3t t + 3t2 ( ) > 0; " t > � f ( t ) đồng biến ( 0;+�) ( ) ( ) * Khi đó phương trình � f u = f v � u = v � - 3x = 2x + � x = - Thí dụ Giải các bất phương trình sau: a/ 5x - + x + �4 b/ 3- 2x + c/ 2x3 + 3x2 + 6x + 16 < + - x c/ ( x + 2)( 2x - 1) - x + �4- a/ Giải bất phương trình: 2x - - 2x �6 ( x + 6)( 2x - 1) + x + Bài giải tham khảo 5x - + x + �4 * Điều kiện: x � � � � � � � ; +�� * Xét hàm sô: y = 5x - + x + liên tục nửa khoảng � � � ( ) * Ta có: f ' x = 5x - + x +3 > 0; "x > � � 1 � f ( x) là hàm sô đồng biến �; +�� � � � � 5 � � () ( ) () f * Mặt khác: f = Khi đó bất phương trình đã cho � f x �۳ b/ Giải bất phương trình: 3 - 2x + 2x - - 2x �6 x ( 1) Chương I – Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô Page 47 Ths Lê Văn Đoàn phương pháp giải toán 12 * Điều kiện: Phần Đại sô 0, " x �( - 2;4) � f ( x) đồng biến khoảng ( - 2;4) và có f ( 1) = nên: ( 2) � f ( x) < f ( 1) � x < * Kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là: - �x < ( x + 2) ( 2x - 1) - d/ Giải bất phương trình: ( x + 6) ( 2x - 1) + 3 x + �4 - ( 1) x +2 * Điều kiện: x � () * Khi đó, phương trình: � 2x � � * Với x > 5: * Với ( ) + Xét hàm sô: f x = ( ) x ( ( )( x +2+ x +6 ) 2x - - �4 ( 2) ( 2) : đúng )( x +2+ x +6 ) 2x - - liên tục khoảng ( 5;+�) � 1 � x +2+ x +6 � � � + 2x - - + > 0; " x > � � � � x + 2 x + 6� 2x - + Ta có: f ' x = � � � ( ) � f ( x) đồng biến khoảng ( 5;+�) và có f ( 7) = Do đó: ( 2) ۣ f ( x) Page 48 và vẽ đồ thị hàm sô f ( 7) x Chương I – Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Đại Sô * Kết hợp với điều kiên, nghiệm của bất phương trình là: Ths Lê Văn Đoàn �x �7 Thí dụ Giải các hệ phương trình sau: � 2x + + - y = () � a/ � b/ � � 2y + + - x = ( 2) � � �4x2 + x = 1- y - 2y ( ) ( ) �H - A.2010 � � � ( ) � 4x + y + 3- 4x = 2) ( � � ( ) Bài giải tham khảo � 2x + + - y = � a/ Giải hệ phương trình: � � � 2y + + - x = � � ( 1) ( 2) Cách giải 1: * Điều kiện: - () ( ) �x, y �4 * Lấy trừ ta được: 2x + - - x = 2y + - 4- y ( 3) �3 � - ;4� - t liên tục đoạn � �2 � � � �3 � �3 � 1 � ;4� � + > ; " x �� f ( t ) đồng biến khoảng � - ;4� * Ta có: f '( t) = � � � � � � �2 � 2t + - t � � � ( 3) � f ( x) = f ( y) � x = y () * Xét hàm sô: f t = 2t + - � � x=3 y=3 � � Thay x = y vào ( 1) Giải phương trình ta tìm được: � 11 � � 11 � � x= y= � � � � � ( � � � � � 11 11� � � � � � � � 9 � � � Vậy nghiệm của hệ là: S = x;y = � � �3;3 , � � ; ( ) ) Cách giải 2: * Điều kiện: - () ( ) �x, y �4 * Lấy trừ ta được: � � ( ( 2x + - 2x + - ) ( 2y + + ( 2x + 3) - ( 2y + 3) ) 2x + + 2y + + - x = 2y + - 4- y - ) 4- x = ( - y) - ( - x) 4- y - 4- y 4- x =0 � � � � � � � � � ( x - y) � + =0 � � � � � � y x x + + y + � � � � ( ) Chương I – Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô Page 49 Ths Lê Văn Đoàn phương pháp giải toán 12 Phần Đại sô Phân loại và � x =y � � �� + = ( *) � 4- y - 4- x � 2x + + 2y + � + > nên phương trình ( *) vô nghiệm * Do 4- y - - x 2x + + 2y + ( ) ( ) () * Với x = y , thay vào phương trình , ta được: 2x + + - x = � x + + ( 2x + 3) ( - x) = 16 � - 2x2 + 5x + 12 = - x � 9- x �0 �� � � � x 38 x + 33 = � � � � x=3 y=3 � � � 11 � � 11 � � x= y= � � � � �4x2 + x = 1- y - 2y ( ) � b/ Giải hệ phương trình: � � 2 � 4x + y + 3- 4x = � � ( ) ( 1) �H ( ( 2) A.2010) Cách giải 1: � � x� � � * Điều kiện: � � � y� � � � () ( ) ( ) * Khi đó: � 4x + x + y - ( ) 5- 2y = � 4x2 + 2x + 2( y - 3) - 2y = � �� � � � (�2x) + 1� (�2x) = ( 6- 2y) - 2y � � (�2x) + 1� ( 2x) = ( 5- 2y + 1) 5- 2y � � � � �� 5- 2y + 1� - 2y có dạng f ( 2x) = f 5- 2y � (�2x) + 1� (�2x) = � � � � � * Xét hàm sô f ( t) = t t + liên tục � ( ( ) ( ) ( ) ) () () + Ta có: f ' t = 3t + > 0, " t ��� f t đồng biến � � � � � x � x > � � � �� + Do đó: f ( 2x) = f - 2y � 2x = 5- 2y � � � � � x2 x = y ( ) � � y= � � � � � 5- 4x2 � � � * Lúc này, phương trình ( 2) � 4x2 + � + - 4x = ( 3) � � � � � � ( ) � 3� � � 5- 4x2 � � � � 0; � � * Xét hàm sô: g( x) = 4x + � liên tục khoảng � + - 4x - � � � � � � � 4� � � Page 50 và vẽ đồ thị hàm sô Chương I – Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Đại Sô ( ( ) Ths Lê Văn Đoàn � 3� � 3� � � < 0, " x �� 0; � � g( x) nghịch biến � 0; � � � và có � � � � � � 4 � � � � 3- 4x ) Ta có: g ' x = 4x 4x - - �� 1� � g� = � ( 3) có nghiệm nhất là x = � y = � � � 2� �� � � � * So với điều kiện, nghiệm của hệ là: S = ( x;y) = � � ;2� � � � � � Cách giải 2: � � x� � � * Điều kiện: � � � y� � � � � 3 � � 5- 2y � � � 5- 2y � �x � � � � � � � � +� � 2x = 2- 5y � � � � ( 1) � 4x3 + x = � � � � � � � � x2 � � 2 � � � � � � � y= � � � � � 5- 4x2 � � � + 3- 4x = � 16x4 - 25x2 + 3- 4x - = ( 2) � 4x + � � � � � � � ( ) ( � 16x4 - 25x2 + + ) ) ) ) ( )( ) 2 * Với �x � � 2x + 4x - < � 2x + 4x + - * Vậy nghiệm của hệ là: x = Cách giải 3: ) 16 3- 4x + 1 � y = 2 ( 3- 4x + ) � � u = 2x ; u� � � * Đặt: � � � v = 5- 2y ; v �0 � � 2 * Khi đó: ( 1) � u + u = v + v � u = v ( 16( 1- 2x) ( )( ( )( � � x= � � 16 � = 0� � � � 3- 4x + 1� ( 2x + 1) 4x2 + � � � � � ( 2x - 1) � ( 2x + 1) 4x2 + � � ( ( 3- 4x - = � 4x2 - 4x2 - + ) � 2x = 5- 2y � * Ta có hệ: � � � 4x + y2 + - 4x = � � * Đặt t = y - 1;w = 3- 4x = 3- 2u Chương I – Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô Page 51 =0 16 3- 4x + = ( 3) � ( 3) : vô nghiệm Ths Lê Văn Đoàn phương pháp giải toán 12 Phần Đại sô Phân loại và � � u = 3- 2t �0 u2 = 3- 2t � � � � � � x= � � � � �� t = 3- 2w �� t = 3- 2w � u = t = w = � � � � � � � � y=2 � � � w = u w = u � � � � � � ( 1) ( 2) � x3 - 3x = y3 - 3y � c/ Giải hệ phương trình: �6 � x + y6 = � � � - �x �1 � * Từ ( 1) và ( 2) � Điều kiện: � � - �y �1 � * Từ ( 1) � f ( x) = f ( y) ( *) () - 1;1� * Xét hàm sô f t = t - 3t liên tục đoạn � � � ( () ) () ( ) �1;1� � f t luông nghịch biến đoạn � - 1;1� * Ta có: f ' t = t - �0; " t �� � � �nên * � x = y ( ) * Thay x = y vào , ta được nghiệm của hệ là: x = y = � ( 1) ( 2) � x3 + 2x = y � d/ Giải hệ phương trình: �3 � y + 2y = x � � Cách giải 1: () * Xét hàm sô f t = t + 2t liên tục � () () * Ta có: f ' t = 3t + > 0, " t ��� f t đồng biến � ( ) ( 3) � f ( y) = x ( 4) � � Nếu: x > y � f ( x) > f ( y) � y > x (do ( 3) và ( 4) dẫn đến mâu thuẩn) � x =y Nếu: x < y � f ( x) < f ( y) � y < x (mâu thuẩn) Thay x = y vào ( 1) , ta được: x + x = � x ( x + 1) = � x = (do x + > 0, " x ) Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: ( x;y) = ( 0;0) �f x = y � * Hệ phương trình đã cho trở thành: � * * * * 2 Cách giải 2: () ( ) )( ( ) 3 2 * Trừ cho , ta được: x - y + 3x - 3y = � x - y x + y + xy + = � � � y� 3y2 � � � � � � ( x - y) � x + + + = 0� x =y � � � � � � � � 2� � � * Thay x = y vào ( 1) , ta được: x + x = � x x + = � x = (do x2 + > 0, " x ) ( ( ) ) ( ) * Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: x;y = 0;0 Bài tập áp dụng Page 52 và vẽ đồ thị hàm sô Chương I – Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát Phân loại và phương pháp giải toán 12 Phần Đại Sô Ths Lê Văn Đoàn Bài Giải các phương trình sau 1/ 3/ x + x- 5= x + x - + x + + x + 16 = 14 2/ x5 + x3 - 1- 3x + = 4/ x2 + 15 = 3x - + x2 + 5/ x + + x + + x + = 7/ 3x + 4x = 5x 6/ ln ( x - 4) = - x 8/ 2x + 3x + 5x = 38 9/ 3x + + x + 7x + = 10/ 5x3 - + 2x - + x = 11/ x3 - 4x2 - 5x + = 7x2 + 9x - 12/ 2x - + x2 + = - x 13/ 4x - + 4x - = 15/ 2x- - 2x - x = ( x - 1) 14/ ( 2- ) +( x 2+ ) x = 2x 16/ log2 ( + x ) = log7 x � � = x2 + 3x + 17/ log3 � � � � � 2x + 4x + �x2 + x + � � � � 18/ 4x - + 4x2 - = 19/ x - = - x3 - 4x + 20/ x - = + x - x2 21/ x = 1- 2x + 2x2 - x3 22/ x - 1+ x +2 = Bài Giải bất phương trình x 1/ 2x < 32 + 2/ 5x + 12x > 13x 3/ ( x + 2) ( 2x - 1) - x + �4 - ( x + 6) ( 2x - 1) + x + 4/ 5/ x + + 5x - + 7x - + 13x - < 6/ 2x + x + x + + x2 + 7x < 35 2x3 + 3x2 + 6x + 16 < + - x Chương I – Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô Page 53 Ths Lê Văn Đoàn phương pháp giải toán 12 Phần Đại sô Phân loại và Bài Giải hệ phương trình x3 - 3x = y3 - 3y � � 1/ � � x + y6 = � � � �x + 2x = y 2/ �3 � x + 2x = y � � � x = y3 + y2 + y - � � � y = z3 + z2 + z - 5/ � � � � � z = x3 + x2 + x - � � � 2x � y= � � � 1- x2 � � x = y + � � � 2y y � z= 7/ � 8/ � � � � 1- y2 � � y = x + � � � � 2z x � � x = � � � 1- z � � y3 = 6x2 - 12x + cot x - cot y = x - y � � � � � � z = 6y - 12y + 11/ � 5x - 8y = 2p 10/ � � � � � � � � � x, y �(0, p) x3 = 6z2 - 12z + � � � � � 1 � x=y� y 4/ � � x � � 2y - x3 =1 � � Bài Chứng minh phương trình x + x x2 - � 1 � x = y � x y 3/ � � � � 2x - xy - = � � � 2x + = y3 + y2 + y � � � 6/ � �2y + = z + z + z � � � 2z + = x3 + x2 + x � � � y3 - 9x2 + 27x - 27 = � � �3 z - 9y2 + 27y - 27 = 9/ � � � � � x3 - 9z2 + 27z - 27 = � � � tan x - tan y = x - y � � � 1/) � �tan x + tany = � � � x, y �(0, p) � � - 2011 = có đúng nghiệm dương phân biệt Bài Chứng minh x4 - x + > 0, " x �� Bài Chứng minh phương trình 2x2 x - = 11 có nghiệm nhất Bài CMR nếu ΔABC thỏa mãn hệ thức cosA + cosB + cosC + 13 = thì ΔABC cosA + cosB + cosC là tam giác đều Page 54 và vẽ đồ thị hàm sô Chương I – Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát ... sin2x cot x - tan x = 2cot2x Chương – Ôn tập sin2x = 2sin x.cosx cos2x = cos2 x - sin2 x = 2cos2 x - = 1- 2sin2 x 1+ cos2x 1- cos2x cos2 x = � sin2 x = ; (3sin – 4sỉn) sin3x = 3sin x - 4sin3... lna II – C NG THƯ C LƯỢNG GIA C Hệ thư c lượng bản sin2 x + cos2 x = sin x tan x = cosx 1+ tan2 x = cos2x C ng thư c nhân đ i – nhân ba – hạ bâ c tan x.cot x = cosx cot x = sin x 1+ cot2... ( 4c ̉ – c ) cos3x = 4cos x - 3cosx C ng thư c biến đô i tổng thành tích a +b a- b cos 2 a +b a- b cosa - cosb = - 2sin sin 2 a +b a- b sina + sinb = 2sin cos 2 a +b a- b sina - sinb = 2cos